專題51 三角形面積有關(guān)的最值問題（解析版）-2021年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)經(jīng)典問題專題訓(xùn)練

專題51三角形面積有關(guān)的最值問題

【規(guī)律總結(jié)】

關(guān)鍵是確定動點到定直線的最小距離，有函數(shù)法、也有幾何法；

【典例分析】

例1.（2020?湖北武漢市?九年級月考）如圖，4C為邊長為2G的菱形ABCO的對角線，

NABC=60。，點M,N分別從點8,C同時出發(fā)，以相同的速度沿向終點c和A

運動，連接AM和BN,求△板面積的最大值是（）

A.B,4+2有C.1+73D.73

【答案】D

【分析】

由題意易得BM=CN,易證0ABM03BCN,則有NNBC=ZBAM,進而可得ZAPB=120°.

然后可知點P的運動軌跡是?個圓弧，則當△回為等腰三角形時，AA8P的面積最大，

進而問題可求解.

【詳解】

解：由M,N點的速度相同可知B2W=CN,

回四邊形ABC。是菱形，13ABe=60。，

回AB=BC,團ABC二團ACB=60°,

(SAS),

^\ZNBC=ZBAM,

又回ZNBC+ZABN=60°，

回ZB4M+NA5N=Z4PN=60。，

0ZAPS=120°.

又團A3為定長，ZAPS=120°.

13點P的運動軌跡為一個圓弧，在APB上運動，圓心Q的位置為AB、BP的垂宜平分線的交

點，點P在以Q為圓心QB為半徑的圓上，由優(yōu)弧AB的圓周角為120?？傻昧踊B所對的

圓心角度數(shù)為120。，過點Q作QHI3AB.交AB于點E,A8于點H,連接BQ,如圖所示：

回當點P與點H重合時，此時團ABP的面積為最大,

又回AB=2jL0APB=12O°,

0BE=5團BQE=60°,

BEBE

回BQ=--------=2,QE=---------=1,

sin60°tan60°

0EH=1,

團A3邊上的高為1，

回△A8P的面積最大值為6；

故選D.

【點睛】

本題主要考查圓的基本性質(zhì)及三角函數(shù)，熟練掌握圓的基本性質(zhì)及三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵.

例2.（2020?四川綿陽市?東辰國際學(xué)校九年級期末）如圖，在矩形4BCD中，AB=3,BC=4,

。為矩形ABCD的中心，以D為圓心，1為半徑作團D,P為國D上的一個動點，連接AP,OP,

AO,則MOP面積的最大值為.

17

【答案】7-

【分析】

當P點移動到過點P的直線平行于OA且與回D相切時，國AOP面積的最大，由于P為切點,

得出MP垂直于切線，進而得出PM0AC,根據(jù)勾股定理先求得AC的長，進而求得OA的長，

根據(jù)回ADM03ACD,求得DM的長，從而求得PM的長，最后根據(jù)三角形的面積公式即可求

得.

【詳解】

解：當P點移動到過點P的直線平行于OA且與?D相切時，團AOP面積的最大，如圖,

回過P的直線是EID的切線,

0DP垂直于切線，

延長PD交AC于M,則DM0AC,

回在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,

0AC=7AB2+BC2=5

5

0OA=-,

2

0(2AMD=I3ADC=9OO,團DAM=I3CAD,

EEADMEEACD,

DMAD

0-------=-------

CDAC

即也」

35

E1DM=—

5

1217

0PM=PD+DM=1+—=—

55

g口—1I51717

EBAOP的最大面枳=-OA?PM=-x—x—=一

22254

17

故答案為：—

4

【點睛】

本題考查了圓的切線的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用以及三角形相似

的判定和性質(zhì)，本題的關(guān)鍵是判斷出P處于什么位置時面積最大.

例3.(2019?山西九年級期末)如圖，拋物線y=/+反一c與x軸交于4—2,0),5(6,0)

兩點，直線/與拋物線交于A,C兩點，其中點C的橫坐標為4.

⑴求拋物線及直線AC的函數(shù)表達式.

(2)點M是線段AC上的點(不與A,C重合),過點M作軸交拋物線于點F,若點M

的橫坐標為m,請用含m的代數(shù)式表示MF的長.

⑶在(2)的條件下，連接用，F(xiàn)C,是否存在加，使△AFC的面積最大.若存在，直接寫

出加的值.若不存在，請說明理由.

