趙娜《應(yīng)用統(tǒng)計(jì)分析》課件-(05)第5章 概率與概率分布

統(tǒng)計(jì)學(xué)

STATISTICS第5章概率與概率分布

(第六版)

統(tǒng)計(jì)學(xué)

作者：中國(guó)人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院

賈俊平

5-1作者：賈俊平，中國(guó)人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院

統(tǒng)計(jì)學(xué)

STATISTICS第5章概率與概率分布

(第六版)

5.1隨機(jī)事件及其概率

5.2概率的性質(zhì)與運(yùn)算法則

5.3離散型隨機(jī)變量及其分布

5.4連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布

5-2作者：賈俊平，中國(guó)人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院

統(tǒng)計(jì)學(xué)

STATISTICS學(xué)習(xí)目標(biāo)

(第六版)

1.定義試驗(yàn)、結(jié)果、事件、樣本空間、概率

2.描述和使用概率的運(yùn)算法則

3.定義和解釋隨機(jī)變量及其分布

4.計(jì)算隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差

5.計(jì)算離散型隨機(jī)變量的概率和概率分布

6.計(jì)算連續(xù)型隨機(jī)變量的概率

7.用正態(tài)分布近似二項(xiàng)分布

8.用Excel計(jì)算分布的概率

5-3作者：賈俊平，中國(guó)人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院

統(tǒng)計(jì)學(xué)

STATISTICS5.1隨機(jī)事件及其概率

(第六版)

5.1.1隨機(jī)事件的幾個(gè)基本概念

5.1.2事件的概率

5.1.3概率計(jì)算的幾個(gè)例子

5-4作者：賈俊平，中國(guó)人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院

統(tǒng)計(jì)學(xué)

STATISTICS

(第六版)

隨機(jī)事件的幾個(gè)基本概念

5-5作者：賈俊平，中國(guó)人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院

統(tǒng)計(jì)學(xué)試驗(yàn)

STATISTICS

(第六版)(experiment)

1.在相同條件下，對(duì)事物或現(xiàn)象所進(jìn)行的觀察

n例如：擲一枚骰子，觀察其出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)例如：擲一枚骰子，觀察其出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)

2.試驗(yàn)的特點(diǎn)

n可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行

n每次試驗(yàn)的可能結(jié)果可能不止一個(gè)，但試驗(yàn)的所每次試驗(yàn)的可能結(jié)果可能不止一個(gè)，但試驗(yàn)的所

有可能結(jié)果在試驗(yàn)之前是確切知道的有可能結(jié)果在試驗(yàn)之前是確切知道的

n在試驗(yàn)結(jié)束之前，不能確定該次試驗(yàn)的確切結(jié)果在試驗(yàn)結(jié)束之前，不能確定該次試驗(yàn)的確切結(jié)果

5-6作者：賈俊平，中國(guó)人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院

統(tǒng)計(jì)學(xué)

STATISTICS事件的概念

(第六版)

1.事件(event)：隨機(jī)試驗(yàn)的每一個(gè)可能結(jié)果(任何樣本點(diǎn)

集合)

n例如：擲一枚骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為3

2.隨機(jī)事件(randomevent)：每次試驗(yàn)可能出現(xiàn)也可能不

出現(xiàn)的事件

n例如：擲一枚骰子可能出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)

3.必然事件(certainevent)：每次試驗(yàn)一定出現(xiàn)的事件，

用表示

n例如：擲一枚骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于7

4.不可能事件(impossibleevent)：每次試驗(yàn)一定不出現(xiàn)

的事件，用表示

n例如：擲一枚骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于6

5-7作者：賈俊平，中國(guó)人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院

統(tǒng)計(jì)學(xué)

STATISTICS事件與樣本空間

(第六版)

1.基本事件(elementaryevent)

n一個(gè)不可能再分的隨機(jī)事件一個(gè)不可能再分的隨機(jī)事件

n例如：擲一枚骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)例如：擲一枚骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)

2.樣本空間(samplespace)

n一個(gè)試驗(yàn)中所有基本事件的集合，用一個(gè)試驗(yàn)中所有基本事件的集合，用表示表示

n例如：在例如：在擲枚骰子的試驗(yàn)中，擲枚骰子的試驗(yàn)中，

{{1,2,3,4,5,61,2,3,4,5,6}}

n在投擲硬幣的試驗(yàn)中，在投擲硬幣的試驗(yàn)中，{{正面，反面正面，反面}}

5-8作者：賈俊平，中國(guó)人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院

統(tǒng)計(jì)學(xué)

STATISTICS

(第六版)

事件的概率

5-9作者：賈俊平，中國(guó)人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院

統(tǒng)計(jì)學(xué)事件的概率

STATISTICS

(第六版)(probability)

1.事件A的概率是對(duì)事件A在試驗(yàn)中出現(xiàn)的

可能性大小的一種度量

2.表示事件A出現(xiàn)可能性大小的數(shù)值

3.事件A的概率表示為P(A)

