北京專家2023-2024學年招生模擬考試數(shù)學試題

北京專家2023-2024學年招生模擬考試數(shù)學試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若函數(shù)有且只有4個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．2．下列函數(shù)中，值域為的偶函數(shù)是（）A． B． C． D．3．已知是平面內(nèi)互不相等的兩個非零向量,且與的夾角為,則的取值范圍是（）A． B． C． D．4．泰山有“五岳之首”“天下第一山”之稱，登泰山的路線有四條：紅門盤道徒步線路，桃花峪登山線路，天外村汽車登山線路，天燭峰登山線路.甲、乙、丙三人在聊起自己登泰山的線路時，發(fā)現(xiàn)三人走的線路均不同，且均沒有走天外村汽車登山線路，三人向其他旅友進行如下陳述：甲：我走紅門盤道徒步線路，乙走桃花峪登山線路；乙：甲走桃花峪登山線路，丙走紅門盤道徒步線路；丙：甲走天燭峰登山線路，乙走紅門盤道徒步線路；事實上，甲、乙、丙三人的陳述都只對一半，根據(jù)以上信息，可判斷下面說法正確的是（）A．甲走桃花峪登山線路 B．乙走紅門盤道徒步線路C．丙走桃花峪登山線路 D．甲走天燭峰登山線路5．已知，，則等于（）．A． B． C． D．6．已知函數(shù)的圖像的一條對稱軸為直線，且，則的最小值為()A． B．0 C． D．7．設(shè)，滿足約束條件，則的最大值是（）A． B． C． D．8．下列說法正確的是（）A．“若，則”的否命題是“若，則”B．在中，“”是“”成立的必要不充分條件C．“若，則”是真命題D．存在，使得成立9．集合，，則（）A． B． C． D．10．已知雙曲線的焦距為，若的漸近線上存在點，使得經(jīng)過點所作的圓的兩條切線互相垂直，則雙曲線的離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．11．第24屆冬奧會將于2022年2月4日至2月20日在北京市和張家口市舉行，為了解奧運會會旗中五環(huán)所占面積與單獨五個環(huán)面積之和的比值P，某學生做如圖所示的模擬實驗：通過計算機模擬在長為10，寬為6的長方形奧運會旗內(nèi)隨機取N個點，經(jīng)統(tǒng)計落入五環(huán)內(nèi)部及其邊界上的點數(shù)為n個，已知圓環(huán)半徑為1，則比值P的近似值為()A． B． C． D．12．在正方體中，點，，分別為棱，，的中點，給出下列命題：①；②；③平面；④和成角為.正確命題的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知點是拋物線的焦點，，是該拋物線上的兩點，若，則線段中點的縱坐標為__________．14．如圖，在三棱錐中，平面，，已知，，則當最大時，三棱錐的體積為__________．15．在的二項展開式中，所有項的二項式系數(shù)之和為256，則_______，項的系數(shù)等于________.16．過動點作圓：的切線，其中為切點，若（為坐標原點），則的最小值是__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的左、右焦點分別為直線垂直于軸，垂足為，與拋物線交于不同的兩點，且過的直線與橢圓交于兩點，設(shè)且.（1）求點的坐標；（2）求的取值范圍.18．（12分）在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中.若問題中的正整數(shù)存在，求的值；若不存在，說明理由.設(shè)正數(shù)等比數(shù)列的前項和為，是等差數(shù)列，__________，，，，是否存在正整數(shù)，使得成立？19．（12分）記數(shù)列的前項和為，已知成等差數(shù)列.（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求的通項公式；（2）記數(shù)列的前項和為，求.20．（12分）設(shè)函數(shù).（1）求的值；（2）若，求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.21．（12分）已知數(shù)列滿足,，數(shù)列滿足.（Ⅰ）求證數(shù)列是等比數(shù)列；（Ⅱ）求數(shù)列的前項和.22．（10分）（江蘇省徐州市高三第一次質(zhì)量檢測數(shù)學試題）在平面直角坐標系中，已知平行于軸的動直線交拋物線：于點，點為的焦點.圓心不在軸上的圓與直線，，軸都相切，設(shè)的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）若直線與曲線相切于點，過且垂直于的直線為，直線，分別與軸相交于點，.當線段的長度最小時，求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

