二次函數(shù)和一元二次方程與不等式

...wd......wd......wd...二次函數(shù)與一元二次方程及不等式一，二次方程根基概念當(dāng)中，時(shí)，即得到二次方程

其解的幾何意義即為二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)．根的判別式＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；

＜0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根，但有兩個(gè)共軛的虛數(shù)根．根與系數(shù)的關(guān)系〔韋達(dá)定理〕

二次方程根的分布

根的位置<=>圖象位置<=>等價(jià)條件

〔〕三、一元二次不等式x0ya＞0x0yx0x0ya＞0x0yx0yx1x2x0△=b2﹣4ac△＞0△=0△＜0二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a＞0)的圖像一元二次方程ax2+bx+c=0(a＞0)的根無實(shí)數(shù)根一元二次不等式ax2+bx+c＞0(a＞0)的解集＜或＞〔＜〕x為全體實(shí)數(shù)一元二次不等ax2+bx+c＜0(a＞0)的解集＜＜〔＜〕無解無解例題：0x選擇題

①對任意實(shí)數(shù)t都有，那么〔A〕

A． B．

C． D．②在區(qū)間〔－∞，0〕上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是〔B〕

A． B．

C．且 D．或③函數(shù)y＝log〔x2－6x＋7〕，則y〔D〕

A．有最大值沒有最小值

B．有最小值沒有最大值

C．有最大值也有最小值

D．沒有最大值也沒有最小值

0x填空題

①方程有且僅有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_______．

解：令，

則，其函數(shù)圖象如下：

②關(guān)于x的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，則的最小值是_______________．

解：方程有實(shí)數(shù)根，

故∴或又∴∵或∴〔a＝3時(shí)取等號〕

∴應(yīng)用題：函數(shù)的圖象與x軸無交點(diǎn)，求關(guān)于x的方程的根的范圍．解：∵的圖象與x軸無交點(diǎn)，所以解得：－2.5＜a＜3〔1〕當(dāng)a∈〔－2.5，1]時(shí)，方程化為x＝〔a＋3〕〔2－a〕＝－a2－a＋6∈〔]〔2〕當(dāng)a∈〔1，3〕時(shí)，方程化為x＝〔a＋3〕a＝a2＋3a∈〔4，18〕

綜上所述：x∈〔，18〕設(shè)a，b為實(shí)常數(shù)，k取任意實(shí)數(shù)時(shí)，函數(shù)y＝〔k2＋k＋1〕x2－2〔a＋k〕2x＋〔k2＋3ak＋b〕的圖象與x軸都交于點(diǎn)A〔1，0〕．

〔1〕求a、b的值；

〔2〕假設(shè)函數(shù)與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B，當(dāng)k變化時(shí)，求|AB|的最大值．解：⑴a＝1，b＝1

y＝〔k2＋k＋1〕x2－2〔k＋1〕2x＋〔k2＋3k＋1〕

⑵|AB|的最大值為2．設(shè)實(shí)數(shù)a、b、c滿足

a2－bc－8a＋7＝0…………①b2＋c2＋bc－6a＋6＝0…………②

求a的取值范圍．解：1≤a≤9

設(shè)二次函數(shù)〔a＞0〕，方程的兩個(gè)根滿足．

〔1〕．當(dāng)x∈〔0，〕時(shí)，證明x＜＜；

〔2〕．設(shè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，證明：．解〔2〕．依題意知x0＝－．