4.概率的定義有：古典定義、統(tǒng)計(jì)定義和主

觀概率定義

5-10作者：賈俊平，中國(guó)人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院

統(tǒng)計(jì)學(xué)

STATISTICS事件的概率

(第六版)

例如，投擲一枚硬幣，出現(xiàn)正面和反面的頻率，例如，投擲一枚硬幣，出現(xiàn)正面和反面的頻率，

隨著投擲次數(shù)隨著投擲次數(shù)nn的增大，出現(xiàn)正面和反面的頻率的增大，出現(xiàn)正面和反面的頻率

穩(wěn)定在穩(wěn)定在1/21/2左右左右

正面/試驗(yàn)次數(shù)

1.00

0.75

0.50

0.25

0.00

0255075100125

試驗(yàn)的次數(shù)

5-11作者：賈俊平，中國(guó)人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院

統(tǒng)計(jì)學(xué)

STATISTICS5.2概率的性質(zhì)與運(yùn)算法則

(第六版)

5.2.1概率的性質(zhì)

5.2.2概率的加法法則

5.2.3條件概率與獨(dú)立事件

5-12作者：賈俊平，中國(guó)人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院

統(tǒng)計(jì)學(xué)

STATISTICS概率的古典定義

(第六版)

如果某一隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果有限，而且各個(gè)結(jié)

果在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)的可能性相同，則事件

A發(fā)生的概率為該事件所包含的基本事件個(gè)

數(shù)m與樣本空間中所包含的基本事件個(gè)數(shù)n

的比值，記為

5-13作者：賈俊平，中國(guó)人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院

統(tǒng)計(jì)學(xué)概率的古典定義

STATISTICS

(第六版)(例題分析)

【例】某鋼鐵公司所屬三個(gè)工廠的職工人數(shù)如下表。從某鋼鐵公司所屬三個(gè)工廠的職工人數(shù)如下表。從

該公司中隨機(jī)抽取該公司中隨機(jī)抽取11人，問(wèn)：人，問(wèn)：

(1)(1)該職工為男性的概率該職工為男性的概率

(2)(2)該職工為煉鋼廠職工的概率該職工為煉鋼廠職工的概率

某鋼鐵公司所屬企業(yè)職工人數(shù)

工廠男職工女職工合計(jì)

煉鋼廠440018006200

煉鐵廠320016004800

軋鋼廠9006001500

合計(jì)8500400012500

5-14作者：賈俊平，中國(guó)人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院

統(tǒng)計(jì)學(xué)概率的古典定義

STATISTICS

(第六版)(例題分析)

解解：：(1)(1)用用AA表表示示““抽抽中中的的職職工工為為男男性性””這這一一事事件件；；AA為為

全全公公司司男男職職工工的的集集合合；；基基本本空空間間為為全全公公司司職職工工的的集集合合

。則。則

(2)(2)用用BB表表示示““抽抽中中的的職職工工為為煉煉鋼鋼廠廠職職工工””；；BB為為煉煉

鋼廠鋼廠

全體職工的集合；基本空間為全體職工的集合。則全體職工的集合；基本空間為全體職工的集合。則

5-15作者：賈俊平，中國(guó)人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院

統(tǒng)計(jì)學(xué)

STATISTICS概率的統(tǒng)計(jì)定義

(第六版)

在相同條件下進(jìn)行n次隨機(jī)試驗(yàn)，事件A出現(xiàn)

m次，則比值m/n稱為事件A發(fā)生的頻率。

隨著n的增大，該頻率圍繞某一常數(shù)P上下擺

動(dòng)，且波動(dòng)的幅度逐漸減小，取向于穩(wěn)定，

這個(gè)頻率的穩(wěn)定值即為事件A的概率，記為

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統(tǒng)計(jì)學(xué)概率的統(tǒng)計(jì)定義

STATISTICS

(第六版)(例題分析)

【【例例】】：：某工廠為節(jié)約用電，規(guī)定每天的用電量指標(biāo)某工廠為節(jié)約用電，規(guī)定每天的用電量指標(biāo)

為為10001000度。按照上個(gè)月的用電記錄，度。按照上個(gè)月的用電記錄，3030天中有天中有1212天的天的

用電量超過(guò)規(guī)定指標(biāo)，若第二個(gè)月仍沒(méi)有具體的節(jié)電用電量超過(guò)規(guī)定指標(biāo)，若第二個(gè)月仍沒(méi)有具體的節(jié)電

措施，試問(wèn)該廠第一天用電量超過(guò)指標(biāo)的概率。措施，試問(wèn)該廠第一天用電量超過(guò)指標(biāo)的概率。

解：解：上個(gè)月上個(gè)月3030天的記錄可以看作是重復(fù)進(jìn)行了天的記錄可以看作是重復(fù)進(jìn)行了3030次次

試驗(yàn)，試驗(yàn)試驗(yàn)，試驗(yàn)AA表示用電超過(guò)指標(biāo)出現(xiàn)了表示用電超過(guò)指標(biāo)出現(xiàn)了1212次。根據(jù)概次。根據(jù)概

率的統(tǒng)計(jì)定義有率的統(tǒng)計(jì)定義有

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統(tǒng)計(jì)學(xué)

