高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：立體幾何（新定義）（解析版）

專題12立體幾何專題（新定義）

一、單選題

1.（2022秋?內(nèi)蒙古赤峰?高二赤峰二中校考階段練習(xí)）已知體積公式丫=由3中的常數(shù)％稱為，，立圓率，，.對(duì)于

等邊圓柱（軸截面是正方形的圓柱），正方體，球也可利用公式V=H>3求體積（在等邊圓柱中，。表示底

面圓的直徑；在正方體中，。表示棱長，在球中，。表示直徑）.假設(shè)運(yùn)用此體積公式求得等邊圓柱（底面

圓的直徑為。），正方體（棱長為。），球（直徑為。）的“立圓率”分別為尤，k2,k3,則（）

A.111.—B.1.2.一

4646

C.3:2兀:2D.—:一:一

6%4

【答案】A

【分析】根據(jù)體積公式分別求出“立圓率”即可得出.

【詳解】因?yàn)槲酥?共圖xa=kd，所以匕=5,

因?yàn)樨癊方體=42a3,所以％2=1,

3

因?yàn)楹?Fx[￡|=k3a,所以左3=方，

所以《：&：%=?。?：丁.

46

故選：A.

2.（2022秋.江蘇南京.高二統(tǒng)考期中）我們把所有頂點(diǎn)都在兩個(gè)平行平面內(nèi)的多面體叫做擬柱體，在這兩個(gè)

平行平面內(nèi)的面叫做擬柱體的底面，其余各面叫做擬柱體的側(cè)面，兩底面之間的垂直距離叫做擬柱體的高，

過高的中點(diǎn)且平行于底面的平面截?cái)M柱體所得的截面稱為中截面.已知擬柱體的體積公式為丫=，八

（S+4S0+F）,其中S,分別是上、下底面的面積，So是中截面的面積，//為擬柱體的高.一堆形為擬柱體的

建筑材料，其兩底面是矩形且對(duì)應(yīng)邊平行（如圖），下底面長20米，寬10米，堆高1米，上底長、寬比下

底長、寬各少2米.現(xiàn)在要徹底運(yùn)走這堆建筑材料，若用最大裝載量為4噸的卡車裝運(yùn)，則至少需要運(yùn)（）

（注：1立方米該建筑材料約重1.5噸）

C.67車D.69車

【答案】B

【分析】根據(jù)所給條件先計(jì)算上底面和中截面的長、寬，進(jìn)而求出各個(gè)面的面積、體積以及重量，進(jìn)一法

求出所需要的車次.

【詳解】解：由條件可知：上底長為18米，寬為8米；中截面長19米，寬9米；則上底面積5=18x8,

1514

中截面積S。=19x9,下底面積5=20x10,所以該建筑材料的體積為V=%x1x（144+684+200）=三立方

米，

所以建筑材料重約5手14x；3=257（噸），

需要的卡車次為257+4=64.25,所以至少需要運(yùn)65車.

故選：B

3.（2022?全國?高三專題練習(xí)）胡夫金字塔的形狀為四棱錐，1859年，英國作家約翰?泰勒（JohnThylor,

1781-1846）在其《大金字塔》一書中提出：古埃及人在建造胡夫金字塔時(shí)利用黃金比例6618

7

泰勒還引用了古希臘歷史學(xué)家希羅多德的記載：胡夫金字塔的每一個(gè)側(cè)面的面積都等于金字塔高的平方.如

圖，若外=廄，則由勾股定理，as=s2-a2,即（上［一上一1=0,因此可求得上為黃金數(shù)，已知四棱錐底面

\a）aa

是邊長約為856英尺的正方形（2。=856）,頂點(diǎn)。的投影在底面中心。，H為BC中點(diǎn),根據(jù)以上信息，PH

的長度（單位：英尺）約為（）.

a

AB

A.611.6B.481.4C.692.5D.512.4

【答案】C

【解析】由2a=856和PH=s=叵已。可得

2

【詳解】解：PH=s=^^-a,2“=856

2

V5+1A/5+I856,_.

PpHw=s=--------a=--------x-----?69Q2.5

222

故選：c

【點(diǎn)睛】讀懂實(shí)際問題，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題進(jìn)行計(jì)算；基礎(chǔ)題.

