專(zhuān)題19等腰三角形（測(cè)試）（教師版含解析）-2023年中考一輪復(fù)習(xí)講練測(cè)（浙江專(zhuān)用）

2023耳中考照號(hào)總復(fù)（~檢錦依例（新H專(zhuān)用J

專(zhuān)做19年映三龜形（制鐵J

班級(jí):波名，得個(gè)，

注意事項(xiàng)：

本試卷滿(mǎn)分120分，試題共23題，其中選擇10道、填空6道、解答7道.答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑

色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)等信息填寫(xiě)在試卷規(guī)定的位置.本試卷所選題目為浙江地區(qū)中考真題、模擬

試題、階段性測(cè)試題.

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合

題目要求的.

1.（2022?浙江杭州?統(tǒng)考二模）如圖，在A/BC中，AB=AC,點(diǎn)。為8c上一點(diǎn)，0414B.設(shè)/C4D=

38°,則()

A.60°B.62°C.64°D.66°

【答案】C

【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到/慶NC,再由直角三角形兩銳角互余得到N8+4JO8=90。，由三角

形外角的性質(zhì)得到乙4O8NC+NCW,則N8+/C+ZC/lO=90°,據(jù)此求解即可.

【詳解】解：,.N8MC,

.,.ZS=ZC,

...￡U_L/8,

.../4）=90°,

；.NB+N4DB=90°,

;乙4DB=ZC+4cAD,

.,.Zfi+ZC+ZC4￡)=90°,

...2N8+38°=90°,

，N8=26°,

.ZZ)8=64°,

故選C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形外角的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余，熟知直角三角

形兩銳角互余是解題的關(guān)鍵.

2.(2022?浙江杭州?統(tǒng)考一模)如圖，在AABC中，AB>AC,以點(diǎn)4為圓心，NC的長(zhǎng)為半徑作弧交

于點(diǎn)連接。C;再以點(diǎn)。為圓心，Z)C的長(zhǎng)為半徑作弧交C8的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.若BE=BD,KE=

15°,則()

A.AB=2ACB.BC=BD+DE

C.AD=2BED.CE—AB+AC

【答案】D

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)逐步求解N4BC=30。,乙4CC=45。/847=90°,再證明BC=2AC,從而

可得結(jié)論.

【詳解】解：；BE=BD,乙E=15°,

乙E=乙BDE=15°,

乙48c=15°+15°=30°,

由作圖可得：DE=DC,

:.乙E=Z.DCE=15°,

乙4DC=300+15°=45°,

由作圖可得：AD=AC,

???Z.ADC=JLACD=45°,

???ABAC=90。，

/.BC=2ACfBC>AB

：.AB<1AC,故選項(xiàng)A不正確;

根據(jù)勾股定理ABHBC2—心=WAC,DE^DC^y/AD2+AC2=y/2AC

：.BD=AB-AD=>/3AC-4C=(V3-1)AC,

：.BD+DE=(百一1)AC+V2AC=(V3+V2-1)AC>2AC=BC,

故選項(xiàng)B不正確；

?；BE=BD=(6T)AC,

..2BE=2(^3-1)4C>2(1.5-1)/1C=AC=AD

故選項(xiàng)C不正確：

???CE=BC+BE=2AC+BD=AC+AD+BD=AC+AB.

故選項(xiàng)D正確：

故選D

【點(diǎn)睛】本題考查的是作一條線段等于已知線段，等腰三角形的性質(zhì)，含30。的直角三角形的性質(zhì)，掌握

“30。所對(duì)的直角邊是斜邊的一半”是解本題的關(guān)鍵.

3.(2022?浙江麗水?統(tǒng)考一模)如圖，Rt/iABC中，NC=90。，NB=30。，要求用圓規(guī)和直尺作圖，把它

分成兩個(gè)三角形，其中一個(gè)三角形是等腰三角形.其作法錯(cuò)誤的是()

【答案】B

【分析】對(duì)各項(xiàng)的尺規(guī)作圖進(jìn)行分析，再根據(jù)等腰三角形的判定逐個(gè)分析即可.

