2024-2025學年湖北省武漢某中學九年級上學期第一次月考數(shù)學試題及答案

2024年九年級上學期數(shù)學9月同步練習

一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）

1.3的相反數(shù)是（）

11C

A.----B.-C.—3D.3

33

2.下列方程一定是一元二次方程的是（）

,1

A.%2-1=0B.x2+x+y=0C.x+—+1=0D.%2——=0

xx

3.如圖有關環(huán)保的四個圖形中，是中心對稱圖形的是（）

4.一元二次方程必+3》一2=0根的情況為（）

A.有兩個不相等的實數(shù)根B.有兩個相等的實數(shù)根C.沒有實數(shù)根D.不能判定

5.某縣2020年人均可支配收入為2.36萬元，2022年達到2.7萬元，若2020年至2022年間每年人均可支

配收入的增長率都為x,則下面所列方程正確的是（）

A.2.7(1+J=2.36B.2.36(1+x)2=2.7

C.2.7(1-x)2=2.36D.2.36(1-J=2.7

6.以下函數(shù)的圖象的頂點坐標為(2,0)的是()

A.y=2x~+3B.y=—3(x—2)"C.y=—2(x+2)~D.y——r+2

7.已知，"，〃是一元二次方程/+3x-l=0的兩個根，則（加+1）（"+1）的值（）

A.-3B.3C.1D.-1

8.已知二次函數(shù)丁=。/+法+。的圖象如圖所示，則點P（c,。）所在的象限是（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

9.若"=4—_2%+17，N=3x?+2x+7，%為實數(shù)，則M與N的大小關系為（)

第1頁/共5頁

A.M>NB.M<N

C.M=ND.M.N的大小關系與x的取值有關

10.若點A（-3,%）,8（1,y2）,CCm,%）在拋物線>="2+44工+。上，且%<y3c%，則相的

取值范圍是（）

A.-3<m<1B.-5<%-1或-3<%<1

C.%<-3或%>1D.-5<??<-3或-1<%<1

二、填空題（共6小題，每小題3分，共18分）

11.若關于刀的一元二次方程12一2》+m=0的一個根為尤=1,則相的值為.

12.點（-3,4）關于原點對稱點為.

13.將拋物線y=/+l向右平移2個單位長度，再向上平移3個單位長度，得到拋物線的解析式是

14.如圖，在中，ZBAC=45°,ZC=15°,將△ABC繞點A逆時針旋轉a角度（0°<a<180。）

得至【JZ\ADE,若DE〃A3,貝1Ja=_____度.

x2+2x（x<0）

15.已知關于x的函數(shù)y2c/二、，有下列結論：①函數(shù)的圖象是軸對稱圖形；②函數(shù)圖象上縱

-x+2x（x>0）

坐標為0的點有3個；③滿足縱坐標為”的點，恰好只有兩個，則〃=1或-1；④點”（菁,加），N（x2,m）

是該函數(shù)圖象上的兩個點，則的最大距離是4.其中正確的結論是.（填寫序號）

16.已知二次函數(shù)y=x?-2nu+2根-1（相為常數(shù)），當該二次函數(shù)的圖象與x軸交于點A、5兩個點.若

線段AB上有且只有5個點的橫坐標為整數(shù)，則m的取值范圍是.

三、解答題（共8小題，72分）

17.解下列方程：

（1）x2-2x=1;

⑵x2+6x+5=0-

18.如圖，在五邊形A5CDE中，/EAB=NBCD=90°，AB=BC,ZABC=a,AE+CD=DE.

第2頁/共5頁

（1）將口ABE繞點B順時針旋轉a,畫出旋轉后的口8cM,并證明。、C、”三點在一條直線上;

（2）求證：叢EBD沿叢MBD.

19.關于x的方程%2-2（左T）x+R=O有兩個實數(shù)根xi,X2.

（1）求上的取值范圍；

（2）請問是否存在實數(shù)k,使得Xl+X2=l-X1X2成立？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由.

20.拋物線y=V—4x+3與x軸交于43兩點，A在3左側，與V軸交于C點.

（1）C點坐標為,頂點坐標為；

（2）不等式爐一4x+3〉0的解集是;

（3）當x滿足—2WxW3時，丁的取值范圍____.