STATISTICS主觀概率定義

(第六版)

1.對(duì)一些無(wú)法重復(fù)的試驗(yàn)，確定其結(jié)果的概率

只能根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)人為確定

2.概率是一個(gè)決策者對(duì)某事件是否發(fā)生，根據(jù)

個(gè)人掌握的信息對(duì)該事件發(fā)生可能性的判斷

3.例如，我認(rèn)為2003年的中國(guó)股市是一個(gè)盤(pán)整

年

5-18作者：賈俊平，中國(guó)人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院

統(tǒng)計(jì)學(xué)

STATISTICS

(第六版)

概率的性質(zhì)與運(yùn)算法則

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統(tǒng)計(jì)學(xué)

STATISTICS概率的性質(zhì)

(第六版)

1.非負(fù)性

n對(duì)任意事件對(duì)任意事件AA，，有有00PP((AA))11

2.規(guī)范性

n必必然然事事件件的的概概率率為為11；；不不可可能能事事件件的的概概率率為為00。。

即即PP(())==11；；PP(())==00

3.可加性

n若若AA與與BB互斥，則互斥，則PP((AA∪∪BB))==PP((AA))++PP((BB))

n推推廣廣到到多多個(gè)個(gè)兩兩兩兩互互斥斥事事件件AA11，，AA22，，……，，AAnn，，有有

PP(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An

)

5-20作者：賈俊平，中國(guó)人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院

統(tǒng)計(jì)學(xué)概率的加法法則

STATISTICS

(第六版)(additiverule)

法則一

1.兩個(gè)互斥事件之和的概率，等于兩個(gè)事件

概率之和。設(shè)A和B為兩個(gè)互斥事件，則

P(A∪B)=P(A)+P(B)

2.事件A1，A2，…，An兩兩互斥，則有

P(A1∪A2∪…∪An)

=P(A1)+P(A2)+…+P(An)

5-21作者：賈俊平，中國(guó)人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院

統(tǒng)計(jì)學(xué)概率的加法法則

STATISTICS

(第六版)(例題分析)

【例】根據(jù)鋼鐵公司職工的例子，隨機(jī)抽取一

名職工，計(jì)算該職工為煉鋼廠或軋鋼廠職工的

概率

解：用A表示“抽中的為煉鐵廠職工”這一

事件；B表示“抽中的為軋鋼廠職工”這一事

件。隨機(jī)抽取一人為煉鐵廠或軋鋼廠職工的事

件為互斥事件A與B的和，其發(fā)生的概率為

5-22作者：賈俊平，中國(guó)人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院

統(tǒng)計(jì)學(xué)概率的加法法則

STATISTICS

(第六版)(additiverule)

法則二

對(duì)任意兩個(gè)隨機(jī)事件A和B，它們和的概

率為兩個(gè)事件分別概率的和減去兩個(gè)事

件交的概率，即

P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B

)

5-23作者：賈俊平，中國(guó)人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院

統(tǒng)計(jì)學(xué)概率的加法法則

STATISTICS

(第六版)(例題分析)

【例】設(shè)某地有甲、乙兩種報(bào)紙，該地成年人中

有20%讀甲報(bào)紙，16%讀乙報(bào)紙，8%兩種報(bào)紙

都讀。問(wèn)成年人中有百分之幾至少讀一種報(bào)紙。

解：設(shè)A＝{讀甲報(bào)紙}，B＝{讀乙報(bào)紙}，C＝

{至少讀一種報(bào)紙}。則

P(C)=P(A∪B)

=P(A)+P(B)-P(A∩B)

=0.2+0.16-0.08=0.28

5-24作者：賈俊平，中國(guó)人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院

統(tǒng)計(jì)學(xué)

STATISTICS

(第六版)

條件概率與獨(dú)立事件

5-25作者：賈俊平，中國(guó)人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院

統(tǒng)計(jì)學(xué)條件概率

STATISTICS

(第六版)(conditionalprobability)

在事件B已經(jīng)發(fā)生的條件下，求事件A發(fā)

生的概率，稱這種概率為事件B發(fā)生條

件下事件A發(fā)生的條件概率，記為

P(AB)

P(A|B)=P(B)

5-26作者：賈俊平，中國(guó)人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院

統(tǒng)計(jì)學(xué)概率的乘法公式

STATISTICS

(第六版)(multiplicativerule)

1.用來(lái)計(jì)算兩事件交的概率

2.以條件概率的定義為基礎(chǔ)

3.設(shè)A、B為兩個(gè)事件，若P(B)>0，則

P(AB)=P(B)P(A|B)，或

P(AB)=P(A)P(B|A)

5-27作者：賈俊平，中國(guó)人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院

統(tǒng)計(jì)學(xué)概率的乘法公式

STATISTICS

(第六版)(例題分析)

【例】設(shè)有1000件產(chǎn)品，其中850件是正品，

150件是次品，從中依次抽取2件，兩件都是次

品的概率是多少？

解：設(shè)Ai表示“第i次抽到的是次品

”(i=1,2)，所求概率為P(A1A2)