【詳解】A選項(xiàng)，由作法可知，AD=AC,即A4DC是等腰三角形，不滿(mǎn)足題意;

B選項(xiàng)，在AADC中，?；4C=90。，ZF=30°

.'.AC=-AB

2

又由作法可知，CD=BD=^BC

在Rt/MBC中，AB>BC

.-.AOCD,即△4DC不是等腰三角形

：.AD>CD,即AD>BD,即△4QB不是等腰三角形，滿(mǎn)足題意；

C選項(xiàng)，由作法可知，AD=BD,即AACB是等腰三角形，不滿(mǎn)足題意；

D選項(xiàng)，由作法可知，ABAD=ADAC=^BAC=|?(90°-ZB)=30°,

：.Z.BAD=4B=30。，BPA408是等腰三角形，不滿(mǎn)足題意；

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查尺規(guī)作圖和等腰三角形的判定.熟知尺規(guī)作圖是本題解題的關(guān)鍵.

4.(2021?浙江寧波??？既?如圖，NABC是一個(gè)銳角，以點(diǎn)4為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)度為半徑畫(huà)弧，交射線

BC于點(diǎn)。，E,若44BC=35°,NB4D=30°,則/DAE的度數(shù)是()

A.40°B.50°C.60°D.70°

【答案】B

【分析】先根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得乙4CE=65。，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得乙4EC=^ADE=

65。，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可得.

【詳解】解：/-ABC=35°,/.BAD=30°,

???/ADE=Z.ABC+/.BAD=65°,

由作圖可知，AD=AE,

AAAED=Z.ADE=65°,

/.DAE=180°-Z.AED-AADE=50°,

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題

關(guān)鍵.

5.（2022?浙江金華?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）性質(zhì)"等腰三角形的三線合一"，其中所指的"線"之一是（）

A.等腰三角形底角的平分線B.等腰三角形腰上的高

C.等腰三角形腰上的中線D.等腰三角形頂角的平分錢(qián)

【答案】D

【分析】根據(jù)在等腰三角形中，頂角的角平分線，底邊的中線，底邊的高線，三條線互相重合對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)

行判斷即可.

【詳解】解：等腰三角形中三線合一，即在等腰三角形中頂角的角平分線，底邊的中線，底邊的高線，三

條線互相重合.

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形三線合一的性質(zhì).解題的關(guān)鍵在于熟練掌握三線合一中的三線分別指頂角

的角平分線，底邊的中線，底邊的高線.

6.（2022?浙江金華?校考一模）如圖，在等邊三角形/8C中，48=8,點(diǎn)P是8c邊上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于直

線48、ZC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別為M、N,作垂足為。，作NE1BC,垂足為E,則。E的長(zhǎng)為（）

A.10B.8V3C.11D.12

【答案】D

【分析】連接用尸，NP,交AB,4c于點(diǎn)J,K,利用對(duì)稱(chēng)性可得MJ=PJ,PK=KN,MPLAB,PN1

AC,再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得448。=乙4cB=60。，再由直角三角形的性質(zhì)和勾股定理可得結(jié)論

【詳解】連接MP，NP,交4B,4c于點(diǎn)J,K

A

?.?點(diǎn)P關(guān)于直線/8、4C的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別為V、N,

：.MJ=PJ,PK=KN,MPLAB,PN1AC

?.A4BC是等邊三角形

：.￡ABC=乙ACB=60°

"MPD=乙NPE=30°

設(shè)BP=x,貝iJCP=8-x

在RtABP/中，"MPD=30°

叫=京

由勾股定理可得，JP=yjBP2-BJ2=小

：.MP=2JP=V3x

：.MD=-x

2

.'.DP=7Mp2-MD?=-X

2

同理可得，PE=|(8-x)

.'.DE=DP+PE=jx+j(8-x)=12

故選：D

【點(diǎn)睛】本題主要考查了對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，正確作出輔助線構(gòu)造直角三

角形是解答本題的關(guān)鍵.

7.(2022?二模)如圖，已知心A48C,AC=BC=2,將△/8C繞點(diǎn)/沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后得到△/￡)￡；直

線8。、CE相交于點(diǎn)尸，連接ZF,則下列結(jié)論中：@AB=2V2；②4ABD"ACE；③/BFC=45。；

④F為8。的中點(diǎn)，其中正確的有（）

A.①②③B.①②④C.①②③④D.②③④

【答案】C

【分析】①根據(jù)△4BC為等腰直角三角形，直接求出的長(zhǎng)度即可；②由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)證明MCE即

可判斷：③由△力可得NO8/=NEC4NFGB=ZCG4,進(jìn)而N8尸C=N8/C=45°即可判斷:

④證明為等腰三角形即可判斷.