21.如圖是由小正方形組成的10x10網格，每個小正方形的頂點叫做格點.4B、C三點是格點.僅用無

刻度直尺在給定網格中完成畫圖.

（1）在圖1中，將線段A5繞A點逆時針旋轉90P至AE,設A5的中點D,標出。點旋轉后的對應點

F；

（2）在圖2中，過B點作AC的平行線BG,在3G上取一點使=

22.某商店銷售一種商品，經市場調查發(fā)現(xiàn)：在實際銷售中，售價%為整數(shù)，且該商品的月銷售量?。?/p>

是售價x（元/件）的一次函藜，其售價（元/件）、月銷售量y（件）月銷售利潤w（元）的部分對應值如下

表：［月銷售利潤=月銷售量X（售價-進價）］

第3頁/共5頁

售價X/（元/件）3035

月銷售量y/件300250

月銷售利潤W/元45005000

（1）商品的進價為元/件，y關于％的函數(shù)表達式為；

（2）當該商品的售價是多少元時，月銷售利潤最大？并求出最大利潤；

（3）現(xiàn)公司決定每銷售1件商品就捐贈加元利潤（瓶410）給“精準扶貧”對象，要求：在售價不低于42

元時，每月扣除捐贈后的月銷售最大利潤為3960元，則m=.

23.在菱形A3CD中，ZABC=60°,3。為菱形的一條對角線.

圖1圖2

（1）如圖1,過A作于點E交3。于點R,求證：FD=2BF；

（2）在（1）的條件下，若FE=2,則菱形A5CD面積為；

（3）如圖2,M為菱形A3CD外一型點且CM=C5,連接AM,DM,BM,試探究

DM、BM、AM的數(shù)量關系，請寫出三條線段的數(shù)量關系.（選擇其中一種數(shù)量關系，并寫出其證

明過程）

24.如圖1,在平面直角坐標系中，已知拋物線丁=。/+加；—3（0。0）與x軸交于點A（-1,0）,B（3,0）,

與丁軸交于點C,。是該拋物線上的一利點.

第4頁/共5頁

(2)如圖1中，連接AC、BD,直線AC交直線3。于點G,若NCG3=45。，求此時。點坐標；

(3)如圖2,連接3C,過。點作3c的平行線交該拋物線于點E(不與。重合)，連接CD、BE,直

線CD與直線BE交于點P,求點尸的橫坐標.

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2024年九年級上學期數(shù)學9月同步練習

一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）

1.3的相反數(shù)是（）

11C

A.—B.—C.—3D.3

33

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查相反數(shù)的定義，熟記相反數(shù)的定義是解題的關鍵.

根據相反數(shù)的定義即可直接選擇.

【詳解】解：3的相反數(shù)是-3.

故選：C.

2.下列方程一定是一元二次方程的是（）

A.%"-1=0B.x~+x+y=0C.xH1-1=0D.x"=0

XX

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查了一元二次方程的定義：只含有一個未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項的最高次數(shù)是2的整式

方程叫一元二次方程.根據一元二次方程的定義即可解答.

【詳解】解：方程必+%+丁=0含有兩個未知數(shù)，不是一元二次方程，故選項B不符合題意；

11

方程x+—+1=0和方程V9——=0都不是整式方程，都不是一元二次方程，故選項C、D不符合題意;

XX

/一1=0符合題意一元二次方程的定義，是一元二次方程，故選項A符合題意;

故選：A.

3.如圖有關環(huán)保的四個圖形中，是中心對稱圖形的是（）

【答案】B

【解析】

【分析】本題主要考查了中心對稱圖形，根據中心對稱圖形的定義判斷即可，解題的關鍵是正確理解中心對

稱圖形的定義：把一個圖形繞某一點旋轉180°,如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形

就叫做中心對稱圖形可得答案.

第1頁/共24頁

【詳解】A、圖形繞某一點旋轉180°后與原來的圖形不重合，所以不是中心對稱圖形，不符合題意；

B、圖形繞某一點旋轉180°后與原來的圖形重合，所以是中心對稱圖形，符合題意；

C、圖形繞某一點旋轉180°后與原來的圖形不重合，所以不是中心對稱圖形，不符合題意；

D、圖形繞某一點旋轉180°后與原來的圖形不重合，所以不是中心對稱圖形，不符合題意；

故選：B.

