2025人教高中物理同步講義練習(xí)必修二7.3 萬有引力理論的成就 （ 人教版2019必修第二冊）（含答案）

2025人教高中物理同步講義練習(xí)必修二7.3萬有引力理論的成就【（人教版2019必修第二冊）（含答案）7.3萬有引力理論的成就學(xué)習(xí)目標(biāo)學(xué)習(xí)目標(biāo)課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)認(rèn)識萬有引力定律的重要意義。1、理解“稱量地球質(zhì)量”的基本思路，了解萬有引力定律在天文學(xué)上的重要應(yīng)用。2、理解計算太陽質(zhì)量的基本思路，能將天體問題中的對象和過程轉(zhuǎn)換成相關(guān)模型后進(jìn)行求解。3、認(rèn)識萬有引力定律的科學(xué)成就，體會科學(xué)的迷人魅力，進(jìn)一步認(rèn)識運(yùn)動與相互作用觀念。002預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)課前研讀課本，梳理基礎(chǔ)知識：一、物理量隨軌道半徑變化的規(guī)律二、地球靜止軌道衛(wèi)星的6個“一定”軌道面一定軌道平面與赤道平面共面周期一定與地球自轉(zhuǎn)周期相同，即T＝h角速度一定與地球自轉(zhuǎn)的相同高度一定由Geq\f(Mm,R＋h2)＝meq\f(4π2,T2)(R＋h)得同步衛(wèi)星離地面的高度h＝eq\r(3,\f(GMT2,4π2))－R≈(恒量)速率一定運(yùn)行速率v＝eq\r(\f(GM,R＋h))繞行方向一定與地球自轉(zhuǎn)的方向一致三、天體質(zhì)量和密度的計算方法1“自力更生”法(g－R)利用天體表面的重力加速度g和天體半徑R。(1)由Geq\f(Mm,R2)＝mg得天體質(zhì)量M＝。(2)天體密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝。(3)GM＝gR2稱為黃金代換公式。方法2“借助外援”法(T－r)測出衛(wèi)星繞天體做勻速圓周運(yùn)動的周期T和半徑r。(1)由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r得天體的質(zhì)量M＝。(2)若已知天體的半徑R，則天體的密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝。(3)若衛(wèi)星繞天體表面運(yùn)行時，可認(rèn)為軌道半徑r等于天體半徑R，則天體密度ρ＝，可見，只要測出衛(wèi)星環(huán)繞天體表面運(yùn)動的周期T，就可估算出天體的密度。四、天體表面的重力加速度1．萬有引力與重力的關(guān)系地球?qū)ξ矬w的萬有引力F表現(xiàn)為兩個效果：一是重力mg，二是提供物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心力F向，如圖所示。(1)在赤道上：Geq\f(Mm,R2)＝。(2)在兩極上：Geq\f(Mm,R2)＝。2．星體表面上的重力加速度(1)在地球表面附近的重力加速度g(不考慮地球自轉(zhuǎn))：mg＝Geq\f(Mm,R2)，得g＝eq\f(GM,R2)。(2)在地球上空距離地心r＝R＋h處的重力加速度為g′，由mg′＝eq\f(GMm,R＋h2)，得g′＝eq\f(GM,R＋h2)所以eq\f(g,g′)＝eq\f(R＋h2,R2)。五、星球的瓦解問題當(dāng)星球自轉(zhuǎn)越來越快時，星球?qū)Α俺嗟馈鄙系奈矬w的引力不足以提供時，物體將會“飄起來”，進(jìn)一步導(dǎo)致星球瓦解，瓦解的臨界條件是赤道上的物體所受星球的引力恰好提供向心力，即eq\f(GMm,R2)＝mω2R，得ω＝eq\r(\f(GM,R3)).當(dāng)ω>時，星球瓦解，當(dāng)ω<eq\r(\f(GM,R3))時，星球穩(wěn)定運(yùn)行．六、黑洞黑洞是一種密度極大、引力極大的天體，以至于光都無法逃逸，科學(xué)家一般通過觀測繞黑洞運(yùn)行的天體的運(yùn)動規(guī)律間接研究黑洞．當(dāng)天體的逃逸速度(逃逸速度為其第一宇宙速度的eq\r(2)倍)超過光速時，該天體就是黑洞．（二）即時練習(xí)：【小試牛刀1】假設(shè)在月球表面將物體以某速度豎直上拋，經(jīng)過時間t物體落回月球表面，物體上升的最大高度為h。已知月球半徑為R，引力常量為G，不計一切阻力。則月球的密度為()A.eq\f(3πh,4Rt2)B.eq\f(6πh,GRt2)C.eq\f(6h,GπRt2)D.eq\f(8πh,3GRt2)【小試牛刀2】(多選)如圖所示，赤道上空的衛(wèi)星A距地面高度為R，質(zhì)量為m的物體B靜止在地球表面的赤道上，衛(wèi)星A繞行方向與地球自轉(zhuǎn)方向相同。已知地球半徑也為R，地球自轉(zhuǎn)角速度為ω0，地球的質(zhì)量為M，引力常量為G。若某時刻衛(wèi)星A恰在物體B的正上方，下列說法正確的是()A.物體B受到地球的引力為mRωeq\o\al(2,0)B.衛(wèi)星A的線速度為eq\r(\f(GM,2R))C.衛(wèi)星A再次到達(dá)物體B上方的時間為eq\f(2π,\r(\f(GM,R3))－ω0)D.衛(wèi)星A與物體B的向心加速度之比為eq\f(GM,4R3ωeq\o\al(2,0))【小試牛刀3】一近地衛(wèi)星的運(yùn)行周期為T0，地球的自轉(zhuǎn)周期為T，則地球的平均密度與地球不因自轉(zhuǎn)而瓦解的最小密度之比為()A.eq\f(T0,T)B.eq\f(T,T0)C.eq\f(T02,T2)D.eq\f(T2,T02)003題型精講【題型一】萬有引力與重力的關(guān)系【典型例題1】(多選)萬有引力定律能夠很好地將天體運(yùn)行規(guī)律與地球上物體運(yùn)動規(guī)律具有的內(nèi)在一致性統(tǒng)一起來。用彈簧測力計稱量一個相對于地球靜止的小物體的重量，隨稱量位置的變化可能會有不同的結(jié)果。已知地球質(zhì)量為M，引力常量為G，將地球視為半徑為R、質(zhì)量分布均勻的球體。下列說法正確的是()A．在北極地面稱量時，彈簧測力計讀數(shù)為F0＝Geq\f(Mm,R2)B．在赤道地面稱量時，彈簧測力計讀數(shù)為F1＝Geq\f(Mm,R2)C．在北極上空高出地面h處稱量時，彈簧測力計讀數(shù)為F2＝Geq\f(Mm,R＋h2)D．在赤道上空高出地面h處稱量時，彈簧測力計讀數(shù)為F3＝Geq\f(Mm,R＋h2)【典型例題2】(多選)2021年5月15日，“天問一號”火星探測器所攜帶的祝融號火星車及其著陸組合體成功著陸于火星，這標(biāo)志著我國首次火星探測任務(wù)取得圓滿成功。假設(shè)火星為質(zhì)量分布均勻的球體，已知火星質(zhì)量是地球質(zhì)量的a倍，火星半徑是地球半徑的b倍，地球表面的重力加速度為g，質(zhì)量均勻的球殼對其內(nèi)部物體的引力為零，則()A．火星表面重力加速度為eq\f(ag,b2)B．火星表面重力加速度為eq\f(b2g,a)C．火星表面正下方距表面距離為火星半徑eq\f(1,2)處的重力加速度為eq\f(ag,2b2)D．火星表面正下方距表面距離為火星半徑eq\f(1,2)處的重力加速度為eq\f(ag,4b2)【對點(diǎn)訓(xùn)練1】某類地天體可視為質(zhì)量分布均勻的球體，由于自轉(zhuǎn)的原因，其表面“赤道”處的重力加速度為g1，“極點(diǎn)”處的重力加速度為g2，若已知自轉(zhuǎn)周期為T，則該天體的半徑為()A.eq\f(4π2,g1T2) B.eq\f(4π2,g2T2)C.eq\f(g2－g1T2,4π2) D.eq\f(g1＋g2T2,4π2)【對點(diǎn)訓(xùn)練2】2020年12月17日，“嫦娥五號”成功返回，標(biāo)志著中國全面掌握無人地月往返系列技術(shù)。已知地球半徑為月球半徑的p倍，地球質(zhì)量為月球質(zhì)量的q倍。若探測器在地球表面以某一初速度豎直向上射出一物體，忽略空氣阻力，其上升的最大高度為h0。忽略星球自轉(zhuǎn)的影響，該探測器在月球表面以相同的初速度豎直向上射出同一物體，其上升的最大高度為()A.eq\f(qh0,p2)B.eq\f(h0p2,q)C.eq\f(h0,qp2) D．qp2h0【題型二】估算問題【典型例題3】(2021·廣東高考)2021年4月，我國自主研發(fā)的空間站“天和”核心艙成功發(fā)射并入軌運(yùn)行。若核心艙繞地球的運(yùn)行可視為勻速圓周運(yùn)動，已知引力常量，由下列物理量能計算出地球質(zhì)量的是()A．核心艙的質(zhì)量和繞地半徑B．核心艙的質(zhì)量和繞地周期C．核心艙的繞地角速度和繞地周期D．核心艙的繞地線速度和繞地半徑【典型例題4】若將北斗導(dǎo)航衛(wèi)星繞地球的運(yùn)動近似看成是勻速圓周運(yùn)動，運(yùn)行軌道距地面的高度為h，運(yùn)行周期為T，已知萬有引力常量為G，地球半徑為R。則地球質(zhì)量M和地球的平均密度ρ分別為()A．M＝eq\f(4π2R＋h3,GT2)，ρ＝eq\f(3πR＋h3,GT2R3)B．