2025年高考數(shù)學(xué)專項復(fù)習訓(xùn)練：空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系【八大題型】原卷版+解析版

專題7.2空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系【八大題型】

【新高考專用】

?熱點題型歸納

【題型1平面的基本性質(zhì)及推論】..................................................................4

【題型2點共線、點(線)共面、線共點問題】.....................................................5

【題型3等角定理】...............................................................................6

【題型4平面分空間問題】........................................................................7

【題型5截面問題】...............................................................................7

【題型6異面直線的判定】........................................................................9

【題型7異面直線所成的角】.....................................................................10

【題型8空間中直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系】.............................................11

?考情分析

1、空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系

考點要求真題統(tǒng)計考情分析

(1)借助長方體，在直觀認

空間點、直線、平面之間的位置關(guān)

識空間點、直線、平面的2022年新高考I卷：第9題，

系是高考的熱點內(nèi)容.從近幾年的高考

位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，抽象5分

情況來看，主要分兩方面進行考查，一

出空間點、直線、平面的2022年上海卷：第15題，5

是空間中點、線、面關(guān)系的命題的真假

位置關(guān)系的定義分

判斷；二是異面直線的判定和異面直線

⑵了解四個基本事實和2023年上海卷：第15題，5

所成角問題；常以選擇題、填空題的形

一個定理，并能應(yīng)用定理分

式考查，難度較易.

解決問題

?知識梳理

【知識點1平面的基本事實及推論】

1.四個基本事實及基于基本事實1和2的三個推論

(1)四個基本事實及其表示

①基本事實1：過不在一條直線上的三個點，有且只有一個平面.

②基本事實2：如果一條直線上的兩個點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在這個平面內(nèi).

③基本事實3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線.

④基本事實4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.

(2)四個基本事實的作用

基本事實1：①確定一個平面；②判斷兩個平面重合；③證明點、線共面.

基本事實2：①判斷直線是否在平面內(nèi)，點是否在平面內(nèi)；②用直線檢驗平面.

基本事實3：①判斷兩個平面相交；②證明點共線；③證明線共點.

基本事實4：①判斷兩條直線平行.

(3)基本事實1和2的三個推論

推論自然語言圖形語言符號語言

經(jīng)過一條直線和這條直線

點A比Q04與力共面于

推論1外一點，有且只有一個平/V

面.平面％且平面唯一.

經(jīng)過兩條相交直線,有且只aC\b=P0a與b共面于

推論2

有一個平面.

平面%且平面唯一.

經(jīng)過兩條平行直線，有且只直線al1b臺直線a,b共

推論3

有一個平面./_J

面于平面Q,且平面唯一.

2.等角定理

(1)自然語言：如果空間中兩個角的兩條邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補.

(2)符號語言：如圖⑴⑵所示，在N/O8與中，OA//O'A',OB//O'B',則乙4。3=/4。5

【知識點2共面、共線、共點問題的證明方法】

1.共面、共線、共點問題的證明

(1)證明共面的方法：先確定一個平面，然后再證其余的線(或點)在這個平面內(nèi).

(2)證明共線的方法：先由兩點確定一條直線，再證其他各點都在這條直線上.

(3)證明線共點問題的常用方法是：先證其中兩條直線交于一點，再證其他直線經(jīng)過該點.

【知識點3平面分空間問題】

1.平面分空間問題

一個平面將空間分成兩部分，那么兩個平面呢?三個平面呢？

(1)兩個平面有兩種情形：

①當兩個平面平行時，將空間分成三部分，如圖(1)；

②當兩個平面相交時，將空間分成四部分，如圖(2).

(1)(2)

(2)三個平面有五種情形：

①當三個平面互相平行時，將空間分成四部分，如圖8(1)；

②當兩個平面平行，第三個平面與它們相交時，將空間分成六部分，如圖(2)；

③當三個平面相交于同一條直線時，將空間分成六部分，如圖(3)；

④當三個平面相交于三條直線，且三條交線相交于同一點時，將空間分成八部分，如圖(4)；

⑤當三個平面相交于三條直線，且三條交線互相平行時，將空間分成七部分，如圖(5).

(1)(2)(3)(4)(5)

【知識點4空間點、線、面之間的位置關(guān)系】

1.空間中直線與直線的位置關(guān)系

(1)三種位置關(guān)系

我們把不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線.于是，空間兩條直線的位置關(guān)系有三種:

(北而百緯J相交直線：在同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點；

＜八［平行直線：在同一平面內(nèi)，沒有公共點.

