廣東省深圳實驗學(xué)校高中部2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期10月份第二次培優(yōu)數(shù)學(xué)試卷

廣東省深圳實驗學(xué)校高中部2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期10月份第二次培優(yōu)數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.2.已知直線與垂直，則實數(shù)的值是（）A.0或3 B.3 C.0或-3 D.-33.已知，則以AB為直徑的圓的一般方程為（）A. B.C. D.4.如圖所示，直線與的圖象可能是（）A. B. C. D.5.直線分別與軸，軸交于A，B兩點，點在圓上，則面積的取值范圍是（）A.[2，6] B.[4，8] C. D.6.M，N分別為直線與上任意一點，則|MN|最小值為（）A. B. C. D.7.直線與直線相交于點，對任意實數(shù)，直線分別恒過定點A，B，則的最大值為（）A.4 B.8 C. D.8.在長方體中，是AC的中點，點在線段上，若直線OP與平面所成的角為，則的取值范圍是（）A. B. C. D.二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下面四個結(jié)論正確的是（）A.已知向量，若，則為鈍角B.已知，則向量在向量上的投影向量是C.若直線經(jīng)過第三象限，則D.已知A，B，C三點不共線，對于空間任意一點，若，則P，A，B，C四點共面10.下述四個結(jié)論，正確的是（）A.過點在軸，軸上截距都相等的直線方程為B.直線與圓相交的充分不必要條件是C.直線表示過點的所有直線D.過點與圓相切的直線方程為11.已知點和是直線上的動點，則（）A.存在，使最小 B.存在，使最小C.存在，使最大 D.存在，使最小三、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知x、y滿足，則的最大值為_____________.13.已知從點發(fā)出的光線，經(jīng)軸反射后，反射光線恰好平分圓:的圓周，則反射光線所在的直線方程為____________.14.閱讀下面材料:在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，過點且一個法向量為的平面的方程為，過點且方向向量為的直線的方程為.根據(jù)上述材料，解決下面問題：已知平面的方程為，直線是兩個平面與的交線，則直線與平面所成角的余弦值為____________.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.（本小題13分）已知圓的圓心在軸上，并且過原點和.（1）求圓的方程;（2）若線段AB的端點，端點在圓上運動，求線段AB的中點的軌跡方程.16.（本小題15分）已知直線過定點（1）若到直線的距離為3，求直線的方程;（2）若直線分別與軸，軸的負(fù)半軸交于A，B兩點，求（為坐標(biāo)原點）面積的最小值及此時直線的方程.17.（本小題15分）已知的頂點，邊AC上的高BH所在直線的方程為，邊AB上的中線CM所在直線的方程為.（1）求直線AC的方程;（2）求的面積.18.（本小題17分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱底面是PC的中點，作交PB于點.（1）求證:平面EDB;（2）求證:平面EFD;（3）求平面CPB與平面PBD的夾角的大小.19.（本小題17分）已知點P（1，3），圓.直線與圓相交于A、B兩點，.（1）若直線過點，求直線的方程;（2）①若線段AB的中點為，求點的軌跡方程;②過點作直線與曲線交于兩點M、N，設(shè)的斜率分別為，求證:為定值.

答案和解析1.【答案】【解析】解：因為該直線的斜率為，所以它的傾斜角為.故選:.根據(jù)直線傾斜角與斜率之間的關(guān)系即可得傾斜角.本題主要考查直線傾斜角的求解，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.2.【答案】D【解析】解:直線與直線互相垂直，所以，即，解得或（不滿足直線，舍去）.故選:.利用兩條直線垂直的性質(zhì)，即可求出的值.本題考查兩條直線垂直的充要條件的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.3.【答案】B【解析】解：已知，則AB中點坐標(biāo)為，即.則以AB為直徑的圓的圓心為，又，則以AB為直徑的圓的半徑為.所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，化為一般方程為.故選:.求出AB的中點和|AB|可得以AB為直徑的圓的圓心坐標(biāo)和半徑，進而得所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再將其轉(zhuǎn)化為一般方程即可得解.本題考查圓的方程，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.4.【答案】C【解析】解：直線方程可化為，斜率為，在軸上的截距為，直線方程可化為，斜率為，在軸上的截距為，對于選項，由直線的圖象可得，即，由直線的圖象可得不滿足條件;對于選項，由直線的圖象可得，由直線的圖象可得，即，B不滿足條件；對于選項，由直線的圖象可得，即，由直線的圖象可得滿足條件;對于選項，由直線的圖象可得，由直線的圖象可得，即，不滿足條件.