4.（2023?遼寧沈陽?統(tǒng)考一模）刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容.用曲率刻畫空間彎曲性，規(guī)定：

多面體頂點(diǎn)的曲率等于2兀與多面體在該點(diǎn)的面角和的差（多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧

度制），多面體面上非頂點(diǎn)的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點(diǎn)的曲率之和.則正八面體（八

個(gè)面均為正三角形）的總曲率為（）

【答案】B

【分析】利用正八面體的面積和減去六個(gè)頂點(diǎn)的曲率和可得結(jié)果.

【詳解】正八面體每個(gè)面均為等比三角形，且每個(gè)面的面角和為兀，該正面體共6個(gè)頂點(diǎn)，

因此，該正八面體的總曲率為6*2兀-8兀=4兀.

故選：B.

5.（2023?全國?高三專題練習(xí)）將地球近似看作球體.設(shè)地球表面某地正午太陽高度角為5為此時(shí)太陽直

射緯度（當(dāng)?shù)叵陌肽耆≌担肽耆∝?fù)值），夕為該地的緯度值，如圖.已知太陽每年直射范圍在南北回

歸線之間，即57-23。26',23。261.北京天安門廣場的漢白玉華表高為9.57米，北京天安門廣場的緯度為北

緯39。54,27〃，若某天的正午時(shí)刻，測得華表的影長恰好為9.57米，則該天的太陽直射緯度為（）

A.北緯5。5'27〃B.南緯5。5'27"

C.北緯5。5'33"D.南緯5。5'33"

【答案】D

【解析】首先根據(jù)題意理解太陽高度角、該地緯度、太陽直射緯度的概念，然后由太陽高度角

<9=90°-（39。54,27"-5）=45°可得結(jié)果.

【詳解】由題可知，天安門廣場的太陽高度角夕=90。-（39。54'27"-5）=50。5'33”+5,

由華表的高和影長相等可知。=45。，所以5=45°—50°5'33"=-5。5'33".

所以該天太陽直射緯度為南緯5533”,

故選：D.

6.（2023秋?廣東深圳?高二?？计谀﹫D1中的機(jī)械設(shè)備叫做“轉(zhuǎn)子發(fā)動(dòng)機(jī)”，其核心零部件之一的轉(zhuǎn)子形狀

是“曲側(cè)面三棱柱”，圖2是一個(gè)曲側(cè)面三棱柱，它的側(cè)棱垂直于底面，底面是“萊洛三角形”，萊洛三角形是

以正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)為圓心，正三角形的邊長為半徑畫圓弧得到的，如圖3.若曲側(cè)面三棱柱的高為5,底

面任意兩頂點(diǎn)之間的距離為20,則其側(cè)面積為（）

ttll12FH3

A.lOOnB.600兀

C.200兀D.3007r

【答案】A

【分析】由萊洛三角形是以正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)為圓心，正三角形的邊長為半徑畫圓弧得到的，結(jié)合已知

可得半徑為20,由弧長公式求得底面周長，進(jìn)而可求得結(jié)果.

IT7T

【詳解】萊洛三角形由三段半徑為20,圓心角為§的圓弧構(gòu)成，所以該零件底面周長為3x,x20=20兀，故

其側(cè)面積為207ix5=100萬.

故選：A.

7.（2023?全國?高三專題練習(xí)）設(shè)P為多面體M的一個(gè)頂點(diǎn)，定義多面體M在尸處的離散曲率為

1-3（NQIPQ,+NQ/03+…+NQ/Q）其中Q，（i=L2,3…,左23）為多面體"的所有與點(diǎn)尸相鄰的頂點(diǎn)，且

平面QF03,……，Q/Q遍及多面體M的所有以p為公共點(diǎn)的面如圖是正四面體、正八面體、

正十二面體和正二十面體，若它們在各頂點(diǎn)處的離散曲率分別是a,b,c,d,則a,b,c,d的大小關(guān)系是

（）

正四面體正八面體正十二面體正二十面體

A.a>b>c>dB.a>b>d>c

C.b>a>d>cD.c>d>b>a

【答案】B

【分析】根據(jù)題意給的定義，結(jié)合圖形，分別求出。、6、c、d的值即可比較大小.

