人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊學(xué)案：7 3 2　第1課時　離散型隨機(jī)變量的方差

人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊PAGEPAGE17.3.2離散型隨機(jī)變量的方差第1課時離散型隨機(jī)變量的方差學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解離散型隨機(jī)變量的方差及標(biāo)準(zhǔn)差的概念.2.能計算簡單離散型隨機(jī)變量的方差，并能解決一些實際問題．導(dǎo)語均值是離散型隨機(jī)變量的一個特征數(shù)，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平，表示了隨機(jī)變量在隨機(jī)實驗中取值的平均值，在初中我們也對一組數(shù)據(jù)的波動情況作過研究，即研究過一組數(shù)據(jù)的方差．本節(jié)我們將對反映隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動、集中與離散的程度的數(shù)字特征——方差進(jìn)行研究．一、離散型隨機(jī)變量的方差問題要從甲、乙兩名同學(xué)中挑出一名代表班級參加射擊比賽．根據(jù)以往的成績記錄，應(yīng)派哪位同學(xué)參賽？甲同學(xué)擊中目標(biāo)靶的環(huán)數(shù)X1的分布列為X15678910P0.030.090.200.310.270.10乙同學(xué)擊中目標(biāo)靶的環(huán)數(shù)X2的分布列為X256789P0.010.050.200.410.33〖提示〗E(X1)＝8，E(X2)＝8，因為兩個均值相等，所以只根據(jù)均值無法判斷這兩名同學(xué)的射擊水平．可以利用樣本方差，它可以刻畫樣本數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性．知識梳理方差：設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為Xx1x2…xnPp1p2…pn考慮X所有可能取值xi與E(X)的偏差的平方(x1－E(X))2，(x2－E(X))2，…，(xn－E(X))2，因為X取每個值的概率不盡相同，所以我們用偏差平方關(guān)于取值概率的加權(quán)平均，來度量隨機(jī)變量X取值與其均值E(X)的偏離程度，我們稱D(X)＝(x1－E(X))2_p1_＋(x2－E(X))2_p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝eq\i\su(i＝1,n,)(xi－E(X))2pi為隨機(jī)變量X的方差，有時也記為Var(X)，并稱eq\r(DX)為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差，記為σ(X)．注意點：一般地，隨機(jī)變量的方差是非負(fù)常數(shù)．例1(多選)下列說法正確的是()A．離散型隨機(jī)變量的方差越大，隨機(jī)變量越穩(wěn)定B．若a是常數(shù)，則D(a)＝0C．離散型隨機(jī)變量的方差反映了隨機(jī)變量偏離于均值的平均程度D．隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值偏離均值的平均程度，方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則偏離變量的平均程度越小〖答案〗BCD〖解析〗隨機(jī)變量的方差越小，隨機(jī)變量越穩(wěn)定．所以A錯誤．反思感悟方差反應(yīng)了隨機(jī)變量取值的離散程度，方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，隨機(jī)變量的取值越集中；方差或標(biāo)準(zhǔn)差越大，隨機(jī)變量的取值越分散．跟蹤訓(xùn)練1(多選)下列說法中錯誤的是()A．離散型隨機(jī)變量X的均值E(X)反映了X取值的概率的平均值B．離散型隨機(jī)變量X的方差D(X)反映了X取值的平均水平C．離散型隨機(jī)變量X的均值E(X)反映了X取值的平均水平D．離散型隨機(jī)變量X的方差D(X)反映了X取值的概率的平均值〖答案〗ABD〖解析〗E(X)反映了X取值的平均水平，D(X)反映了X取值的離散程度．二、方差的計算例2有10張卡片，其中8張標(biāo)有數(shù)字2,2張標(biāo)有數(shù)字5，從中隨機(jī)地抽取3張卡片，設(shè)3張卡片數(shù)字之和為ξ，求E(ξ)和D(ξ)．解這3張卡片上的數(shù)字之和為ξ，ξ的可能取值為6,9,12.ξ＝6表示取出的3張卡片上均標(biāo)有2，則P(ξ＝6)＝eq\f(C\o\al(3,8),C\o\al(3,10))＝eq\f(7,15)；ξ＝9表示取出的3張卡片上兩張標(biāo)有2，一張標(biāo)有5，則P(ξ＝9)＝eq\f(C\o\al(2,8)C\o\al(1,2),C\o\al(3,10))＝eq\f(7,15)；ξ＝12表示取出的3張卡片上一張標(biāo)有2，兩張標(biāo)有5，則P(ξ＝12)＝eq\f(C\o\al(1,8)C\o\al(2,2),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,15).∴ξ的分布列為ξ6912Peq\f(7,15)eq\f(7,15)eq\f(1,15)∴E(ξ)＝6×eq\f(7,15)＋9×eq\f(7,15)＋12×eq\f(1,15)＝7.8，D(ξ)＝(6－7.8)2×eq\f(7,15)＋(9－7.8)2×eq\f(7,15)＋(12－7.8)2×eq\f(1,15)＝3.36.反思感悟求離散型隨機(jī)變量方差的步驟(1)理解隨機(jī)變量X的意義，寫出X的所有取值；(2)求出X取每個值的概率；(3)寫出X的分布列；(4)計算E(X)；(5)計算D(X)．跟蹤訓(xùn)練2(1)設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為X1234Peq\f(1,4)eq\f(1,3)eq\f(1,6)eq\f(1,4)則D(X)等于()A.eq\f(29,12)B.eq\f(121,144)Ceq\f(179,144)D.eq\f(17,12)〖答案〗C〖解析〗由題意知，E(X)＝1×eq\f(1,4)＋2×eq\f(1,3)＋3×eq\f(1,6)＋4×eq\f(1,4)＝eq\f(29,12)，故D(X)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(29,12)))2×eq\f(1,4)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(29,12)))2×eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(29,12)))2×eq\f(1,6)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(29,12)))2×eq\f(1,4)＝eq\f(179,144).