［異面直線：不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點.

(2)異面直線的畫法

為了表示異面直線。力不共面的特點，作圖時，通常用一個或兩個平面襯托，如圖所示.

2.空間中直線與平面的位置關(guān)系

直線與平面的位置關(guān)系有且只有三種，具體如下:

位置關(guān)系圖形表示符號表示公共點

直線在平面內(nèi)有無數(shù)個公共點

直線與平面相交aC\a—A有且只有一個公共點

-------a

直線與平面平行aIIa沒有公共點

3.空間中平面與平面的位置關(guān)系

(1)兩種位置關(guān)系

兩個平面之間的位置關(guān)系有且只有以下兩種，具體如下:

位置關(guān)系圖形表示符號表示公共點

口

兩個平面平行all。沒有公共點

口

兩個平面相交三aC\B=a有一條公共直線

(2)兩種位置關(guān)系

平行平面的畫法技巧

畫兩個互相平行的平面時，要注意使表示平面的兩個平行四邊形的對應(yīng)邊平行.

4.異面直線所成的角

(1)定義：已知a,b是兩條異面直線，經(jīng)過空間任意一點。作直線d//a,b'Hb,把"與〃所成的角叫做

異面直線a與b所成的角(或夾角).

(2)范圍：.

【方法技巧與總結(jié)】

1.證明點共線與線共點都需用到基本事實3.

2.兩異面直線所成的角歸結(jié)到一個三角形的內(nèi)角時，容易忽視這個三角形的內(nèi)角可能等于異面直線所

成的角，也可能等于其補角.

?舉一反三

【題型1平面的基本性質(zhì)及推論】

【例1】(2024?全國?模擬預(yù)測)給出下列四個結(jié)論:

①經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面；

②經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面；

③經(jīng)過三點，有且只有一個平面；

④經(jīng)過一條直線和一個點，有且只有一個平面.

其中正確結(jié)論的個數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

【變式1-1]（2024?全國?模擬預(yù)測）下列說法正確的是（）

A.三點確定一個平面B.四邊形確定一個平面

C.三角形確定一個平面D.一條直線和一個點確定一個平面

【變式1-2]（23-24高三下?云南昆明?階段練習）已知a,￡是兩個不同的平面，則下列命題錯誤的是（）

A.若aC0=I,AEcrjlXEP，則A€1

B.若N,B,C是平面a內(nèi)不共線三點，AEp,B60,則CW。

C.若直線aua,直線bu￡,則a與6為異面直線

D.若2是兩個不同的點，a且Bea,則直線ABua

【變式1-3]（23-24高一下?河南安陽?階段練習）下列命題正確的是（）

A.過三個點有且只有一個平面

B.如果一條直線與兩條平行直線都相交，那么這三條直線不一定共面

C.四邊形為平面圖形

D.如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線

【題型2點共線、點（線）共面、線共點問題】

【例2】（2024?吉林?模擬預(yù)測）在長方體4BCD-4再也1。1中，直線&C與平面4當小的交點為M,0為線段

當小的中點，則下列結(jié)論錯誤的是（）

A.4M。三點共線B.M,O/i,B四點異不共面

C.四點共面D.四點共面

【變式2-1]（23-24高一下?江蘇?階段練習）下列選項中，P,Q,R,S分別是所在棱的中點，則這四個點

不共面的是（）

【變式2-2]（2024?重慶?二模）如圖所示，在空間四邊形48co中，E,尸分別為AB,4D的中點，G,H分

別在BC,CD上，且36:6。=。”:47=1:2,則下面幾個說法中正確的個數(shù)是（）

@E,F,G,a四點共面；②EG〃FH;③若直線EG與直線尸〃交于點P,則P,A,C三點共線.

A.0B.1C.2D.3

【變式2-3]（2024?四川南充?三模）如圖,在直三棱柱2BC-4止15中,AC1BC,AC=BC=AA1,E、

F、G、X分別為4B、BBi、CCi、47的中點，則下列說法中錯誤的是（）

A.41clG”

B.E、F、G、H四點共面

C.設(shè)BC=2,則平面EFCi截該三棱柱所得截面的周長為1+遮+2通

D.EF、GH、441三線共點

【題型3等角定理】

【例3】（23-24高一?全國?課后作業(yè)）給出下列命題：

①如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等；

②如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角（或直角）相等;

③如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別垂直，那么這兩個角相等或互補.