4.一元二次方程爐+3%—2=0根的情況為（）

A.有兩個不相等的實數(shù)根B.有兩個相等的實數(shù)根C.沒有實數(shù)根D.不能判定

【答案】A

【解析】

【分析】根據題意，求得A="-4ac=9+8=17>0,根據一元二次方程根的判別式的意義，即可求解.

【詳解】解：：一元二次方程必+3%—2=0中，a=l,b=3,c=-2,

A=/-4ac=9+8=17>0，

2

一元二次方程X+3X-2=0有兩個不相等的實數(shù)根，

故選：A.

【點睛】本題考查了一元二次方程的根的判別式的意義，熟練掌握一元二次方程根的判別式的意義是解題

的關鍵.

5.某縣2020年人均可支配收入為2.36萬元，2022年達到2.7萬元，若2020年至2022年間每年人均可支

配收入的增長率都為x,則下面所列方程正確的是（）

A.2.7（l+x）2=2.36B.2.36（1+x）2=2.7

C.2.7（1-x）2=2.36D.2.36（1-療=2.7

【答案】B

【解析】

【分析】設2020年至2022年間每年人均可支配收入的增長率都為工,根據題意列出一元二次方程即可.

【詳解】解：設2020年至2022年間每年人均可支配收入的增長率都為x,根據題意得，

2.36（l+x）2=2.7,

故選：B.

【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，根據題意列出一元二次方程是解題的關鍵.

6.以下函數(shù)的圖象的頂點坐標為（2,0）的是。

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A.y=2x?+3B.y=-3(x-2)?C.y——2(x+2)2D.y=-x?+2

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查由拋物線的頂點坐標式寫出拋物線頂點的坐標，比較容易.因為拋物線y=a(x-五加+左，

頂點坐標是仇女)，根據這個模式求出每個函數(shù)的頂點坐標，再比較.

【詳解】解：A、y=2/+3的頂點坐標是(0,3),不符合題意；

B、y=—3(x—2)2的頂點坐標是(2,0),符合題意;

C、y=-2(x+2)2的頂點坐標是(一2,0),不符合題意;

D、y=-好+2的頂點坐標是(0,2),不符合題意.

故選：B.

7.已知〃?，〃是一元二次方程一+3彳一1=0的兩個根，則(m+1)(〃+1)的值()

A.-3B.3C.1D.-1

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系.根據一元二次方程根與系數(shù)的關系得出加+〃=-3,

mn=-l,代入整理后的代數(shù)式，即可求解.

【詳解】解：：山，〃是一元二次方程/+3尤-1=0的兩個根，

m+n=—3,mn二一1,

(加+1)(〃+1)=mm+m+n+1=一1-3+1=-3,

故選：A.

8.已知二次函數(shù)丁=以2+法+。的圖象如圖所示，則點P(c,。)所在的象限是()

B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】C

第3頁/共24頁

【解析】

【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關系，以及判斷點所在象限.首先根據二次函數(shù)的圖象及性質

判斷C和。的符號，從而得出點尸(C,。)所在象限.

【詳解】解：由圖可知二次函數(shù)的圖象開口向上，對稱軸在y軸右側，

b

??〃>0,---->0,

2a

Z?<0,

二次函數(shù)的圖象與y軸的交點在原點下方，

。<0,

...p(c,b)在第三象限，

故選：C.

9.若"=4%2_2x+17，N=3x?+2x+7，%為實數(shù)，則M與N的大小關系為()

A..M>NM<N

C.M=ND.M.N的大小關系與x的取值有關

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查了整式的加減，配方法的應用.直接利用整式的加減運算法則結合偶次方的性質得出答

案.

【詳解】解：=4必—2x+17，N=3f+2x+7，

：.M-N=4X2-2X+17-(3X2+2X+7)

=4X2-2X+17-3X2-2X-7

=x2-4x+10

=(x-2)'+6,

V(X-2)2>0,

.\(x-2)2+6>0,

：.M>N.

故選：A.