M＝eq\f(4π2R＋h3,GT2)，ρ＝eq\f(6πR＋h3,GT2R3)C．M＝eq\f(4π2R＋h3,3GT2)，ρ＝eq\f(3πR＋h3,GT2R3)D．M＝eq\f(4π2R＋h3,3GT2)，ρ＝eq\f(6πR＋h3,GT2R3)【對點(diǎn)訓(xùn)練3】(2021·全國乙卷)科學(xué)家對銀河系中心附近的恒星S2進(jìn)行了多年的持續(xù)觀測，給出1994年到2002年間S2的位置如圖所示?？茖W(xué)家認(rèn)為S2的運(yùn)動軌跡是半長軸約為1000AU(太陽到地球的距離為1AU)的橢圓，銀河系中心可能存在超大質(zhì)量黑洞。這項研究工作獲得了2020年諾貝爾物理學(xué)獎。若認(rèn)為S2所受的作用力主要為該大質(zhì)量黑洞的引力，設(shè)太陽的質(zhì)量為M，可以推測出該黑洞質(zhì)量約為()A．4×104M B．4×106MC．4×108M D．4×1010M【對點(diǎn)訓(xùn)練4】（多選）“嫦娥五號”探測器繞月球做勻速圓周運(yùn)動時，軌道半徑為r，速度大小為v。已知月球半徑為R，引力常量為G，忽略月球自轉(zhuǎn)的影響。下列選項正確的是()A.月球平均密度為eq\f(3v2,4πGR2) B.月球平均密度為eq\f(3v2r,4πGR3)C.月球表面重力加速度為eq\f(v2,R) D.月球表面重力加速度為eq\f(v2r,R2)【題型三】對比問題【典型例題5】如圖甲所示，太陽系中有一顆“躺著”自轉(zhuǎn)的藍(lán)色“冷行星”——天王星，周圍存在著環(huán)狀物質(zhì)。假設(shè)為了測定環(huán)狀物質(zhì)是天王星的組成部分，還是環(huán)繞該行星的衛(wèi)星群，“中國天眼”對其做了精確的觀測，發(fā)現(xiàn)環(huán)狀物質(zhì)線速度的二次方即v2與到行星中心的距離的倒數(shù)即r－1關(guān)系如圖乙所示。已知天王星的半徑為r0，引力常量為G，以下說法正確的是()A．環(huán)狀物質(zhì)是天王星的組成部分B．天王星的自轉(zhuǎn)周期為eq\f(2πr0,v0)C．v2-r－1關(guān)系圖像的斜率等于天王星的質(zhì)量D．天王星表面的重力加速度為eq\f(v02,r0)【典型例題6】(多選)(2020·江蘇卷，7)甲、乙兩顆人造衛(wèi)星質(zhì)量相等，均繞地球做圓周運(yùn)動，甲的軌道半徑是乙的2倍。下列應(yīng)用公式進(jìn)行的推論正確的有()A.由v＝eq\r(gR)可知，甲的速度是乙的eq\r(2)倍B.由a＝ω2r可知，甲的向心加速度是乙的2倍C.由F＝eq\f(GMm,r2)可知，甲的向心力是乙的eq\f(1,4)D.由eq\f(r3,T2)＝k可知，甲的周期是乙的2eq\r(2)倍【對點(diǎn)訓(xùn)練5】(多選)衛(wèi)星繞某行星做勻速圓周運(yùn)動的速率的平方(v2)與衛(wèi)星的軌道半徑的倒數(shù)(eq\f(1,r))的關(guān)系如圖所示，圖中b為圖線縱坐標(biāo)的最大值，圖線的斜率為k，萬有引力常量為G，則下列說法正確的是()A.行星的半徑為kbB.行星的質(zhì)量為eq\f(k,G)C.行星的密度為eq\f(3b3,4πGk2)D.行星的第一宇宙速度為eq\r(b)【對點(diǎn)訓(xùn)練6】科幻電影《流浪地球》講述了這樣的故事：太陽即將毀滅，人類在地球上建造出巨大的推進(jìn)器，使地球經(jīng)歷了停止自轉(zhuǎn)、加速逃逸、勻速滑行、減速入軌等階段，最后成為比鄰星的一顆行星。假設(shè)若干年后，地球流浪成功。設(shè)比鄰星的質(zhì)量為太陽質(zhì)量的eq\f(1,4)，地球質(zhì)量在流浪過程中損失了eq\f(1,4)，地球繞比鄰星運(yùn)行的軌道半徑為地球繞太陽運(yùn)行軌道半徑的eq\f(1,2)，則地球繞比鄰星運(yùn)行與繞太陽運(yùn)行相比較，下列關(guān)系正確的是()A.公轉(zhuǎn)周期之比為T比∶T日＝1∶1B.向心加速度之比為a比∶a日＝3∶4C.動能之比為Ek比∶Ek日＝3∶8D.萬有引力之比為F比∶F日＝3∶8004體系構(gòu)建1．重力與萬有引力的關(guān)系2．天體質(zhì)量、密度的計算3．對比問題4．地球衛(wèi)星005記憶清單一、天體質(zhì)量、密度的計算使用方法已知量利用公式表達(dá)式備注質(zhì)量的計算利用運(yùn)行天體r、TGeq\f(Mm,r2)＝mreq\f(4π2,T2)M＝eq\f(4π2r3,GT2)只能得到中心天體的質(zhì)量r、vGeq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)M＝eq\f(rv2,G)v、TGeq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)Geq\f(Mm,r2)＝mreq\f(4π2,T2)M＝eq\f(v3T,2πG)利用天體表面重力加速度g、Rmg＝eq\f(GMm,R2)M＝eq\f(gR2,G)密度的計算利用運(yùn)行天體r、T、RGeq\f(Mm,r2)＝mreq\f(4π2,T2)M＝ρ·eq\f(4,3)πR3ρ＝eq\f(3πr3,GT2R3)當(dāng)r＝R時ρ＝eq\f(3π,GT2)利用近地衛(wèi)星只需測出其運(yùn)行周期利用天體表面重力加速度g、Rmg＝eq\f(GMm,R2)M＝ρ·eq\f(4,3)πR3ρ＝eq\f(3g,4πGR)二、對比問題1.線速度：Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)?v＝eq\r(\f(GM,r))2.角速度：Geq\f(Mm,r2)＝mω2r?ω＝eq\r(\f(GM,r3))3.周期：Geq\f(Mm,r2)＝m(eq\f(2π,T))2r?T＝2πeq\r(\f(r3,GM))4.向心加速度：Geq\f(Mm,r2)＝ma?a＝eq\f(GM,r2)結(jié)論：r越大，v、ω、a越小，T越大。00601強(qiáng)化訓(xùn)練1．(2020·全國卷Ⅰ，15)火星的質(zhì)量約為地球質(zhì)量的eq\f(1,10)，半徑約為地球半徑的eq\f(1,2)，則同一物體在火星表面與在地球表面受到的引力的比值約為()A.0.2 B.0.4C.2.0 D.2.52.將一質(zhì)量為m的物體分別放在地球的南、北兩極點(diǎn)時，該物體的重力均為mg0；將該物體放在地球赤道上時，該物體的重力為mg.假設(shè)地球可視為質(zhì)量均勻分布的球體，半徑為R，已知引力常量為G，則由以上信息可得出()A．g0小于gB．地球的質(zhì)量為eq\f(gR2,G)C．地球自轉(zhuǎn)的角速度為ω＝eq\r(\f(g0－g,R))D．地球的平均密度為eq\f(3g,4πGR)3.宇航員在某星球上為了探測其自轉(zhuǎn)周期做了如下實(shí)驗：在該星球兩極點(diǎn)，用彈簧秤測得質(zhì)量為M的砝碼所受重力為F，在赤道測得該砝碼所受重力為F′。他還發(fā)現(xiàn)探測器繞該星球表面做勻速圓周運(yùn)動的周期為T。假設(shè)該星球可視為質(zhì)量分布均勻的球體，則其自轉(zhuǎn)周期為()A．Teq\r(\a\vs4\al(\f(F′,F))) B．Teq\r(\f(F,F′))C．Teq\r(\a\vs4\al(\f(F－F′,F))) D．Teq\r(\f(F,F－F′))4.我國航空航天技術(shù)已居于世界前列。如圖所示，飛行器P繞某星球做勻速圓周運(yùn)動，星球相對飛行器的張角為θ。已知萬有引力常量G，下列說法正確的是()A.軌道半徑越大，周期越小B.若測得周期和張角，可得到星球的平均密度C.若測得周期和張角，可得到星球的質(zhì)量D.若測得周期和軌道半徑，可得到星球的平均密度5.近地衛(wèi)星繞地球的運(yùn)動可視為勻速圓周運(yùn)動，若其軌道半徑近似等于地球半徑R，運(yùn)行周期為T，地球質(zhì)量為M，引力常量為G，則()A.近地衛(wèi)星繞地球運(yùn)動的向心加速度大小近似為eq\f(2π2R,T2)B.近地衛(wèi)星繞地球運(yùn)動的線速度大小近似為eq\r(\f(R,GM))C.地球表面的重力加速度大小近似為eq\f(M,GR2)D.地球的平均密度近似為eq\f(3π,GT2)6.我國發(fā)射的第三十二顆北斗導(dǎo)航衛(wèi)星屬于傾斜地球同步軌道衛(wèi)星，衛(wèi)星入軌并完成在軌測試后，將接入北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)，為用戶提供更可靠服務(wù)。通過查詢，傾斜地球同步軌道衛(wèi)星是運(yùn)轉(zhuǎn)軌道面與地球赤道面有夾角的軌道衛(wèi)星，它的運(yùn)轉(zhuǎn)周期也是24小時，如圖所示，關(guān)于該北斗導(dǎo)航衛(wèi)星說法正確的是()A．該衛(wèi)星可定位在北京的正上空B．該衛(wèi)星與地球靜止軌道衛(wèi)星的向心加速度大小是不等的C．該衛(wèi)星的發(fā)射速度v≤7.9km/sD．該衛(wèi)星的角速度與放在北京地面上物體隨地球自轉(zhuǎn)的角速度大小相等7.