5-28作者：賈俊平，中國(guó)人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院

統(tǒng)計(jì)學(xué)事件的獨(dú)立性

STATISTICS

(第六版)(independence)

1.一個(gè)事件的發(fā)生與否并不影響另一個(gè)事件

發(fā)生的概率，則稱兩個(gè)事件獨(dú)立

2.若事件A與B獨(dú)立，則P(B|A)=P(B)，

P(A|B)=P(A)

3.此時(shí)概率的乘法公式可簡(jiǎn)化為

P(AB)=P(A)·P(B)

4.推廣到n個(gè)獨(dú)立事件，有

P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An)

5-29作者：賈俊平，中國(guó)人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院

統(tǒng)計(jì)學(xué)事件的獨(dú)立性

STATISTICS

(第六版)(例題分析)

【例】某工人同時(shí)看管三臺(tái)機(jī)床，每單位時(shí)間(如30分鐘)內(nèi)

機(jī)床不需要看管的概率：甲機(jī)床為0.9，乙機(jī)床為0.8，丙機(jī)

床為0.85。若機(jī)床是自動(dòng)且獨(dú)立地工作，求

（1）在30分鐘內(nèi)三臺(tái)機(jī)床都不需要看管的概率

（2）在30分鐘內(nèi)甲、乙機(jī)床不需要看管，且丙機(jī)床需要看

管的概率

解：設(shè)A1，A2，A3為甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床不需要看管的事

件，A3為丙機(jī)床需要看管的事件，依題意有

(1)P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)=0.90.80.85=0.612

(2)P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)

5-30=0.90.8(1-0.85)=0.108作者：賈俊平，中國(guó)人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院

統(tǒng)計(jì)學(xué)

STATISTICS全概公式

(第六版)

設(shè)設(shè)事事件件AA11，，AA22，，……，，AAnn兩兩兩兩互互斥斥，，AA11++AA22++…+…+

AAnn==（（滿滿足足這這兩兩個(gè)個(gè)條條件件的的事事件件組組稱稱為為一一個(gè)個(gè)完完備備事事

件件組組）），，且且PP((AAii)>0()>0(ii=1,2,=1,2,…,…,nn))，，則則對(duì)對(duì)任任意意事事件件

BB，，有有

我我們們把把事事件件AA11，，AA22，，……，，AAnn看看作作是是引引起起事事件件BB發(fā)發(fā)

生生的的所所有有可可能能原原因因，，事事件件BB能能且且只只能能在在原原有有AA11，，

AA22，，……，，AAnn之之一一發(fā)發(fā)生生的的條條件件下下發(fā)發(fā)生生，，求求事事件件BB的的

概率就是上面的全概公式概率就是上面的全概公式

5-31作者：賈俊平，中國(guó)人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院

統(tǒng)計(jì)學(xué)全概公式

STATISTICS

(第六版)(例題分析)

【例】某車(chē)間用甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床進(jìn)行生產(chǎn)，各種機(jī)床的

次品率分別為5%、4%、2%，它們各自的產(chǎn)品分別占總產(chǎn)量

的25%、35%、40%，將它們的產(chǎn)品組合在一起，求任取一

個(gè)是次品的概率。

解：設(shè)A1表示“產(chǎn)品來(lái)自甲臺(tái)機(jī)床”，A2表示“產(chǎn)品來(lái)

自乙臺(tái)機(jī)床”，A3表示“產(chǎn)品來(lái)自丙臺(tái)機(jī)床”，B表示“取

到次品”。根據(jù)全概公式有

5-32作者：賈俊平，中國(guó)人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院

統(tǒng)計(jì)學(xué)貝葉斯公式

STATISTICS

(第六版)(逆概公式)

1.與與全全概概公公式式解解決決的的問(wèn)問(wèn)題題相相反反，，貝貝葉葉斯斯公公式式是是建建立立

在條件概率的基礎(chǔ)上尋找事件發(fā)生的原因在條件概率的基礎(chǔ)上尋找事件發(fā)生的原因

2.設(shè)設(shè)nn個(gè)個(gè)事事件件AA11，，AA22，，……，，AAnn兩兩兩兩互互斥斥，，

AA11++AA22++…+…+AAnn==((滿滿足足這這兩兩個(gè)個(gè)條條件件的的事事件件組組稱稱為為

一個(gè)完備事件組一個(gè)完備事件組))，且，且PP((AAii)>0()>0(ii=1,2,=1,2,…,…,nn))，，則則

5-33作者：賈俊平，中國(guó)人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院

統(tǒng)計(jì)學(xué)貝葉斯公式

STATISTICS

(第六版)(例題分析)

【例】某車(chē)間用甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床進(jìn)行生產(chǎn)，各種機(jī)床的次