10.若點A(-3,%),2(1,y2),C(.m,%)在拋物線丫="2+4ax+c上，且％<為<%，則根的

第4頁/共24頁

取值范圍是（）

A.-3＜m＜1B.-5＜機＜-1或-3＜機＜1

C.根＜-3或相＞1D.-5＜m＜-3或-1＜相＜1

【答案】D

【解析】

【分析】根據二次函數(shù)的解析式可得出二次函數(shù)的對稱軸為x=-2,分a＜0和。＞0兩種情況討論，分別

根據圖像上點的坐標特征得到關于m的不等式，然后解不等式即可解答.

4〃

【詳解】解：拋物線丁=加+4。冗+。的對稱軸為％=----=-2,

2a

,點A（-3,yi）,B（1,丁2）,C（m,券）在拋物線丁=〃%2+4〃%+。上，且yiV/V”,

???當〃V0,貝!］依+21Vl且防+2|〉3,（不存在）；

當〃＞0,則lV|m+2|V3,解得-5V-3或-1VnzV1.

故選：D.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖像上點的坐標特征、二次函數(shù)的性質、解一元一次不等式組，解題的關鍵

是根據二次函數(shù)的性質找出關于m的一元一次不等式.

二、填空題（共6小題，每小題3分，共18分）

11.若關于刀的一元二次方程必-2》+m=0的一個根為尤=1，則相的值為.

【答案】1

【解析】

【分析】本題主要考查了一元二次方程解的定義，熟知一元二次方程的解是使方程左右兩邊相等的未知數(shù)

的值是解題的關鍵.把x=l代入一元二次方程得到1-2+加=0,然后解一次方程即可.

【詳解】解：把x=l代入方程/一2》+m=0得1—2+加=0,

解得m=1.

故答案為：1

12.點（-3,4）關于原點對稱點為.

【答案】（3,—4）

【解析】

【分析】本題考查了關于原點對稱的點的坐標，熟練掌握兩點關于原點對稱，橫、縱坐標互為相反數(shù)是解題

關鍵.根據“兩點關于原點對稱，則兩點的橫、縱坐標都是互為相反數(shù)”解答即可.

【詳解】解：點（-3,4）關于原點。的對稱點為（3,-4）.

第5頁/共24頁

故答案為：(3,-4).

13.將拋物線、=爐+1向右平移2個單位長度，再向上平移3個單位長度，得到拋物線的解析式是

【答案】y=(x-2)2+4

【解析】

【分析】此題主要考查了函數(shù)圖象的平移.根據二次函數(shù)圖象左加右減，上加下減的平移規(guī)律進行解答即

可.

【詳解】解：函數(shù)y=/+i向右平移2個單位，得：y=(x—2)?+1；

再向上平移3個單位，得：y=(x-2)2+l+3,即y=(x—2『+4；

故答案為：J=(X-2)2+4.

14.如圖，在中，ABAC=45°,ZC=15°,將△ABC繞點A逆時針旋轉a角度(0。<a<180°)

得至【J4ADE,若DE〃AB,貝______度.

【解析】

【分析】本題考查了旋轉的性質、平行線的性質.先根據旋轉的性質可得NE=NC=15。，再根據平行

線的性質可得N84E=NE=15。，然后根據角的和差可得NE4c=60。，由此即可得.

【詳解】解：由旋轉的性質得：NE=NC=15°,

DE//AB,

NBAE=NE=15。,

ABAC=45°,

NEAC=ABAC+ZBAE=60°,即旋轉角為60°,

/.a=60°,

故答案為：60.

第6頁/共24頁

x2+2x(x<0)

15.已知關于x的函數(shù)y2c/二、，有下列結論：①函數(shù)的圖象是軸對稱圖形；②函數(shù)圖象上縱

-%-+2x(x>0)

坐標為0的點有3個；③滿足縱坐標為”的點，恰好只有兩個，則〃=1或-1；④點”(菁,加)，N(x2,m)

是該函數(shù)圖象上的兩個點，則的最大距離是4.其中正確的結論是.(填寫序號)

【答案】②③④

【解析】

【分析】本題考查了二次函數(shù)和圖象和性質.根據題意畫出草圖，根據圖象求解即可.