(多選)我國計劃在2030年之前實(shí)現(xiàn)飛船載人登月計劃，假設(shè)你有幸成為登上月球的第一位中國人，如果告知萬有引力常量，你可以完成以下哪項工作()A.測出一個石塊的質(zhì)量，以及它在月球表面上方自由下落的高度和時間，求出月球表面上該石塊的重力B.測出一個石塊在月球表面上方做平拋運(yùn)動的高度和時間，求出月球的質(zhì)量C.從月球表面上撿取100塊石頭，測量它們的質(zhì)量和體積，求出月球的平均密度D.測出飛船貼近月球表面繞月球做勻速圓周運(yùn)動的周期，求出月球的平均密度8．(多選)我國北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)(BDS)已經(jīng)開始提供全球服務(wù)，具有定位、導(dǎo)航、授時、5G傳輸?shù)裙δ?。A、B為“北斗”系統(tǒng)中的兩顆工作衛(wèi)星，其中A是高軌道的地球靜止同步軌道衛(wèi)星，B是中軌道衛(wèi)星。已知地球表面的重力加速度為g，地球的自轉(zhuǎn)周期為T0，下列判斷正確的是()A.衛(wèi)星A可能經(jīng)過江蘇上空B.衛(wèi)星B可能經(jīng)過江蘇上空C.周期大小TA＝T0＞TBD.向心加速度大小aA＜aB＜g9.我國將于2020年年底前后發(fā)射嫦娥五號，實(shí)現(xiàn)區(qū)域軟著陸及采樣返回，完成探月工程“繞、落、回”三步走目標(biāo)。嫦娥五號由軌道器、返回器、著陸器等多個部分組成，其中著陸器將進(jìn)行月面軟著陸，軌道器留在近月軌道繞月飛行。設(shè)著陸器月面著陸后以初速v0豎直向上彈射一小物體，小物體上升的最大高度為h，已知月球的半徑R，則軌道器環(huán)月飛行的速度為()A.v0eq\r(\f(R,2h)) B.v0eq\r(\f(2R,h))C.v0eq\r(\f(2h,R)) D.v0eq\r(\f(h,2R))10．(2020·山東卷，7)我國將在今年擇機(jī)執(zhí)行“天問1號”火星探測任務(wù)。質(zhì)量為m的著陸器在著陸火星前，會在火星表面附近經(jīng)歷一個時長為t0、速度由v0減速到零的過程。已知火星的質(zhì)量約為地球的0.1倍，半徑約為地球的0.5倍，地球表面的重力加速度大小為g，忽略火星大氣阻力。若該減速過程可視為一個豎直向下的勻減速直線運(yùn)動，此過程中著陸器受到的制動力大小約為()A.meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0.4g－\f(v0,t0))) B.meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0.4g＋\f(v0,t0)))C.meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0.2g－\f(v0,t0))) D.meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0.2g＋\f(v0,t0)))11．2019年12月7日10時55分，我國在太原衛(wèi)星發(fā)射中心用“快舟一號”甲運(yùn)載火箭，成功將“吉林一號”高分02B衛(wèi)星發(fā)射升空，衛(wèi)星順利進(jìn)入預(yù)定軌道，繞地球做勻速圓周運(yùn)動。已知地球質(zhì)量為M、引力常量為G，衛(wèi)星與地心的連線在時間t(小于其運(yùn)動周期)內(nèi)掃過的面積為S，則衛(wèi)星繞地球運(yùn)動的軌道半徑為()A.eq\f(4S2,GMt2) B.eq\f(2S,t\r(GM))C.eq\f(GMt2,4S2) D.eq\f(t\r(GM),2S)12.(多選)2019年1月3日，“嫦娥四號”探測器成功著陸在月球背面。著陸前的部分運(yùn)動過程簡化如下：在距月面15km高處繞月做勻速圓周運(yùn)動，然后減速下降至距月面100m處懸停，再緩慢降落到月面。已知萬有引力常量和月球的第一宇宙速度，月球半徑約為1.7×103km，由上述條件能估算出()A.月球質(zhì)量B.月球表面的重力加速度C.探測器在15km高處繞月運(yùn)動的周期D.探測器懸停時發(fā)動機(jī)產(chǎn)生的推力13.由中國科學(xué)院、中國工程院兩院院士評出的2012年中國十大科技進(jìn)展新聞，于2013年1月19日揭曉，“神九”載人飛船與“天宮一號”成功對接和“蛟龍”號下潛突破7000米分別排在第一、第二。若地球半徑為R，把地球看做質(zhì)量分布均勻的球體，地球表面的重力加速度大小為g，引力常量為G?！膀札垺毕聺撋疃葹閐，天宮一號軌道距離地面高度為h。已知質(zhì)量分布均勻的球殼對殼內(nèi)物體的引力為零。求：(1)“天宮一號”繞地心轉(zhuǎn)一周的時間是多少？(2)“蛟龍”號所在處與“天宮一號”所在處的重力加速度之比為多少？14.(多選)2019年11月我國首顆亞米級高分辨率光學(xué)傳輸型立體測繪衛(wèi)星高分七號成功發(fā)射，高分七號在距地約600km的圓軌道運(yùn)行，先期發(fā)射的高分四號在距地約36000km的地球同步軌道運(yùn)行，關(guān)于兩顆衛(wèi)星下列說法正確的是()A.高分七號比高分四號運(yùn)行速率大B.高分七號比高分四號運(yùn)行周期大C.高分七號比高分四號向心加速度小D.相同時間內(nèi)高分七號與地心連線掃過的面積比高分四號小15.有a、b、c、d四顆地球衛(wèi)星：a還未發(fā)射，在地球赤道上隨地球表面一起轉(zhuǎn)動；b在地球的近地圓軌道上正常運(yùn)行；c是地球同步衛(wèi)星；d是高空探測衛(wèi)星。各衛(wèi)星排列位置如圖，則下列說法正確的是()A.a的向心加速度大于b的向心加速度B.四顆衛(wèi)星的速度大小關(guān)系是：va＞vb＞vc＞vdC.在相同時間內(nèi)d轉(zhuǎn)過的弧長最長D.d的運(yùn)動周期可能是30h16．(2018·全國卷Ⅱ·16)2018年2月，我國500m口徑射電望遠(yuǎn)鏡(天眼)發(fā)現(xiàn)毫秒脈沖星“J0318＋0253”，其自轉(zhuǎn)周期T＝5.19ms.假設(shè)星體為質(zhì)量均勻分布的球體，已知萬有引力常量為6.67×10－11N·m2/kg2.以周期T穩(wěn)定自轉(zhuǎn)的星體的密度最小值約為()A．5×109kg/m3 B．5×1012kg/m3C．5×1015kg/m3 D．5×1018kg/m317．科技日報北京2017年9月6日電，英國《自然·天文學(xué)》雜志發(fā)表的一篇論文稱，某科學(xué)家在銀河系中心附近的一團(tuán)分子氣體云中發(fā)現(xiàn)了一個黑洞．科學(xué)研究表明，當(dāng)天體的逃逸速度(逃逸速度為其第一宇宙速度的eq\r(2)倍)超過光速時，該天體就是黑洞．已知某天體與地球的質(zhì)量之比為k，地球的半徑為R，地球的環(huán)繞速度(第一宇宙速度)為v1,光速為c，則要使該天體成為黑洞，其半徑應(yīng)小于()A.eq\f(2v12R,kc2) B.eq\f(2kc2R,v12)C.eq\f(kv12R,2c2) D.eq\f(2kv12R,c2)18．一火箭從地面由靜止開始以5m/s2的加速度豎直向上勻加速運(yùn)動，火箭中有一質(zhì)量為1.6kg的科考儀器，在上升到距地面某一高度時科考儀器的視重為9N，則此時火箭離地球表面的距離為地球半徑的(地球表面處的重力加速度g取10m/s2)()A.eq\f(1,2)倍B．2倍C．3倍D．4倍7.3萬有引力理論的成就學(xué)習(xí)目標(biāo)學(xué)習(xí)目標(biāo)課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)認(rèn)識萬有引力定律的重要意義。1、理解“稱量地球質(zhì)量”的基本思路，了解萬有引力定律在天文學(xué)上的重要應(yīng)用。2、理解計算太陽質(zhì)量的基本思路，能將天體問題中的對象和過程轉(zhuǎn)換成相關(guān)模型后進(jìn)行求解。3、認(rèn)識萬有引力定律的科學(xué)成就，體會科學(xué)的迷人魅力，進(jìn)一步認(rèn)識運(yùn)動與相互作用觀念。002預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)課前研讀課本，梳理基礎(chǔ)知識：一、物理量隨軌道半徑變化的規(guī)律二、地球靜止軌道衛(wèi)星的6個“一定”軌道面一定軌道平面與赤道平面共面周期一定與地球自轉(zhuǎn)周期相同，即T＝24h角速度一定與地球自轉(zhuǎn)的角速度相同高度一定由Geq\f(Mm,R＋h2)＝meq\f(4π2,T2)(R＋h)得同步衛(wèi)星離地面的高度h＝eq\r(3,\f(GMT2,4π2))－R≈6R(恒量)速率一定運(yùn)行速率v＝eq\r(\f(GM,R＋h))繞行方向一定與地球自轉(zhuǎn)的方向一致三、天體質(zhì)量和密度的計算方法1“自力更生”法(g－R)利用天體表面的重力加速度g和天體半徑R。(1)由Geq\f(Mm,R2)＝mg得天體質(zhì)量M＝eq\f(gR2,G)。(2)天體密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3g,4πGR)。