1JT1

【詳解】對(duì)于正四面體，其離散曲率為。=1-?。?；X3）=G，

2萬32

1JT1

對(duì)于正八面體，其離散曲率為6=1-?。ǘ4）=w，

2萬33

對(duì)于正十二面體，其離散曲率為停x3）=，

2萬510

1JT1

對(duì)于正二十面體，其離散曲率為d=l-h（wx5）=z，

2萬36

1111

貝nl|］一>一>一>—,

23610

所以a>b>d>c.

故選：B.

8.（重慶市2023屆高三第七次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題）如圖，生活中有很多球缺狀的建筑.球被平面截下的部

分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，球缺的曲面部分叫做球冠，垂直于截面的直徑被截后的線段叫做球缺

的高.球冠面積公式為S=2TTR”，球缺的體積公式為丫=（兀（3r-〃）〃2,其中R為球的半徑，H為球缺

的高.現(xiàn)有一個(gè)球被一平面所截形成兩個(gè)球缺，若兩個(gè)球冠的面積之比為1:2,則這兩個(gè)球缺的體積之比為

().

A.-B.—C.—D.—

9202010

【答案】C

nDAn

【分析】根據(jù)已知條件求得4=（，色=￡，代入體積公式計(jì)算即可.

【詳解】設(shè)小球缺的高為4,大球缺的高為生,則4+色=2R,①

由題意可得：/pj=3,即：生=2%,②

17iRn22

DRAR

所以由①②得：%=糞,飽=?，

所以小球缺的體積匕=：兀（3尺一手上（受=卷手，

大球缺的體積％=覆3尺-*卜洋:=黑］，

28球

所以小球缺與大球缺體積之比為"=技』=《.

^2oU7l/\2U

81

故選：C.

9.（2021秋?江蘇南通?高三統(tǒng)考階段練習(xí)）碳60（Co）是一種非金屬單質(zhì)，它是由60個(gè)碳原子構(gòu)成，形

似足球，又稱為足球烯，其結(jié)構(gòu)是由五元環(huán)（正五邊形面）和六元環(huán)（正六邊形面）組成的封閉的凸多面

體，共32個(gè)面，且滿足：頂點(diǎn)數(shù)一棱數(shù)+面數(shù)=2,則其六元環(huán)的個(gè)數(shù)為（）.

A.12B.20C.32D.60

【答案】B

【分析】根據(jù)頂點(diǎn)數(shù)一棱數(shù)+面數(shù)=2求出棱數(shù)，設(shè)正五邊形有x個(gè)，正六邊形有y個(gè)，根據(jù)面數(shù)和棱數(shù)即

可得關(guān)于x，y的方程組，解得y的值，即可求解.

【詳解】根據(jù)題意，碳60(Co)由60個(gè)頂點(diǎn)，有32個(gè)面，

由頂點(diǎn)數(shù)一棱數(shù)+面數(shù)=2可得：棱數(shù)為60+32-2=90,

設(shè)正五邊形有萬個(gè)，正六邊形有y個(gè),

x+y=32

則,解得:I。,所以六元環(huán)的個(gè)數(shù)為2。個(gè)，

5x+6y=90x2

故選：B.

10.(2018春?四川成者B?高三成都七中?？茧A段練習(xí))設(shè)心。，定義區(qū)間3,3、(血口㈤、團(tuán),句的長度均

為b—a.在三棱錐A-3CZ)中，AB=8C=C4=2,ADJ.BD,則8長的取值區(qū)間的長度為

A.73B.2C.273D.4

【答案】B

【解析】由題意畫出圖形，得到三棱錐A-8CO存在時(shí)CD的范圍，則答案可求.

【詳解】如圖，

△ABC是邊長為2的等邊三角形，取A3中點(diǎn)O,連接CO,OO,可得CO=^,

因?yàn)锳DLBD,當(dāng)4/)=8。時(shí),OD最長為1,則當(dāng)?shù)妊苯侨切蜛3。在平面ABC上時(shí),CD的最小值為6」，

最大值為豆+1,

則要使三棱錐48C。存在，COG(6-1,透+1),

所以長的取值區(qū)間的長度為(&+l)-(g-l)=2.