【答案】(1)y=x2-4x-\2,y=—2x—4；(2)MF=—m2+2m+8：(3)存在，m=1

【分析】

(1)直接運用待定系數(shù)法求解出拋物線的解析式，然后求出C的坐標，再運用待定系數(shù)法

求解直線的解析式即可；

(2)結(jié)合(1)中求解出的解析式，分別表示出M,F的縱坐標，從而用M的縱坐標值減

去F的縱坐標值即可；

(3)延續(xù)(2)的結(jié)論，可得到關(guān)于△AFC面積的二次函數(shù)表達式，從而運用函數(shù)的性質(zhì)

求解出面積最大時m的值即可.

【詳解】

(1)把A(-2,0),B(6,0)代入y=+bx-c,

4—28—c=0

得

36+6Z?—c=0

b=-4

解得

c=12

回拋物線的表達式為y=/一4x-12.

把尤=4代入y=Y-4%一12得y=-12,

0C(4,-12).

設(shè)直線AC的表達式為y=kx+n,

-2k+〃=0

把4(-2,0),。(4,—12)代入得：，

4Z+〃=-12

心=—2

解得〃7

團直線AC的表達式為y=-2x-4.

(2)團點M在線段4C上，

團點M的坐標為(m,-2m-4).

團點尸在拋物線y=V-4x-12上，

回點F的坐標為找2-4加一12).

^MF=(―2m—4)—(7H2—4m—12)=—m2+2m+8.

(3)存在，機=1,理由如下:

團S.AFC=SAMF+SCMF=~MF,

其中加/=一加2+2徵+8，xc-xA=4一（一2）=6,

x2

0SAFC=-6（-m+2m+8）=—3（加一+27,

0-3<0,

0SAAFC在加=1時取得最大值，

團存在"？，使△AFC的面積最大，此時機=1.

【點睛】

本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、二次函數(shù)的性質(zhì)、三角形的面積等知識，在

⑴中注意待定系數(shù)法的應(yīng)用步驟，在⑵中首先求得C點坐標是解題的關(guān)鍵，在⑶中用m表

示出團ACF的面積是解題的關(guān)鍵.

【好題演練】

一、單選題

1.（2020?臺州市雙語學(xué)校九年級月考）如圖，已知直線y=與x軸、y軸分別交于B、

C兩點，點A是以D(0,2)為圓心，2為半徑的回D上的一個動點，連接AC、AB,則13ABe

面積的最小值是()

A.30B.29C.28D.27

【答案】B

【分析】

過D作DMI3BC于M,連接BD,則由三角形面積公式得，-BCxDM=-OBxCD,可得DM,

22

可知圓D上點到直線y=《x-5的最小距離，由此即可解決問題.

【詳解】

過D作DMI3BC于M,連接BD,如圖，

令y=0,則x=12,令元=0,則丁=一5,

0B(12,0),C(0,-5),

0OB=12,0c=5,BC=^OBr+OC-=V122+52=13,

則由三角形面積公式得，-BCxDM=-OBxCD,

22

0DM=-i

13

團圓D上點到直線y=—x-5的最小距離是空-2=—,

121313

回回ABC面積的最小值是，xl3x@=29.

213

故選：B.

【點睛】

本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用、勾股定理的應(yīng)用、圓的有關(guān)性質(zhì)，解此題的關(guān)鍵是求出圓上的

點到直線BC的最大距離以及最小距離.

2.（2020?烏蘭浩特市衛(wèi)東中學(xué)九年級二模）如圖，直線y=-1x+3與X軸、丁軸分別交于

A、B兩點,點/＞是以。（一1,0）為圓心，1為半徑的圓上一點，連接PA,PB,則面

積的最小值是（）

A.5B.10C.15D.20

【答案】A

【分析】

作CHEIAB于H交回。于E、F.當點P與E重合時，I3PAB的面積最小，求出EH、AB的長即

可解決問題

【詳解】

解：作CHE1AB于H交回0于E、F.

回直線AB的解析式為>=-九+3

4

4

團設(shè)直線CH的解析式為y=§x+〃

444

將C(-l,0)代入y=—x+Z?中得：--+8=0,解得：b=—,

333

44

13直線CH的解析式為y=+§,

f3。f4

y=——x+3x=—

由〈■,4,，解得〈二5,

4412

y=—xH—y=—

I33r5

412

SH(-,y),

回CH=jg+l)2+(?)2=3,

[3EH=3-1=2,

3

團對于y=—x+3,令x=0,得y=3,令y=0,得x=4,

4

A(4,0),B(0,3),

0OA=4,OB=3,AB=“2+32=5,

當點P與E重合時，0PAB的面積最小，最小值=工倉必5=5,

2

故答案為：A

【點睛】

本題考查一次函數(shù)圖象上的點的坐標特征、一次函數(shù)的性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系等知識,

解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，利用直線與圓的位置關(guān)系解決問題，屬于中考填空題中

的壓軸題.