故選:.分析兩直線的斜率以及在軸上的截距，可得出a，b的符號，即可得出合適的選項.本題主要考查直線方程的應(yīng)用，考查直線的圖象特征，屬于基礎(chǔ)題.5.【答案】A【解析】【分析】本題考查與圓有關(guān)的最值問題，考查直線與圓的位置關(guān)系及點到直線距離公式，屬于中檔題.由題意，|AB|為的底邊長，點到直線的距離為的高，利用圓上點到直線距離的最大值與最小值即可求出.【解答】解:直線分別與軸，軸交于A，B兩點，令，得，令，得，，點到直線的距離為的高，圓的圓心為，半徑為，圓心到直線的距離為:，所以點到直線的距離的最大值為，最小值為，則面積為，最大值為，最小值為，所以面積的取值范圍為[2，6].故選.6.【答案】A【解析】解：直線與，滿足，可得兩條直線相互平行，所以|MN|最小值為平行線之間的距離，可化為，所以，.故選:.利用兩平行線間的距離公式可求出|MN|的最小值.本題考查平行線之間距離的求法，是基礎(chǔ)題.7.【答案】【解析】解:直線，當(dāng)，得，即點，直線，當(dāng)，得，即點，且兩條直線滿足，所以，即，，，當(dāng)時，等號成立，所以的最大值為4.故選:.首先求點A，B的坐標(biāo)，并判斷兩條直線的位置關(guān)系，結(jié)合基本不等式，即可求解.本題考查了直線過定點問題，涉及到基本不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.8.【答案】B【解析】解：以點為坐標(biāo)原點，以所在直線分別為x、y、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因為是AC的中點，則，因為點在線段上，則設(shè)，設(shè)點，則，則，所以，則，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以，所以，，因為，則，則，則，所以，則.故選:.建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點，其中，利用空間向量法求出的取值范圍.本題考查了利用空間向量求解直線與平面所成角，考查了數(shù)形結(jié)合思想及轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.9.【答案】BD【解析】解：對于，當(dāng)時，，此時為，故錯誤；對于，向量在向量上的投影向量為，故B正確；對于，令，則直線為，且經(jīng)過第三象限，但此時，故錯誤;對于，因為，所以由向量共面定理的推論可得P，A，B，C四點共面，故正確.故選:BD.取可得，進而得到錯誤；由投影向量的計算可得正確；令可得錯誤；由空間向量共面定理可得正確.本題主要考查了空間向量的坐標(biāo)運算，考查了投影向量的定義，屬于中檔題.10.【答案】BD【解析】解：對于，沒有考慮截距均為0的情況，排除;對于，若直線與圓相交，則，解得是直線與圓相交的充分不必要條件，故B正確；對于，點在軸上，但無論取何值，不能表示軸，故不正確;對于，設(shè)過的直線方程為，即，，即，解得，過的直線方程為，故正確.故選:BD.對于，沒有考慮截距均為0的情況，排除；對于，根據(jù)圓心到直線的距離與半徑的大小比較進行求解即可;對于，利用反例即可排除;對于，設(shè)出過直線方程，再根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑即可求出結(jié)果.本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，直線的截距式方程，充分必要條件的判斷，圓的切線方程，考查運算求解能力與邏輯推理能力，屬于中檔題.11.【答案】ACD【解析】解：對于，在平面直角坐標(biāo)系中作出點A、B和直線:，如圖所示:由圖知，點和在直線同側(cè)，設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，則，解得，所以，因為，當(dāng)且僅當(dāng)為直線與直線的交點時，有最小值，直線的斜率為，方程為，即，由，解得，所以存在，使最小，選項正確;對于的最小值為0，當(dāng)且僅當(dāng)，即為線段AB的垂直平分線與直線的交點，AB的中點坐標(biāo)為，直線AB的斜率為，則線段AB的垂直平分線方程為，化為一般式方程，由，解得，存在，使最小，選項錯誤;對于，當(dāng)且僅當(dāng)為直線AB與直線的交點時，有最大值|AB|，直線AB的方程為，即，由，解得，存在，使最大，選項正確;對于，設(shè)，，當(dāng)時取得最小值，此時，所以存在，使得最小，選項正確.故選：ACD.選項，先求點關(guān)于直線的對稱點為，根據(jù)直線與直線的交點坐標(biāo)即可判斷；選項B，P為線段AB的垂直平分線與直線的交點;選項，根據(jù)絕對值的特點得出為直線AB與直線的交點；選項，設(shè)出點的坐標(biāo)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出取最小值時點的坐標(biāo).本題考查了點與直線的位置關(guān)系應(yīng)用問題，也考查了數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題.12.