2024-2025學年廣西南寧一中高三（上）月考數學試卷（10月份）（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年廣西南寧一中高三（上）月考數學試卷（10月份）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合A={x∈Z|?5<x3<10}，B={x|y=ln(x+1)}A.{0,1,2} B.{0,1} C.{1,2} D.{?1,0,1,2}2.已知a，b∈R，且a?3ib+i=1+2i，其中i是虛數單位，則a+b=(

)A.2 B.?2 C.?4 D.?63.若定義域為R的函數f(x)不是偶函數，則(

)A.?x∈R，f(?x)≠f(x) B.?x∈R，f(?x)=?f(x)

C.?x0∈R，f(?x04.已知一組數據2x1+1，2x2+1，2x3+1，2x4+1的平均數是3，方差為4A.1，1 B.1，2 C.32,?35.已知遞增的等差數列{an}的前n項和為Sn，a1+aA.70 B.80 C.90 D.1006.在△ABC中，BA?BC=12BC2，若aA.|b|>|c|>|a| B.|7.已知函數f(x)=sin(ωx+π6)(ω>0)在區(qū)間[0,πA.(23,?+∞) B.(23,?8.不等式t(x+y)≤2x+2y對所有的正實數xA.2 B.2 C.24二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.如圖，已知AB為圓錐SO的底面的直徑，SA=2，C為底面圓周上一點，弧BC的長度是弧AC的長度的2倍，異面直線SB與AC所成角的余弦值為14，則(

)A.圓錐SO的體積為3π3B.圓錐SO的側面積為2π

C.直線SO與平面SAC所成的角大于30°D.圓錐10.已知拋物線C1：y2=4x，C2：y2=8x的焦點分別為F1，F2，若A，B分別為C1，A.若AF1⊥AB，則|AB|=12

B.若|AB|=43，△F2AB是等腰三角形

C.11.設a>0，定義在R上的函數f(x)滿足f(a)=1，且?x，y∈R，f(x+y)=f(x)f(a?y)+f(y)f(a?x)，則(

)A.f(0)=0 B.f(2a?x)=f(x)

C.f(x)為偶函數 D.f(2025a)=1三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.(1?2x)(1+3x)6的展開式中，含x2的項的系數為______13.在平面直角坐標系xOy中，若角α的終邊過點(?3,?4)，角β的終邊與角α的終邊關于x軸對稱，則sin(α?β)=______．14.已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦點為F1，若F1關于直線y=2x的對稱點A恰好在C四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，bsinA=3(acosB?c)．

(1)求角A的大??；

(2)求16.(本小題15分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=CD=2，AD=AB=1，AB⊥DA，AB/?/CD，點M是棱PC的中點．

(1)求證：BM//平面PAD；

(2)求平面PAB與平面BMD所成銳二面角的余弦值．17.(本小題15分)

中國體育代表團在2024年巴黎奧運會上取得了優(yōu)異的成績.為了解學生對奧運會的了解情況，某校組織了全校學生參加的奧運會知識競賽，從一、二、三年級各隨機抽取100名學生的成績(滿分：100分，各年級總人數相等)，統(tǒng)計如下：年級[0,60)[60,100]一年級4060二年級2575三年級1090學校將測試成績分為及格(成績不低于60分)和不及格(成績低于60分)兩類，用頻率估計概率，所有學生的測試成績結果互不影響．

(1)從一、二年級各隨機抽一名學生，記X表示這兩名學生中測試成績及格的人數，求X的分布列和數學期望；

(2)從這三個年級中隨機抽取兩個年級，并從抽取的兩個年級中各隨機抽取一名學生，求這兩名學生測試成績均及格的概率．18.(本小題17分)

已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的兩條漸近線方程為x±2y=0，A(22,1)為C上一點．

(1)求雙曲線C的方程；

(2)若過點A的直線l與C僅有1個公共點，求l的方程；

(3)過雙曲線C的右焦點F作兩條互相垂直的直線l1，l2，且l1與C交于M，N兩點，記MN的中點B，l2與C交于19.(本小題17分)