由是偶函數(shù)，則只需在上有且只有兩個零點即可.【詳解】解：顯然是偶函數(shù)所以只需時，有且只有2個零點即可令，則令，遞減，且遞增，且時，有且只有2個零點，只需故選：B【點睛】考查函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用以及根據(jù)零點個數(shù)確定參數(shù)的取值范圍，基礎(chǔ)題.2、C【解析】試題分析：A中，函數(shù)為偶函數(shù)，但，不滿足條件；B中，函數(shù)為奇函數(shù)，不滿足條件；C中，函數(shù)為偶函數(shù)且，滿足條件；D中，函數(shù)為偶函數(shù)，但，不滿足條件，故選C．考點：1、函數(shù)的奇偶性；2、函數(shù)的值域．3、C【解析】試題分析：如下圖所示，則，因為與的夾角為，即，所以，設(shè)，則，在三角形中，由正弦定理得，所以，所以，故選C．考點：1．向量加減法的幾何意義；2．正弦定理；3．正弦函數(shù)性質(zhì)．4、D【解析】

甲乙丙三人陳述中都提到了甲的路線,由題意知這三句中一定有一個是正確另外兩個錯誤的,再分情況討論即可.【詳解】若甲走的紅門盤道徒步線路,則乙,丙描述中的甲的去向均錯誤,又三人的陳述都只對一半,則乙丙的另外兩句話“丙走紅門盤道徒步線路”,“乙走紅門盤道徒步線路”正確,與“三人走的線路均不同”矛盾.故甲的另一句“乙走桃花峪登山線路”正確,故丙的“乙走紅門盤道徒步線路”錯誤,“甲走天燭峰登山線路”正確.乙的話中“甲走桃花峪登山線路”錯誤,“丙走紅門盤道徒步線路”正確.綜上所述,甲走天燭峰登山線路,乙走桃花峪登山線路,丙走紅門盤道徒步線路故選：D【點睛】本題主要考查了判斷與推理的問題,重點是找到三人中都提到的內(nèi)容進行分類討論,屬于基礎(chǔ)題型.5、B【解析】

由已知條件利用誘導(dǎo)公式得，再利用三角函數(shù)的平方關(guān)系和象限角的符號，即可得到答案.【詳解】由題意得，又，所以，結(jié)合解得，所以，故選B.【點睛】本題考查三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的平方關(guān)系以及三角函數(shù)的符號與位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】

運用輔助角公式，化簡函數(shù)的解析式，由對稱軸的方程，求得的值，得出函數(shù)的解析式，集合正弦函數(shù)的最值，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，函數(shù)為輔助角，由于函數(shù)的對稱軸的方程為，且，即，解得，所以，又由，所以函數(shù)必須取得最大值和最小值，所以可設(shè)，，所以，當時，的最小值，故選D.【點睛】本題主要考查了正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，其中解答中利用三角恒等變換的公式，化簡函數(shù)的解析式，合理利用正弦函數(shù)的對稱性與最值是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題.7、D【解析】

作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域，由目標函數(shù)的幾何意義，通過平移即可求z的最大值．【詳解】作出不等式組的可行域，如圖陰影部分，作直線：在可行域內(nèi)平移當過點時，取得最大值.由得：，故選：D【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃題目的常用方法，屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】

A：否命題既否條件又否結(jié)論，故A錯.B：由正弦定理和邊角關(guān)系可判斷B錯.C：可判斷其逆否命題的真假，C正確.D：根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)判斷D錯.【詳解】解：A：“若，則”的否命題是“若，則”，故A錯.B：在中，，故“”是“”成立的必要充分條件，故B錯.C：“若，則”“若，則”，故C正確.D：由冪函數(shù)在遞減，故D錯.故選：C【點睛】考查判斷命題的真假，是基礎(chǔ)題.9、A【解析】

計算，再計算交集得到答案.【詳解】，，故.故選：.【點睛】本題考查了交集運算，屬于簡單題.10、B【解析】

由可得；由過點所作的圓的兩條切線互相垂直可得,又焦點到雙曲線漸近線的距離為,則,進而求解.【詳解】,所以離心率,又圓是以為圓心,半徑的圓,要使得經(jīng)過點所作的圓的兩條切線互相垂直,必有,而焦點到雙曲線漸近線的距離為,所以,即,所以,所以雙曲線的離心率的取值范圍是.故選:B【點睛】本題考查雙曲線的離心率的范圍,考查雙曲線的性質(zhì)的應(yīng)用.11、B【解析】

根據(jù)比例關(guān)系求得會旗中五環(huán)所占面積，再計算比值.【詳解】設(shè)會旗中五環(huán)所占面積為，由于，所以，故可得.故選：B.【點睛】本題考查面積型幾何概型的問題求解，屬基礎(chǔ)題.12、C【解析】