(3)GM＝gR2稱為黃金代換公式。方法2“借助外援”法(T－r)測出衛(wèi)星繞天體做勻速圓周運(yùn)動的周期T和半徑r。(1)由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r得天體的質(zhì)量M＝eq\f(4π2r3,GT2)。(2)若已知天體的半徑R，則天體的密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3πr3,GT2R3)。(3)若衛(wèi)星繞天體表面運(yùn)行時，可認(rèn)為軌道半徑r等于天體半徑R，則天體密度ρ＝eq\f(3π,GT2)，可見，只要測出衛(wèi)星環(huán)繞天體表面運(yùn)動的周期T，就可估算出中心天體的密度。四、天體表面的重力加速度1．萬有引力與重力的關(guān)系地球?qū)ξ矬w的萬有引力F表現(xiàn)為兩個效果：一是重力mg，二是提供物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心力F向，如圖所示。(1)在赤道上：Geq\f(Mm,R2)＝mg1＋mω2R。(2)在兩極上：Geq\f(Mm,R2)＝mg2。2．星體表面上的重力加速度(1)在地球表面附近的重力加速度g(不考慮地球自轉(zhuǎn))：mg＝Geq\f(Mm,R2)，得g＝eq\f(GM,R2)。(2)在地球上空距離地心r＝R＋h處的重力加速度為g′，由mg′＝eq\f(GMm,R＋h2)，得g′＝eq\f(GM,R＋h2)所以eq\f(g,g′)＝eq\f(R＋h2,R2)。五、星球的瓦解問題當(dāng)星球自轉(zhuǎn)越來越快時，星球?qū)Α俺嗟馈鄙系奈矬w的引力不足以提供向心力時，物體將會“飄起來”，進(jìn)一步導(dǎo)致星球瓦解，瓦解的臨界條件是赤道上的物體所受星球的引力恰好提供向心力，即eq\f(GMm,R2)＝mω2R，得ω＝eq\r(\f(GM,R3)).當(dāng)ω>eq\r(\f(GM,R3))時，星球瓦解，當(dāng)ω<eq\r(\f(GM,R3))時，星球穩(wěn)定運(yùn)行．六、黑洞黑洞是一種密度極大、引力極大的天體，以至于光都無法逃逸，科學(xué)家一般通過觀測繞黑洞運(yùn)行的天體的運(yùn)動規(guī)律間接研究黑洞．當(dāng)天體的逃逸速度(逃逸速度為其第一宇宙速度的eq\r(2)倍)超過光速時，該天體就是黑洞．（二）即時練習(xí)：【小試牛刀1】假設(shè)在月球表面將物體以某速度豎直上拋，經(jīng)過時間t物體落回月球表面，物體上升的最大高度為h。已知月球半徑為R，引力常量為G，不計一切阻力。則月球的密度為()A.eq\f(3πh,4Rt2)B.eq\f(6πh,GRt2)C.eq\f(6h,GπRt2)D.eq\f(8πh,3GRt2)[解析]設(shè)月球質(zhì)量為M，月球表面重力加速度為g′，由自由落體運(yùn)動公式得h＝eq\f(1,2)g′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(t,2)))2，月球表面質(zhì)量為m的物體所受重力mg′＝Geq\f(Mm,R2)，月球體積為V＝eq\f(4,3)πR3，則月球的密度為ρ＝eq\f(M,V)，聯(lián)立以上各式得ρ＝eq\f(6h,GπRt2)，C正確。[答案]C【小試牛刀2】(多選)如圖所示，赤道上空的衛(wèi)星A距地面高度為R，質(zhì)量為m的物體B靜止在地球表面的赤道上，衛(wèi)星A繞行方向與地球自轉(zhuǎn)方向相同。已知地球半徑也為R，地球自轉(zhuǎn)角速度為ω0，地球的質(zhì)量為M，引力常量為G。若某時刻衛(wèi)星A恰在物體B的正上方，下列說法正確的是()A.物體B受到地球的引力為mRωeq\o\al(2,0)B.衛(wèi)星A的線速度為eq\r(\f(GM,2R))C.衛(wèi)星A再次到達(dá)物體B上方的時間為eq\f(2π,\r(\f(GM,R3))－ω0)D.衛(wèi)星A與物體B的向心加速度之比為eq\f(GM,4R3ωeq\o\al(2,0))答案BD解析物體B受到地球的引力應(yīng)為萬有引力F＝eq\f(GMm,R2)，不等于向心力mRωeq\o\al(2,0)，故A錯誤；對衛(wèi)星A，根據(jù)萬有引力提供向心力，可得Geq\f(Mm,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2R))\s\up12(2))＝meq\f(v2,2R)，因此衛(wèi)星A的線速度v＝eq\r(\f(GM,2R))，故B正確；由Geq\f(Mm,（2R）2)＝mωeq\o\al(2,A)(2R)知，衛(wèi)星A的角速度為ωA＝eq\r(\f(GM,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2R))3))，此時A和B恰好相距最近，當(dāng)他們下次相距最近時間滿足eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωA－ω0))t＝2π，因此聯(lián)立解得t＝eq\f(2π,ω0－\r(\f(GM,8R3)))，故C錯誤；依題得，衛(wèi)星A的向心加速度為aA＝eq\f(GM,4R2)，物體B的向心加速度aB＝ωeq\o\al(2,0)R，因此向心加速度之比為eq\f(aA,aB)＝eq\f(GM,4R3ωeq\o\al(2,0))，故D正確?！拘≡嚺５?】一近地衛(wèi)星的運(yùn)行周期為T0，地球的自轉(zhuǎn)周期為T，則地球的平均密度與地球不因自轉(zhuǎn)而瓦解的最小密度之比為()A.eq\f(T0,T)B.eq\f(T,T0)C.eq\f(T02,T2)D.eq\f(T2,T02)答案D解析對近地衛(wèi)星，有Geq\f(Mm,R2)＝m(eq\f(2π,T0))2R，地球的質(zhì)量M＝ρ1·eq\f(4,3)πR3，聯(lián)立解得ρ1＝eq\f(3π,GT02)，以地球赤道處一質(zhì)量為m0的物體為研究對象，只有當(dāng)它受到的萬有引力大于等于它隨地球一起旋轉(zhuǎn)所需的向心力時，地球才不會瓦解，設(shè)地球不因自轉(zhuǎn)而瓦解的最小密度為ρ2，則有Geq\f(Mm0,R2)＝m0(eq\f(2π,T))2R，M＝ρ2·eq\f(4,3)πR3，聯(lián)立解得ρ2＝eq\f(3π,GT2)，所以eq\f(ρ1,ρ2)＝eq\f(T2,T02)，故選D.003題型精講【題型一】萬有引力與重力的關(guān)系【典型例題1】(多選)萬有引力定律能夠很好地將天體運(yùn)行規(guī)律與地球上物體運(yùn)動規(guī)律具有的內(nèi)在一致性統(tǒng)一起來。用彈簧測力計稱量一個相對于地球靜止的小物體的重量，隨稱量位置的變化可能會有不同的結(jié)果。已知地球質(zhì)量為M，引力常量為G，將地球視為半徑為R、質(zhì)量分布均勻的球體。下列說法正確的是()A．在北極地面稱量時，彈簧測力計讀數(shù)為F0＝Geq\f(Mm,R2)B．在赤道地面稱量時，彈簧測力計讀數(shù)為F1＝Geq\f(Mm,R2)C．在北極上空高出地面h處稱量時，彈簧測力計讀數(shù)為F2＝Geq\f(Mm,R＋h2)D．在赤道上空高出地面h處稱量時，彈簧測力計讀數(shù)為F3＝Geq\f(Mm,R＋h2)[解析]在北極地面稱量時，物體不隨地球自轉(zhuǎn)，萬有引力等于重力，則有F0＝Geq\f(Mm,R2)，故A正確；在赤道地面稱量時，萬有引力等于重力加上物體隨地球一起自轉(zhuǎn)所需要的向心力，則有F1<Geq\f(Mm,R2)，故B錯誤；在北極上空高出地面h處稱量時，萬有引力等于重力，則有F2＝Geq\f(Mm,R＋h2)，故C正確；在赤道上空高出地面h處稱量時，F(xiàn)3<Geq\f(Mm,R＋h2)，故D錯誤。[答案]AC【典型例題2】(多選)2021年5月15日，“天問一號”火星探測器所攜帶的祝融號火星車及其著陸組合體成功著陸于火星，這標(biāo)志著我國首次火星探測任務(wù)取得圓滿成功。假設(shè)火星為質(zhì)量分布均勻的球體，已知火星質(zhì)量是地球質(zhì)量的a倍，火星半徑是地球半徑的b倍，地球表面的重力加速度為g，質(zhì)量均勻的球殼對其內(nèi)部物體的引力為零，則()A．火星表面重力加速度為eq\f(ag,b2)B．火星表面重力加速度為eq\f(b2g,a)C．火星表面正下方距表面距離為火星半徑eq\f(1,2)處的重力加速度為eq\f(ag,2b2)D．火星表面正下方距表面距離為火星半徑eq\f(1,2)處的重力加速度為eq\f(ag,4b2)[解析]在地球表面有Geq\f(Mm,R2)＝mg，在火星表面有Geq\f(aMm,bR2)＝mg′，聯(lián)立解得火星表面重力加速度為g′＝eq\f(ag,b2)，則A正確，B錯誤；設(shè)火星的密度為ρ，火星的半徑為R0，由于質(zhì)量均勻的球殼對其內(nèi)部物體的引力為零，則在火星表面正下方距表面距離為火星半徑eq\f(1,2)處的重力加速度相當(dāng)火星內(nèi)部那部分產(chǎn)生的引力產(chǎn)生的，則火星內(nèi)部那部分質(zhì)量為M′＝ρeq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R0,2)))3＝eq\f(1,8)M火＝eq\f(1,8)aM，火星表面正下方距表面距離為火星半徑eq\f(1,2)處的重力加速度為g″，則有Geq\f(\f(1,8)M火m,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R0,2)))2)＝mg″，聯(lián)立解得g″＝eq\f(ag,2b2)，所以C正確，D錯誤。