品率分別為5%、4%、2%，它們各自的產(chǎn)品分別占總產(chǎn)量的

25%、35%、40%，將它們的產(chǎn)品組合在一起，如果取到的一

件產(chǎn)品是次品，分別求這一產(chǎn)品是甲、乙、丙生產(chǎn)的概率

解：設(shè)A1表示“產(chǎn)品來(lái)自甲臺(tái)機(jī)床”，A2表示“產(chǎn)品來(lái)自

乙臺(tái)機(jī)床”，A3表示“產(chǎn)品來(lái)自丙臺(tái)機(jī)床”，B表示“取到次

品”。根據(jù)貝葉斯公式有：

5-34作者：賈俊平，中國(guó)人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院

統(tǒng)計(jì)學(xué)

STATISTICS5.3離散型隨機(jī)變量及其分布

(第六版)

5.3.1隨機(jī)變量的概念

5.3.2離散型隨機(jī)變量的概率分布

5.3.3條件概率與獨(dú)立事件

5-35作者：賈俊平，中國(guó)人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院

統(tǒng)計(jì)學(xué)

STATISTICS

(第六版)

隨機(jī)變量的概念

5-36作者：賈俊平，中國(guó)人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院

統(tǒng)計(jì)學(xué)隨機(jī)變量

STATISTICS

(第六版)(randomvariables)

1.一次試驗(yàn)的結(jié)果的數(shù)值性描述

2.一般用X、Y、Z來(lái)表示

3.例如:投擲兩枚硬幣出現(xiàn)正面的數(shù)量

4.根據(jù)取值情況的不同分為離散型隨機(jī)變

量和連續(xù)型隨機(jī)變量

5-37作者：賈俊平，中國(guó)人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院

統(tǒng)計(jì)學(xué)離散型隨機(jī)變量

STATISTICS

(第六版)(discreterandomvariables)

1.隨機(jī)變量X取有限個(gè)值或所有取值都可以

逐個(gè)列舉出來(lái)X1,X2，…

2.以確定的概率取這些不同的值

3.離散型隨機(jī)變量的一些例子

試驗(yàn)隨機(jī)變量可能的取值

0,1,2,…,100

抽查100個(gè)產(chǎn)品取到次品的個(gè)數(shù)

0,1,2,…

一家餐館營(yíng)業(yè)一天顧客數(shù)

0,1,2,…

電腦公司一個(gè)月的銷售銷售量

男性為0,女性為

銷售一輛汽車(chē)顧客性別

1

5-38作者：賈俊平，中國(guó)人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院

統(tǒng)計(jì)學(xué)連續(xù)型隨機(jī)變量

STATISTICS

(第六版)(continuousrandomvariables)

1.隨機(jī)變量X取無(wú)限個(gè)值

2.所有可能取值不可以逐個(gè)列舉出來(lái)，而是取

數(shù)軸上某一區(qū)間內(nèi)的任意點(diǎn)

3.連續(xù)型隨機(jī)變量的一些例子

試驗(yàn)隨機(jī)變量可能的取值

抽查一批電子元件使用壽命(小時(shí))X0

新建一座住宅樓半年后工程完成的百分比0X100

測(cè)量一個(gè)產(chǎn)品的長(zhǎng)度測(cè)量誤差(cm)X0

5-39作者：賈俊平，中國(guó)人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院

統(tǒng)計(jì)學(xué)

STATISTICS

(第六版)

離散型隨機(jī)變量的概率分布

5-40作者：賈俊平，中國(guó)人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院

統(tǒng)計(jì)學(xué)

STATISTICS離散型隨機(jī)變量的概率分布

(第六版)

1.列出離散型隨機(jī)變量X的所有可能取值

2.列出隨機(jī)變量取這些值的概率

3.通常用下面的表格來(lái)表示

X=xix1，x2，……，xn

P(X=xi)=pip1，p2，……，pn

4.PP((XX==xxii)=)=ppii稱為離散型隨機(jī)變量的概率函數(shù)稱為離散型隨機(jī)變量的概率函數(shù)

§ppii00

5-41作者：賈俊平，中國(guó)人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院

統(tǒng)計(jì)學(xué)離散型隨機(jī)變量的概率分布

STATISTICS

(第六版)(例題分析)

【例】如規(guī)定打靶中域Ⅰ得3分，中域Ⅱ得2分，

中域Ⅲ得1分，中域外得0分。今某射手每100

次射擊，平均有30次中域Ⅰ，55次中域Ⅱ，10

次中Ⅲ，5次中域外。則考察每次射擊得分為

0,1,2,3這一離散型隨機(jī)變量，其概率分布為

X=xi0123

P(X=xi)pi0.050.100.550.30

5-42作者：賈俊平，中國(guó)人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院

統(tǒng)計(jì)學(xué)離散型隨機(jī)變量的概率分布

STATISTICS

(第六版)(0—1分布)

1.一個(gè)離散型隨機(jī)變量X只取兩個(gè)可能的值

n例如，男性用1表示，女性用0表示；

合格品用1表示，不合格品用0表示

2.列出隨機(jī)變量取這兩個(gè)值的概率

5-43作者：賈俊平，中國(guó)人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院

統(tǒng)計(jì)學(xué)離散型隨機(jī)變量的概率分布

STATISTICS

(第六版)(0—1分布)