【詳解】解：對于y=x2+2x=(x+l)2—i(xwo),

頂點坐標為A(-1,1),

令y=0,則X2+2X=0，解得X=0或X=—2,

與x軸的交點坐標為。(—2,0),0(0,0),

對于,=_/+2x=—(x-以+](x>0),頂點坐標為5(1,1),

令y=。，則必+2%=0，解得x=0或x=2,

與x軸的交點坐標為E(2,0),

觀察圖象，①函數(shù)的圖象是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，結論①錯誤；

②函數(shù)圖象上縱坐標為0的點有點。、。、E,共3個，結論②正確；

③滿足縱坐標為”的點，恰好只有兩個，即經過點A或2且平行于x軸兩條直線與圖象的交點，此時

〃二1或一1,結論③正確；

④點〃(玉,加)，N(%,根)是該函數(shù)圖象上的兩個點，由圖象知，當根=0時，則的最大距離即

DE=4,結論④正確.

故答案為：②③④.

第7頁/共24頁

16.已知二次函數(shù)丁=%2-27噂+2根-1（相為常數(shù)），當該二次函數(shù)的圖象與x軸交于點A、3兩個點.若

線段AB上有且只有5個點的橫坐標為整數(shù)，則m的取值范圍是.

【答案】—1.5（根<—1或3<根<3.5.

【解析】

【分析】本題考查了二次函數(shù)與％軸的交點問題.先求得二次函數(shù)的圖象與工軸的交點坐標，再利用線段

A3上有且只有5個點的橫坐標為整數(shù)，分兩種討論，分別列不等式組，計算即可求解.

【詳解】解：令>=。，則%2-2加%+2加一1=0,

解得罰=1,x2=2m-l,

不妨設A（1,O）,則8（2加-1,0）,

當點B在點A左側時，

由題意得-4<2m-1<-3,

解得-1.5

當點8在點A右側時，

由題意得5<2m-1<6,

解得3<m<3.5；

綜上，加的取值范圍一1.5</九〈一1或34根<3.5.

故答案為：—1.5<〃2?-1或34根<3.5.

三、解答題（共8小題，72分）

17.解下列方程：

（1）x2-2x=l;

（2）x2+6x+5=0.

L答案]（1）X]=l+5/2,x2=1—V2；

（2）Xy——1,%2=-5.

【解析】

【分析】本題考查求一元二次方程的解，解一元二次方程的一般方法有配方法、公式法和因式分解法.

（1）在方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方，配成完全平方公式，再開平方求解即可；

（2）根據因式分解法將方程變?yōu)椋▁+l）（x+5）=0,將方程轉化為兩個一元一次方程求解即可.

【小問1詳解】

第8頁/共24頁

解：尤2-2x=1,

配方得：X2-2X+1=1+1，即（x—=2,

x-1=+V2，

解得：x=l土血，

X1=1+V2，x2=1—V2；

【小問2詳解】

解：x2+6x+5=0>

分解因式得：（x+l）（x+5）=0,

x+l=O或x+5=0,

得：,4=一5?

18.如圖，在五邊形ABCDE中，/EAB=/BCD=90°，AB=BC,ZABC=tz,AE+CD^DE.

（1）將口ABE繞點3順時針旋轉a,畫出旋轉后的口BCM,并證明。、C、M三點在一條直線上；

（2）求證：小EBDQ叢MBD.

【答案】（1）畫圖見解析，證明見解析

（2）見解析

【解析】

【分析】此題是幾何變換綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質，旋轉的性質，利用旋轉構造出全等

三角形時解本題的關鍵.

（1）先根據題意畫出圖形，再由旋轉的性質可得==90°,由N8CO=90。，可得

ZBCM+ZBCD=130°；

（2）由旋轉的性質可得3M=3E,AE=CM，再由AE+C。=OE可得CM+CO=DE,即：DM=DE,

最后通過“SSS”證明△砌注△掰切即可.

【小問1詳解】

第9頁/共24頁

如圖所示,

???將□A8E繞點B順時針旋轉a,AB=BC,NABC=a,

NEAB=NBCM=90°,

???ZBCD=90°,

:.ZBCM+ZBCD=1SO°,

:.D、C、M三點在一條直線上；

【小問2詳解】

1.將□A8E繞點B順時針旋轉a,得到△ACM,

：DBCM^BAE,

BM=BE,AE=CM,

■：AE+CD=DE,

CM+CD=DE,

即：DM=DE,

???BD=BD,

:口EBD^MBD(SSS)；

19.關于x的方程x2-2（k-1）x+R=O有兩個實數(shù)根xi,尤2.

