數(shù)學物理方法第二章

1.有向曲線:設C為平面上給定的一條光滑(或按段光滑)曲線,如果選定C的兩個可能方向中的一個作為正方向(或正向),那么我們就把C理解為帶有方向的曲線,稱為有向曲線.如果A到B作為曲線C的正向,那么B到A就是曲線C的負向,2.1復變函數(shù)的積分(與實函數(shù)積分相似，定義為和的極限)——復平面上的線積分1數(shù)學物理方法第二章簡單閉曲線正向的定義:簡單閉曲線C的正向是指當曲線上的點P順此方向前進時,鄰近P點的曲線的內(nèi)部始終位于P點的左方.與之相反的方向就是曲線的負方向.關(guān)于曲線方向的說明:在今后的討論中,常把兩個端點中的一個作為起點,另一個作為終點,除特殊聲明外,正方向總是指從起點到終點的方向.2數(shù)學物理方法第二章2.積分的定義:3數(shù)學物理方法第二章(4數(shù)學物理方法第二章關(guān)于定義的說明:5數(shù)學物理方法第二章3.存在的條件和計算法證正方向為參數(shù)增加的方向,6數(shù)學物理方法第二章7數(shù)學物理方法第二章根據(jù)線積分的存在定理,8數(shù)學物理方法第二章當n無限增大而弧段長度的最大值趨于零時,9數(shù)學物理方法第二章在形式上可以看成是公式積分的計算法110數(shù)學物理方法第二章積分的計算法211數(shù)學物理方法第二章在今后討論的積分中,總假定被積函數(shù)是連續(xù)的,曲線C是按段光滑的.12數(shù)學物理方法第二章設L是簡單逐段光滑曲線，f,g在L上連續(xù)，則性質(zhì)：常數(shù)因子可以移到積分號外函數(shù)的和的積分等于各函數(shù)積分之和反轉(zhuǎn)積分路徑，積分反號全路徑上的積分等于各段上積分之和13數(shù)學物理方法第二章注意到性質(zhì)(5)可以寫為

特別地，若在L上有，L的長記為L，則性質(zhì)(5)成為

注意：數(shù)學分析中的積分中值定理不能推移到復變函數(shù)積分上來，例如：而

(6)14數(shù)學物理方法第二章例1解直線方程為15數(shù)學物理方法第二章這兩個積分都與路線C無關(guān)16數(shù)學物理方法第二章例2解(1)積分路徑的參數(shù)方程為y=x17數(shù)學物理方法第二章(2)積分路徑的參數(shù)方程為y=x18數(shù)學物理方法第二章y=x(3)積分路徑由兩段直線段構(gòu)成x軸上直線段的參數(shù)方程為1到1+i直線段的參數(shù)方程為19數(shù)學物理方法第二章例3解積分路徑的參數(shù)方程為20數(shù)學物理方法第二章例4解積分路徑的參數(shù)方程為21數(shù)學物理方法第二章重要結(jié)論：積分值與路徑圓周的中心和半徑無關(guān).22數(shù)學物理方法第二章2.2柯西定理討論復變函數(shù)積分與積分路徑的關(guān)系（一）單通區(qū)域情形在區(qū)域中做任何簡單閉合圍道，圍道內(nèi)的點都屬于該區(qū)域單連通區(qū)域：復連通區(qū)域，或稱多連通區(qū)域區(qū)別：區(qū)域中任一閉合曲線能否連續(xù)變形而縮成一點。連續(xù)變形：變形時曲線始終屬于該區(qū)域。23數(shù)學物理方法第二章復習：二元函數(shù)積分的格林公式路徑無關(guān)的充要條件：實變線積分在單連通區(qū)域B內(nèi)與在B內(nèi)的偏導數(shù)連續(xù)，并且由于復變函數(shù)的積分可轉(zhuǎn)化為兩個實變線積分因此可得到復變函數(shù)的積分與路徑無關(guān)的充要條件24數(shù)學物理方法第二章單連通區(qū)域柯西定理：