其中正確的命題有（）

A.0個B.1個C.2個D.3個

【變式3-1]（23-24高一下?全國?課后作業(yè)）已知4B〃PQ,BC//QR,N4BC=30。，則NPQR=（）

A.30°B.30°或150。

C.150°D.30°或120°

【變式3-2]（23-24高一?全國?課前預(yù)習）在三棱錐尸一/2C中，PB1BC,E,D,尸分別是PA,AC

的中點，貝吐。跖=（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【變式3-3]（2024?全國?模擬預(yù)測）兩個三角形不在同一平面內(nèi)，它們的邊兩兩對應(yīng)平行，那么這兩個三

角形（）

A.全等B.相似

C.僅有一個角相等D.無法判斷

【題型4平面分空間問題】

【例4】（2023?廣東廣州?模擬預(yù)測）三個不互相重合的平面將空間分成n個部分，貝切不可能是（）

A.4B.5C.6D.7

【變式4-1]（23-24高二上?四川樂山?階段練習）三個平面將空間分成7個部分的示意圖是（）

【變式4-2]（23-24高一下?浙江?期末）空間的4個平面最多能將空間分成（）個區(qū)域.

A.13B.14C.15D.16

【變式4-3]（2024?四川內(nèi)江?三模）三個不互相重合的平面將空間分成幾個部分，貝仙的最小值與最大值之

和為（）

A.11B.12C.13D.14

【題型5截面問題】

【例5】（2023?四川南充?一模）如圖，正方體4BCD-力iBiCiDi的棱長為2,E,尸分別為BC,CQ的中點,

則平面4EF截正方體所得的截面面積為（）

A.B-iC.9D.18

【變式5-1］（2024?全國?模擬預(yù)測）如圖，在棱長為2的正方體48CD-41/射。1中，￡為棱8c的中點,

用過點E,G的平面截正方體，則截面周長為（）

A.3V2+2V5B.9C.2V2+2V5D.3V2+2V3

【變式5-2］（2024?上海黃浦?二模）如圖，已知P,Q,R分別是正方體4BCD-4/也必的棱力B,BC和。必的

中點，由點P,Q,R確定的平面￡截該正方體所得截面為（）

A.三角形B.四邊形C.五邊形D.六邊形

【變式5-3］（2023?天津和平?三模）已知正方體4BCD—4中傳1。1的棱長為6,點E,F分別在棱外冬，

上，且滿足瑞=器=1點。為底面4BCD的中心，過點E,F,。作平面EF。，則平面EF。截正方體

ABC。-4181。%所得的截面面積為（）

A.8V22B.6V22C.4V22D.2V22

【題型6異面直線的判定】

【例6】（2024?上海?模擬預(yù)測）如下圖，P是正方體力BCD-&B1C1D1面對角線必射上的動點，下列直線中,

始終與直線BP異面的是（）

A.直線DDiB.直線BiCC.直線D.直線4C

【變式6-1］（23-24高一下?河北?期中）如圖，這是一個正方體的平面展開圖，若將其還原成正方體，下列

直線中，與直線2D是異面直線的是（）

H-------G

D-C-

FI---------------------

AB

-------'F

A.FGB.EHC.EFD.BC

【變式6-2］（2024?山東濰坊?模擬預(yù)測）學(xué)校手工課上同學(xué)們分組研究正方體的表面展開圖.某小組得到

了如圖所示表面展開圖，則在正方體中，AB,CD、EF、這四條線段所在的直線中，異面直線有（）

A.1對B.3對C.5對D.2對

【變式6-3］（2024?四川宜賓?二模）四棱錐P-4BCD所有棱長都相等，"、N分別為P4、CD的中點，下列

說法錯誤的是（）

A.MN與PD是異面直線B.MN〃平面PBC

C.MN//ACD.MN1PB

【題型7異面直線所成的角】

【例7】（2024?新疆喀什?三模）已知底面邊長為2的正四棱柱4BCD-&B1C1D1的體積為16,則直線4C與

4/所成角的余弦值為（）

A.平B.皚C.回D.也

551010

【變式7-1］（2024?云南?二模）如圖，在正方體28CD-4避停1。1中，E、F、M、N分別是D%、。1的、BC、B

%的中點，則異面直線即與"N所成角的大小為（）

【變式7-2］（2024?陜西?模擬預(yù)測）如圖，在直三棱柱4道道1中，AB=ADAA^ABD=45°,P

為當。1的中點，則直線PB與4%所成的角為（)