[答案]AC【對點(diǎn)訓(xùn)練1】某類地天體可視為質(zhì)量分布均勻的球體，由于自轉(zhuǎn)的原因，其表面“赤道”處的重力加速度為g1，“極點(diǎn)”處的重力加速度為g2，若已知自轉(zhuǎn)周期為T，則該天體的半徑為()A.eq\f(4π2,g1T2) B.eq\f(4π2,g2T2)C.eq\f(g2－g1T2,4π2) D.eq\f(g1＋g2T2,4π2)答案C解析在“極點(diǎn)”處：mg2＝eq\f(GMm,R2)；在其表面“赤道”處：eq\f(GMm,R2)－mg1＝m(eq\f(2π,T))2R；解得：R＝eq\f(g2－g1T2,4π2)，故選C.【對點(diǎn)訓(xùn)練2】2020年12月17日，“嫦娥五號”成功返回，標(biāo)志著中國全面掌握無人地月往返系列技術(shù)。已知地球半徑為月球半徑的p倍，地球質(zhì)量為月球質(zhì)量的q倍。若探測器在地球表面以某一初速度豎直向上射出一物體，忽略空氣阻力，其上升的最大高度為h0。忽略星球自轉(zhuǎn)的影響，該探測器在月球表面以相同的初速度豎直向上射出同一物體，其上升的最大高度為()A.eq\f(qh0,p2)B.eq\f(h0p2,q)C.eq\f(h0,qp2) D．qp2h0[解析]設(shè)月球的重力加速度為g′，在月球上拋物體上升的高度為h′，忽略星球自轉(zhuǎn)的影響，則根據(jù)eq\f(GMm,R2)＝mg，可得g＝eq\f(GM地,R地2)＝eq\f(GqM月,pR月2)，g′＝eq\f(GM月,R月2)，eq\f(g,g′)＝eq\f(q,p2)，在地球上上升的高度h0＝eq\f(v02,2g)，在月球上上升的高度h′＝eq\f(v02,2g′)，eq\f(h′,h0)＝eq\f(g,g′)，解得h′＝eq\f(qh0,p2)，故選A。[答案]A【題型二】估算問題【典型例題3】(2021·廣東高考)2021年4月，我國自主研發(fā)的空間站“天和”核心艙成功發(fā)射并入軌運(yùn)行。若核心艙繞地球的運(yùn)行可視為勻速圓周運(yùn)動，已知引力常量，由下列物理量能計算出地球質(zhì)量的是()A．核心艙的質(zhì)量和繞地半徑B．核心艙的質(zhì)量和繞地周期C．核心艙的繞地角速度和繞地周期D．核心艙的繞地線速度和繞地半徑解析：選D根據(jù)萬有引力提供核心艙繞地球做勻速圓周運(yùn)動的向心力，可得eq\f(GMm,r2)＝meq\f(v2,r)，解得M＝eq\f(v2r,G)，D正確；由于核心艙質(zhì)量在運(yùn)算中被約掉，故無法通過核心艙質(zhì)量求解地球質(zhì)量，A、B錯誤；已知核心艙的繞地角速度，由eq\f(GMm,r2)＝mω2r得M＝eq\f(ω2r3,G)，且ω＝eq\f(2π,T)，故還需要知道核心艙的繞地半徑，才能求得地球質(zhì)量，C錯誤?！镜湫屠}4】若將北斗導(dǎo)航衛(wèi)星繞地球的運(yùn)動近似看成是勻速圓周運(yùn)動，運(yùn)行軌道距地面的高度為h，運(yùn)行周期為T，已知萬有引力常量為G，地球半徑為R。則地球質(zhì)量M和地球的平均密度ρ分別為()A．M＝eq\f(4π2R＋h3,GT2)，ρ＝eq\f(3πR＋h3,GT2R3)B．M＝eq\f(4π2R＋h3,GT2)，ρ＝eq\f(6πR＋h3,GT2R3)C．M＝eq\f(4π2R＋h3,3GT2)，ρ＝eq\f(3πR＋h3,GT2R3)D．M＝eq\f(4π2R＋h3,3GT2)，ρ＝eq\f(6πR＋h3,GT2R3)[解析]將北斗導(dǎo)航衛(wèi)星繞地球的運(yùn)動近似看成是勻速圓周運(yùn)動，設(shè)衛(wèi)星的質(zhì)量為m，由萬有引力提供向心力有Geq\f(Mm,R＋h2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2(R＋h)，解得M＝eq\f(4π2R＋h3,GT2)，又有M＝ρeq\f(4,3)πR3，解得ρ＝eq\f(3πR＋h3,GT2R3)，A正確。[答案]A【對點(diǎn)訓(xùn)練3】(2021·全國乙卷)科學(xué)家對銀河系中心附近的恒星S2進(jìn)行了多年的持續(xù)觀測，給出1994年到2002年間S2的位置如圖所示。科學(xué)家認(rèn)為S2的運(yùn)動軌跡是半長軸約為1000AU(太陽到地球的距離為1AU)的橢圓，銀河系中心可能存在超大質(zhì)量黑洞。這項研究工作獲得了2020年諾貝爾物理學(xué)獎。若認(rèn)為S2所受的作用力主要為該大質(zhì)量黑洞的引力，設(shè)太陽的質(zhì)量為M，可以推測出該黑洞質(zhì)量約為()A．4×104M B．4×106MC．4×108M D．4×1010M解析：選B由萬有引力提供向心力有eq\f(GM中m,R2)＝meq\f(4π2,T2)R，整理得eq\f(R3,T2)＝eq\f(GM中,4π2)，可知eq\f(R3,T2)只與中心天體的質(zhì)量有關(guān)，則eq\f(M黑洞,M)＝eq\f(\f(RS23,TS22),\f(R地3,T地2))，已知T地＝1年，由題圖可知恒星S2繞銀河系運(yùn)動的周期TS2＝2×(2002－1994)年＝16年，解得M黑洞≈4×106M，B正確。【對點(diǎn)訓(xùn)練4】（多選）“嫦娥五號”探測器繞月球做勻速圓周運(yùn)動時，軌道半徑為r，速度大小為v。已知月球半徑為R，引力常量為G，忽略月球自轉(zhuǎn)的影響。下列選項正確的是()A.月球平均密度為eq\f(3v2,4πGR2) B.月球平均密度為eq\f(3v2r,4πGR3)C.月球表面重力加速度為eq\f(v2,R) D.月球表面重力加速度為eq\f(v2r,R2)答案BD解析由萬有引力提供向心力Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)得M＝eq\f(v2r,G)，月球體積V＝eq\f(4,3)πR3，所以月球平均密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(3v2r,4πGR3)，故B項正確，A項錯誤；由Geq\f(Mm,R2)＝mg且M＝eq\f(v2r,G)得g＝eq\f(v2r,R2)，故D項正確，C項錯誤。【題型三】對比問題【典型例題5】如圖甲所示，太陽系中有一顆“躺著”自轉(zhuǎn)的藍(lán)色“冷行星”——天王星，周圍存在著環(huán)狀物質(zhì)。假設(shè)為了測定環(huán)狀物質(zhì)是天王星的組成部分，還是環(huán)繞該行星的衛(wèi)星群，“中國天眼”對其做了精確的觀測，發(fā)現(xiàn)環(huán)狀物質(zhì)線速度的二次方即v2與到行星中心的距離的倒數(shù)即r－1關(guān)系如圖乙所示。已知天王星的半徑為r0，引力常量為G，以下說法正確的是()A．環(huán)狀物質(zhì)是天王星的組成部分B．天王星的自轉(zhuǎn)周期為eq\f(2πr0,v0)C．v2-r－1關(guān)系圖像的斜率等于天王星的質(zhì)量D．天王星表面的重力加速度為eq\f(v02,r0)解析：選D若環(huán)狀物質(zhì)是天王星的組成部分，則環(huán)狀物質(zhì)與天王星同軸轉(zhuǎn)動，角速度相同是定值，由線速度公式v＝ωr可得v∝r，A、B錯誤；若環(huán)狀物質(zhì)是天王星的衛(wèi)星群，由天王星對環(huán)狀物質(zhì)的引力提供環(huán)狀物質(zhì)做圓周運(yùn)動的向心力，則有Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，可得v2＝GMr－1，則有v2∝r－1，由圖像特點(diǎn)可知，環(huán)狀物質(zhì)是天王星的衛(wèi)星群，可得v2-r－1圖像的斜率等于GM，C錯誤；由v2-r－1的關(guān)系圖像可知r－1的最大值是r0－1，則天王星的衛(wèi)星群轉(zhuǎn)動的最小半徑為r0，即天王星的半徑是r0，衛(wèi)星群在天王星的表面運(yùn)行的線速度為v0，天王星表面的重力加速度，即衛(wèi)星群的向心加速度為eq\f(v02,r0)，D正確?！镜湫屠}6】(多選)(2020·江蘇卷，7)甲、乙兩顆人造衛(wèi)星質(zhì)量相等，均繞地球做圓周運(yùn)動，甲的軌道半徑是乙的2倍。下列應(yīng)用公式進(jìn)行的推論正確的有()A.由v＝eq\r(gR)可知，甲的速度是乙的eq\r(2)倍B.由a＝ω2r可知，甲的向心加速度是乙的2倍C.由F＝eq\f(GMm,r2)可知，甲的向心力是乙的eq\f(1,4)D.