故選:B

【點(diǎn)睛】本題考查由立體幾何圖形成立限制邊長范圍問題，屬于較難題.

二、多選題

11.（2022?全國?高三專題練習(xí)）用與母線不垂直的兩個(gè)平行平面截一個(gè)圓柱，若兩個(gè)截面都是橢圓形狀，

則稱夾在這兩個(gè)平行平面之間的幾何體為斜圓柱.這兩個(gè)截面稱為斜圓柱的底面，兩底面之間的距離稱為

斜圓柱的高，斜圓柱的體積等于底面積乘以高.橢圓的面積等于長半軸與短半軸長之積的萬倍，己知某圓柱

的底面半徑為2,用與母線成45。角的兩個(gè)平行平面去截該圓柱，得到一個(gè)高為6的斜圓柱，對(duì)于這個(gè)斜圓

柱，下列選項(xiàng)正確的是（）

A.底面橢圓的離心率為走

2

B.側(cè)面積為24后：

C.在該斜圓柱內(nèi)半徑最大的球的表面積為36%

D.底面積為4缶

【答案】ABD

【分析】不妨過斜圓柱的最高點(diǎn)。和最低點(diǎn)B作平行于圓柱底面的截面圓，夾在它們之間的是圓柱，作出

過斜圓柱底面橢圓長軸的截面，截斜圓柱得平行四邊形，截圓柱得矩形，如圖，由此截面可得橢圓面與圓

柱底面間所成的二面角的平面角，從而求得橢圓長短軸之間的關(guān)系，得離心率，并求得橢圓的長短軸長，

得橢圓面積，利用橢圓的側(cè)面積公式可求得斜橢圓的側(cè)面積，由斜圓柱的高比圓柱的底面直徑大，可知斜

圓柱內(nèi)半徑最大的球的直徑與圓柱底面直徑相等，從而得其表面積，從而可關(guān)鍵各選項(xiàng).

【詳解】不妨過斜圓柱的最高點(diǎn)。和最低點(diǎn)B作平行于圓柱底面的截面圓，夾在它們之間的是圓柱，如圖，

矩形ABCD是圓柱的軸截面，平行四邊形5EDE是斜圓柱的過底面橢圓的長軸的截面，

由圓柱的性質(zhì)知ZABF=45°,

則8/=血48，設(shè)橢圓的長軸長為2。，短軸長為2＞，則2a=0-2b，a=同，

c=y/a2-b2=-（亨。）2=~~a，

所以離心率為e=￡=變，A正確；

a2

EG1BF,垂足為G,則EG=6,

易知/E3G=45。，BE=6插,又CE=AF=AB=4,

所以斜圓柱側(cè)面積為S=2^-x2x（4+6A/2）-2^-x2x4=24A/2^,B正確；

2b=4,b=2,2。=40，a=20，

橢圓面積為萬必=40兀，D正確；

由于斜圓錐的兩個(gè)底面的距離為6,而圓柱的底面直徑為4,所以斜圓柱內(nèi)半徑最大的球的半徑為2,球表

面積為4?rx22=16萬，C錯(cuò).

故選：ABD.

12.（2022春.黑龍江哈爾濱.高一哈九中?？计谀┍本┐笈d國際機(jī)場的顯著特點(diǎn)之一是各種彎曲空間的運(yùn)

用，在數(shù)學(xué)上用曲率刻畫空間彎曲性.規(guī)定：多面體的頂點(diǎn)的曲率等于2%與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差

（多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制），多面體面上非頂點(diǎn)的曲率均為零，多面體的總曲

率等于該多面體各頂點(diǎn)的曲率之和.例如：正四面體在每個(gè)頂點(diǎn)有3個(gè)面角，每個(gè)面角是所以正四面

體在每個(gè)頂點(diǎn)的曲率為2/-3x[=萬，故其總曲率為4萬.給出下列四個(gè)結(jié)論,其中，所有正確結(jié)論的有（）

A.正方體在每個(gè)頂點(diǎn)的曲率均為g

B.任意四棱錐的總曲率均為4萬；

C.若一個(gè)多面體滿足頂點(diǎn)數(shù)V=6,棱數(shù)E=8,面數(shù)尸=12,則該類多面體的總曲率是3萬；

D.若某類多面體的頂點(diǎn)數(shù)V,棱數(shù)E,面數(shù)尸滿足M-E+尸=2,則該類多面體的總曲率是常數(shù)

【答案】ABD

【分析】根據(jù)曲率的定義依次判斷即可.