二、填空題

3.(2020?福州立志中學(xué)九年級月考)如圖，已知直線y=gx—3與x軸、軸分別交于

兩點，點P是以。(0,2)為圓心，2為半徑的圓上一動點，連接24,PB,則ARAB的面

積最大值是.

【答案】15

【分析】

求出A、B的坐標，根據(jù)勾股定理求出AB,求出點C到AB的距離，即可求出圓C上點到AB

的最大距離，根據(jù)面積公式求出即可.

【詳解】

解：田直線y=』x-3與x軸、y軸分別交于A、B兩點，

4

回A點的坐標為(4,0),B點的坐標為(0,-3),3x-4y-12=0,

即OA=4,OB=3,由勾股定理得：AB=5

過C作CM?AB于M,連接AC,

則由三角形面積公式得：-ABVCM=-OATOC+-OA[VB

222

團5cM=4x2+3x4

ElCM=4

3

團圓C上點到直線y=—九-3的最大距離是：2+4=6

4

EIDPAB面積的最大值是;*5x6=15

故答案為：15.

【點睛】

本題考查了三角形的面積，點到直線的距離公式的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求出圓上的點到直

線AB的最大距離.

4.(2020?樂清市知臨寄宿學(xué)校九年級期中)如圖，在平面直角坐標系中，點A,8是一次

函數(shù)丁=》圖像上兩點，它們的橫坐標分別為1,4,點E是拋物線y=x2—4x+8圖像上

的一點，則ZXABE的面積最小值是.

21

【答案】y

【分析】

設(shè)點E(m,m2-4m+8),過E作EM垂直于x軸交A8于點M,作8甩EM,AG^EM,垂足

分別為F,G,由題意可得M(m,m),從而可用含m的式子表示出EM的長，根據(jù)二次函

數(shù)的性質(zhì)及三角形的面積公式可得答案.

【詳解】

解：設(shè)點E(m,m2-4m+8),過E作EM垂直于x軸交A8于點M,作B甩EM,AG&EM,

垂足分別為F,G,

由題意得：M(m,m),

0EM=m2-4m+8-m

=m2-5m+8

0SpiAS￡=S^}AEM^S?￡MB

=-EMAG+-EMBF

22

=^EM(AG+BF)

=~(m2~5m+8)x(4-1)

3

=—(m2-5m+8)

3

由大＞0，得S]MBE有最小值.

2

521

團當07=一時，SM8￡的最小值為二

28

故答案為：—.

O

【點睛】

本題考查了二次函數(shù)的最值、一次函數(shù)與二次函數(shù)圖象上的點與坐標的關(guān)系及三角形的面積

計算等知識點，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及定理并數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.

三、解答題

5.（2020?廣州白云廣雅實驗學(xué)校九年級月考）拋物線丁=以2+5。工+2（。。0）交x軸與點

A和點B（-4,0）,交y軸于點C,點P為拋物線上一動點（P與B、C不重合）

（1）求拋物線的解析式.

（2）連結(jié)CB,若點P在直線BC下方時，求「BCP的面積的最大值.

（3）若點M為直線BC上一點，是否存在點M,使以點P、C、A、M為頂點的四邊形為平

行四邊形？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由.

【答案】（1）y=gf+|x+2；（2）4；⑶存在，（2,3）,M2（-2,l）,

吁3+"?）,吁3一

【分析】

（1）直接將B（-4,0）代入解析式，通過待定系數(shù)法求解即可；

（2）先運用待定系數(shù)法求解出BC的解析式，再作PQ鴕軸，交BC于Q點，從而可根據(jù)拋

物線和直線的解析式設(shè)出P,Q的坐標，并表示出PQ,最后根據(jù)PQ建立出關(guān)于S.BCP的二

次函數(shù)表達式，從而運用函數(shù)的性質(zhì)求解即可；

（3）分別考慮AC,AM,AP為對角線，結(jié)合平行四邊形的對角線互相平分的性質(zhì)分類求解

即可.

【詳解】

（1）將B（-4,0）代入解析式得：16a—20“+2=0，

解得：a=-,

2

回拋物線的解析式為：y=-x2+-x+2；

22

（2）如圖所示，由拋物線解析式可得：A（-l,0）,C（0,2）,

設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+b,

k=L

—4女+人=0

將B,C坐標分別代入得：〈，解得：2,

b=2

b=2

回直線BC的解析式為：y=gx+2,

回點P在直線BC下方，旦在拋物線上，

回設(shè)P的坐標為(加,gm?m+2),其中-4(機＜0,

此時，作PQ0y軸，交BCTQ點，則Q的坐標為(加,；〃2+2),

0PQ=—7n4-2-j—m2+—m+2j=--zw2-2m,

2122)2

回當機=一2時，「BCP的面積取得最大值，最大值為4；

(3)存在這樣的M點，理由如下：

①如圖所示，若以AC為對角線，可得。

此時，直線AP團BC,且過點A,

則可設(shè)直線AP的解析式為：y=gx+b,

將A點代入可得：8=1,

2

團直線AP的解析式為：y^-x+~,

22

令一XH——X"4—X+2,解得x=—1,X——3>

2222

那點的橫坐標為-3,則代入AP的解析式得縱坐標為-1,

團尸

設(shè)M的坐標為

—3+ci=-1+0a=2

此時根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得:,解得:

[-1+〃=0+2工=3

回陷(2,3)；

②如圖所示，若以AM為對角線，可得。AqM?。，

由①可知P(-

設(shè)M的坐標為(。力)，

口+a=—3+0a=-2

此時根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得:解得:

b+Q=-l+2b=\

EM2(-2,1)；

③如圖所示，若以AP為對角線,可得。AM36c和。AM46C，

此時可設(shè)M[a,go+2),pfm,L+2〃,+2,

22J

a=m-\

則根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得：《

-a+2+2=-m2+-m+2'

1222

。=一3+"a=-3-"

解得：\或

加=-2+"m=一2-幣、

1+5/7

即3-3+>/7,

當。=—3+"時，代入直線BC可得:y=-------fM

.2

當。=一3-近時，代入直線BC可得：y=E也，即例4-3-幣,

2\

綜上所述，存在M使得以點P、C、A、M為頂點的四邊形為平行四邊形,M的坐標為：M｝（2,3）,

【點睛】

本題考查待定系數(shù)法求解函數(shù)的解析式，運用函數(shù)的思想求解三角形面積最大值以及平行四

邊形的判定與性質(zhì)，前兩個問題較為基礎(chǔ)，熟練掌握常規(guī)方法求解是關(guān)鍵，最后一問中結(jié)合

平行四邊形對角線的性質(zhì)分類討論是關(guān)鍵.

6.（2020?渝中區(qū)?重慶巴蜀中學(xué)九年級期中）如圖，點A在拋物線y=-x?+6x上，且橫坐標

為1,點B與點A關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，直線AB與y軸交于點C,點。為拋物線的頂

點，點E的坐標為（2,2）.

(1)求線段AB的長;

(2)點P為線段AB上方拋物線上的任一點，過P作AB的垂線交AB于點H,點F為y軸

上一點，當回PBE的面積最大時，求PH+HF+Y1F。的最小值;

2

(3)在(2)中，當PH+HF+工-。取得最小值時，將團CFH繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60。后得到

2

□CFH,過點廣作CE'的垂線與直線AB交于點Q,點R為y軸上一動點，M為平面直

角坐標系中的一動點，是否存在使以點D,Q,R,M為頂點的四邊形為矩形？若存在請直

接寫出點R的坐標，若不存在，請說明理由.

圖1

c/T

【答案】(1)AB=4,(2)-^-+5(3)存在，Ri(0,15),R2(0,-5),R3(0,7+719)

2

或R4(0,7-719)

【分析】

(1)求出A和B兩點坐標，即可求出AB長;

(2)設(shè)P點橫坐標為m,把E1PBE的面積的解析式用含m的式子表示出來，化成頂點式，

頂點橫坐標即為面積最大時點P的橫坐標，代入拋物線中求出P點的縱坐標，此時PH為定

長，過。點作過二、四象限且與y軸夾角為60。的直線ON,過H作HGIEON,求出HG長，

加上PH即為PH+HF+y—FO的最小值；

2

(3)先求出Q點和D點坐標，再分情況討論：當QD為邊時，當QD為對角線時，分別求

出點R的坐標即可.

【詳解】

解：(1)當x=l時,y=-x?+6x得y=5,則A(1,5),

回點B與點A關(guān)于拋物線的對稱軸對稱

當y=5時，代入y=-x2+6x中，得5=-/+6x,則Xi=5,Xz=l,

則B(5,5)

0AB=5-1=4,

(2)如圖，過P作PF〃y軸，交EB于點F,

回點E的(2,2)(5,5)

團則直線EB的解析式為y=x,

設(shè)點P的坐標(m,-m2+6m)則點F(m,m)

貝ijPF=-m2+6m-m=-m2+5m>

S-J-N—%+”…那吁牙+二

22222L2；8

則P點橫坐標m=-3時,35535

代入拋物線解析式得到丫=一，則P(一一，一)時，面積回PBE

2424

則PH="，PH為定長，HF+也F0最小時，PH+HF+^FO就最

最大，此時H(---,5),

2422

小,

過。與y軸夾角60。的直線ON,過H作HG垂直O(jiān)N交y軸于點F,此時GF=^OF,HF+正