由eq\f(r3,T2)＝k可知，甲的周期是乙的2eq\r(2)倍解析兩衛(wèi)星均繞地球做圓周運(yùn)動，甲的軌道半徑是乙的2倍，由eq\f(GMm,r2)＝eq\f(mv2,r)，可得v＝eq\r(\f(GM,r))，則乙的速度是甲的eq\r(2)倍，選項A錯誤；由eq\f(GMm,r2)＝ma，可得a＝eq\f(GM,r2)，則乙的向心加速度是甲的4倍，選項B錯誤；由F＝eq\f(GMm,r2)，結(jié)合兩人造衛(wèi)星質(zhì)量相等，可知甲的向心力是乙的eq\f(1,4)，選項C正確；兩衛(wèi)星均繞地球做圓周運(yùn)動，且甲的軌道半徑是乙的2倍，結(jié)合開普勒第三定律可知，甲的周期是乙的2eq\r(2)倍，選項D正確。答案CD【對點(diǎn)訓(xùn)練5】(多選)衛(wèi)星繞某行星做勻速圓周運(yùn)動的速率的平方(v2)與衛(wèi)星的軌道半徑的倒數(shù)(eq\f(1,r))的關(guān)系如圖所示，圖中b為圖線縱坐標(biāo)的最大值，圖線的斜率為k，萬有引力常量為G，則下列說法正確的是()A.行星的半徑為kbB.行星的質(zhì)量為eq\f(k,G)C.行星的密度為eq\f(3b3,4πGk2)D.行星的第一宇宙速度為eq\r(b)答案BCD解析衛(wèi)星繞行星做勻速圓周運(yùn)動，由萬有引力提供向心力，則有Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，得v2＝GM·eq\f(1,r)設(shè)行星的半徑為R，由圖知，當(dāng)r＝R時，v2＝b，GM＝k，解得R＝eq\f(k,b)，故A錯誤；由上知，GM＝k，得行星的質(zhì)量為M＝eq\f(k,G)，故B正確；行星的體積V＝eq\f(4,3)πR3，密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(3b3,4πGk2)，故C正確；衛(wèi)星在行星表面做勻速圓周運(yùn)動時，運(yùn)行速度為第一宇宙速度Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(v2,R)，解得第一宇宙速度v＝eq\r(\f(GM,R))＝eq\r(b)，故D正確?！緦c(diǎn)訓(xùn)練6】科幻電影《流浪地球》講述了這樣的故事：太陽即將毀滅，人類在地球上建造出巨大的推進(jìn)器，使地球經(jīng)歷了停止自轉(zhuǎn)、加速逃逸、勻速滑行、減速入軌等階段，最后成為比鄰星的一顆行星。假設(shè)若干年后，地球流浪成功。設(shè)比鄰星的質(zhì)量為太陽質(zhì)量的eq\f(1,4)，地球質(zhì)量在流浪過程中損失了eq\f(1,4)，地球繞比鄰星運(yùn)行的軌道半徑為地球繞太陽運(yùn)行軌道半徑的eq\f(1,2)，則地球繞比鄰星運(yùn)行與繞太陽運(yùn)行相比較，下列關(guān)系正確的是()A.公轉(zhuǎn)周期之比為T比∶T日＝1∶1B.向心加速度之比為a比∶a日＝3∶4C.動能之比為Ek比∶Ek日＝3∶8D.萬有引力之比為F比∶F日＝3∶8答案C解析萬有引力提供向心力，由牛頓第二定律得Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，解得T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，故T比∶T日＝eq\r(2)∶2，故A錯誤；萬有引力提供向心力，由牛頓第二定律得Geq\f(Mm,r2)＝ma，解得a＝eq\f(GM,r2)，故a比∶a日＝1∶1，故B錯誤；萬有引力提供向心力，由牛頓第二定律得Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，動能Ek＝eq\f(1,2)mv2＝eq\f(GMm,2r)，代入數(shù)據(jù)計算解得動能之比為Ek比∶Ek日＝3∶8，故C正確；根據(jù)萬有引力F＝eq\f(GMm,r2)，代入數(shù)據(jù)計算解得F比∶F日＝3∶4，故D錯誤。004體系構(gòu)建1．重力與萬有引力的關(guān)系2．天體質(zhì)量、密度的計算3．對比問題4．地球衛(wèi)星005記憶清單一、天體質(zhì)量、密度的計算使用方法已知量利用公式表達(dá)式備注質(zhì)量的計算利用運(yùn)行天體r、TGeq\f(Mm,r2)＝mreq\f(4π2,T2)M＝eq\f(4π2r3,GT2)只能得到中心天體的質(zhì)量r、vGeq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)M＝eq\f(rv2,G)v、TGeq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)Geq\f(Mm,r2)＝mreq\f(4π2,T2)M＝eq\f(v3T,2πG)利用天體表面重力加速度g、Rmg＝eq\f(GMm,R2)M＝eq\f(gR2,G)密度的計算利用運(yùn)行天體r、T、RGeq\f(Mm,r2)＝mreq\f(4π2,T2)M＝ρ·eq\f(4,3)πR3ρ＝eq\f(3πr3,GT2R3)當(dāng)r＝R時ρ＝eq\f(3π,GT2)利用近地衛(wèi)星只需測出其運(yùn)行周期利用天體表面重力加速度g、Rmg＝eq\f(GMm,R2)M＝ρ·eq\f(4,3)πR3ρ＝eq\f(3g,4πGR)二、對比問題1.線速度：Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)?v＝eq\r(\f(GM,r))2.角速度：Geq\f(Mm,r2)＝mω2r?ω＝eq\r(\f(GM,r3))3.周期：Geq\f(Mm,r2)＝m(eq\f(2π,T))2r?T＝2πeq\r(\f(r3,GM))4.向心加速度：Geq\f(Mm,r2)＝ma?a＝eq\f(GM,r2)結(jié)論：r越大，v、ω、a越小，T越大。00601強(qiáng)化訓(xùn)練1．(2020·全國卷Ⅰ，15)火星的質(zhì)量約為地球質(zhì)量的eq\f(1,10)，半徑約為地球半徑的eq\f(1,2)，則同一物體在火星表面與在地球表面受到的引力的比值約為()A.0.2 B.0.4C.2.0 D.2.5答案B解析由萬有引力定律可得，質(zhì)量為m的物體在地球表面上時，受到的萬有引力大小為F地＝Geq\f(M地m,Req\o\al(2,地))，質(zhì)量為m的物體在火星表面上時，受到的萬有引力大小為F火＝Geq\f(M火m,Req\o\al(2,火))，二者的比值eq\f(F火,F地)＝eq\f(M火Req\o\al(2,地),M地Req\o\al(2,火))＝0.4，B正確，A、C、D錯誤。2.將一質(zhì)量為m的物體分別放在地球的南、北兩極點(diǎn)時，該物體的重力均為mg0；將該物體放在地球赤道上時，該物體的重力為mg.假設(shè)地球可視為質(zhì)量均勻分布的球體，半徑為R，已知引力常量為G，則由以上信息可得出()A．g0小于gB．地球的質(zhì)量為eq\f(gR2,G)C．地球自轉(zhuǎn)的角速度為ω＝eq\r(\f(g0－g,R))D．地球的平均密度為eq\f(3g,4πGR)答案C解析設(shè)地球的質(zhì)量為M，物體在赤道處隨地球自轉(zhuǎn)做圓周運(yùn)動的角速度等于地球自轉(zhuǎn)的角速度，軌道半徑等于地球半徑，物體在赤道上的重力和物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心力是萬有引力的分力．有Geq\f(Mm,R2)－mg＝mω2R，物體在兩極受到的重力等于萬有引力Geq\f(Mm,R2)＝mg0，所以g0＞g，故A錯誤；在兩極mg0＝Geq\f(Mm,R2)，解得M＝eq\f(g0R2,G)，故B錯誤；由Geq\f(Mm,R2)－mg＝mω2R，mg0＝Geq\f(Mm,R2)，解得ω＝eq\r(\f(g0－g,R))，故C正確；地球的平均密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(\f(g0R2,G),\f(4,3)πR3)＝eq\f(3g0,4πGR)，故D錯誤．3.宇航員在某星球上為了探測其自轉(zhuǎn)周期做了如下實(shí)驗：在該星球兩極點(diǎn)，用彈簧秤測得質(zhì)量為M的砝碼所受重力為F，在赤道測得該砝碼所受重力為F′。他還發(fā)現(xiàn)探測器繞該星球表面做勻速圓周運(yùn)動的周期為T。假設(shè)該星球可視為質(zhì)量分布均勻的球體，則其自轉(zhuǎn)周期為()A．Teq\r(\a\vs4\al(\f(F′,F))) B．Teq\r(\f(F,F′))C．Teq\r(\a\vs4\al(\f(F－F′,F))) D．Teq\r(\f(F,F－F′))解析：選D設(shè)星球和探測器質(zhì)量分別為m、m′在兩極點(diǎn)，有：Geq\f(Mm,R2)＝F，在赤道，有：Geq\f(Mm,R2)－F′＝MReq\f(4π2,T自2)，探測器繞該星球表面做勻速圓周運(yùn)動的周期為T，則有：Geq\f(mm′,R2)＝m′Req\f(4π2,T2)；聯(lián)立以上三式解得T自＝Teq\r(\f(F,F－F′))。故D正確，A、B、C錯誤。4.我國航空航天技術(shù)已居于世界前列。如圖所示，飛行器P繞某星球做勻速圓周運(yùn)動，星球相對飛行器的張角為θ。