2025版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)練案27第四章平面向量數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入第二講平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示含解析新人教版

其次講平面對(duì)量的基本定理及坐標(biāo)表示A組基礎(chǔ)鞏固一、單選題1．在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，向量eq\o(AB,\s\up6(→))的坐標(biāo)是(D)A．(2，2) B．(－2，－2)C．(1，1) D．(－1，－1)[解析]因?yàn)锳(2，2)，B(1，1)，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－1，－1)．故選D.2．(2024·巴中模擬)向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2，3)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(4，7)，則eq\o(BC,\s\up6(→))等于(B)A．(－2，－4) B．(2，4)C．(6，10) D．(－6，－10)[解析]eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2，4)．故選B.3．設(shè)向量a＝(2，4)與向量b＝(x，6)共線，則實(shí)數(shù)x＝(B)A．2 B．3C．4 D．6[解析]因?yàn)閍∥b，所以2×6－4x＝0，解得x＝3.故選B.4．(2024·撫州模擬)若向量a＝(1，1)，b＝(－1，1)，c＝(4，2)，則c＝(B)A．3a＋b B．3aC．－a＋3b D．a(chǎn)＋3b[解析]解法一：設(shè)c＝ma＋nb，則(4，2)＝(m－n，m＋n)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m－n＝4，,m＋n＝2，))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝3，,n＝－1，))所以c＝3a－b.解法二：代入驗(yàn)證法對(duì)于A，3a＋b＝3(1，1)＋(－1，1)＝(2，4)≠c，故A不正確；同理選項(xiàng)C、D也不正確；對(duì)于B，3a－b＝(4，2)＝c，故5．向量a，b，c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，則eq\f(λ,μ)＝(B)A．2 B．4C．eq\f(1,2) D．eq\f(1,4)[解析]以向量a和b的交點(diǎn)為原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系(設(shè)每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1)，則A(1，－1)，B(6，2)，C(5，－1)．所以a＝eq\o(AO,\s\up6(→))＝(－1，1)，b＝eq\o(OB,\s\up6(→))＝(6，2)，c＝eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－1，－3)．∵c＝λa＋μb，∴(－1，－3)＝λ(－1，1)＋μ(6，2)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－λ＋6μ＝－1，,λ＋2μ＝－3，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝－2，,μ＝－\f(1,2)，))∴eq\f(λ,μ)＝4.6．(2024·江西新余第一中學(xué)模擬)如圖，已知△OAB，若點(diǎn)C滿意eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(CB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，則eq\f(1,λ)＋eq\f(1,μ)＝(D)A．eq\f(1,3) B．eq\f(2,3)C.eq\f(2,9) D．eq\f(9,2)[解析]∵eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up6(→))，∴λ＝eq\f(1,3)，μ＝eq\f(2,3)，∴eq\f(1,λ)＋eq\f(1,μ)＝3＋eq\f(3,2)＝eq\f(9,2).故選D.二、多選題7．下列向量組中，能作為表示它們所在平面內(nèi)全部向量的一組基底的是(BD)A．a(chǎn)＝(1，2)，b＝(0，0)B．a(chǎn)＝(1，－2)，b＝(3，5)C．a(chǎn)＝(3，2)，b＝(9，6)D．a(chǎn)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)，\f(1,2)))，b＝(－3，－2)[解析]在平面內(nèi)，依據(jù)向量基底的定義知，兩個(gè)向量不共線即可作為基底．故選B、D.8．已知M(3，－2)，N(－5，－1)，且|eq\o(MP,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)|eq\o(MN,\s\up6(→))|，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為(BD)A．(－8，1) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(3,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(7，－\f(5,2)))[解析]設(shè)P(x，y)，則eq\o(MP,\s\up6(→))＝(x－3，y＋2)，而eq\f(1,2)eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(－8，1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4，\f(1,2)))，當(dāng)eq\o(MP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(MN,\s\up6(→))時(shí)，有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－3＝－4，,y＋2＝\f(1,2)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－\f(3,2).))所以P點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(3,2))).同理當(dāng)eq\o(MP,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(MN,\s\up6(→))時(shí)，可解得Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(7，－\f(5,2))).故選B、D.三、填空題9．