如果函數(shù)f(z)在閉單連通域B上解析，則沿B上任一分段光滑閉曲線l（也可以是B的邊界），有

推廣：如果函數(shù)f(z)在單通域B上解析，在閉單連通域B上連續(xù)，則沿B上任一分段光滑閉曲線l（也可以是B的邊界），有Bl25數(shù)學物理方法第二章由定理得26數(shù)學物理方法第二章連續(xù)，且格林公式同理連續(xù)，且證明：回路積分化成面積分27數(shù)學物理方法第二章例1解根據(jù)柯西定理,有28數(shù)學物理方法第二章例2證由柯西定理,29數(shù)學物理方法第二章由柯西定理,由上節(jié)例4可知,30數(shù)學物理方法第二章例3解根據(jù)柯西－古薩定理得31數(shù)學物理方法第二章32數(shù)學物理方法第二章奇點：復變函數(shù)不解析的點若f(z)在z=b不解析（或沒有定義），而在z=b的無心鄰域0<

z?b

<R內(nèi)解析，則z=b為f(z)的孤立奇點。含孤立奇點的區(qū)域，可將其每個奇點的有限小鄰域挖掉，使原區(qū)域變?yōu)閺屯▍^(qū)域（二）復通區(qū)域情形有時，所研究的函數(shù)在區(qū)域上并非處處解析33數(shù)學物理方法第二章沿著一條簡單曲線C有兩個相反的方向，其中一個方向是：當觀察者順此方向沿C前進一周時，C的內(nèi)部一直在C的左方，即“逆時針”方向，稱為正方向；另一個方向是：當觀察者順此方向沿C前進一周時，C的外部一直在C的左方，即“順時針”方向，稱為負方向。區(qū)域境界線正方向：34數(shù)學物理方法第二章在l圍成的區(qū)域中含f(z)的孤立奇點

，則可引入曲線l1將此奇點挖掉，在余下的區(qū)域(一復連通區(qū)域)中，

f(z)解析。由柯西定理或又

l與l1方向相反，但與-l1方向相同。35數(shù)學物理方法第二章(多連通域柯西定理)設B是以邊為界的有界n+1連通區(qū)域，其中l(wèi)1，l2，…，ln是簡單光滑閉曲線l內(nèi)部互相外離的n條簡單光滑閉曲線。若f(z)在

上連續(xù)，在B內(nèi)解析，則有其中C取關(guān)于區(qū)域B的正向，或?qū)憺椋?6數(shù)學物理方法第二章例1解依題意知,37數(shù)學物理方法第二章根據(jù)復合閉路定理,38數(shù)學物理方法第二章例2解圓環(huán)域的邊界構(gòu)成一條復合閉路,根據(jù)閉路復合定理,39數(shù)學物理方法第二章例3解40數(shù)學物理方法第二章由復合閉路定理,此結(jié)論非常重要,用起來很方便,因為不必是圓,a也不必是圓的圓心,只要a在簡單閉曲線內(nèi)即可.41數(shù)學物理方法第二章例4解由上例可知42數(shù)學物理方法第二章柯西定理總結(jié)閉單通區(qū)域上的解析函數(shù)沿境界線的積分為零。閉復通區(qū)域上的解析函數(shù)沿所有內(nèi)外境界線正方向的積分和為零。閉復通區(qū)域上的解析函數(shù)沿外境界線逆時針方向的積分等于沿所有內(nèi)境界線逆時針方向的積分的和。固定起點和終點，積分路徑的連續(xù)形變不改變積分43數(shù)學物理方法第二章定理一由定理一可知:解析函數(shù)在單連通域內(nèi)的積分只與起點和終點有關(guān),(如下頁圖)1.兩個主要定理:2.3不定積分44數(shù)學物理方法第二章45數(shù)學物理方法第二章定理二證利用導數(shù)的定義來證.46數(shù)學物理方法第二章由于積分與路線無關(guān),47數(shù)學物理方法第二章48數(shù)學物理方法第二章由積分的估值性質(zhì),49數(shù)學物理方法第二章此定理與微積分學中的對變上限積分的求導定理完全類似.[證畢]50數(shù)學物理方法第二章2.原函數(shù)的定義:原函數(shù)之間的關(guān)系:證51數(shù)學物理方法第二章那末它就有無窮多個原函數(shù),根據(jù)以上討論可知:[證畢]52數(shù)學物理方法第二章3.不定積分的定義:定理三(類似于牛頓-萊布尼茲公式)53數(shù)學物理方法第二章證根據(jù)柯西-古薩基本定理,[證畢]說明:有了以上定理,復變函數(shù)的積分就可以用跟微積分學中類似的方法去計算.54數(shù)學物理方法第二章典型例題例1解由牛頓-萊布尼茲公式知,55數(shù)學物理方法第二章例2解(使用了微積分學中的“湊微分”法)56數(shù)學物理方法第二章例3解由牛頓-萊布尼茲公式知,57數(shù)學物理方法第二章例3另解此方法使用了微積分中“分部積分法”58數(shù)學物理方法第二章例4解利用分部積分法可得課堂練習答案59數(shù)學物理方法第二章例5解60數(shù)學物理方法第二章例6解所以積分與路線無關(guān),根據(jù)?！R公式:61數(shù)學物理方法第二章2.4柯西公式