建立空間直角坐標系，利用向量的方法對四個命題逐一分析，由此得出正確命題的個數(shù).【詳解】設(shè)正方體邊長為，建立空間直角坐標系如下圖所示，，.①，，所以，故①正確.②，，不存在實數(shù)使，故不成立，故②錯誤.③，，，故平面不成立，故③錯誤.④，，設(shè)和成角為，則，由于，所以，故④正確.綜上所述，正確的命題有個.故選：C【點睛】本小題主要考查空間線線、線面位置關(guān)系的向量判斷方法，考查運算求解能力，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】

運用拋物線的定義將拋物線上的點到焦點距離等于到準線距離，然后求解結(jié)果.【詳解】拋物線的標準方程為：，則拋物線的準線方程為，設(shè)，，則，所以，則線段中點的縱坐標為.故答案為：【點睛】本題考查了拋物線的定義，由拋物線定義將點到焦點距離轉(zhuǎn)化為點到準線距離，需要熟練掌握定義，并能靈活運用，本題較為基礎(chǔ).14、4【解析】設(shè)，則，，，，當且僅當，即時，等號成立.,故答案為415、81【解析】

根據(jù)二項式系數(shù)和的性質(zhì)可得n,再利用展開式的通項公式求含項的系數(shù)即可.【詳解】由于所有項的二項式系數(shù)之和為，，故的二項展開式的通項公式為，令，求得，可得含x項的系數(shù)等于，故答案為：8；1．【點睛】本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，二項式系數(shù)的性質(zhì)，二項式展開式的通項公式，屬于中檔題．16、【解析】解答：由圓的方程可得圓心C的坐標為(2,2)，半徑等于1.由M(a,b),則|MN|2=(a?2)2+(b?2)2?12=a2+b2?4a?4b+7，|MO|2=a2+b2.由|MN|=|MO|,得a2+b2?4a?4b+7=a2+b2.整理得：4a+4b?7=0.∴a，b滿足的關(guān)系為：4a+4b?7=0.求|MN|的最小值，就是求|MO|的最小值．在直線4a+4b?7=0上取一點到原點距離最小，由“垂線段最短”得，直線OM垂直直線4a+4b?7=0，由點到直線的距離公式得：MN的最小值為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】

（1）設(shè)出的坐標，代入，結(jié)合在拋物線上，求得兩點的橫坐標，進而求得點的坐標.（2）設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線的方程和橢圓方程，寫出韋達定理，結(jié)合，求得的表達式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求得的取值范圍.【詳解】（1）可知，設(shè)則，又，所以解得所以.（2）據(jù)題意，直線的斜率必不為所以設(shè)將直線方程代入橢圓的方程中，整理得，設(shè)則①②因為所以且將①式平方除以②式得所以又解得又，所以令，則所以【點睛】本小題主要考查直線和拋物線的位置關(guān)系，考查直線和橢圓的位置關(guān)系，考查向量數(shù)量積的坐標運算，考查向量模的坐標運算，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，考查運算求解能力，屬于難題.18、見解析【解析】

根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)及、，可求得等差數(shù)列的通項公式，由即可求得的值；根據(jù)等式，變形可得，分別討論?、佗冖壑械囊粋€，結(jié)合等比數(shù)列通項公式代入化簡，檢驗是否存在正整數(shù)的值即可.【詳解】∵在等差數(shù)列中，，∴，∴公差，∴，∴，若存在正整數(shù)，使得成立，即成立，設(shè)正數(shù)等比數(shù)列的公比為的公比為，若選①，∵，∴，∴，∴，∴當時，滿足成立.若選②，∵，∴，∴，∴，∴方程無正整數(shù)解，∴不存在正整數(shù)使得成立.若選③，∵，∴，∴，∴，∴解得或（舍去），∴，∴當時，滿足成立.【點睛】本題考查了等差數(shù)列通項公式的求法，等比數(shù)列通項公式及前n項和公式的應(yīng)用，遞推公式的簡單應(yīng)用，補充條件后求參數(shù)的值，屬于中檔題.19、（1）證明見解析，；（2）【解析】

（1）由成等差數(shù)列，可得到，再結(jié)合公式，消去，得到，再給等式兩邊同時加1，整理可證明結(jié)果；（2）將（1）得到的代入中化簡后再裂項，然后求其前項和.【詳解】（1）由成等差數(shù)列，則，即，①當時，，又，②由①②可得：，即，時，.所以是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列，，所以.（2），所以.【點睛】此題考查了數(shù)列遞推式，等比數(shù)列的證明，裂列相消求和，考查了學生分析問題和解決問題的能力，屬于中檔題.20、（1）（2）的遞減區(qū)間為和【解析】

（1）化簡函數(shù)，代入，計算即可；（2）先利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，再結(jié)合即可求出.【詳解】（1），從而.（2）令.解得.即函數(shù)的所有減區(qū)間為，考慮到，取，可得