已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三個(gè)頂點(diǎn)A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2，4)．[解析]∵在梯形ABCD中，DC＝2AB，∴eq\o(DC,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→)).設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x，y)，則eq\o(DC,\s\up6(→))＝(4，2)－(x，y)＝(4－x，2－y)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2，1)－(1，2)＝(1，－1)，∴(4－x，2－y)＝2(1，－1)，即(4－x，2－y)＝(2，－2)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4－x＝2，,2－y＝－2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝4，))故點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2，4)．10．(2024·廣西賀州聯(lián)考)已知向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝(m，n)，eq\o(BD,\s\up6(→))＝(2，1)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(3，8)，則mn＝7．[解析]∵eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝(m＋2，n＋1)＝(3，8)，∴m＋2＝3，n＋1＝8，∴m＝1，n＝7，∴mn＝7.11．設(shè)向量a＝(3，2)，b＝(－1，3)，向量λa－2b與a＋b平行，則實(shí)數(shù)λ＝－2．[解析]∵a＝(3，2)，b＝(－1，3)，∴λa－2b＝(3λ＋2，2λ－6)，a＋b＝(2，5)，又λa－2b與a＋b平行，所以5(3λ＋2)＝2(2λ－6)整理得11λ＝－22，即λ＝－2.12．(2024·江西南昌模擬)已知向量a＝(m，n)，b＝(1，－2)，若|a|＝2eq\r(5)，a＝λb(λ<0)，則m－n＝－6．[解析]∵a＝(m，n)，b＝(1，－2)，∴由|a|＝2eq\r(5)，a＝λb(λ<0)，得m2＋n2＝20①，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m<0，n>0，,－2m－n＝0))②，聯(lián)立①②，解得m＝－2，n＝4.∴m－n＝－6.四、解答題13．已知向量a＝(1，0)，b＝(2，1)．求：(1)|a＋3b|；(2)當(dāng)k為何實(shí)數(shù)時(shí)，ka－b與a＋3b平行，平行時(shí)它們是同向還是反向？[解析](1)因?yàn)閍＝(1，0)，b＝(2，1)，所以a＋3b＝(7，3)，故|a＋3b|＝eq\r(72＋32)＝eq\r(58).(2)ka－b＝(k－2，－1)，a＋3b＝(7，3)，因?yàn)閗a－b與a＋3b平行，所以3(k－2)＋7＝0，即k＝－eq\f(1,3).此時(shí)ka－b＝(k－2，－1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,3)，－1))，a＋3b＝(7，3)，則a＋3b＝－3(ka－b)，即此時(shí)向量a＋3b與ka－b方向相反．14．(2024·河北六校第三次聯(lián)考)已知向量a＝(2＋sinx，1)，b＝(2，－2)，c＝(sinx－3，1)，d＝(1，k)，x∈R，k∈R.(1)若x∈[－eq\f(π,2)，eq\f(π,2)]，且a∥(b＋c)，求x的值；(2)是否存在實(shí)數(shù)k，使得(a＋d)⊥(b＋c)？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．[解析](1)b＋c＝(sinx－1，－1)，因?yàn)閍∥(b＋c)，所以－(2＋sinx)＝sinx－1，即sinx＝－eq\f(1,2).又x∈[－eq\f(π,2)，eq\f(π,2)]，所以x＝－eq\f(π,6).(2)a＋d＝(3＋sinx，1＋k)，b＋c＝(sinx－1，－1)，若(a＋d)⊥(b＋c)，則(a＋d)·(b＋c)＝0，即(3＋sinx)(sinx－1)－(1＋k)＝0，所以k＝sin2x＋2sinx－4＝(sinx＋1)2－5，由sinx∈[－1，1]，可得k∈[－5，－1]，所以存在k∈[－5，－1]，使得(a＋d)⊥(b＋c)．B組實(shí)力提升1．(2024·吉林重點(diǎn)中學(xué)月考]如圖，若eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，B是線段AC靠近點(diǎn)C的一個(gè)四等分點(diǎn)，則下列等式成立的是(C)A．c＝eq\f(2,3)b－eq\f(1,6)a B．c＝eq\f(4,3)b＋eq\f(1,3)aC．c＝eq\f(4,3)b－eq\f(1,3)a D．c＝eq\f(2,3)b＋eq\f(1,6)a[解析]本題考查向量的線性運(yùn)算．c＝eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝eq\f(4,3)eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)b－eq\f(1,3)a.2．(2024·湖北四校調(diào)研)如圖所示，在△ABC中，點(diǎn)D在線段BC上，且BD＝3DC.若eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，則eq\f(λ,μ)＝(B)A．eq\f(1,2) B．eq\f(1,3)C．2 D．eq\f(2,3)[解析]本題考查向量的線性運(yùn)算.eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up6(→))，所以λ＝eq\f(1,4)，μ＝eq\f(3,4)，從而求得eq\f(λ,μ)＝eq\f(1,3)，故選B.3．(2024·甘肅西北師大附中模擬)已知向量a＝(2，－1)，b＝(6，x)，且a∥b，則|2a－b|＝(CA．5 B．2eq\r(5)C．eq\r(5) D．4[解析]本題考查向量模的計(jì)算，向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算，因?yàn)閍∥b，所以2x＋6＝0，解得x＝－3，故b＝(6，－3)．所以2a－b＝(4，－2)－(6，－3)＝(－2，1)．所以|2a－b|＝eq\r(（－2）2＋12)＝eq\r(5).4．在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，其中a＝(3，1)，b＝(1，3)．若eq\o(OC,\s\up6(→))＝λa＋μb，且0≤λ≤μ≤1，則C點(diǎn)全部可能的位置區(qū)域用陰影表示正確的是(A)[解析]由題意知eq\o(OC,\s\up6(→))＝(3λ＋μ，λ＋3μ)，取特別值，λ＝0，μ＝0，知所求區(qū)域包含原點(diǎn)，取λ＝0