【例】已知一批產(chǎn)品的次品率為p＝0.05，合格

率為q=1-p=1-0.05=0.95。并指定廢品用1表示，

合格品用0表示。則任取一件為廢品或合格品這

一離散型隨機(jī)變量，其概率分布為

P(x)

X=xi101

P(X=xi)=pi0.050.950.5

0

1x

5-44作者：賈俊平，中國(guó)人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院

統(tǒng)計(jì)學(xué)離散型隨機(jī)變量的概率分布

STATISTICS

(第六版)(均勻分布)

1.一個(gè)離散型隨機(jī)變量取各個(gè)值的概率相同

2.列出隨機(jī)變量取值及其取值的概率

3.例如，投擲一枚骰子，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)及其出

現(xiàn)各點(diǎn)的概率

5-45作者：賈俊平，中國(guó)人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院

統(tǒng)計(jì)學(xué)離散型隨機(jī)變量的概率分布

STATISTICS

(第六版)(均勻分布)

【例】投擲一枚骰子，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是個(gè)離散型

隨機(jī)變量，其概率分布為

X=xi123456

P(X=xi)=pi1/61/61/61/61/61/6

P(x)

1/6

0

5-461234作者：賈俊平，中國(guó)人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院56x

統(tǒng)計(jì)學(xué)

STATISTICS

(第六版)

離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差

5-47作者：賈俊平，中國(guó)人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院

統(tǒng)計(jì)學(xué)離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望

STATISTICS

(第六版)(expectedvalue)

1.在離散型隨機(jī)變量X的一切可能取值的完備

組中，各可能取值xi與其取相對(duì)應(yīng)的概率pi乘

積之和

2.描述離散型隨機(jī)變量取值的集中程度

3.計(jì)算公式為

5-48作者：賈俊平，中國(guó)人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院

統(tǒng)計(jì)學(xué)離散型隨機(jī)變量的方差

STATISTICS

(第六版)(variance)

1.隨隨機(jī)機(jī)變變量量XX的的每每一一個(gè)個(gè)取取值值與與期期望望值值的的離離差差平平方方

和的數(shù)學(xué)和的數(shù)學(xué)期望，記為期望，記為DD((XX))

2.描述離散型隨機(jī)變量取值的分散程度描述離散型隨機(jī)變量取值的分散程度

3.計(jì)算公式為計(jì)算公式為

5-49作者：賈俊平，中國(guó)人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院

統(tǒng)計(jì)學(xué)離散型隨機(jī)變量的方差

STATISTICS

(第六版)(例題分析)

【【例例】】投投擲擲一一枚枚骰骰子子，，出出現(xiàn)現(xiàn)的的點(diǎn)點(diǎn)數(shù)數(shù)是是個(gè)個(gè)離離散散型型隨隨機(jī)機(jī)

變量，其概率分布為如下。計(jì)算數(shù)學(xué)期望和方差變量，其概率分布為如下。計(jì)算數(shù)學(xué)期望和方差

X=xi123456

P(X=xi)=pi1/61/61/61/61/61/6

解：解：數(shù)學(xué)期望為數(shù)學(xué)期望為：

方差為：方差為：

5-50作者：賈俊平，中國(guó)人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院

統(tǒng)計(jì)學(xué)

STATISTICS

(第六版)

幾種常見(jiàn)的離散型概率分布

5-51作者：賈俊平，中國(guó)人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院

統(tǒng)計(jì)學(xué)二項(xiàng)試驗(yàn)

STATISTICS

(第六版)(貝努里試驗(yàn))

1.二項(xiàng)分布與貝努里試驗(yàn)有關(guān)

2.貝努里試驗(yàn)具有如下屬性

n試驗(yàn)包含了試驗(yàn)包含了nn個(gè)相同的試驗(yàn)個(gè)相同的試驗(yàn)

n每每次次試試驗(yàn)驗(yàn)只只有有兩兩個(gè)個(gè)可可能能的的結(jié)結(jié)果果，，即即““成成功功””和和

““失敗失敗””

n出出現(xiàn)現(xiàn)““成成功功””的的概概率率pp對(duì)對(duì)每每次次試試驗(yàn)驗(yàn)結(jié)結(jié)果果是是相相同同

的；的；““失敗失敗””的概率的概率qq也相同，且也相同，且pp++qq==11

n試驗(yàn)是相互獨(dú)立的試驗(yàn)是相互獨(dú)立的

n試驗(yàn)試驗(yàn)““成功成功””或或““失敗失敗””可以計(jì)數(shù)可以計(jì)數(shù)

5-52作者：賈俊平，中國(guó)人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院

統(tǒng)計(jì)學(xué)二項(xiàng)分布

STATISTICS

(第六版)(Binomialdistribution)

1.進(jìn)行n次重復(fù)試驗(yàn)，出現(xiàn)“成功”的次數(shù)

的概率分布稱為二項(xiàng)分布

2.設(shè)X為n次重復(fù)試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，

X取x的概率為

5-53作者：賈俊平，中國(guó)人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院

統(tǒng)計(jì)學(xué)

STATISTICS二項(xiàng)分布

(第六版)