因?yàn)閤1，x2是方程f〔x〕－x＝0的根，即x1，x2是方程ax2＋〔b－1〕x＋c＝0的根，所以x1＋x2＝－x0＝－

因?yàn)?，所以．假設(shè)關(guān)于x的二次方程7x2－〔p＋13〕x＋p2－p－2＝0的兩根滿足0＜＜1＜＜2求實(shí)數(shù)p的取值范圍．解：設(shè)f〔x〕＝7x2－〔p＋13〕x＋p2－p－2根據(jù)題意得：即解得：p∈〔－2，－1〕∪〔3，4〕．二次函數(shù)y=x2－〔2m+4〕x+m2－4〔x為自變量〕的圖像與y軸的交點(diǎn)在原點(diǎn)下方，與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊，且A，B兩點(diǎn)到原點(diǎn)的距離AO，OB滿足3〔OB－AO〕=2AO·OB，直線y=kx+k與這個(gè)二次函數(shù)圖像的一個(gè)交點(diǎn)為P，且銳角∠POB的正切值4．〔1〕求m的取值范圍；〔2〕求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；〔3〕確定直線y=kx+k的解析式．解〔1〕m2－4<0，－2<m<2．〔2〕二次函數(shù)的解析式為y=x2－2x－3．〔3〕由y=x2－2x－3，得A〔－1，0〕，B〔3，0〕．強(qiáng)化訓(xùn)練一、填空題1．與拋物線y=2x2－2x－4關(guān)于x軸對稱的圖像表示的函數(shù)關(guān)系式是__y=－2x2+2x+4_．2．二次函數(shù)y=〔a－1〕x2+2ax+3a－2的圖像最低點(diǎn)在x軸上，那么a=__2__，此時(shí)函數(shù)的解析式為__y=x2+4x+4__．3．某涵洞的截面是拋物線型，如圖1所示，在圖中建設(shè)的直角坐標(biāo)系中，拋物線的解析式為y=－x2，當(dāng)涵洞水面寬AB為12m時(shí)，水面到橋拱頂點(diǎn)O的距離為___9__m．圖1圖24．甲，乙兩人進(jìn)展羽毛球比賽，甲發(fā)出一顆十分關(guān)鍵的球，出手點(diǎn)為P，羽毛球飛行的水平距離s〔m〕與其距地面高度h〔m〕之間的關(guān)系式為h=－s2+s+．如圖2，球網(wǎng)AB距原點(diǎn)5m，乙〔用線段CD表示〕扣球的最大高度為m，設(shè)乙的起跳點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為m，假設(shè)乙原地起跳，因球的高度高于乙扣球的最大高度而導(dǎo)致接球失敗，則m的取值范圍是__5<m<4+__．5．假設(shè)拋物線y=x2與直線y=x+m只有一個(gè)公共點(diǎn)，則m的值為__－__．6．設(shè)拋物線y=x2+〔2a+1〕x+2a+的圖像與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則a18+323a－6的值為__5796__．7．直線y=－2x+3與拋物線y=x2相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，那么△OAB的面積等于___6___．8．〔2008，安徽〕圖3為二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像，在以下說法中：①ab<0；②方程ax2+bx+c=0的根是x1=－1，x2=3；③a+b+c>0；④當(dāng)x>1時(shí)，y隨著x的增大而增大．正確的說法有___①②④____．〔請寫出所有正確說法的序號〕圖3圖4圖5二、選擇題9．小敏在某次投籃球中，球的運(yùn)動(dòng)路線是拋物線y=－x2+3.5的一局部〔圖4〕，假設(shè)命中籃圈中心，則他與籃底的距離是〔B〕A．3.5mB．4mC．4.5mD．4.6m10．當(dāng)m在可以取值范圍內(nèi)取不同的值時(shí)，代數(shù)的最小值是〔B〕A．0B．5C．3D．911．二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像如圖5所示，則以下結(jié)論：①a>0，②c>0，③b2－4ac>0，其中正確的個(gè)數(shù)是〔C〕A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)12．