2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第八章立體幾何初步8.6.3平面與平面垂直一同步練習(xí)含解析新人教A版必修第二冊

PAGE課時素養(yǎng)評價三十二平面與平面垂直(一)(15分鐘30分)1.設(shè)α,β是兩個不同的平面,l,m是兩條不同的直線,且l?α,m?β ()A.若l⊥β,則α⊥β B.若α⊥β,則l⊥mC.若l∥β,則α∥β D.若α∥β,則l∥m【解析】選A.因為l⊥β,l?α,所以α⊥β(面面垂直的判定定理),故A正確.【補償訓(xùn)練】已知直線a,b與平面α,β,γ,下列能使α⊥β成立的條件是 ()A.α⊥γ,β⊥γB.α∩β=a,b⊥a,b?βC.a∥β,a∥αD.a∥α,a⊥β【解析】選D.由a∥α,知α內(nèi)必有直線l與a平行.而a⊥β,所以l⊥β,所以α⊥β.2.如圖所示,定點A和B都在平面α內(nèi),定點P?α,PB⊥α,C是平面α內(nèi)異于A和B的動點,且PC⊥AC,則△ABC為 ()A.銳角三角形 B.直角三角形C.鈍角三角形 D.無法確定【解析】選B.由PB⊥α,得PB⊥AC,又PC⊥AC,且PB∩PC=P,故AC⊥平面PBC,所以AC⊥BC,則△ABC為直角三角形.3.一個二面角的兩個半平面分別垂直于另一個二面角的兩個半平面,則這兩個二面角的大小關(guān)系為 ()A.相等 B.互補C.相等或互補 D.不確定【解析】選D.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是CD,C1D1的中點,二面角D-AA1-E與二面角B14.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E是CC1的中點,則平面EBD與平面AA1C1【解析】如圖,在正方體中,CC1⊥平面ABCD,所以CC1⊥BD.又AC⊥BD,CC1∩AC=C,所以BD⊥平面AA1C1C所以平面EBD⊥平面AA1C答案:垂直5.以等腰直角三角形斜邊上的高為棱,把它折成直二面角,則折疊后原等腰直角三角形兩條直角邊的夾角為.

【解析】如圖所示,是等腰直角三角形ABC以斜邊AB上的高CD為棱,折成直二面角后的圖形,折疊后AD⊥CD,BD⊥DC,∠ADB即所成二面角的平面角,故∠ADB=90°.設(shè)AD=a,則有BD=CD=a,所以AB=AC=BC=QUOTEa,所以△ABC是等邊三角形,所以折疊后原等腰直角三角形兩條直角邊AC,BC的夾角為60°.答案:60°6.(2024·合肥高一檢測)如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1(1)求證:DB1⊥AC;(2)求證:平面A1B1CD⊥平面ACD1.【證明】(1)連接BD、B1D1,因為DD1⊥平面ABCD,AC?平面ABCD,所以DD1⊥AC,又AC⊥BD,BD∩DD1=D,BD、DD1?平面DBB1D1,所以AC⊥平面DBB1D1,又DB1?平面DBB1D1,所以DB1⊥AC.(2)由(1)同理可得DB1⊥AD1,又AD1∩AC=A,AD1,AC?平面ACD1,所以DB1⊥平面ACD1,又DB1?平面A1B1CD,所以平面A1B1CD⊥平面ACD1.(30分鐘60分)一、單選題(每小題5分,共20分)1.假如直線l,m與平面α,β,γ滿意:β∩γ=l,l∥α,m?α和m⊥γ,那么必有 ()A.α⊥γ且l⊥m B.α⊥γ且m∥βC.m∥β且l⊥m D.α∥β且α⊥γ【解析】選A.B錯,有可能m與β相交;C錯,有可能m與β相交;D錯,有可能α與β相交.2.如圖,AB是圓的直徑,PA⊥AC,PA⊥BC,C是圓上一點(不同于A,B),且PA=AC,則二面角P-BC-A的平面角為 ()A.∠PAC B.∠CPAC.∠PCA D.∠CAB【解析】選C.因為AB為圓的直徑,所以AC⊥BC.因為PA⊥BC,AC∩PA=A,所以BC⊥平面PAC.所以BC⊥PC.所以∠PCA為二面角P-BC-A的平面角.3.如圖,在四棱錐S-ABCD中,底面ABCD為正方形,SA⊥平面ABCD,AC與BD相交于點O,點P是側(cè)棱SC上一動點,則肯定與平面PBD垂直的平面是 ()A.平面SAB B.平面SACC.平面SCD D.平面ABCD【解析】選B.因為在四棱錐S-ABCD中,底面ABCD為正方形,所以BD⊥AC.因為SA⊥平面ABCD,所以SA⊥BD.因為SA∩AC=A,所以BD⊥平面SAC.因為BD?平面PBD,所以平面PBD⊥平面SAC.4.將銳角A為60°,邊長為a的菱形沿BD折成60°的二面角,則折疊后A與C之間的距離為 ()A.a B.QUOTEa C.QUOTEa D.QUOTEa【解析】選C.設(shè)折疊后點A到A1的位置,取BD的中點E,連接A1E,CE.則BD⊥CE,BD⊥A1E.于是∠A1EC為二面角A1-BD-C的平面角.故∠A1EC=60°.因為A1E=CE,所以△A1EC是等邊三角形.所以A1E=CE=A1C=QUOTEa.二、多選題(每小題5分,共10分,全部選對得5分,選對但不全的得3分,有選錯的得0分)5.如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面ABCD為菱形,M是PC上的一個動點,若要使得平面MBD⊥平面PCD,則應(yīng)補充的一個條件可以是 ()A.MD⊥MB B.MD⊥PCC.AB⊥AD D.BM⊥PC【解析】選BD.連接AC,BD,BM,MD.因為在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各邊都相等,M是PC上的一動點,所以BD⊥PA,BD⊥AC,因為PA∩AC=A,所以BD⊥平面PAC,所以BD⊥PC.所以當(dāng)DM⊥PC(或BM⊥PC)時,即有PC⊥平面MBD.而PC屬于平面PCD,所以平面MBD⊥平面PCD.6.(2024·撫順高一檢測)已知正方形ABCD的邊長為2,若將正方形ABCD沿對角線BD折疊為三棱錐A-BCD,則在折疊過程中,能出現(xiàn) ()A.BD⊥ACB.平面ABD⊥平面CBDC.VA-CBD=QUOTED.AB⊥CD【解析】選ABC.設(shè)正方形中心為O,則BD⊥OC,BD⊥OA,且OC∩OA=O,所以BD⊥平面AOC,所以BD⊥AC,故A正確;因為∠AOC為二面角A-BD-C的平面角,所以當(dāng)∠AOC=QUOTE時,平面ABD⊥平面CBD,故B正確;當(dāng)∠AOC=QUOTE時,VA-BCD取得最大值為QUOTES△BCD·OA=QUOTE×2×QUOTE=QUOTE,所以三棱錐A-BCD的體積的取值范圍是QUOTE,故C正確;若AB⊥CD,又BC⊥CD,則CD⊥平面ABC,所以CD⊥AC,所以AD>CD,明顯這與AD=CD沖突,故AB與CD不垂直.三、填空題(每小題5分,共10分)7.如圖,二面角α-l-β的大小是60°,線段AB?α,B∈l,AB與l所成的角為30°,則AB與平面β所成的角的正弦值是.