1.顯然顯然，，對(duì)于對(duì)于PP{{XX==xx}}00，，xx=1,2,…,=1,2,…,nn，，有有

2.同樣有

3.當(dāng)n=1時(shí)，二項(xiàng)分布化簡(jiǎn)為

5-54作者：賈俊平，中國(guó)人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院

統(tǒng)計(jì)學(xué)

STATISTICS二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望和方差

(第六版)

1.二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望為

2.E(X)＝np

2.方差為

3.D(X)＝npq

5-55作者：賈俊平，中國(guó)人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院

統(tǒng)計(jì)學(xué)二項(xiàng)分布

STATISTICS

(第六版)(例題分析)

【例】已知100件產(chǎn)品中有5件次品，現(xiàn)從中任

取一件，有放回地抽取3次。求在所抽取的3件

產(chǎn)品中恰好有2件次品的概率

解：設(shè)X為所抽取的3件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則

X~B(3,0.05)，根據(jù)二項(xiàng)分布公式有

5-56作者：賈俊平，中國(guó)人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院

統(tǒng)計(jì)學(xué)泊松分布

STATISTICS

(第六版)(Poissondistribution)

1.用于描述在一指定時(shí)間范圍內(nèi)或在一定的

長(zhǎng)度、面積、體積之內(nèi)每一事件出現(xiàn)次數(shù)

的分布

2.泊松分布的例子

n一個(gè)城市在一個(gè)月內(nèi)發(fā)生的交通事故次數(shù)一個(gè)城市在一個(gè)月內(nèi)發(fā)生的交通事故次數(shù)

n消消費(fèi)費(fèi)者者協(xié)協(xié)會(huì)會(huì)一一個(gè)個(gè)星星期期內(nèi)內(nèi)收收到到的的消消費(fèi)費(fèi)者者投投訴訴次次

數(shù)數(shù)

n人壽保險(xiǎn)公司每天收到的死亡聲明的人數(shù)人壽保險(xiǎn)公司每天收到的死亡聲明的人數(shù)

5-57作者：賈俊平，中國(guó)人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院

統(tǒng)計(jì)學(xué)

STATISTICS泊松概率分布函數(shù)

(第六版)

—給定的時(shí)間間隔、長(zhǎng)度、面積、體

積內(nèi)“成功”的平均數(shù)

e=2.71828

x—給定的時(shí)間間隔、長(zhǎng)度、面積、體

積內(nèi)“成功”的次數(shù)

5-58作者：賈俊平，中國(guó)人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院

統(tǒng)計(jì)學(xué)

STATISTICS泊松概率分布的期望和方差

(第六版)

1.泊松分布的數(shù)學(xué)期望為

2.E(X)=

2.方差為

3.D(X)=

4.

5-59作者：賈俊平，中國(guó)人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院

統(tǒng)計(jì)學(xué)泊松分布

STATISTICS

(第六版)(例題分析)

【例】假定某企業(yè)的職工中在周一請(qǐng)假的人數(shù)X

服從泊松分布，且設(shè)周一請(qǐng)事假的平均人數(shù)為

2.5人。求

（1）X的均值及標(biāo)準(zhǔn)差

（2）在給定的某周一正好請(qǐng)事假是5人的概率

解：(1)E(X)==2.5,

(2)

5-60作者：賈俊平，中國(guó)人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院

統(tǒng)計(jì)學(xué)泊松分布

STATISTICS

(第六版)(作為二項(xiàng)分布的近似)

1.當(dāng)試驗(yàn)的次數(shù)n很大，成功的概率p很小時(shí)，

可用泊松分布來(lái)近似地計(jì)算二項(xiàng)分布的概率，

即

2.實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)P0.25，n>20，np5時(shí)，

近似效果良好

5-61作者：賈俊平，中國(guó)人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院

統(tǒng)計(jì)學(xué)

STATISTICS5.4連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布

(第六版)

5.4.1概率密度與分布函數(shù)

5.4.2正態(tài)分布

5-62作者：賈俊平，中國(guó)人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院

統(tǒng)計(jì)學(xué)

STATISTICS

(第六版)

連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布

5-63作者：賈俊平，中國(guó)人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院

統(tǒng)計(jì)學(xué)

STATISTICS連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布

(第六版)

1.連續(xù)型隨機(jī)變量可以取某一區(qū)間或整個(gè)

實(shí)數(shù)軸上的任意一個(gè)值

2.它取任何一個(gè)特定的值的概率都等于0

3.不能列出每一個(gè)值及其相應(yīng)的概率

4.通常研究它取某一區(qū)間值的概率

5.用數(shù)學(xué)函數(shù)的形式和分布函數(shù)的形式來(lái)

描述

5-64作者：賈俊平，中國(guó)人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院

統(tǒng)計(jì)學(xué)概率密度函數(shù)

STATISTICS

(第六版)(probabilitydensityfunction)

1.設(shè)X為一連續(xù)型隨機(jī)變量，x為任意實(shí)數(shù)，

X的概率密度函數(shù)記為f(x)，它滿足條件

2.f(x)不是概率

5-65作者：賈俊平，中國(guó)人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院

統(tǒng)計(jì)學(xué)