【詳解】①由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，AC=BC=AE=DE=2,

■：/-ACB=90°,

：.AB=AD=y/AC2+BC2=V22+22=2\f2,故①正確;

②...變=絲=延=魚(yú)，R4E=4CAB=45°,

ACAF2

"DAE+NEAB=4CAB+4EAB,Z.DAB=/.EAC,

:4ABDiACE,故②正確；

③設(shè)48、CE交于點(diǎn)G,如圖所示：

?:"BDs^ACE,

"DBA=iECA,

又.2FGB=tCGA,

：2BFC=NB4c=45°,故③正確;

④,"FC=N8/C=45。，

..A,C、B、尸四點(diǎn)共圓,

???四邊形/C8F為圓內(nèi)接四邊形，

用+/8。=180°,

：ABCA=90°,

.""=90。，

：.AFA.BD,

AB=ADi

.?.A/8D為等腰三角形，

.XF為80上中線，即尸為8。中點(diǎn)，故④正確；

綜上分析可知，①②③④都正確，故C正確.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，圓的相關(guān)知識(shí)，證明△/瓦），△

4CE是解題的關(guān)鍵.

8.（2022?浙江舟山?校聯(lián)考三模）如圖，4ABC、△DBE和△FGC均為正三角形，以點(diǎn)D,E,F,G在4

ABC的各邊上，DE和FG相交于點(diǎn)H,若S四邊形即詆=SAHGE，BC=a,BD=b,CF=c,則a,b,c滿(mǎn)足

的關(guān)系式為（）

A.a+c=2bB.b2+c2=a2C.\[b+Vc=y[aD.a=2y[bc

【答案】B

【分析】分別用含a,b,c的代數(shù)式表不5四邊形ADHF與SAHGE，根據(jù)S四邊形的詆=SAHGE得到關(guān)于a，b,c關(guān)

系式，化簡(jiǎn)整理關(guān)系式即可.

【詳解】解：v乙EDB=44=60°,

???DEWAF,

同理：FGWAB,

四邊形ADHF為平行四邊形，

?.?在△HGE中4HGE=乙HEG=60°,

△HGE為等邊三角形，

GE=b+c—a,AD=a—b,AF=a—c,

-SBADHF=AF-AD-sin60°=y(a-c)(a-Z>)

聒

SAHGE=Rb+c-a)2

???y(a-c)(a-h)=y(b+c-a)2,化簡(jiǎn)可得：b2+c2=a2,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題綜合考查了平行四邊形及等邊三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是要會(huì)用含a，b,c的代數(shù)式分別

表示平行四邊形和等邊三角形的面積，找到關(guān)系式，化簡(jiǎn)整理得出結(jié)論.

9.(2021?浙江湖州?模擬預(yù)測(cè))如圖，已知在等腰中，44c8=90。，為8C邊的中線，過(guò)點(diǎn)C

作CE_L/。于點(diǎn)￡,交月8于點(diǎn)?若/C=2,則線段族的長(zhǎng)為()

【答案】B

【分析】過(guò)點(diǎn)8作8//L8C,交5的延長(zhǎng)線于〃，由勾股定理可求力。的長(zhǎng)，由面積法可求CE,由“AAS"

可證△NCD^ACB，，可得CD=BH=1,AD=CH=?通過(guò)證明△NCF-可得處=空=工，可求

ACFC2

C戶(hù)的長(zhǎng)，即可求解.

【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)、B作BHLBC,交C尸的延長(zhǎng)線于“，

,.工。為8c邊的中線，4C=BC=2,

1.CD=BD=\,

：.AD=>JAC2+CD2=V4^Hl=V5,

x

?SUCD=IACxCD=gxADxCE,

.E_1X2_2隗

?d言一"T'

,ZDC+NBCH=90\NBCH+4H=90°,

.二乙4DC=NH,

在“CQ和△C8〃中，

(Z.ADC=乙H

l^ACD=乙CBH=90°,

(AC=BC

：QACD2CBH(AAS),

：.CD=BH=1,AD=CH=y[5,

'：AC±BC,BHLBC,

S.ACWBH,

.QACFsABHF,

,BH_FH_1

''AC~FC~2f

,2V5_2^54-75

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的性

質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.

10.（2022?浙江寧波?統(tǒng)考二模）如圖，等邊△/BC和等邊△DEE的邊長(zhǎng)相等，點(diǎn)/、。分別在邊EF,BC

上，4B與DF交于G,4c與DE交于H.要求出ZU8C的面積，只需己知（）

K--------4--------,E

GX”

A.△BOG與△CD”的面積之和B.ZiBOG與△NGF的面積之和

C.△8OG與△CDH的周長(zhǎng)之和D.ABOG與A/G尸的周長(zhǎng)之和

【答案】C

【分析】根據(jù)題意只要求出等邊三角形的邊長(zhǎng)即可求解，設(shè)8G=a,BD=b,DG=c,CD=d,DH=e,CH=f,

等邊三角形邊長(zhǎng)為x,證明同理可得△AHEsACHC,根據(jù)相似三角形三角形的性質(zhì)即可

求解.