C.60°D.90°

【變式7-3］（2024?陜西安康?模擬預(yù)測）如圖,在正三棱柱ABC-4/iCi中，41i=A8,點。是線段4〃上

靠近占的三等分點，則直線CiD與BiC所成角的余弦值為（）

【題型8空間中直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系】

【例8】（2024?上海長寧?二模）已知直線。力和平面心則下列判斷中正確的是（）

A.若?！ǔ鹆Α╝,則。〃6B.若a〃瓦匕〃a,貝ija〃仇

C.^a//a,b1a,貝！ja_LbD.1b,b//a,則ala

【變式8-1］（2024?浙江紹興?三模）設(shè)冽，〃是兩條不同的直線，a,￡是兩個不同的平面，則下列命題中

正確的是（）

A.若al/?,m||a,則租1￡

B.若7nl夕，m1a,n||a,則7111s

C.若7nla,nip,m||n,則al/?

D.若ad/?=TH,n||a,n||/?,則zn||九

【變式8-2］（2024?河南?三模）已知6刀為兩條不同的直線，為兩個不同的平面，下列命題為真命題的

是（）

A.若mua,nca,m//^5,n///?,貝!Ja〃夕

B.若m〃a,riua,則m〃?i

C.若九〃TH,m^a,riua,則m〃a

D.若a“B，mua,nuB，則6〃n

【變式8-3］（2024?湖南衡陽?模擬預(yù)測）已知相、九是兩條不同的直線，a、S、y是三個不同的平面.下列說法

中正確的是（）

A.若m||a,m||夕，則a||/?