STATISTICS概率密度函數(shù)

(第六版)

在在平平面面直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)系系中中畫(huà)畫(huà)出出ff((xx))的的圖圖形形，，則則對(duì)對(duì)于于任任何何

實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)xx1<<xx2，P(xx1<<XXxx2)是該曲線下從xx1到到xx2的面積

f(x)

x

ab

5-66作者：賈俊平，中國(guó)人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院

統(tǒng)計(jì)學(xué)分布函數(shù)

STATISTICS

(第六版)(distributionfunction)

1.連續(xù)型隨機(jī)變量的概率也可以用分布函數(shù)

F(x)來(lái)表示

2.分布函數(shù)定義為

3.根據(jù)分布函數(shù)，P(a<X<b)可以寫(xiě)為

5-67作者：賈俊平，中國(guó)人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院

統(tǒng)計(jì)學(xué)

STATISTICS分布函數(shù)與密度函數(shù)的圖示

(第六版)

1.密度函數(shù)曲線下的面積等于1

2.分布函數(shù)是曲線下小于x0的面積

f(x)

F(x0)

x

x0

5-68作者：賈俊平，中國(guó)人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院

統(tǒng)計(jì)學(xué)

STATISTICS連續(xù)型隨機(jī)變量的期望和方差

(第六版)

1.連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為

2.方差為

5-69作者：賈俊平，中國(guó)人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院

統(tǒng)計(jì)學(xué)

STATISTICS

(第六版)

均勻分布

5-70作者：賈俊平，中國(guó)人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院

統(tǒng)計(jì)學(xué)均勻分布

STATISTICS

(第六版)(uniformdistribution)

1.1.若隨機(jī)若隨機(jī)變量變量XX的概率密度函數(shù)為的概率密度函數(shù)為

2.2.

3.3.稱稱XX在區(qū)間在區(qū)間[[aa,,bb]]上上均勻分布均勻分布

2.2.數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)期望和方差分別為期望和方差分別為

5-71作者：賈俊平，中國(guó)人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院

統(tǒng)計(jì)學(xué)

STATISTICS

(第六版)

正態(tài)分布

5-72作者：賈俊平，中國(guó)人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院

統(tǒng)計(jì)學(xué)正態(tài)分布

STATISTICS

(第六版)(normaldistribution)

1.1.描述連續(xù)型隨機(jī)變量的最重要的分布描述連續(xù)型隨機(jī)變量的最重要的分布

2.2.可用于近似離散型隨機(jī)變量的分布可用于近似離散型隨機(jī)變量的分布

n例如:二項(xiàng)分布

3.3.經(jīng)典統(tǒng)計(jì)推斷的基礎(chǔ)經(jīng)典統(tǒng)計(jì)推斷的基礎(chǔ)

ff((xx))

xx

5-73作者：賈俊平，中國(guó)人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院

統(tǒng)計(jì)學(xué)

STATISTICS概率密度函數(shù)

(第六版)

ff((xx))==隨機(jī)變量隨機(jī)變量XX的頻數(shù)的頻數(shù)

==總體方差總體方差

=3.14159=3.14159;;ee==2.718282.71828

xx==隨機(jī)變量的取值隨機(jī)變量的取值(-(-<<xx<<++))

==總體均值總體均值

5-74作者：賈俊平，中國(guó)人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院

統(tǒng)計(jì)學(xué)

STATISTICS正態(tài)分布函數(shù)的性質(zhì)

(第六版)

1.概率密度函數(shù)在x的上方，即f(x)>0

2.正態(tài)曲線的最高點(diǎn)在均值，它也是分布的中位數(shù)和眾數(shù)

3.正態(tài)分布是一個(gè)分布族，每一特定正態(tài)分布通過(guò)均值和

標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)區(qū)分。決定了圖形的中心位置,決定曲線

的平緩程度，即寬度

4.曲線f(x)相對(duì)于均值對(duì)稱，尾端向兩個(gè)方向無(wú)限延伸，

且理論上永遠(yuǎn)不會(huì)與橫軸相交

5.正態(tài)曲線下的總面積等于1

6.隨機(jī)變量的概率由曲線下的面積給出

5-75作者：賈俊平，中國(guó)人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院

統(tǒng)計(jì)學(xué)

STATISTICS和對(duì)正態(tài)曲線的影響

(第六版)

f(x)

B

AC

x

5-76作者：賈俊平，中國(guó)人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院

統(tǒng)計(jì)學(xué)

STATISTICS正態(tài)分布的概率

(第六版)

概率是曲線下的概率是曲線下的面積面積!!

ff((xx))

xx

aabb

5-77作者：賈俊平，中國(guó)人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院

統(tǒng)計(jì)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

STATISTICS

(第六版)(standardnormaldistribution)

1.一般的正態(tài)分布取決于均值和標(biāo)準(zhǔn)差

2.計(jì)算概率時(shí)，每一個(gè)正態(tài)分布都需要有

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