【詳解】對(duì)于A,根據(jù)曲率的定義可得正方體在每個(gè)頂點(diǎn)的曲率為2%-3xWTT=gTT,故A正確；

22

對(duì)于B,由定義可得多面體的總曲率=2萬x頂點(diǎn)數(shù)-各面內(nèi)角和，因?yàn)樗睦忮F有5個(gè)頂點(diǎn)，5個(gè)面，分別為

4個(gè)三角形和1個(gè)四邊形，所以任意四棱錐的總曲率為2萬x5-（萬x4+2萬xl）=4萬，故B正確；

對(duì)于C,由多面體頂點(diǎn)數(shù)、面數(shù)、棱數(shù)的關(guān)系有V-E+F=2,而選項(xiàng)C中所給的多面體的頂點(diǎn)數(shù)、面數(shù)、

棱數(shù)不滿足此關(guān)系式，故不能構(gòu)能多面體，故C不正確；

對(duì)于D,設(shè)每個(gè)面記為“（汴［1,尸］）邊形，

FF

則所有的面角和為2（4一2）==?￡4-2%尸二?-2￡1-2萬尸=2%（石-/），

z=li=l

根據(jù)定義可得該類多面體的總曲率2亞-2%石-尸）=4萬為常數(shù)，故D正確.

故選：ABD.

13.（2020秋?山東濟(jì)南?高三統(tǒng)考期末）給定兩個(gè)不共線的空間向量￡與人定義叉乘運(yùn)算：axb.規(guī)定：

①Zx加為同時(shí)與￡,b垂直的向量;②Z，b，Zxl三個(gè)向量構(gòu)成右手系（如圖1）;③\axb\=\a\|5|sin<?,^>.如

圖2,在長方體ABCO-AiAC］，中，AB=AD=2,AAI=4,

5G

圖1圖2

則下列結(jié)論正確的是（）

A.ABxAD=AA^

B.ABxAD^ADxAB

C.（AB+AD）xAAi=ABxA^+ADxA^

B

D.匕BCD-AB1Gi=，CC］

【答案】ACD

【分析】根據(jù)新定義空間向量的叉乘運(yùn)算依次判斷選項(xiàng)即可.

［詳解】在長方體ABCD-A耳GA中,AB=AD=2,M=4,

A：語同時(shí)與通而垂直，|而x而卜|福WH5|sin（通正）=2x2sin90°=4,

又因?yàn)殛柌?,所以陛x而同可，且通，歷，醺■構(gòu)成右手系，

故須*至5=招*成立，故A正確；

B：根據(jù)標(biāo),晟分三個(gè)向量構(gòu)成右手系，可知通xX5=麗，ADxAB=-AA^,

貝U與x而片而x通，故B錯(cuò)誤；

C：卜荏+詬）x麗卜|/x圃=2&x4sin9O°=80,且ZTx麗與酶同向共線，

|ABxA4|=2x4sin90°=8,且現(xiàn)x麗與麗同向共線，

X|ADxA^=2x4sin900=8,且而x麗與荏同向共線，即而、麗與配同向共線，所以

|荏x麗+礪x網(wǎng)=8近，且通*病+而*鬲與麗同向共線，

所以（福+蒞）x麗=通乂麗+；Wx麗，故C正確；

D：長方體ABCO-A4CQ1的體積M=2倉啦4=16,

（ABxAD）CC[=AA；Cq=42=16,所以匕53.的=（屈*初）-不，故D正確.

故選：ACD

14.（2022春.全國?高一期末）數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意獨(dú)特的幾何體，“等腰四面體”就是其中之一,

所謂等腰四面體，就是指三組對(duì)棱分別相等的四面體.關(guān)于“等腰四面體”，以下結(jié)論正確的是（）

A.長方體中含有兩個(gè)相同的等腰四面體

B.“等腰四面體”各面的面積相等，且為全等的銳角三角形

C.“等腰四面體”可由銳角三角形沿著它的三條中位線折疊得到

D.三組對(duì)棱長度分別為。，b,C的“等腰四面體”的外接球直徑為Jq2+門+C,2

【答案】ABC

【分析】作出長方體，根據(jù)等腰四面體的定義得出圖形，根據(jù)長方體的性質(zhì)判斷各選項(xiàng).