B.若租||a,n||a,則7n||n

C.若則aIIy

D.若7nla,mlS，aIIy,則夕IIy

?過關(guān)測試

一、單選題

1.（2024?陜西商洛?模擬預(yù)測）在空間中，下列命題是真命題的是（）

A.三條直線最多可確定1個平面B.三條直線最多可確定2個平面

C.三條直線最多可確定3個平面D.三條直線最多可確定4個平面

2.（2024?上海?三模）在空間中，％、6為異面直線”是％、6不相交”的（）

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既非充分又非必要條件

3.（2024高一?全國?專題練習）平面a,y不能將空間分成（）

A.5部分B.6部分

C.7部分D.8部分

4.（2024?陜西銅川?模擬預(yù)測）下列說法正確的是（）

A.若直線犯n兩兩相交，則直線共面

B.若直線/即與平面a所成的角相等，則直線/即互相平行

C.若平面a上有三個不共線的點到平面口的距離相等，則平面a與平面夕平行

D.若不共面的4個點到平面a的距離相等，則這樣的平面a有且只有7個

5.（2024?內(nèi)蒙古呼和浩特?二模）如圖，已知正四棱錐P-4BCD的所有棱長均相等，E為棱P4的中點，則

異面直線BE與PC所成角的余弦值為（）

A.乎B.一半C.亭D.-咚

3333

6.（2024?寧夏銀川?三模）4B是兩個不同的點，為兩個不同的平面，下列推理錯誤的是（）

A.AGl,AGcc,Bel,BGa=2uoc

B.AEa,AeB，Bea,BeC0=AB

C.l（^a,AG/=>?!ga

D.AEl,Iaa=>Aea

7.（2024?湖南?二模）如圖，在三棱柱ABC-4聲道1中，￡吃&”分別為3瓦,（?射/止1，4道1的中點，則下列

說法錯誤的是（）

C.EG,FH,A4i三線共點D.乙EGB^=KFHCi

8.（2024?陜西銅川三模）在正方體ABC?！?，E,￡G分別為BC,CD,D￡）i的中點，若4B=4,則平

面EFG截正方體所得截面的面積為（）

A.6V2B.6V3C.12V2D.12V3

二、多選題

9.（2024?吉林長春?模擬預(yù)測）下列基本事實敘述正確的是（）

A.經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面

B.經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面

C.經(jīng)過三點，有且只有一個平面

D.經(jīng)過一條直線和一個點，有且只有一個平面

10.（2024?江蘇南通?模擬預(yù)測）已知a,b是兩條直線，a,￡是兩個平面，下列結(jié)論不正確的是（）

A.||p,a||a,b||p,則a||b

B.若a1S，a1a,610,則五"L』

C.若aua,6u￡,a||||a,則a||0

D.若aua,bu0,a||S，a1b,則a10

11.（2024?廣東惠州?模擬預(yù)測）如圖，在長方體4BCD-人記心以中,E,F分別為的小，8心的中點,

0,M分別為BD,EF的中點，則下列說法正確的是（）

A.四點B,D,E,尸在同一平面內(nèi)

B.三條直線BF,DE,CCi有公共點

C.直線&C與直線OF不是異面直線

D.直線4C上存在點N使M,N,。三點共線

三、填空題

12.（2024?全國?模擬預(yù)測）在三棱錐P-4BC中，4C=g,BC=1,PA=PB=PC=AB=2,M為AC的

中點，則異面直線BM與P4所成角的余弦值是.

13.（2024?山東濟南?三模）在正四棱柱486-418停1。1中，48=4,=6,M,N分別是2B,2。的

中點，則平面MNCi截該四棱柱所得截面的周長為.

14.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知a0是兩個不同的平面，mn是平面a0外兩條不同的直線，給出四個條

件：@mln；②③幾〃9@mla,以下四個推理與證明中，其中正確的是.（填寫正確推

理與證明的序號）

（1）已知②③④，則①成立

（2）已知①③④，則②成立

（3）己知①②④，則③成立

（4）已知①②③，則④成立

四、解答題

15.（23-24高一?全國?課前預(yù)習）用符號語言表示下列語句，并畫出圖形：

（1）三個平面a,6,y相交于一點尸，且平面a與平面￡相交于P4平面a與平面y相交于P8,平面0與平面y相

交于PC；

（2）平面ABD與平面BDC相交于BD,平面ABC與平面ADC相交于AC.

16.（23-24高二?上海?課堂例題）已知直線a,b和平面a、°,判斷下列命題的真假，并說明理由:

（1）若aIIa,bLa,貝！Jb1a；

⑵若a||a,al￡,則al。；

（3）若a||b,bua,貝!]a||a.

17.(2024?全國?模擬預(yù)測)如圖，在四棱錐P—力BCD中，AD//BC,AD=2,BC=3,E是PD的中點，F(xiàn),M

分別在PC,PB上，且PF=^PC,BM=

(1)證明：四點共面;

(2)若CD1AD,PA1平面ABC。,PA=AD=CD,求四棱錐P—AMFE的體積.

18.(2023?上海?模擬預(yù)測)在如圖所示的圓錐中，底面直徑與母線長均為4,點C是底面直徑A8所對弧

的中點，點。是母線尸/的中點.

(1)求該圓錐的側(cè)面積與體積；

(2)求異面直線與CD所成角的大小.

19.(2024?廣西河池?模擬預(yù)測)己知四棱錐P—4BCD中，底面4BCD為直角梯形，P4,平面4BCD,AD\\

BC,ABLAD,PA=AD=4,BA=BC=2,M為P4中點，過C,D,M的平面截四棱錐P-力BCD所得的截

面為a.

P

(1)若a與棱P8交于點F，畫出截面a,保留作圖痕跡(不用說明理由)，并證明言=3.

(2)求多面體4BCDMF的體積.

專題7.2空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系【八大題型】

【新高考專用】

?熱點題型歸納

【題型1平面的基本性質(zhì)及推論】..................................................................4

【題型2點共線、點(線)共面、線共點問題】.....................................................6

【題型3等角定理】..............................................................................11

【題型4平面分空間問題】.......................................................................13

【題型5截面問題】..............................................................................15

【題型6異面直線的判定】.......................................................................19

【題型7異面直線所成的角】.....................................................................22

【題型8空間中直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系】.............................................25

?考情分析

1、空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系

考點要求真題統(tǒng)計考情分析

(1)借助長方體，在直觀認

空間點、直線、平面之間的位置關(guān)

識空間點、直線、平面的2022年新高考I卷：第9題，

系是高考的熱點內(nèi)容.從近幾年的高考

位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，抽象5分

情況來看，主要分兩方面進行考查，一

出空間點、直線、平面的2022年上海卷：第15題，5

是空間中點、線、面關(guān)系的命題的真假

位置關(guān)系的定義分

判斷；二是異面直線的判定和異面直線

⑵了解四個基本事實和2023年上海卷：第15題，5

所成角問題；常以選擇題、填空題的形

一個定理，并能應(yīng)用定理分

式考查，難度較易.