（1）求左的取值范圍；

（2）請問是否存在實數(shù)k,使得X1+無2=1-X1X2成立？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由.

【答案】（1）k<-

2

（2）存在，k=-3

【解析】

【分析】（1）根據關于x的方程x2-2a-1）尤+R=0有兩個實數(shù)根，A>0,代入計算求出發(fā)的取值范

圍.

（2）根據根與系數(shù)的關系，xx=--,=根據題意列出等式，求出發(fā)的值，根據上的值是否

1+9aa

在取值范圍內做出判斷.

第10頁/共24頁

【小問1詳解】

解：???關于尤的方程x2-2a-1)x+F=O有兩個實數(shù)根

根據題意得A=4(左一I)?—4左②=4—8左20,

解得左

2

【小問2詳解】

解：存在.

根據根與系數(shù)關系%+々=2伏—1),=k2,

*.*X1+X2=1-X1X2,

2(1)=-2,

解得尢=-3,左2=1，

,1

'：k<-.

2

存在實數(shù)k=-3,使得X1+X2=1-X1X2.

【點睛】本題考查一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關系，解一元二次方程，要注意根據上的取值范

圍來進取舍.

20.拋物線4x+3與x軸交于43兩點，A在8左側，與V軸交于C點.

(1)C點坐標為,頂點坐標為；

(2)不等式Y一4x+3〉0的解集是;

(3)當x滿足—2<xW3時，丁的取值范圍____.

【答案】⑴(0,3)；(2,-1)；

(2)x<l或x>3

(3)-l〈yW15.

【解析】

【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質、拋物線與兩坐標軸的交點及不等式組，本題利用數(shù)形結合的思想是

關鍵，從圖象中讀出不等式組的解集和對應y的取值.

(1)配方可得拋物線頂點M的坐標；將x=0和>=。代入拋物線的解析式可求得點C的坐標；

(2)將y=。代入拋物線的解析式可求得A,8的坐標；畫出草圖，根據圖象得出結論；

(3)計算得出當-2WxW3時對應的函數(shù)值，根據圖象即可寫出二次函數(shù)丁的取值范圍.

【小問1詳解】

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解：：y=f-4x+3=(x-2)'-1,

拋物線頂點M的坐標為(2,-1)；

把x=0代入y=d—4x+3得y=3；

C點坐標為(0,3)；

【小問2詳解】

解：把y=。代入y=%2—4x+3得f-41+3=0，解得占=1,x2=3,

r.A點坐標為(1,0)、8點坐標為(3,0),

草圖，如圖所示；

由圖象得：當％<1或x>3時，y〉0,則好一4%+3〉0;

故答案為：％<1或x>3；

【小問3詳解】

解：由圖象得：

當x=—2時，y=(-2)2—4x(—2)+3=4+8+3=15；

當x=2時，y最小=-1；

當x=3時，y=0；

所以丁取值范圍：-lWyW15.

21.如圖是由小正方形組成的10x10網格，每個小正方形的頂點叫做格點.4B、C三點是格點.僅用無

刻度直尺在給定網格中完成畫圖.

第12頁/共24頁

（1）在圖1中，將線段A5繞A點逆時針旋轉9（P至AE,設A5的中點D,標出。點旋轉后的對應點

F；

（2）在圖2中，過B點作AC的平行線3G,在3G上取一點使=

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】

【分析】本題考查作圖-旋轉變換，平行線的性質，正方形的性質，線段垂直平分線的性質，熟練掌握相關

知識點是解答本題的關鍵.

（1）利用全等三角形的性質作出AE,線段A5與格線交點即為A5的中點。，線段AE與格線交點即為

AE的中點R；

（2）作平行四邊形5CHG,得到3G〃AC,作正方形分別取A3和RE與格線的交點。和

N,作射線ON交3G于點此時MN是線段A3的垂直平分線，則NM43=/GA4=/CA3.