【詳解】如圖，長方體耳G"有兩個(gè)相同的等腰四面體：AC54和AGBO,A正確;

如等腰四面體AG")中，每個(gè)面可能看作是從長方體截一個(gè)角得出的，

如圖，設(shè)與，裕的長分別為x，y，z,不妨設(shè)xwywz,

2222

則Bp=Jx?+V,ADj=y/x+z,AB}=^y+z,B2最大，

s(y2+z2)+(x2+z2)-(x2+y2)z2

其所對(duì)角的余弦值為cos/用AR=--/'/'-'=/22/22>0，最大角/與AR為

2y1y2+z2->Jx+z2yly+z2-y/x+z2

銳角，三角形為銳角三角形，同理其它三個(gè)面都是銳角三角形，各個(gè)面的三條邊分別相等，為全等三角形，

面積相等，B正確；

把一個(gè)等腰四面體沿一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱剪開攤平，則得一個(gè)銳角三角形，還有三條棱是這個(gè)三角形的

三條中位線，

如等腰四面體AC4。，沿AB|,AD，AC剪開攤平，NR,PDi共線,同理可得CM,OP共線，印/用N共線,

△WP為銳角三角形(與等腰四面體AC42的面相似)，且耳。,耳2,CR是這個(gè)三角形的中位線，因此C

正確；

如上等腰四面體AG2。中三條棱長分別是長方體的三條面對(duì)角線長，由長方體性質(zhì)知長方體對(duì)角線是其外

接球直徑，因此直徑長為,D錯(cuò)。

故選：ABC.

三、填空題

15.(2022?高二課時(shí)練習(xí))連接空間幾何體上的某兩點(diǎn)的直線,如果把該幾何體繞此直線旋轉(zhuǎn)角ct(0o<ct<360°),

使該幾何體與自身重合，那么稱這條直線為該幾何體的旋轉(zhuǎn)軸.如圖，八面體的每一個(gè)面都是正三角形，

并且4個(gè)頂點(diǎn)A,B,C,。在同一平面內(nèi)，則這個(gè)八面體的旋轉(zhuǎn)軸共有條.

【答案】13

【分析】根據(jù)八面體的結(jié)構(gòu)特征：所有棱長相等，根據(jù)旋轉(zhuǎn)軸的定義即可判斷旋轉(zhuǎn)軸的條數(shù).

【詳解】由題設(shè)，八面體所有棱長都相等，

所有以AC,82所為軸旋轉(zhuǎn)90?？梢耘c自身重合，共3條；

過正方形ABCRAECEB瓦正對(duì)邊中點(diǎn)的直線為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)180?？梢耘c自身重合，共有6條軸；

過八面體相對(duì)面中心為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)120。可以與自身重合，共有4條軸.

故答案為：13

16.(2022秋?河北邢臺(tái)?高二邢臺(tái)市第二中學(xué)校考階段練習(xí))已知空間直角坐標(biāo)系。-孫z中，過點(diǎn)/5,%,z0)

且一個(gè)法向量為7=(a,4c)的平面a的方程為a(x-Xo)+6(y-%)+c(z-Zo)=O.用以上知識(shí)解決下面問題:

已知平面a的方程為x+2y-2z+l=0,直線/是兩個(gè)平面x-y+3=0與x-2z-l=0的交線，試寫出直線/的

一個(gè)方向向量為,直線/與平面a所成角的余弦值為.

【答案】(2,2,1)(答案不唯一，滿足(2,2,1)共線即可)半

【分析】由題意可得平面a的法向量，同理可得平面x-y+3=0的法向量以及x-2z-l=0的法向量，根據(jù)

已知可知直線/與這兩個(gè)法向量垂直，可設(shè)直線/的方向向量為困=(x,y,z),即得方程組，求得直線/的一個(gè)

方向向量；繼而利用向量的夾角公式可求得直線/與平面。所成角的余弦值.