解決問題

?知識梳理

【知識點1平面的基本事實及推論】

1.四個基本事實及基于基本事實1和2的三個推論

(1)四個基本事實及其表示

①基本事實1：過不在一條直線上的三個點，有且只有一個平面.

②基本事實2：如果一條直線上的兩個點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在這個平面內(nèi).

③基本事實3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線.

④基本事實4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.

(2)四個基本事實的作用

基本事實1：①確定一個平面；②判斷兩個平面重合；③證明點、線共面.

基本事實2：①判斷直線是否在平面內(nèi)，點是否在平面內(nèi)；②用直線檢驗平面.

基本事實3：①判斷兩個平面相交；②證明點共線；③證明線共點.

基本事實4：①判斷兩條直線平行.

(3)基本事實1和2的三個推論

推論自然語言圖形語言符號語言

經(jīng)過一條直線和這條直線

點A比Q04與力共面于

推論1外一點，有且只有一個平/V

面.平面％且平面唯一.

經(jīng)過兩條相交直線,有且只aC\b=P0a與b共面于

推論2

有一個平面.

平面%且平面唯一.

經(jīng)過兩條平行直線，有且只直線al1b臺直線a,b共

推論3

有一個平面./_J

面于平面Q,且平面唯一.

2.等角定理

(1)自然語言：如果空間中兩個角的兩條邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補.

(2)符號語言：如圖⑴⑵所示，在N/O8與中，OA//O'A',OB//O'B',則乙4。3=/4。5

【知識點2共面、共線、共點問題的證明方法】

1.共面、共線、共點問題的證明

(1)證明共面的方法：先確定一個平面，然后再證其余的線(或點)在這個平面內(nèi).

(2)證明共線的方法：先由兩點確定一條直線，再證其他各點都在這條直線上.

(3)證明線共點問題的常用方法是：先證其中兩條直線交于一點，再證其他直線經(jīng)過該點.

【知識點3平面分空間問題】

1.平面分空間問題

一個平面將空間分成兩部分，那么兩個平面呢?三個平面呢？

(1)兩個平面有兩種情形：

①當兩個平面平行時，將空間分成三部分，如圖(1)；

②當兩個平面相交時，將空間分成四部分，如圖(2).

(1)(2)

(2)三個平面有五種情形：

①當三個平面互相平行時，將空間分成四部分，如圖8(1)；

②當兩個平面平行，第三個平面與它們相交時，將空間分成六部分，如圖(2)；

③當三個平面相交于同一條直線時，將空間分成六部分，如圖(3)；

④當三個平面相交于三條直線，且三條交線相交于同一點時，將空間分成八部分，如圖(4)；

⑤當三個平面相交于三條直線，且三條交線互相平行時，將空間分成七部分，如圖(5).

(1)(2)(3)(4)(5)

【知識點4空間點、線、面之間的位置關(guān)系】

1.空間中直線與直線的位置關(guān)系

(1)三種位置關(guān)系

我們把不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線.于是，空間兩條直線的位置關(guān)系有三種:

(北而百緯J相交直線：在同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點；

＜八［平行直線：在同一平面內(nèi)，沒有公共點.

［異面直線：不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點.

(2)異面直線的畫法

為了表示異面直線。力不共面的特點，作圖時，通常用一個或兩個平面襯托，如圖所示.

2.空間中直線與平面的位置關(guān)系

直線與平面的位置關(guān)系有且只有三種，具體如下:

位置關(guān)系圖形表示符號表示公共點

直線在平面內(nèi)有無數(shù)個公共點

直線與平面相交aC\a—A有且只有一個公共點

-------a

直線與平面平行aIIa沒有公共點

3.空間中平面與平面的位置關(guān)系

(1)兩種位置關(guān)系

兩個平面之間的位置關(guān)系有且只有以下兩種，具體如下:

位置關(guān)系圖形表示符號表示公共點

口

兩個平面平行all。沒有公共點

口

兩個平面相交三aC\B=a有一條公共直線

(2)兩種位置關(guān)系

平行平面的畫法技巧

畫兩個互相平行的平面時，要注意使表示平面的兩個平行四邊形的對應(yīng)邊平行.