拋物線y=x2+〔2m－1〕x+m2與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則m的取值范圍是〔C〕A．m>B．m>－C．m<D．m<－13．根據(jù)以下表格中二次函數(shù)y=ax2+bx+c的自變量x與函數(shù)y的對應(yīng)值，判斷方程ax2+bx+c=0〔a≠0，a，b，c為常數(shù)〕的一個(gè)解x的范圍是〔C〕x6.176.186.196.20y=ax2+bx+c－0.03－0.010.020.04A．6<x<6.17B．6.17<x<6.18C．6.18<x<6.19D．6.19<x<6.20假設(shè)二次函數(shù)y=ax2+bx+c〔a≠0〕的圖像的頂點(diǎn)在第一象限且經(jīng)過點(diǎn)〔0，1〕和〔－1，0〕，則S=a+b+c的值的變化范圍是〔A〕A．0<S<2B．0<S<1C．1<S<2D．－1<S<115．二次函數(shù)y=ax2+bx+c〔a≠0〕的最大值是零，那么代數(shù)式│a│+的化簡結(jié)果是〔B〕A．a(chǎn)B．－aC．D．016．〔2006，甘肅蘭州〕y=2x2的圖像是拋物線，假設(shè)拋物線不動(dòng)，把x軸，y軸分別向上，向右平移2個(gè)單位，那么在新坐標(biāo)系下拋物線的解析式是〔B〕A．y=2〔x－2〕2+2B．y=2〔x+2〕2－2C．y=2〔x－2〕2－2D．y=2〔x+2〕2+2三、解答題17．〔2006，吉林省〕如圖，三孔橋橫截面的三個(gè)孔都呈拋物線形，兩小孔形狀，大小都一樣．正常水位時(shí)，大孔水面寬度AB=20m，頂點(diǎn)M距水面6m〔即MO=6m〕，小孔頂點(diǎn)N距水面4.5m〔即NC=4.5m〕．當(dāng)水位上漲剛好淹沒小孔時(shí)，借助圖中的直角坐標(biāo)系，求此時(shí)大孔的水面寬度EF．設(shè)拋物線解析式為y=ax2+6，依題意得，B〔10，0〕．∴a×102+6=0，解得a=－0.06．即y=－0.06x2+6，當(dāng)y=4.5時(shí)，－0.06x2+6=4.5，解得x=±5，∴DF=5，EF=10，即水面寬度為10m．18．〔2008，安徽〕雜技團(tuán)進(jìn)展雜技表演，演員從蹺蹺板右端A處彈跳到人梯頂端椅子B處，其身體〔看成一點(diǎn)〕的路線是拋物線y=－x2+3x+1的一局部，如以以下圖．〔1〕求演員彈跳離地面的最大高度；〔2〕人梯高BC=3.4m，在一次表演中，人梯到起跳點(diǎn)A的水平距離是4m，問這次表演是否成功請說明理由．〔1〕y=－x2+3x+1=－〔x－〕2+．∵－<0，∴函數(shù)的最大值是．答：演員彈跳離地面的最大高度是m．〔2〕當(dāng)x=4時(shí)，y=－×42+3×4+1=3.4=BC，所以這次表演成功．19．〔2006，沈陽市〕某企業(yè)信息部進(jìn)展市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)：信息一：如果單獨(dú)投資A種產(chǎn)品，則所獲利潤yA〔萬元〕與投資金額x〔萬元〕之間存在正比例函數(shù)關(guān)系：yA=kx，并且當(dāng)投資5萬元時(shí)，可獲利潤2萬元；信息二：如果單獨(dú)投資B種產(chǎn)品，則所獲利潤yB〔萬元〕與投資金額x〔萬元〕之間存在二次函數(shù)關(guān)系：yB=ax2+bx，并且當(dāng)投資2萬元時(shí)，可獲利潤2.4萬元；當(dāng)投資4萬元時(shí)，可獲得3.2萬元．〔1〕請分別求出上述的正比例函數(shù)表達(dá)式與二次函數(shù)表達(dá)式；〔2〕如果企業(yè)同時(shí)對A，B兩種產(chǎn)品共投資10萬元．請你設(shè)計(jì)一個(gè)能獲得最大利潤的投資方案，并求出按此方案能獲得的最大利潤是多少． 解〔1〕當(dāng)x=5時(shí)，yA=2，2=5k，k=0.4．∴yA=0.4x，當(dāng)x=2時(shí)，yB=2.4；當(dāng)x=4時(shí)，yB=3.2．∴解得∴yB=－0.2x2+1.6x．〔2〕設(shè)投資B種商品x萬元，則投資A種商品〔10－x〕萬元，獲得利潤W萬元，根據(jù)題意可得W=－0.2x2+1.6x+0.4〔10－x〕=－0.2x2+1.2x+4．