【詳解】平面a的方程為x+2y-2z+l=0,可得平面a的法向量為而=(1,2,-2),

平面尤-y+3=0的法向量為%=(1,-1,0),犬-22-1=0的法向量為7%=(1,0,-2),

加匹=。即=0

設(shè)直線/的方向向量為碗=(x,y,z),則

m-m2=0x-2z=0

令z=l則取而=(2,2,1),

設(shè)直線/與平面a所成角。，00<6><90°,

貝ijsind=卜05(沆，萬，=囪4囪=：cosg=,

故答案為：(2,2,1)；警

17.(2022秋?福建泉州?高二校聯(lián)考期中)三個(gè)“臭皮匠”在閱讀一本材料時(shí)發(fā)現(xiàn)原來空間直線與平面也有方

程.即過點(diǎn)?優(yōu),%/。)且一個(gè)法向量為為=(a,b,c)的平面a的方程為。過

點(diǎn)尸伉,%,z°)且方向向量為歸(私卬)(〃皿/。)的直線/的方程為匚^=匕叢=三幺.三個(gè)“臭皮匠”利

mnt

用這一結(jié)論編了一道題：“已知平面a的方程為x-y+z+l=0,直線/是兩個(gè)平面x-y+2=0與2x—z+l=0的

交線，則直線/與平面。所成的角的正弦值是多少？”想著這次可以難住“諸葛亮”了.誰知“諸葛亮”很快就算

出了答案.請(qǐng)問答案是.

【答案】縣

3

【分析】求出已知的三個(gè)平面的法向量，由直線/是兩個(gè)平面x-y+2=0與2r—z+l=0的交線，求出直線的

方向向量，再根據(jù)線面角的向量求法，可得答案.

【詳解】因?yàn)槠矫?。的方程為?y+z+l=0,故其法向量可取為7=(1,-1,1),

平面x—y+2=0的法向量可取為正=(1,-1,0),

平面2x-z+l=0的法向量可取為n=(2,0,-1),

直線I是兩個(gè)平面X-y+2=0與2x-z+l-0的交線，設(shè)其方向向量為/=(s/q),

m?fl=s-1=0

則令s=l,貝7=(1,1,2),

n?jbi-ls-q=0

jr

故設(shè)直線/與平面a所成的角為仇6€[0,學(xué)，

則sin9=|cos<5,/>|=|。?匕|=「2「=坐,

\P\\^\73x763

故答案為：正

3

18.（2022秋?湖南長沙?高三?？茧A段練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系中，定義：平面a的一般方程為

|Ax。+。+Cz0+Z)|

222By

Ax+By+Cz+D=0(A,B,C,D^R,A+B+C^0),^P(x0,%,z0)到平面a的距離d=

VA2+B2+C2

則在底面邊長與高都為2的正四棱錐中，底面中心O到側(cè)面的距離等于.

【答案】竽

【解析】以底面中心。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系。-孫z,求出點(diǎn)O,A,民尸的坐標(biāo)，求出側(cè)面的方程，最

后利用所給公式計(jì)算即可.

【詳解】如圖，以底面中心。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系。-型，

則。（0,0,0）,A（1,1,0）,B（-l,I,0）,P（0,0,2）,

設(shè)平面E4B的方程為Ax+為+Cz+。=0,

將A,SP坐標(biāo)代入計(jì)算得

A+B+D=0

<-A+B+D=0

2C+D=0

解得A=0,B=—D,C=—D,

2

:.-Dy-^Dz+D=0,

即2y+z—2=0,

|2x0+0-2|2石

aJ=------........-

A/4+1

故答案為：竿

y

X

【點(diǎn)睛】本題主要考查點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算、空間直角坐標(biāo)系的應(yīng)用、空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)到平面的

距離等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想.屬于中檔題.

19.（2022秋?山東濰坊.高二校考期中）兩個(gè)非零向量b，定義|Zx司=|Z||B|sin坊歷.若3=（1,0,1）,

5=(0,2,2),貝小*同=

【答案】2班

【分析】根據(jù)新定義及向量夾角公式計(jì)算即可.