柯西積分公式:若f(z)在閉單通區(qū)域B上解析，l為B境界線，

為B內(nèi)的任一點，那么證明：由于只需證明62數(shù)學物理方法第二章如果l是圓周z=

+reiθ，這就是說，一個解析函數(shù)在圓心處的值等于它在圓周的平均值。若f(z)在l所圍區(qū)域上存在奇點，這就要考慮挖去奇點后的復通區(qū)域。在復通區(qū)域上f(z)解析，顯然柯西公式仍然成立，只要將l理解為所有境界線，并且其方向均取正向。定理：解析函數(shù)f(z)的導數(shù)仍為解析函數(shù)，它的n階導數(shù)為：其中l(wèi)為解析區(qū)域內(nèi)圍繞z0的任何一條正向簡單閉曲線。63數(shù)學物理方法第二章Morera定理：(Cauchy定理的逆定理）設f(z)在區(qū)域G中連續(xù)，如果對于G中的任何閉合圍道l，都有則f(z)在G內(nèi)解析。證明：由路徑無關(guān)性，定義f(z)

的連續(xù)性0所以F(z)解析，其導數(shù)為f(z)，再由高階導數(shù)的存在性，f(z)在G內(nèi)解析。64數(shù)學物理方法第二章模數(shù)定理：f(z)在某個閉區(qū)域上解析，則|f(z)|只能在境界線上取極大值應用柯西公式證明：對若|f(z)|在l上極大值為M，|z|的極小值為

，l的長為s65數(shù)學物理方法第二章Liouville定理：如f(z)在全平面上解析，并且是有界的，即|f(z)|

N，則f(z)必為常數(shù)。半徑為R的園周總結(jié)復數(shù)復數(shù)函數(shù)復數(shù)函數(shù)單值復數(shù)函數(shù)多值復數(shù)函數(shù)單值復數(shù)函數(shù)單值函數(shù)與實變函數(shù)相似兩個二元實變函數(shù)的有序組合重點66數(shù)學物理方法第二章奇點柯西定理及推論極限連續(xù)積分導數(shù)(微分)解析函數(shù)解析區(qū)域柯西公式高階導數(shù)公式u,v可微C-R條件點點可導(不解析的點)積分區(qū)域有無奇點67數(shù)學物理方法第二章典型例題例1解68數(shù)學物理方法第二章由柯西積分公式69數(shù)學物理方法第二章例2解由柯西積分公式70數(shù)學物理方法第二章例3解由柯西積分公式71數(shù)學物理方法第二章例４解根據(jù)柯西積分公式知,72數(shù)學物理方法第二章例5解73數(shù)學物理方法第二章例5解74數(shù)學物理方法第二章由閉路復合定理,得例5解75數(shù)學物理方法第二章例6解根據(jù)柯西積分公式知,76數(shù)學物理方法第二章比較兩式得77數(shù)學物理方法第二章例1解78數(shù)學物理方法第二章79數(shù)學物理方法第二章根據(jù)復合閉路定理80數(shù)學物理方法第二章81數(shù)學物理方法第二章例2解82數(shù)學物理方法第二章83數(shù)學物理方法第二章例3解由柯西－古薩基本定理得由柯西積分公式得84數(shù)學物理方法第二章85數(shù)學物理方法第二章課堂練習答案86數(shù)學物理方法第二章例4解87數(shù)學物理方法第二章根據(jù)復合閉路定理和高階導數(shù)公式,88數(shù)學物理方法第二章89數(shù)學物理方法第二章例5(Morera定理