∴W=－0.2〔x－3〕2+5.8．當(dāng)投資B種商品3萬元時(shí)，可以獲得最大利潤5.8萬元．所以投資A種商品7萬元，B種商品3萬元，這樣投資可以獲得最大利潤5．8萬元．20．〔2008，煙臺〕如以以下圖，拋物線L1：y=－x2－2x+3交x軸于A，B兩點(diǎn)，交y軸于M點(diǎn)．拋物線L1向右平移2個(gè)單位后得到拋物線L2，L2交x軸于C，D兩點(diǎn)．〔1〕求拋物線L2對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；〔2〕拋物線L1或L2在x軸上方的局部是否存在點(diǎn)N，使以A，C，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．假設(shè)存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請說明理由；〔3〕假設(shè)點(diǎn)P是拋物線L1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)〔P不與點(diǎn)A，B重合〕，那么點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)Q是否在拋物線L2上，請說明理由．〔1〕令y=0時(shí)，得－x2－2x+3=0，∴x1=－3，x2=1，∴A〔－3，0〕，B〔1，0〕．∵拋物線L1向右平移2個(gè)單位長度得拋物線L2，∴C〔－1，0〕，D〔3，0〕．∴拋物線L2為y=－〔x+1〕〔x－3〕．即y=－x2+2x+3．〔2〕存在．如以以下圖．令x=0，得y=3，∴M〔0，3〕．∵拋物線L2是L1向右平移2個(gè)單位長度得到的，∴點(diǎn)N〔2，3〕在L2上，且MN=2，MN∥AC．又∵AC=2，∴MN=AC．∴四邊形ACNM為平行四邊形．同理，L1上的點(diǎn)N′〔－2，3〕滿足N′M∥AC，N′M=AC，∴四邊形ACMN′是平行四邊形．∴N〔2，3〕，N′〔－2，3〕即為所求．〔3〕設(shè)P〔x1，y1〕是L1上任意一點(diǎn)〔y1≠0〕，則點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)Q〔－x1，－y1〕，且y1=－x12－2x1+3，將點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)代入L2，得yQ=－x12－2x1+3=y1≠－y1．∴點(diǎn)Q不在拋物線L2上．21．：二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像經(jīng)過點(diǎn)A〔0，4〕，頂點(diǎn)在x軸上，且對稱軸在y軸的右側(cè)．設(shè)直線y=x與二次函數(shù)圖像自左向右分別交于P〔x1，y1〕，Q〔x2，y2〕兩點(diǎn)，且OP：PQ=1：3．〔1〕求二次函數(shù)的解析式；〔2〕求△PAQ的面積；〔3〕在線段PQ上是否存在一點(diǎn)D，使△APD≌△QPA，假設(shè)存在，求出點(diǎn)D坐標(biāo)，假設(shè)不存在，說明理由．〔1〕拋物線過〔0，4〕點(diǎn)．∴c=4，∴y=ax2+bx+4又OP：PQ=1：3，∴x1：x2=1：4由得ax2+〔b－1〕x+4=0，∵x1，x2是該方程的兩個(gè)根，∴x1+x2=－，x1·x2=．消去x1得25a=〔b－1〕2．∵拋物線的對稱軸在y軸右側(cè)∴－>0，∴<0，又拋物線的頂點(diǎn)在x軸上，∴b2=16a得a=1，b=－4〔b=舍去〕．∴y=x2－4x+4．〔2〕如以以下圖S△PAQ=S△AQO－S△APO=×4×x2－×4×x1=2〔x2－x1〕=2=2=2=6．〔3〕存在點(diǎn)D，設(shè)D〔m，n〕易得P〔1，1〕，Q〔4，4〕，由△APD∽△QPA得PA2=PQ·PD，運(yùn)用勾股定理得│m－1│=，得m=或-．∵1<m<4，∴D〔，〕．22．〔2005，武漢市〕二次函數(shù)y=ax2－ax+m的圖像交x軸于A〔x1，0〕，B〔x2，0〕兩點(diǎn)，x1<x2，交y軸的負(fù)半軸于C點(diǎn)，且AB=3，tan∠BAC－tan∠ABC=1．〔1〕求此二次函數(shù)的解析式；〔2〕在第一象限，拋物線上是否