已知函數f(x)=2x2x?1+1+ax+b(x?1)3(其中a，b∈R)．

(1)當a>0，b=0時，證明：f(x)是增函數；

(2)證明：曲線y=f(x)是中心對稱圖形；

(3)已知a≠0，設函數g(x)=2參考答案1.A

2.D

3.C

4.A

5.D

6.A

7.B

8.D

9.ABD

10.ABC

11.ABD

12.99

13.242514.1515.解：(1)因為bsinA=3(acosB?c)，

由余弦定理可得：bsinA=3(a?a2+c2?b22ac?c)，

整理可得2bcsinA=3?(a2?b2?c2)=?3?16.解：(1)證明：取PD的中點E，連接ME，AE，

因為E是PD的中點，M是PC的中點，

所以EM//DC，EM=12DC=1，又AB/?/CD，AB=1，

所以EM/?/AB，EM=AB，

所以四邊形ABME是平行四邊形，所以AE//BM，

又AE?平面PAD，BM?平面PAD，

所以BM/?/平面PAD．

(2)因為PD⊥平面ABCD，DA，DC?平面ABCD，

所以PD⊥AD，PD⊥DC，又AB⊥DA，AB/?/CD，所以AD⊥DC，

以D為坐標原點，DA，DC，DP所在的直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，

則D(0,0,0)，P(0,0,2)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,2,0)，所以M(0,1,1)，

設平面BDM的一個法向量n=(x,y,z)，又DB=(1,1,0)，DM=(0,1,1)，

所以n?DB=x+y=0,n?DM=y+z=0,

令x=1，解得y=?1，z=1，

所以平面BMD的一個法向量n=(1,?1,1)，

設平面PAB的一個法向量m=(a,b,c)，又AP=(?1,0,2)，AB=(0,1,0)，

所以m?AP=?a+2c=0,m?AB=b=0.

令a=2，解得b=0，c=117.解：(1)一年級學生及格的頻率為60100=35，不及格的頻率為40100=25，

二年級學生及格的頻率為75100=34，不及格的頻率為25100=14，

三年級學生及格的頻率為90100=910，不及格的頻率為10100=110X012P199所以E(X)=0×110+1×920+2×920=272018.解：(1)由題意可得ba=128a2?1b2=1，

解得a=2b=1，

所以雙曲線C的方程為x24?y2=1．

(2)當直線l斜率存在時，設直線l的方程為y?1=k(x?22)，

代入x24?y2=1，

可得(1?4k2)x2?8k(1?22)k?4[(1?22k)2+1]=0，

當1?4k2=0時，即k=±12時，直線l與雙曲線的漸近線平行，只有一個公共點，

即直線l的方程為x?2y+2?22=0，x+2y+2?22=0；

當1?4k2≠0時，Δ=64k2(1?22k)2+16(1?4k2)[(1?22k)2+1]=0，

即(2k?1)2=0，

可得k=22，

此時直線l與雙曲線相切，

直線l的方程為2x?2y?2=0，

顯然，當直線l斜率不存在時，直線l與雙曲線有兩個公共點，不滿足；

綜上所述，與雙曲線C僅有1個公共點的直線有3條：x?2y+2?22=0，x+2y+2?22=0，2x?2y?2=0．

(3)當直線l的斜率不存在時，則B與F重合，又c2=4+1=5，即c=5，

所以F(5,0)，D(0,0)，此時直線BD的方程為y=0，

則G到BD的距離為0；

當直線l1的斜率為0時，則D與F重合，D(5,0)，B(0,0)，

此時直線BD的方程為y=0，則G到BD的距離為0；

當直線l1的斜率存在且不為0時，設1l的方程為y=k(x?5)，

設M(x1,y1)N(x2,y2)P(x3,y3)Q(19.解：(1)證明：當a>0，b=0時，f(x)=2x2x?1+1+ax+b(x?1)3=2?22x?1+1+ax，

∵f′(x)=2xln2(2x?1+1)2+a>0，

∴f(x)為增函數；

(2)證明：∵f(2?x)+f(x)=22?x21?