【小問1詳解】

解：線段AE,以及點。和點尸如圖1所示；

第13頁/共24頁

22.某商店銷售一種商品，經市場調查發(fā)現(xiàn)：在實際銷售中，售價X為整數(shù)，且該商品的月銷售量y（件）

是售價x（元/件）的一次函藜，其售價（元/件）、月銷售量y（件）月銷售利潤W（元）的部分對應值如下

表：［月銷售利潤=月銷售量x（售價-進價）］

售價X/（元/件）3035

月銷售量y/件300250

月銷售利潤W/元45005000

（1）商品的進價為元/件，y關于％的函數(shù)表達式為；

（2）當該商品的售價是多少元時，月銷售利潤最大？并求出最大利潤；

（3）現(xiàn)公司決定每銷售1件商品就捐贈加元利潤（加〈10）給“精準扶貧”對象，要求：在售價不低于42

元時，每月扣除捐贈后的月銷售最大利潤為3960元，則m=.

【答案】（1）15,y=—lOx+600；

（2）當該商品的售價是37.5元時，月銷售利潤最大，最大利潤為5062.5元；

（3）5

【解析】

【分析】本題考查了二次函數(shù)在實際生活中的應用.

（1）根據表中數(shù)據可以求出每件進價，設出函數(shù)解析式，用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；

（2）設該商品的月銷售利潤為卬元，根據利潤=單件利潤x銷售量列出函數(shù)解析式，根據函數(shù)的性質求出

函數(shù)最值；

（3）根據總利潤=（單件利潤-加）x銷售量列出函數(shù)解析式，再根據xW42時，利用函數(shù)性質求解即

可.

【小問1詳解】

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300x30-4500

解：由表中數(shù)據知，每件商品進價為=15(元/件),

300

設一次函數(shù)解析式為y=履+。,

30左+匕=300

根據題意,得4

35左+)=250

左=一10

解得:

5=600

所以〉與X的函數(shù)表達式為y=T0x+600；

故答案為：15,y=-10x+600；

【小問2詳解】

解：設該商品的月銷售利潤為w元,

則w=(x-15)y

=(x-15)(-10x+600)

=-10x2+750%-9000

=-10(x-37.5)2+5062.5,

V-10<0,

...當x=37.5時，w最大，最大值為5062.5,

當該商品的售價是37.5元時，月銷售利潤最大，最大利潤為5062.5元;

【小問3詳解】

解：根據題意得：

w=(x-15-m)(-10x+600)=-10x2+(750+10m)x-9000-600m,

750+10m?「m

對稱軸為直線尤=-2x(-10)=375+~,

'：m<lQ,

rrj

：.37.5+—<42.5,

2

V-10<0,

當尤=42時，w取得最大值為3960元,

(42-15-m)(-10x42+600)=3960,

第15頁/共24頁

解得：m—5.

故答案為：5.

23.在菱形A3CD中，ZABC=60°,5。為菱形的一條對角線.

圖1圖2

(1)如圖1,過A作AEL8C于點E交3。于點R,求證：FD=2BF；

(2)在(1)的條件下，若FE=2,則菱形A5CD面積為；

(3)如圖2,M為菱形A3CD外一型點且CM=C5,連接AM,DM,BM,試探究

DM、BM、AM的數(shù)量關系，請寫出三條線段的數(shù)量關系.(選擇其中一種數(shù)量關系，并寫出其證

明過程)

【答案】(1)見解析(2)24小

(3)DM=BM+43AM(答案不唯一)，理由見解析

【解析】

【分析】(1)利用菱形的性質以及直角三角形的性質求得5E=LA3=LA。，推出得

22

到￡2=42=2,據此即可證明即=23/；

BFBE

AFAD

(2)同(1)求得口4。尸—仍產，得到戶=卡=2,求得AE=4,AE=6,解直角三角形求得

BC=AB=46，利用菱形的面積公式即可求解；

(3)連接AC,延長到X,證明點3、M、A、。在以點C為圓心的血。上，利用圓心角與圓周角

的關系求得證明RtDMAN0RtnM4G(HL),求得NM=MG,再證明

RtOA^B^RtOAGD(HL),求得/ABN=/ADG,BN=DG,然后利用直角三角形的性質即可解決問

題.