已知萬有引力常量G，下列說法正確的是()A.軌道半徑越大，周期越小B.若測得周期和張角，可得到星球的平均密度C.若測得周期和張角，可得到星球的質(zhì)量D.若測得周期和軌道半徑，可得到星球的平均密度答案B解析根據(jù)開普勒第三定律可知eq\f(r3,T2)＝k，軌道半徑越大，飛行器的周期越大，故A錯誤；設(shè)星球的質(zhì)量為M，半徑為R，平均密度為ρ，張角為θ，飛行器的質(zhì)量為m，軌道半徑為r，周期為T。對于飛行器，根據(jù)萬有引力提供向心力得Geq\f(Mm,r2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))eq\s\up12(2)r，解得星球質(zhì)量M＝eq\f(4π2r3,GT2)，由幾何關(guān)系有R＝rsineq\f(θ,2)，若測得周期和張角，因為星球的半徑和軌道半徑均未知，則不能得到星球的質(zhì)量，星球的平均密度ρ＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3π,GT2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(θ,2)))\s\up12(3))，即若測得周期和張角，可得到星球的平均密度，故B正確，C錯誤；由上述分析可知，若測得周期和軌道半徑可以得到星球質(zhì)量，不能得到星球的平均密度，故D錯誤。5.近地衛(wèi)星繞地球的運(yùn)動可視為勻速圓周運(yùn)動，若其軌道半徑近似等于地球半徑R，運(yùn)行周期為T，地球質(zhì)量為M，引力常量為G，則()A.近地衛(wèi)星繞地球運(yùn)動的向心加速度大小近似為eq\f(2π2R,T2)B.近地衛(wèi)星繞地球運(yùn)動的線速度大小近似為eq\r(\f(R,GM))C.地球表面的重力加速度大小近似為eq\f(M,GR2)D.地球的平均密度近似為eq\f(3π,GT2)答案D解析由向心加速度公式可知，近地衛(wèi)星繞地球運(yùn)動的向心加速度大小an＝ω2R＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))eq\s\up12(2)R＝eq\f(4π2R,T2)，故A錯誤；近地衛(wèi)星繞地球運(yùn)動的向心力由萬有引力提供，由向心力公式得Geq\f(Mm,R2)＝eq\f(mv2,R)，解得近地衛(wèi)星繞地球運(yùn)動的線速度大小v＝eq\r(\f(GM,R))，故B錯誤；地球表面的重力等于萬有引力，所以有mg＝Geq\f(Mm,R2)，地球表面的重力加速度大小為g＝eq\f(GM,R2)，故C錯誤；近地衛(wèi)星繞地球運(yùn)動的向心力由萬有引力提供，由向心力公式得Geq\f(Mm,R2)＝mrω2＝mReq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))eq\s\up12(2)，解得地球的質(zhì)量為M＝eq\f(4πR3,GT2)，地球的平均密度為ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(3π,GT2)，故D正確。6.我國發(fā)射的第三十二顆北斗導(dǎo)航衛(wèi)星屬于傾斜地球同步軌道衛(wèi)星，衛(wèi)星入軌并完成在軌測試后，將接入北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)，為用戶提供更可靠服務(wù)。通過查詢，傾斜地球同步軌道衛(wèi)星是運(yùn)轉(zhuǎn)軌道面與地球赤道面有夾角的軌道衛(wèi)星，它的運(yùn)轉(zhuǎn)周期也是24小時，如圖所示，關(guān)于該北斗導(dǎo)航衛(wèi)星說法正確的是()A．該衛(wèi)星可定位在北京的正上空B．該衛(wèi)星與地球靜止軌道衛(wèi)星的向心加速度大小是不等的C．該衛(wèi)星的發(fā)射速度v≤7.9km/sD．該衛(wèi)星的角速度與放在北京地面上物體隨地球自轉(zhuǎn)的角速度大小相等解析：選D根據(jù)題意，該衛(wèi)星是傾斜軌道，故不可能定位在北京的正上空，A錯誤；由于該衛(wèi)星的運(yùn)轉(zhuǎn)周期也是24小時，與地球靜止軌道衛(wèi)星的周期相同，故軌道半徑、向心加速度大小均相同，B錯誤；第一宇宙速度7.9km/s是最小的發(fā)射速度，C錯誤；根據(jù)ω＝eq\f(2π,T)可知，該衛(wèi)星的角速度與放在北京地面上物體隨地球自轉(zhuǎn)的角速度大小相等，D正確。7.(多選)我國計劃在2030年之前實(shí)現(xiàn)飛船載人登月計劃，假設(shè)你有幸成為登上月球的第一位中國人，如果告知萬有引力常量，你可以完成以下哪項工作()A.測出一個石塊的質(zhì)量，以及它在月球表面上方自由下落的高度和時間，求出月球表面上該石塊的重力B.測出一個石塊在月球表面上方做平拋運(yùn)動的高度和時間，求出月球的質(zhì)量C.從月球表面上撿取100塊石頭，測量它們的質(zhì)量和體積，求出月球的平均密度D.測出飛船貼近月球表面繞月球做勻速圓周運(yùn)動的周期，求出月球的平均密度答案AD解析根據(jù)h＝eq\f(1,2)gt2得g＝eq\f(2h,t2)，則月球表面上該石塊的重力G′＝mg＝meq\f(2h,t2)，故A正確；一個石塊在月球表面上方做平拋運(yùn)動的高度和時間，同樣有豎直方向h＝eq\f(1,2)gt2，得g＝eq\f(2h,t2)，又根據(jù)任意一星球表面物體重力等于萬有引力Geq\f(Mm,R2)＝mg，得M＝eq\f(2hR2,Gt2)，因不知道月球半徑，則求不出月球的質(zhì)量，故B錯誤；從月球表面上撿取100塊石頭，測量它們的質(zhì)量和體積，只能大體測出月球上石頭的密度，但月球密度不一定與月球上石頭的密度相同，故C錯誤；由萬有引力提供向心力得Geq\f(Mm,R2)＝m(eq\f(2π,T))2R，得M＝eq\f(4π2R3,GT2)，又M＝ρeq\f(4,3)πR3，聯(lián)立解得ρ＝eq\f(3π,gT2)，故D正確。8．(多選)我國北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)(BDS)已經(jīng)開始提供全球服務(wù)，具有定位、導(dǎo)航、授時、5G傳輸?shù)裙δ堋、B為“北斗”系統(tǒng)中的兩顆工作衛(wèi)星，其中A是高軌道的地球靜止同步軌道衛(wèi)星，B是中軌道衛(wèi)星。已知地球表面的重力加速度為g，地球的自轉(zhuǎn)周期為T0，下列判斷正確的是()A.衛(wèi)星A可能經(jīng)過江蘇上空B.衛(wèi)星B可能經(jīng)過江蘇上空C.周期大小TA＝T0＞TBD.向心加速度大小aA＜aB＜g答案BCD解析A是高軌道的地球靜止同步軌道衛(wèi)星，靜止在赤道上空，不可能經(jīng)過江蘇上空，故A錯誤；B是中軌道衛(wèi)星不是靜止同步軌道衛(wèi)星，所以衛(wèi)星B可能經(jīng)過江蘇上空，故B正確；根據(jù)Geq\f(Mm,r2)＝eq\f(4π2mr,T2)，可得T＝eq\r(\f(4π2r3,GM))，半徑越大，周期越大，所以TA＝T0＞TB，故C正確；根據(jù)萬有引力提供向心力Geq\f(Mm,r2)＝ma，a＝Geq\f(M,r2)，半徑越大，向心加速度越小，所以向心加速度大小aA＜aB＜g，故D正確。9.我國將于2020年年底前后發(fā)射嫦娥五號，實(shí)現(xiàn)區(qū)域軟著陸及采樣返回，完成探月工程“繞、落、回”三步走目標(biāo)。嫦娥五號由軌道器、返回器、著陸器等多個部分組成，其中著陸器將進(jìn)行月面軟著陸，軌道器留在近月軌道繞月飛行。設(shè)著陸器月面著陸后以初速v0豎直向上彈射一小物體，小物體上升的最大高度為h，已知月球的半徑R，則軌道器環(huán)月飛行的速度為()A.v0eq\r(\f(R,2h)) B.v0eq\r(\f(2R,h))C.v0eq\r(\f(2h,R)) D.v0eq\r(\f(h,2R))答案A解析由豎直上拋運(yùn)動可得veq\o\al(2,0)＝2gh，所以月球表面的重力加速度為g＝eq\f(veq\o\al(2,0),2h)由萬有引力提供向心力得Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(v2,R)由黃金代換gR2＝GM聯(lián)立得v＝eq\r(gR)＝eq\r(\f(veq\o\al(2,0),2h)·R)＝v0eq\r(\f(R,2h))，故選項A正確。10．(2020·山東卷，7)我國將在今年擇機(jī)執(zhí)行“天問1號”火星探測任務(wù)。質(zhì)量為m的著陸器在著陸火星前，會在火星表面附近經(jīng)歷一個時長為t0、速度由v0減速到零的過程。已知火星的質(zhì)量約為地球的0.1倍，半徑約為地球的0.5倍，地球表面的重力加速度大小為g，忽略火星大氣阻力。