【解析】如圖,作AO⊥β于O,AC⊥l于C,連接OB,OC,則OC⊥l.設(shè)AB與β所成的角為θ,則∠ABO=θ,由圖得sinθ=QUOTE=QUOTE·QUOTE=sin30°·sin60°=QUOTE.答案:QUOTE8.如圖,已知六棱錐P-ABCDEF的底面是正六邊形,PA⊥平面ABC,PA=2AB,則下列結(jié)論正確的是(填序號).

①PB⊥AD;②平面PAB⊥平面PAE;③BC∥平面PAE;④直線PD與平面ABC所成的角為45°.【解析】因為AD∥BC,PB與BC不垂直,故PB與AD不垂直,①不正確;由PA⊥AB,AE⊥AB,PA∩AE=A,得AB⊥平面PAE,因為AB?平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAE,②正確;延長CB,EA,兩者相交,因此BC與平面PAE相交,③不正確;由于PA⊥平面ABC,所以∠PDA就是直線PD與平面ABC所成的角,由PA=2AB,AD=2AB,得PA=AD,所以∠PDA=45°,④正確.答案:②④四、解答題(每小題10分,共20分)9.如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,BC=2,AA1=1,E,F分別在AD和BC上,且EF∥AB.若二面角C1【解析】因為AB⊥平面BC1,C1F?平面BC1,CF?平面BC1,所以AB⊥C1又EF∥AB,所以C1F所以∠C1FC是二面角C1-EF-C的平面角,即∠C1FC=45°.所以△FCC1是等腰直角三角形,所以CF=CC1=AA1=1.又BC=2,所以BF=BC-CF=2-1=1.10.(2024·新鄉(xiāng)高一檢測)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,∠BAD=∠CDA=90°,PA⊥平面ABCD,PA=AD=DC=1,AB=2.(1)證明:平面PAC⊥平面PBC;(2)求點D到平面PBC的距離.【解析】(1)由已知得AC=QUOTE=QUOTE,BC=QUOTE=QUOTE,AB=2,所以AC2+BC2=AB2,所以BC⊥AC,因為PA⊥平面ABCD,BC?平面ABCD,所以PA⊥BC,因為PA∩AC=A,所以BC⊥平面PAC,因為BC?平面PBC,所以平面PAC⊥平面PBC.(2)由(1)得BC⊥平面PAC,BC⊥AC,BC=QUOTE,所以PC=QUOTE=QUOTE,設(shè)點D到平面PBC的距離為d,因為VP-BCD=VD-PBC,所以QUOTE×QUOTE×DC×AD×PA=QUOTE×QUOTE×PC×BC×d,所以QUOTE×QUOTE×1×1×1=QUOTE×QUOTE×QUOTE×QUOTE×d,解得d=QUOTE,所以點D到平面PBC的距離為QUOTE.1.如圖,在三棱錐P-ABC中,已知PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,則在三棱錐P-ABC的四個面中,相互垂直的面有對.

【解析】因為PA⊥PB,PA⊥PC,PB∩PC=P,所以PA⊥平面PBC.因為PA?平面PAB,PA?平面PAC,所以平面PAB⊥平面PBC,平面PAC⊥平面PBC.同理可證平面PAB⊥平面PAC.答案:32.如圖,在三棱臺DEF-ABC中,AB=2DE,G,H分別為AC,BC的中點.(1)求證:BD∥平面FGH;(2)若CF⊥BC,AB⊥BC,求證:平面BCD⊥平面EGH.【證明】(1)如圖所示,連接DG,設(shè)CD∩GF=M,連接MH.在三棱臺DEF-ABC中,AB=2DE,所以AC=2DF.因為G是AC的中點,所以DF∥GC,且DF=GC,所以四邊