【詳解】設(shè)3G=a,BD=b,DG=c,CD=d,DH=e,CH=f,等邊三角形邊長(zhǎng)為x,

則FG=x-c,AG=x-a,

???NF=/B=60°,/AGF=乙BGD

.MAFGs^DBG,

.'.ax—ar-ex-c

.*.(a—c)x=(Q+C)(Q—c),

..x=Q+c或Q=c,

同理△AHEDHC,可得％=e+f或e=f,

①當(dāng)a=c時(shí)，△8Z）G是等邊三角形，同理AZ）C〃為等邊三角形,

此時(shí)和ADC”的周長(zhǎng)之和為a+b+c+d+e+f=3x,

②當(dāng)x=a+c時(shí)，

.'.FG=a=BG,AG=c=GD,

又一:Z.AGF=乙DGB,

:?BDG2E4G,

則"=b,AE=d,

m.^AHE^hDHC,

貝lja+b+c+d+e+f=x+x+b+d=x+x+x=3x.

綜上所述，只需已知△8Z)G與的周長(zhǎng)之和，即可求出A/BC的邊長(zhǎng)，也可求出等邊三角形A/BC面

積.

故選：C.

BbDdC

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)，證明△/FG，AZ?8G,AAHES&DHC

得出比例式是解題的關(guān)鍵.

二、填空題

11.（2019?浙江??？家荒＃〢4BC中，AB=AC,4B的垂直平分線與4c所在的直線相交所得的銳角為

50°,底角4B的度數(shù)為.

【答案】70?；?0。

【分析】當(dāng)△4BC為銳角三角形時(shí)，設(shè)的垂直平分線交線段ZC于點(diǎn)交4B于點(diǎn)E,先求得N4,再

由三角形內(nèi)角和定理可求得ZB；同理，當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，可求得的度數(shù)，再利用等腰三角

形和三角形外角的性質(zhì)可知/B=^ZD4B,由此可解.

【詳解】解：分兩種情況：

當(dāng)△ABC為銳角三角形時(shí)，

如圖1,設(shè)48的垂直平分線交線段4c于點(diǎn)。，交AB于點(diǎn)E,

A

：Z.ADE=50°,DELABf

.,.ZJ1=90°-50°=40°,

：AB=AC,

"8=乙4cB=1（180°-乙4）=70。；

當(dāng)△48C為鈍角三角形時(shí)，

如圖2,設(shè)4B的垂直平分線交線段AC于點(diǎn)。，交48于點(diǎn)E,

：^ADE=50°,DELAB,

：./LDAB=90。-50°=40。,

\'AB=AC,

.,.Z.B—zC,

,ZB4-ZC=Z.DAB,

：./.B=-Z.DAB=20°；

2

綜上可知48的度數(shù)為70。或20。，

故答案為：70?；?0。.

【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，以及三角形外角的性質(zhì)，注意分類(lèi)討論是

解題的關(guān)鍵，否則就會(huì)漏解.

12.（2013?浙江寧波?統(tǒng)考一模）如圖，等邊△4BC的邊長(zhǎng)為3,點(diǎn)P為BC邊上一點(diǎn)，且8P=1,點(diǎn)。為4c邊

上一點(diǎn).若乙4PC=60。，貝IJC。的長(zhǎng)為.

【答案】|

【分析】根據(jù)等邊三角形性質(zhì)求出A8=BC=4C=3,ZB=ZC=6O°,推出484P=NOPC,證△84P~ACPD,

得出招=言，代入求出即可.

【詳解】解：如圖，

是等邊二角形，

.t.AB=BC=AC=3fzF=zC=60°,

.*.z^P+Zy4P5=180°-60o=120°,

???ZJ4PD=6O。，

???乙APB+4DPC=1800?60°=120。，

乙BAP=^DPC,

又上B=Z~C,

「ABAP~ACPD,

.ABBP

CPCD

?.?AB=BC=3,BP=1,

.\CP=BC-BP=3-1=2,

-3=J_

"'2CD"

解得：CD=l，

故答案為：

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，解題關(guān)

鍵是推出A84P?ACPD,主要考查了學(xué)生的推理能力和計(jì)算能力.