【詳解】因?yàn)橥?JF+F=也欠=亞+22=20,2b=2

所以c°s（/一研工、”麗a-b=廠2子1

故sin（4,—=咚，

所以卜x司=x2A/2x=25/3,

故答案為：2折

20.（2023秋?福建福州?高二校聯(lián)考期末）定義：兩條異面直線之間的距離是指其中一條直線上任意一點(diǎn)到

另一條直線距離的最小值.在棱長為1的正方體ABC。-ABiGA中，直線AQ與AG之間的距離是

【答案】縣

3

【分析】建系，求利用空間向量設(shè)點(diǎn)根據(jù)題意結(jié)合空間中的兩點(diǎn)間距離公式運(yùn)算求解.

【詳解】如圖，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則（。,0,1）,A（1,0,1）,G（。,1,1）,

UUULLlUUU

可得獨(dú)=（-1,0,1）,AC=（-1,1,0），

UUULUULlULU1UULWUUU

設(shè)=4A￡）］，AN=〃4Ci，M（Xo，%,Zo）,N（Xi，%,Z］）,則AM=（尤O-I,。/。），

XQ—1=—AXQ=1-A

可得%=0即』=0

“o=2“o=2

故加。一九0,2）,

同理可得：

則河=’(2_〃)2+〃2+(2_])2=,2〃2_2沏+力+"_])2>Jy+(4一1),,

當(dāng)且僅當(dāng)〃=1■時(shí)，等號(hào)成立，

對(duì)J(+—l)2=序一2%+1邛,當(dāng)且僅當(dāng)4=1時(shí)，等號(hào)成立，

瓜2uuur2111nx11111r1uuun

故|MN|2?，當(dāng)且僅當(dāng)4=2〃=],即=時(shí)等號(hào)成立,

即直線AD,與AG之間的距離是好.

3

故答案為：B.

3

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用空間直角坐標(biāo)系處理問題的基本步驟：

(1)建立適合的坐標(biāo)系并標(biāo)點(diǎn)；

(2)將圖形關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系；

(3)代入相應(yīng)的公式分析運(yùn)算.

21.(2021秋.陜西西安?高一西安市第三中學(xué)?？计谀?A,B,C,。為球面上四點(diǎn)，M,N分別是AB,

8的中點(diǎn)，以為直徑的球稱為A3,8的“伴隨球”，若三棱錐A-BCD的四個(gè)頂點(diǎn)在表面積為64%的

球面上，它的兩條邊AB,8的長度分別為24和46，則AB,CO的伴隨球的體積的取值范圍是.

【解析】由已知求出三棱錐A-3C。的外接球。半徑，求出OM,ON,進(jìn)一步求出MN的范圍，從而得出答

案即可.

A

由題意知，三棱錐A-BCD的外接球。半徑為4,故。A=OD=4,且ONLCD

由勾股定理由OAf=后不二五產(chǎn)=3，ON^^JOD2-DN2=2

由題意知，AB,CO的伴隨球。1是以A8,8為切線，

OM-ON<MN<OM+ON

故MN的最大值和最小值分別為5和1,

當(dāng)O,M,N三點(diǎn)共線且。在線段MN之間時(shí)取得最大值，

當(dāng)0,M,N三點(diǎn)共線且0在線段MN之外,滿足。M-ON=1時(shí)取得最小值,

故球。?的半徑的取值范圍為;VEwg

AB,8的伴隨球的體積的取值范圍是￡,與巳

【點(diǎn)睛】與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接.解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的

位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中

心，正方體的棱長等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點(diǎn)均在球面上，正方體的體對(duì)角線長等于

球的直徑.

四、解答題

22.(2022?全國?高三專題練習(xí))已知(=(%,%,馬),b=(x2,y2,z2),c=(x39y3,z3),定義一種運(yùn)算：

(axb)-c=%WZ3+%2乃4+x3ylz2-玉％22-入2丁仔3-％3為4,已知四棱錐「一ABCD中，底面A8CD是一個(gè)平行

四邊形，AB=(2,-1,4),AD=(4,2,0),AP=(-1,2,1)

(1)試計(jì)算(ASx而)?存的絕對(duì)值的值，并求證PAL面ABCD;

(2)求四棱錐P-ABCD的體積，說明05x35).正的絕對(duì)值的值與四棱錐尸-ABCD體積的關(guān)系，并由

此猜想向量這一運(yùn)算(