(2)在一組樣本數(shù)據(jù)中，1,2,3,4出現(xiàn)的頻率分別為p1，p2，p3，p4，且eq\i\su(i＝1,4,p)i＝1，則下面四種情形中，對應(yīng)樣本的標(biāo)準(zhǔn)差最大的一組是()A．p1＝p4＝0.1，p2＝p3＝0.4B．p1＝p4＝0.4，p2＝p3＝0.1C．p1＝p4＝0.2，p2＝p3＝0.3D．p1＝p4＝0.3，p2＝p3＝0.2〖答案〗B〖解析〗X的可能取值為1,2,3,4，四種情形的均值E(X)＝1×p1＋2×p2＋3×p3＋4×p4都為2.5，方差D(X)＝〖1－E(X)〗2×p1＋〖2－E(X)〗2×p2＋〖3－E(X)〗2×p3＋〖4－E(X)〗2×p4，標(biāo)準(zhǔn)差為eq\r(DX).A選項的方差D(X)＝0.65；B選項的方差D(X)＝1.85；C選項的方差D(X)＝1.05；D選項的方差D(X)＝1.45.所以選項B的情形對應(yīng)樣本的標(biāo)準(zhǔn)差最大．三、方差的簡單應(yīng)用例3有甲、乙兩種建筑材料，從中各取等量樣品檢查它們的抗拉強(qiáng)度如表所示：ξA110120125130135P0.10.20.40.10.2ξB100115125130145P0.10.20.40.10.2其中，ξA，ξB分別表示甲、乙兩種材料的抗拉強(qiáng)度，在使用時要求抗拉強(qiáng)度不低于120，試比較甲、乙兩種建筑材料的穩(wěn)定程度(哪一個的穩(wěn)定性較好)．解E(ξA)＝110×0.1＋120×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋135×0.2＝125，E(ξB)＝100×0.1＋115×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋145×0.2＝125.D(ξA)＝0.1×(110－125)2＋0.2×(120－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(135－125)2＝50，D(ξB)＝0.1×(100－125)2＋0.2×(115－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(145－125)2＝165.由此可見E(ξA)＝E(ξB)，D(ξA)<D(ξB)，故兩種材料的抗拉強(qiáng)度的均值相等，其穩(wěn)定程度材料乙明顯不如材料甲，即甲的穩(wěn)定性較好．反思感悟(1)解題時可采用比較分析法，通過比較兩個隨機(jī)變量的均值和方差得出結(jié)論．(2)均值體現(xiàn)了隨機(jī)變量取值的平均水平，有時只比較均值往往是不恰當(dāng)?shù)?，還需比較方差，才能準(zhǔn)確地得出更適合的．跟蹤訓(xùn)練3甲、乙兩名射手在一次射擊中得分為兩個相互獨立的隨機(jī)變量ξ與η，且ξ，η的分布列為ξ123Pa0.10.6η123P0.3b0.3(1)求a，b的值；(2)計算ξ，η的均值與方差，并以此分析甲、乙的技術(shù)狀況．解(1)由離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)可知a＋0.1＋0.6＝1，∴a＝0.3.同理0.3＋b＋0.3＝1，∴b＝0.4.(2)E(ξ)＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2.3，E(η)＝1×0.3＋2×0.4＋3×0.3＝2，D(ξ)＝(1－2.3)2×0.3＋(2－2.3)2×0.1＋(3－2.3)2×0.6＝0.81，D(η)＝(1－2)2×0.3＋(2－2)2×0.4＋(3－2)2×0.3＝0.6.由于E(ξ)>E(η)，說明在一次射擊中，甲的平均得分比乙高，但D(ξ)>D(η)，說明甲得分的穩(wěn)定性不如乙，因此甲、乙兩人技術(shù)水平都不夠全面，各有優(yōu)劣．1.知識清單：離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差.2.方法歸納：公式法.3.常見誤區(qū)：方差公式套用錯誤.1．已知隨機(jī)變量X的分布列為P(X＝k)＝eq\f(1,3)，k＝3,6,9，則D(X)等于()A．6 B．9C．3 D．4〖答案〗A〖解析〗由題意得E(X)＝3×eq\f(1,3)＋6×eq\f(1,3)＋9×eq\f(1,3)＝6，D(X)＝(3－6)2×eq\f(1,3)＋(6－6)2×eq\f(1,3)＋(9－6)2×eq\f(1,3)＝6.2．設(shè)隨機(jī)試驗的結(jié)果只有A發(fā)生和A不發(fā)生，且P(A)＝m，令隨機(jī)變量X＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，A發(fā)生，,0，A不發(fā)生，))則X的方差D(X)等于()A．m B．2m(1－m)C．m(m－1) D．m(1－m)〖答案〗D〖解析〗顯然X服從兩點分布，∴D(X)＝m(1－m)．3．設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為X123Peq\f(1,2)xy若E(X)＝eq\f(15,8)，則D(X)等于()A.eq\f(33,64)B.eq\f(55,64)C.eq\f(7,32)D.eq\f(9,32)〖答案〗B〖解析〗由隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)得x＋y＝eq\f(1,2)，①由E(X)＝eq\f(15,8)，得1×eq\f(1,2)＋2x＋3y＝eq\f(15,8)，即2x＋3y＝eq\f(11,8)，②由①②，解得x＝eq\f(1,8)，y＝eq\f(3,8)，∴D(X)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(15,8)))2×eq\f(1,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(15,8)))2×eq\f(1,8)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(15,8)))2×eq\f(3,8)＝eq\f(55,64).4．已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如表所示，若E