13.（2010?浙江?統(tǒng)考中考模擬）如圖，等邊A/BC的邊長(zhǎng)為1cm,D、E分別是/8、/C上的點(diǎn)，將A/OE

沿直線OE折疊，點(diǎn)4落在點(diǎn)尸處，且點(diǎn)尸在△NBC外部，則陰影部分圖形的周長(zhǎng)為cm.

【答案】3

【分析】由題意得AE=FE,故陰影部分的周長(zhǎng)可以轉(zhuǎn)化為A”C的周長(zhǎng).

【詳解】將△/OE沿直線。E折疊，點(diǎn)Z落在點(diǎn)尸處，

：.AD=FD,AE=FE.

,等邊A48C的邊長(zhǎng)為1cm,

.AB=BC-AC=lzm,

，則陰影部分圖形的周長(zhǎng)為：BC+BD+CE+FD+FE=BC+BD+CE+AD+AE=BC+AB+AC=3（cm）.

故答案為：3.

【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)以及折疊的問(wèn)題，折疊問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是"軸對(duì)稱(chēng)"，解題的關(guān)鍵是找出

經(jīng)軸對(duì)稱(chēng)變換所得的等量關(guān)系.

14.（2022?浙江衢州?模擬預(yù)測(cè)）如圖,在團(tuán)4BCD中，Z.ABC=150°.利用尺規(guī)在BC、B4上分別截取BE、

BF,使BE=BF；分別以E、F為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在/CB4內(nèi)交于點(diǎn)G；作射線BG交

DC于點(diǎn)H.若AD=V3+1,則8H的長(zhǎng)為

D㈤C

G

【答案】V2

【分析】如圖所示，過(guò)點(diǎn)〃作4M_L8C于由作圖方法可知，BH平分乙4BC,即可證明NC8〃=N

CHB,得到CH=BC=百+1,從而求出MW,CM的長(zhǎng)，進(jìn)而求出8M的長(zhǎng)，即可利用勾股定理求出84

的長(zhǎng).

【詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)〃作“M_L8C于

由作圖方法可知，BH平分NABC,

；.ZABH=/CBH,

?.,四邊形ABCD是平行四邊形，

：.BC=AD=y[3+l,AB\\CD,

：ZCHB=ZABH,NC=18CTZ8C=30。，

"CBH=ZCHB,

.'.CH=BC=V3+1,

.\HM=-2C2H=—,

.'.CM=7cH2-CM2==,

2

：.BM=BC-CM=—,

2

：.BH=7HM2+BM?=V2,

【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的尺規(guī)作圖，平行四邊形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾

股定理，等腰三角形的性質(zhì)與判定等等，正確求出S的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵.

15.（2022?浙江麗水?統(tǒng)考一模）如圖，在等腰三角形4BC中，AB=AC2,^BAC=120°,M為4B的中

點(diǎn)，P為BC上任意一點(diǎn)，則《=2時(shí)+。4的范圍是.

【答案】V3<t<V7+2

【分析】分別求出PA/+RI的最大值和最小值即可.

作點(diǎn)M關(guān)于8C的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N,垂足為E,連接4N交BC于點(diǎn)P,則此時(shí)t=PM+P4最小，作4F_LMN于點(diǎn)F,

4D1BC于點(diǎn)。，可得出四邊形NFEZ）為矩形，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，含30度角的直角三

角形，即可求得/N的值；

當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，t=CM+CA最大，作MOLC4于點(diǎn)D,根據(jù)三角形外角的性質(zhì)及勾股定理即可得出

的值，從而得出CM+CN的值，即為所求.

【詳解】解：如圖（1）,作點(diǎn)M關(guān)于BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N,垂足為E,連接4V交BC于點(diǎn)P,則此時(shí)t=PM+P4

最小，且t=4N,作4FJ.MN于點(diǎn)F,4。_LBC于點(diǎn)。

圖⑴

四邊形ZFEO為矩形

：AB=AC=2,/.BAC=120°,

：.AM=BM=1,4B=30°

.'.AD=1,ME=NE=BE=DE=—

22

：.EF=AD=1,AF=DE=—,

2

3

NF=EF+EN=-

.'.t=AN=yjNF2+AF2=V3

如圖（2）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，t=CM+C4最大

作MD1。4于點(diǎn)。，

vZ.BAC=120°

???/.AMD=Z.BAC-Z.MDA=30°

MD=9AD=j

.'.MC=V7,

.'.t=y/7+2,

<t<V7+2

故答案為：V3<t<V7+2.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用、等腰三角形的性質(zhì)、三角形外角性質(zhì)、，正確作出輔助線是解

答本題的關(guān)鍵.