【小問1詳解】

證明：如圖1中，

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???四邊形A3CD是菱形，ZABC=60°,AE1BC,

ZBAE=30°,AB=BC=AD,AD//BC,

BE——AB二一AD,

22

■:AD//BE,

：.UADF^QEBF,

FDAD

?.----------2,

BFBE

:.FD=2BF；

【小問2詳解】

解：由（1）nADF^UEBF,

AFAD

?.--2,

EFBE

,:FE=2,

.??AF=4,

AE=6,

?.,ZBAE=30°,

Ap6

cosZBAE=,即cos30°=,

ABAB

:?AB=46，BC=AB=4s/3,

$菱形ABCD=BC.AE=24#；

故答案為：2473；

【小問3詳解】

解：DM=BM+43AM＞理由如下:

連接AC,延長8M到H,

第17頁/共24頁

,/四邊形ABCD是菱形，ZABC=60°,

AABC和□AC。都是等邊三角形，

/?ZACB=ZACD=60°,

；CM=CB,

：.CB=CM=CA=CD,

點&M、A、。在以點C為圓心的口C上，

ZAMD=-ZACD=30°,ZMAB+/MBA=-(ZMCB+ZMCA)=30°,

ZHMA=ZMAB+ZMBA=30°,

ZAMD=ZAMH,

如圖，過A作ANLBH點N,AG，DM于點G,

G\

VZAMN=ZAMG,AN1MN,AG1DM,

AN=AG,

NMNA=ZMGA=90°,AM=AM,AN=AG,

RtDWUV^RtnWG(HL),

NM=MG,

■：ZANB=ZAGD=90°,AN=AG,AB=AD,

RtOANB^RtnAGD(HL),

ZABN=ZADG,BN=DG,

第18頁/共24頁

?/NBMD=ZBAD=120°,

ZNMG=60°,

NAMN=ZAMG=30°,

DM-BM=MG+DG-(BN-MN)=2MN=,

DM=BM"AM-

【點睛】本題考查菱形的性質，圓心角與圓周角，相似三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質,

直角三角形的性質，解直角三角形等知識，正確引出輔助線解決問題是解題的關鍵.

24.如圖1,在平面直角坐標系中，已知拋物線,=。/+加；—3(。。0)與x軸交于點A(-1,0),5(3,0),

與丁軸交于點C,。是該拋物線上的一利點.

(2)如圖1中，連接AC、BD,直線AC交直線5。于點G,若NCGB=45°,求此時。點坐標；

(3)如圖2,連接BC,過。點作的平行線交該拋物線于點E(不與。重合)，連接C。、BE,直

線CD與直線BE交于點P,求點尸的橫坐標.

【答案】(1)(0,-3),y=x2-2x-3,(1,-4)；

(2)此時D點坐標(1,-4)或4

3

(3)點尸的橫坐標為一.

2

【解析】

【分析】(1)當％=0時，求出點C坐標，然后利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式，最后配方即可求出頂

點坐標;

(2)先求出直線AC解析式為y=-3%-3,然后分當G在直線下方時和當G在直線下方時兩

第19頁/共24頁

種情況分，由相似三角形的判定與性質即可求解;

（3）設石（加,加2-2"2-3）,-2〃一3）,然后求出直線3c解析式為y=x-3,由

DE//BC,設直線DE解析式為F=x+大，聯(lián)立得x+f=x2—2x—3,整理得:

必_3%—3—=0,根據兩根關系可得機+〃=3,則。（3—〃z,〃/—4〃。，分別出直線CD解析式為

y=(m+l)x-3m-3

y=(l-rn)x-3,直線BE解析式為y=(加+l)x-3m-3,聯(lián)立得＜,最后解方程

y={\-m)x-3

即可求解.

【小問1詳解】

解：由拋物線y=。％2+8才-3,當x=0時，y=-3,

.\C(0,-3),

..?拋物線與x軸交于點A(—1,0),8(3,0),

a—b—3=0\a—\

■,[9a+3Z?-3=0,解得：^=-2'

拋物線解析式為y=x2—2%—3,

由,=%2_2%_3=(%_1)--4,

頂點坐標為(L-4),

故答案為：(0,-3),y=x2-2x-3,(1,-4)；

【小問2詳解】

解:由(1)得：C(0,-3),

設直線AC解析式為y=mix+ni,

-rru+%=0fm.=-3

??.o,解得：\,

nx——3=—3

???直線AC解析式為y=