【答案】【解析】解:，即，表示以為圓心、半徑等于1的圓.而表示圓上的點到原點的距離的平方，由于，故的最大值是.故答案為:.方程表示以為圓心、半徑等于1的圓，表示圓上的點到原點的距離平方，求出CO的值，進而求解結(jié)論.本題主要考查圓的一般方程，兩點間的距離公式，屬于基礎(chǔ)題.13.【答案】【解析】解：由圓的方程得：圓心為，反射光線恰好平分圓的圓周，反射光線經(jīng)過點，關(guān)于軸對稱的點為反射光線所在直線經(jīng)過點，反射光線所在直線方程為，即.故答案為:.由圓的方程可得圓心坐標(biāo)，根據(jù)反射光線經(jīng)過圓心和關(guān)于軸對稱的點，可利用兩點式整理得到所求直線方程.本題主要考查了直線的一般方程的求法，直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.14.【答案】【解析】解：因為平面的方程為，所以平面的法向量為，同理可得，平面的法向量為，平面的法向量為，設(shè)直線的方向向量為，則，取，則，所以，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以，即直線與平面所成角的余弦值為.故答案為:.先根據(jù)題意寫出三個平面的法向量，再求得直線的方向向量，然后利用向量法求線面角即可.本題考查空間中線面角的求法，理解新定義，熟練掌握利用向量法求線面角是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題.15.【答案】解:（1）先設(shè)圓方程:，根據(jù)題干已知，解得，所以圓方程為.（2）設(shè)點，因為，所以.解得，又因為點在圓上，因此，所以點M的軌跡方程為.【解析】（1）利用待定系數(shù)法計算即可求解;（2）設(shè)，，由中點坐標(biāo)公式可得，代入圓C方程，整理即可求解.本題考查圓的軌跡方程問題，屬于中檔題.16.【答案】解:（1）當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線方程為即，點到直線的距離為，解得.此時直線的方程為即.當(dāng)直線斜率不存在時，由過得:，滿足到的距離為3.綜上所述，所求的直線方程為或.（2）若直線分別與x軸，y軸的負(fù)半軸交于A，B兩點，則設(shè)直線為，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故面積的最小值為12，此時直線l的方程為.【解析】（1）就斜率是否存在分類討論后結(jié)合點到直線的距離公式可求直線方程;（2）設(shè)直線為，則可用斜率表示面積，結(jié)合基本不等式可求面積的最小值，從而可求直線方程.本題考查直線方程的應(yīng)用，點到直線的距離公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.17.【答案】解：（1）由題意可得，因為BH所在直線的方程為，設(shè)直線AC的方程為:，將點A（1，1）代入直線AC的方程:，可得，所以直線AC的方程為;（2）設(shè)，則AB的中點，聯(lián)立，解得，即，聯(lián)立，解得，即，所以，到直線AC的距離，所以.【解析】（1）由直線的垂直設(shè)直線AC的方程，將點A的坐標(biāo)代入，可得參數(shù)的值，即求出直線AC的方程;（2）設(shè)點B的坐標(biāo)，可得AB的中點M的坐標(biāo)，將點B，M分別代入直線BH，CM的方程，可得點B的坐標(biāo)，聯(lián)立CM，AC的方程，可得點的坐標(biāo)，求出|AC|及點到直線AC的距離的值，代入三角形的面積的大小.本題考查與已知直線垂直的直線的設(shè)法及兩條直線的交點坐標(biāo)的求法，點到直線的距離公式的應(yīng)用，三角形面積公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.18.【答案】解:（1）證明:如圖所示，連接AC，AC交BD于點，連接EO.底面ABCD是正方形，點是AC的中點.在中，EO是中位線，.而平面EDB且平面EDB，平面EDB;（2）證明：∵底面ABCD，且平面.是等腰直角三角形.又DE是斜邊PC的中線，.①由底面ABCD，得.底面ABCD是正方形，.又平面PDC.又平面.②由①和②推得平面PBC.而平面.又，且平面EFD;（3）由（2）知，，故是二面角的平面角.由（2）知，.設(shè)正方形ABCD的邊長為，則，在Rt中，.在R.中，.故平面CPB與平面PBD的夾角的大小為.【解析】（1）由題意連接AC，AC交BD于，連接EO，則EO是中位線，證出，由線面平行的判定定理知平面EDB;（2）由底面ABCD，得，由證出平面PDC，即得，再由ABCD是正方形證出平面PBC，則有，進一步得到平面EFD;（3）由條件，可知∠EFD是二面角的平面角，然后求二面角的大小，即可得到平面CPB與平面PBD的夾角的大小.本題考查直線與平面平行、直線與平面垂直的判定，考查空間角的求法，考查空間想象能力與考查運算求解能力，是中檔題.19.【答案】解:（1）圓的圓心為，半徑，則圓心到直線的距離，若直線的斜率不存在，即直線，滿足題意;若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，即，則圓心到直線的距離，解