16.（2022?浙江溫州?溫州市第三中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）圖1是一輛卸貨車(chē)實(shí)物圖，折線4BC是支架，BD為可

伸縮的液壓支撐桿，測(cè)得BC=g,CD=V2,DE=3,/.ABC=^CDE=135°,^EFG=90°,圖2是

卸貨車(chē)不工作時(shí)的側(cè)面示意圖，此時(shí)4B與尸G在同一直線上，C0I4B,且NOEF=135。，則

BF=,圖3是卸貨車(chē)工作時(shí)的側(cè)面示意圖，折線CDE可繞點(diǎn)C上下旋轉(zhuǎn)，且NCDE始終保持不

變，EF始終保持與地面垂直，當(dāng)BDJ.DE時(shí)，F(xiàn)G與4B的距離為.

【分析】(1)過(guò)點(diǎn)E作EM,過(guò)點(diǎn)。作OMJLEM,垂足為M,并延長(zhǎng)至4B的延長(zhǎng)線，交于點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)C作

CN148延長(zhǎng)線與點(diǎn)N,由尸8=FP+NP-NB即可求得結(jié)果：

(2)過(guò)點(diǎn)C作CH1BD于H,連接BE,GE,過(guò)點(diǎn)F作尸F(xiàn)'14B于點(diǎn)F',延長(zhǎng)4B,過(guò)點(diǎn)C作CM14M于點(diǎn)

M,延長(zhǎng)ED,過(guò)點(diǎn)C作C71E/于點(diǎn)/,過(guò)點(diǎn)C作CNJ.E9于點(diǎn)M計(jì)算出點(diǎn)E到AB的距離，在減去EF的長(zhǎng)

度即可求解.

【詳解】解：①如圖所示，

過(guò)點(diǎn)E作EM,過(guò)點(diǎn)。作DM1EM,垂足為M,并延長(zhǎng)至4B的延長(zhǎng)線，交于點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)C作CNJ.48延長(zhǎng)線

與點(diǎn)N,

VzFFG=90°,/.DEF=135°,

"DEM=135°-90°=45°,

"：DE=3,

...在RtADEM中，EM=DM=B|JFP=EM=—,

22

"：CN1PN,DPLNP,且CD=&,

：.FN=NP+FP=^2+—=-,

22

*：UBC=乙CDE=135°,

.".ACBN=180°-135°=45°,S.BC=V10,

:.CN=BN=衣,

,:FB=FP+NP—NB,

:.FB=亞-炳

22

故答案為：吟蟲(chóng).

②由上述的計(jì)算可知，EF=CN-EM=遍-手=*產(chǎn)，

過(guò)點(diǎn)C作CHJ.BD于H,連接BE,GE,過(guò)點(diǎn)尸作產(chǎn)F'，48于點(diǎn)P,延長(zhǎng)4B,過(guò)點(diǎn)C作CM1AM于點(diǎn)加，延

長(zhǎng)ED,過(guò)點(diǎn)C作C/_LE/于點(diǎn)/,過(guò)點(diǎn)。作CNJLEF'于點(diǎn)N,如圖所示：

'：/.ABC=UDE=135°,BD1DE,

J.Z.CDH=135°-90°=45°,ACDI=180°-135°=45°,

VCD=V2,BC=VlO,

...在RtACD",RtABC/7,RtACD/中，

DH=CH=DI=CI=1,

BH=y/BC2-CH2=J(VlO)2-1=3,

：.EI=DE+DI=3+1=4,BD=BH+HD=3+1=4,

在RtABDE中，DE=3,BD=4,

：.BE=y/BD2+DE2=V42+32=5,

在Rt△陽(yáng)中，CE=V42+l2=V17,

,：/.ABC=135°,

:.乙CBM=45°,

VzCMB=90°,BC=710,

...在RtACBM中，CM=BM=V5,

VzCMfi=乙CNF'=乙NF'M=90°,

二四邊形CMF，N為矩形，

ACM=NF'=V5,MF'=CN,

設(shè)BF'=y,EF'=x,則EN=x-V^,MF'=CN=y+V5,

?在RtABF'E和Rt^CNE中，

CE2=CN2+EN2,BE2=BF'2+EF'2,

（x2+y2=52

㈣2+G+佝2=（舊）2，

解得：%2=-雷（舍去），

:.FF'=EF'-EF=巫+空

5252

故答案為：第+券.

