第五章-拉普拉斯變換-數(shù)學物理方法

第五章拉普拉斯變換Laplace變換（簡稱拉氏變換）是常用的一種積分變換.在數(shù)學、物理及工程科學中有廣泛的應用.本章介紹Laplace變換的定義及其基本性質(zhì)，以及它的簡單應用.§5.1拉普拉斯變換的定義拉普拉斯變換是一種積分變換，它把f(t)變換為F(p).這里t是實數(shù)，p是復數(shù)，，F(xiàn)(p)稱為f(t)的Laplace換式，是Laplace變換的核。通常把Laplace變換簡寫為：f(t)和F(p)分別稱為拉氏變換的原函數(shù)和象函數(shù).靠原函數(shù)的點在上方，靠象函數(shù)的點在下方.或.或注意：對許多實際問題，一般只研究t0情形，因此約定：

例1、函數(shù)f(t)=1的Laplace換式為：其中條件是為了保證積分收斂，或者說是Laplace變換存在的條件.【解】例2、函數(shù)的拉氏換式為：【解】這里的限制也是為了保證積分收斂，即Laplace變換存在的條件.從例1、例2可以看出，由于Laplace變換的核是e-pt，所以對于相當廣泛的函數(shù)拉氏換式都存在；甚至當t

時，f(t)的拉氏換式也可能存在.這就是為什么要乘上的緣故.Laplace變換存在的條件，也就是收斂的條件:

f(t)在區(qū)間0t

中除了第一類間斷點（在斷點處左右極限都存在)外都是連續(xù)的，而且有連續(xù)導數(shù)，在任何有限區(qū)間中這種間斷點的數(shù)目都是有限的

f(t)有有限的增長指數(shù)，即存在正數(shù)M>0和s>0，使對于任何t值（實際上，只要對于足夠大的t值）

這是Laplace變換存在的充要條件.在很多情況下，該條件都能滿足.如果s存在的話，它一定不是唯一的，因為比s大的任何正數(shù)也符合要求，s的下界稱為收斂橫標，記為so.常用函數(shù)的拉氏變換:……(其中可以是復數(shù))（把sint和cost拉氏換式中的p換成p+

即可.）§5.2拉氏變換的性質(zhì)性質(zhì)1：拉氏變換是一個線性變換，即：這個性質(zhì)很容易從Laplace變換的定義得到，因為它只不過是積分運算的線性性質(zhì)的反映.性質(zhì)2：原函數(shù)的導數(shù)的拉氏變換

設f(t)及都滿足拉氏變換存在的充分條件，則：因此，對原函數(shù)f(t)的微商運算就轉(zhuǎn)化為對象函數(shù)F(p)的乘法運算，而且還自動包括了f(t)的初值.正因為這個特點，拉氏變換方法是求解微分方程的一種重要方法.……例1、已知，求【解】例2、解強迫振動方程【解】令方程兩邊同時作拉氏變換，則：性質(zhì)3：若，則【證明】

設則例.LC串聯(lián)電路i(t)的微分方程設求解微分積分方程的問題轉(zhuǎn)化為求解代數(shù)方程利用性質(zhì)4：若，則【證明】……例：……，性質(zhì)5：（延遲定理）若【證明】當時，例則約定性質(zhì)6：（位移定理）若【證明】例1、（

=-）.

例2、同理

§5.3亥維賽展開定理若象函數(shù)為不可約有理分式，且G(p)的最高冪次比H(p)的最高冪次低，對此反演可以利用亥維賽展開定理.討論

H(p)=0無重根H(p)的m個根：即問題：如何求上式的系數(shù)

兩邊同乘以洛必達法則：例1、求【解】或或例2求

（出現(xiàn)重根）

【解】求B,C時，若式子兩邊同乘p–1，在令，顯然可以式子兩邊同乘(p–1)2：將(2)式兩邊對p求導，右邊第一項含p–1，令p1，此項為零；右邊第三項是常數(shù)C，求導后為零.因此：其中可利用位移定理進行反演

可利用性質(zhì)四例3、求【解】在上式中最后兩項的反演將得到和，還應將它化為sin3t和cos3t，為了結(jié)果更加容易處理，令：令p3i，得：§5.4卷積定理（折積定理）卷積定理：若則注意【證明】當時，故（約定）因此其中（因為t從0到

時，t-

<0，）卷積定理的積分換限也可以從圖形上說明例1、解方程【解】設已知方程兩邊同時作拉氏變換：例2、

求【解一】利用延遲定理注意：利用延遲定理時，應加上H(t-

)，否則將出錯.【解二】利用延遲定理由卷積定理例3、解常微分方程的初值問題【解】利用也可以不利用卷積定理：§5.6拉氏變換的應用例1求解RL交流電路【解】設

方程兩邊同時作拉氏變換，有：利用

令

電流分成兩個部分：第一部分穩(wěn)定的振蕩部分第二部分隨著t的增大指數(shù)衰減，當t較大時，可略去——衰減部分。當t較大時，電路存在穩(wěn)定振蕩，振蕩頻率為電源頻率。（相當于力學中的受迫振蕩）例2、互感電路如圖，自感系數(shù)L，互感系數(shù)M，在t=0時，電容極板上無電荷積累，電感內(nèi)部無磁場，求i2(t).設

方程兩邊同時作拉氏變換，有【解】代入第二方程得：令：位移定理同理：其