若該減速過程可視為一個豎直向下的勻減速直線運(yùn)動，此過程中著陸器受到的制動力大小約為()A.meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0.4g－\f(v0,t0))) B.meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0.4g＋\f(v0,t0)))C.meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0.2g－\f(v0,t0))) D.meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0.2g＋\f(v0,t0)))答案B解析由Geq\f(Mm,R2)＝mg，解得火星表面的重力加速度與地球表面重力加速度的比值eq\f(g火,g)＝eq\f(M火Req\o\al(2,地),M地Req\o\al(2,火))＝0.1×22＝0.4，即火星表面的重力加速度g火＝0.4g。著陸器著陸過程可視為豎直向下的勻減速直線運(yùn)動，由v0－at0＝0可得a＝eq\f(v0,t0)。由牛頓第二定律有F－mg火＝ma，解得F＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0.4g＋\f(v0,t0)))，選項B正確。11．2019年12月7日10時55分，我國在太原衛(wèi)星發(fā)射中心用“快舟一號”甲運(yùn)載火箭，成功將“吉林一號”高分02B衛(wèi)星發(fā)射升空，衛(wèi)星順利進(jìn)入預(yù)定軌道，繞地球做勻速圓周運(yùn)動。已知地球質(zhì)量為M、引力常量為G，衛(wèi)星與地心的連線在時間t(小于其運(yùn)動周期)內(nèi)掃過的面積為S，則衛(wèi)星繞地球運(yùn)動的軌道半徑為()A.eq\f(4S2,GMt2) B.eq\f(2S,t\r(GM))C.eq\f(GMt2,4S2) D.eq\f(t\r(GM),2S)答案A解析衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動，根據(jù)萬有引力提供向心力可知eq\f(GMm,r2)＝mω2r，根據(jù)幾何關(guān)系可知，衛(wèi)星與地心連線在時間t內(nèi)掃過的面積S＝eq\f(ωt,2π)πr2，聯(lián)立解得衛(wèi)星繞地球的軌道半徑r＝eq\f(4S2,GMt2)，故A正確，B、C、D錯誤。12.(多選)2019年1月3日，“嫦娥四號”探測器成功著陸在月球背面。著陸前的部分運(yùn)動過程簡化如下：在距月面15km高處繞月做勻速圓周運(yùn)動，然后減速下降至距月面100m處懸停，再緩慢降落到月面。已知萬有引力常量和月球的第一宇宙速度，月球半徑約為1.7×103km，由上述條件能估算出()A.月球質(zhì)量B.月球表面的重力加速度C.探測器在15km高處繞月運(yùn)動的周期D.探測器懸停時發(fā)動機(jī)產(chǎn)生的推力答案ABC解析第一宇宙速度v＝eq\r(\f(GM,R))＝eq\r(gR)，已知萬有引力常量和月球的第一宇宙速度，月球半徑約為1.7×103km，所以可以求出月球質(zhì)量M和月球表面的重力加速度g，故A、B正確；根據(jù)萬有引力提供環(huán)繞天體的向心力得Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，r＝R＋h，解得T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，所以可以求出探測器在15km高處繞月運(yùn)動的周期T，故C正確；探測器懸停時發(fā)動機(jī)產(chǎn)生的推力大小等于探測器的重力，由于不知道探測器的質(zhì)量，所以無法求出探測器懸停時發(fā)動機(jī)產(chǎn)生的推力，故D錯誤。13.由中國科學(xué)院、中國工程院兩院院士評出的2012年中國十大科技進(jìn)展新聞，于2013年1月19日揭曉，“神九”載人飛船與“天宮一號”成功對接和“蛟龍”號下潛突破7000米分別排在第一、第二。若地球半徑為R，把地球看做質(zhì)量分布均勻的球體，地球表面的重力加速度大小為g，引力常量為G?！膀札垺毕聺撋疃葹閐，天宮一號軌道距離地面高度為h。已知質(zhì)量分布均勻的球殼對殼內(nèi)物體的引力為零。求：(1)“天宮一號”繞地心轉(zhuǎn)一周的時間是多少？(2)“蛟龍”號所在處與“天宮一號”所在處的重力加速度之比為多少？答案(1)2πeq\r(\f(（R＋h）3,gR2))(2)eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(R－d))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(R＋h))2,R3)解析(1)根據(jù)萬有引力提供向心力得eq\f(GMm,（R＋h）2)＝meq\f(4π2,T2)(R＋h)地球表面的物體受到的萬有引力等于重力，即mg＝eq\f(GMm,R2)聯(lián)立解得T＝2πeq\r(\f(（R＋h）3,gR2))。(2)令地球的密度為ρ，對地球表面的物體g＝eq\f(GM,R2)由于地球的質(zhì)量為M＝ρ·eq\f(4,3)πR3所以重力加速度的表達(dá)式可寫成g＝eq\f(GM,R2)＝eq\f(Gρ·\f(4,3)πR3,R2)＝eq\f(4,3)πGρR根據(jù)萬有引力提供向心力eq\f(GMm,（R＋h）2)＝mg1“天宮一號”的加速度為g1＝eq\f(GM,（R＋h）2)eq\f(g1,g)＝eq\f(R2,（R＋h）2)根據(jù)題意有，質(zhì)量分布均勻的球殼對殼內(nèi)物體的引力為零，固在深度為d的地球內(nèi)部，受到地球的萬有引力即為半徑等于(R－d)的球體在其表面產(chǎn)生的萬有引力，故海底的重力加速度g2＝eq\f(4,3)πGρ(R－d)所以有eq\f(g2,g)＝eq\f(R－d,R)所以eq\f(g2,g1)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(R－d))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(R＋h))2,R3)。14.(多選)2019年11月我國首顆亞米級高分辨率光學(xué)傳輸型立體測繪衛(wèi)星高分七號成功發(fā)射，高分七號在距地約600km的圓軌道運(yùn)行，先期發(fā)射的高分四號在距地約36000km的地球同步軌道運(yùn)行，關(guān)于兩顆衛(wèi)星下列說法正確的是()A.高分七號比高分四號運(yùn)行速率大B.高分七號比高分四號運(yùn)行周期大C.高分七號比高分四號向心加速度小D.相同時間內(nèi)高分七號與地心連線掃過的面積比高分四號小答案AD解析萬有引力提供向心力，由牛頓第二定律得eq\f(GMm,r2)＝meq\f(v2,r)，可得v＝eq\r(\f(GM,r))，運(yùn)行軌道半徑越大，運(yùn)行的速度越小，高分七號比高分四號運(yùn)行速率大，故A正確；由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，得T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，運(yùn)行軌道半徑越大，運(yùn)行的周期越大，所以高分七號比高分四號運(yùn)行周期小，故B錯誤；Geq\f(Mm,r2)＝ma，得a＝eq\f(GM,r2)，運(yùn)行軌道半徑越大，運(yùn)行的加速度越小，所以高分七號比高分四號向心加速度大，故C錯誤；衛(wèi)星與地心連線掃過的面積為S＝eq\f(1,2)r2θ＝eq\f(1,2)rvt＝eq\f(t,2)eq\r(GMr)，相同時間內(nèi)，運(yùn)行軌道半徑越大，與地心連線掃過的面積越大，相同時間內(nèi)高分七號與地心連線掃過的面積比高分四號小，故D正確。15.有a、b、c、d四顆地球衛(wèi)星：a還未發(fā)射，在地球赤道上隨地球表面一起轉(zhuǎn)動；b在地球的近地圓軌道上正常運(yùn)行；c是地球同步衛(wèi)星；d是高空探測衛(wèi)星。各衛(wèi)星排列位置如圖，則下列說法正確的是()A.a的向心加速度大于b的向心加速度B.四顆衛(wèi)星的速度大小關(guān)系是：va＞vb＞vc＞vdC.在相同時間內(nèi)d轉(zhuǎn)過的弧長最長D.d的運(yùn)動周期可能是30h答案D解析因為a、c的角速度相同，根據(jù)a＝ω2r，因a離地心的距離小于c離地心的距離，所以a的向心加速度小于c；b、c是圍繞地球公轉(zhuǎn)的衛(wèi)星，根據(jù)萬有引力提供向心力Geq\f(Mm,r2)＝ma，得a＝eq\f(GM,r2)，因b的軌道半徑小于c的軌道半徑，所以b的向心加速度大于c，綜上分析可知，a的向心加速度小于b的向心加速度，故A錯誤；因為a、c的角速度相同，根據(jù)v＝ωr，知a的速度小于c；b、c、d是圍繞地球公轉(zhuǎn)的衛(wèi)星，根據(jù)萬有引力提供向心力Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，得v＝eq\r(\f(GM,r))，因b的軌道半徑最小，d的軌道半徑最大，所以b的速度大于c，c的速度大于d，則vb＞vc＞vd，vb＞vc＞va，故B錯誤；因b的速度最大，則在相同時間內(nèi)b轉(zhuǎn)過的弧長最長，故C錯誤；c、d是圍繞地