【點(diǎn)睛】本題主要考查的是直角三角形的勾股定理與實(shí)際的運(yùn)用，矩形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的

性質(zhì)，作出輔助線，熟練掌握勾股定理，是解題的關(guān)鍵.

三、解答題（共0分）

17.（2019?浙江?校考一模）如圖，^ABC中，①AB=AC,②NBAD=NCAD,③BD=CD,④AD_L

BC.請(qǐng)你選擇其中的兩個(gè)作為條件，另兩個(gè)作為結(jié)論，證明等腰三角形的“三線合一小性質(zhì)定理.

【答案】見(jiàn)解析.

【分析】以AABC中，①AB=AC,②/BAD=NCAD做為條件，可求出③BD=CD,④AD_LBC做為結(jié)論，從

而證明了三線合一.

【詳解】已知：①AB=AC,②NBAD=NCAD.

求證：③BD=CD,④AD_LBC.

證明：在4ABD與4ACD中，

（AB=AC

VZBAD=ZCAD

（AD=AD

.,.△ABD^AACD(SAS).

，BD=CD,AD1BC.

【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，關(guān)鍵是求出全等，三線合一

的結(jié)論可證.

18.（2020?浙江嘉興?統(tǒng)考二模）如圖，點(diǎn)C,E,F,B在同一直線上，點(diǎn)4。在8C異側(cè)，AB//CD,AE

=DF,ZA^ZD.

（1）求證：BE=CF.

（2）若4B=CF,ZB=40°,求的度數(shù).

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）70。

【分析】（1）由平行線的性質(zhì)得出NB=NC,結(jié)合已知條件，依據(jù)力ZS即可證明AABE三△OCF；

（2）由（1）得：4C=NB=40。，△ABE三△DCF,由全等三角形的性質(zhì)得出力B=CD,證出CD=CP,由等

腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)果.

【詳解】（1）證明：

：.ZB=ZC,

:在△48E和AOCF中，

Z.A=乙D

Z.B=乙C

VAE=DF

???△ABEgADCF(44S),

:?BE=CF；

(2)解：由(1)得：ZC=Z5=40°,AABE之/\DCF,

：.AB=CD,

又?：AB=CF,

:?CD=CF,

:.ND=4CFD==(180°-40°)=70。.

2

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的等邊對(duì)等角的性質(zhì)以及三角

形內(nèi)角和定理；利用全等的性質(zhì)求證線段相等是一種常見(jiàn)思路，利用三角形內(nèi)角和求角度也是常見(jiàn)思路,

關(guān)鍵是將已知條件轉(zhuǎn)化到目標(biāo)三角形中.

19.（2022?浙江麗水?一模）如圖，在5x5的正方形網(wǎng)格中，線段4B的端點(diǎn)落在格點(diǎn)上，請(qǐng)按要求作圖

（所作圖形頂點(diǎn)為格點(diǎn)，每小題作出一個(gè)即可）.

圖1：以AB為腰的等腰三角形圖2：以48為邊的平行四邊形圖3：以為對(duì)角線的平行四邊形

【答案】見(jiàn)解析

【分析】根據(jù)等腰三角形和平行四邊形的判定結(jié)合網(wǎng)格特點(diǎn)作圖即可.

【詳解】解：如圖1,AABC是以4B為腰的等腰三角形；如圖2,四邊形488是以48為邊的平行四邊

形；如圖3,四邊形4C8O是以4B為對(duì)角線的平行四邊形.

【點(diǎn)睛】本題考查了作等腰三角形，作平行四邊形，熟練掌握網(wǎng)格特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

20.（2022?浙江杭州?統(tǒng)考一模）在①4D=4E,②NB4E=NC4。這兩個(gè)條件中選擇其中一個(gè)，補(bǔ)充在下

面的問(wèn)題中，請(qǐng)完成問(wèn)題的解答.

問(wèn)題：如圖，△ABC中，點(diǎn)。，E在邊8c上（不與點(diǎn)3,C重合）連結(jié)月。，AE.若,

求證：BD=CE.

【答案】①或②

【分析】選擇條件①，可得到乙4CE=41ED,根據(jù)等角的補(bǔ)角相等可推出乙4DB=41EC,再利用力8=

AC得到4B=乙C,則可根據(jù)“Z4sM可判斷△ABDSAACE,從而得到BZ）=CE；

選擇條件②，可得至lj48Ao=4C71E,利用48=AC得至1此8=NC,貝丁可根據(jù)7ST可判斷△4BD三4

ACE,從而得到BD=CE.

【詳解】證明：選擇條件①的證明為：

"：AD=AE,

Z.ADE=Z-AED,

：.2LADB=Z.AEC,

又TAB=4C,

:,乙B=zC?

在△ABD和△ACE中，

乙B=CC

Z.ADB=Z.AECt

,AB=AC

LABD三(A4S),

：.BD=CE；

選擇條件②的證明為：

■:乙BAE=4CAD,

"BAD=Z.CAE,

又???/8=4C,

:?乙B=乙C,

在△4BD和△4CE中，

48=Z.C

AB=AC,

Z-BAD=Z-CAE

AABD三CASA)

：.BD=CE.

故答案為：①或②

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角

相等的重要工具.在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件.本題也考查了等腰三角形的性質(zhì)、

等角的補(bǔ)角相等的知識(shí).

21.(2022?浙江杭州?統(tǒng)考二模)如圖1所示的晾衣架，支架的基本圖形是菱形.如圖2,晾衣架伸縮時(shí)，

點(diǎn)E在射線OP上滑動(dòng)，菱形的形狀也隨之發(fā)生變化.已知每個(gè)菱形的邊長(zhǎng)均等于20cm,且DF=FE=

AN=20cm.

⑴求證：相鄰兩根晾衣架之間的水平距離(4B、BC)相等;

(2)當(dāng)晾衣架沿著DC方向平移時(shí)，4CFG的度數(shù)逐漸減小.若4CFG從120。逐漸減小到60。時(shí)，求點(diǎn)E在射線

OP上移動(dòng)的距離.

【答案】(1)見(jiàn)解析

(2)(2073-20)cm

【分析】(1)如圖所示，連接4C,NH,只需要證明四邊形是平行四邊形，得到.4B=NH,

同理可證四邊形8C77N是平行四邊形，得至UBC=NH,即可證明結(jié)論；

(2)分別求出當(dāng)NCFG=120。時(shí)，當(dāng)NCFG=60。時(shí)的長(zhǎng)，即可得到答案.

(1)解：如圖所示，連接/C,NH,?.?四邊形8MW7是菱形，二ANII8H,又；AN=BH,：.四邊形ANHB

是平行四邊形，：.AB=NH,同理可證四邊形BC7W是平行四邊形，:.BC=NH,：.AB=BC；

(2)解：如圖1所示，當(dāng)/CFG=120。時(shí)，過(guò)點(diǎn)尸作尸t于。，AZ￡>FE=120°,,:DF=EF,:.DE=

圖1

2QE,NEFQ=60°,：.QE=EF-sin^EFQ=10V3cm；：.DE=20V3cm；

如圖2所示，當(dāng)NC尸G=60。時(shí)，同理可求得OE=20cm,.?.點(diǎn)E在射線0P上移動(dòng)的距離為

（20V3-20）cm.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)與判定，解宜角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，正

確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

22.（2020?浙江?模擬預(yù)測(cè)）如圖1,△4BC和△COE均為等腰三角形，AC=BC,CD=CE,AC>CD,

AACB=Z.DCE=a,且點(diǎn)N、D、E在同一直線上，連結(jié)BE

cC

巾;CN

ABAB

圖1圖2圖3

⑴求證：AD=BE.

（2）如圖2,若a=90。，CM_L4E于M.若CM=7,BE=IC1,試求4B的長(zhǎng).

（3）如圖3,若a=120。，。用149于聞，BNA.AE于N,EN=a,CM=b,直接寫(xiě)出力E的值（用a,b的代

數(shù)式表示）.

【答案】（1）見(jiàn)解析

（2）AB=26

（3ME=2a+2例

【分析】（1）根據(jù)"SAS"證明AACD三ABCE,即可得出AD=BE；

（2）設(shè)4E交BC于點(diǎn)”，由全等三角形的性質(zhì)得出NC4C=“BE,AD=BE=10,證出乙4E8=

乙4cH=90。，ACDE是等腰直角三角形，得出CM=DM=04E=7,得出DE=2CM=14,求出AE=

24,由勾股定理即可得出答案；

（3）由等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理得出“DM="EM=30。，4cMz）=90。，DM=EM.由

全等三角形的性質(zhì)得/BEC=4ADC=150。，AD=BE,然后由30。角的性質(zhì)和勾股定理求出DE和BE,即

可得出答案.

【詳解】（1）證明：??,乙4c8=4DCE,

"AC