4.異面直線所成的角

(1)定義：已知a,b是兩條異面直線，經(jīng)過空間任意一點。作直線d//a,b'Hb,把"與〃所成的角叫做

異面直線a與b所成的角(或夾角).

(2)范圍：.

【方法技巧與總結(jié)】

1.證明點共線與線共點都需用到基本事實3.

2.兩異面直線所成的角歸結(jié)到一個三角形的內(nèi)角時，容易忽視這個三角形的內(nèi)角可能等于異面直線所

成的角，也可能等于其補角.

?舉一反三

【題型1平面的基本性質(zhì)及推論】

【例1】(2024?全國?模擬預(yù)測)給出下列四個結(jié)論:

①經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面；

②經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面；

③經(jīng)過三點，有且只有一個平面；

④經(jīng)過一條直線和一個點，有且只有一個平面.

其中正確結(jié)論的個數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

【解題思路】根據(jù)點、線、面的基本事實及推論進行判斷即可.

【解答過程】根據(jù)基本事實以及推論，易知①②正確.

若三點共線，則經(jīng)過三點的平面有無數(shù)多個，故③錯誤.

若點在直線外，則確定一個平面，若點在直線上，則可有無數(shù)個平面，故④錯誤.

即正確的命題有2個，

故選：B.

【變式1-1]（2024?全國?模擬預(yù)測）下列說法正確的是（）

A.三點確定一個平面B.四邊形確定一個平面

C.三角形確定一個平面D.一條直線和一個點確定一個平面

【解題思路】利用立體幾何中的基本事實確定平面的方法求解即可.

【解答過程】三個不共線的點確定一個平面，故選項A錯誤，

四邊形存在空間四邊形，故選項B錯誤，

三角形的頂點是三個不共線的點，確定一個平面，故選項C正確，

當點在直線上時無法確定一個平面，故選項D錯誤.

故選：C.

【變式1-2]（23-24高三下?云南昆明?階段練習）己知a,0是兩個不同的平面，則下列命題錯誤的是（）

A.若an/?=2,26戊且46￡,則461

B.若4B,C是平面a內(nèi)不共線三點，A&p,B&p,則

C.若直線aua,直線bu°,則。與6為異面直線

D.若8是兩個不同的點，46a且Bea,則直線ABua

【解題思路】根據(jù)題意結(jié)合平面的性質(zhì)以及相關(guān)基本事實逐項分析判斷.

【解答過程】對于A,因為46a且4€3，則/是平面a和平面口的公共點，

又因為aC0=Z,由基本事實3可得4故A正確；

對于B,由基本事實1：過不在一條直線上的三個點，有且只有一個平面，

又因為46。，且/,B,Cea,則故B正確：

對于C,由于平面a和平面0位置不確定，

則直線a與直線b位置亦不確定，可能異面、相交、平行、重合，故C錯誤；

對于D,由基本事實2：如果一條直線上的兩個點在一個平面內(nèi)，

那么這條直線在這個平面內(nèi)，故D正確.

故選：C.

【變式1-3］（23-24高一下?河南安陽?階段練習）下列命題正確的是（）

A.過三個點有且只有一個平面

B.如果一條直線與兩條平行直線都相交，那么這三條直線不一定共面

C.四邊形為平面圖形

D.如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線

【解題思路】根據(jù)平面的基本性質(zhì)可判斷A,D,由推論可判斷B,根據(jù)特例可判斷C.

【解答過程】根據(jù)公理知，過不共線的三點確定一個平面，故A錯誤；

因為兩條平行直線確定一個平面，而兩個交點都在這個平面內(nèi)，故這條直線也在這個平面內(nèi)，所以三條直

線共面，故B錯誤；

由空間四邊形不是平面圖形可知，C錯誤；

由公理知，兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線，故D正確.

故選：D.

【題型2點共線、點（線）共面、線共點問題】

【例2】（2024?吉林?模擬預(yù)測）在長方體4BCD-4再也1。1中，直線&C與平面注當小的交點為M,0為線段

當小的中點，則下列結(jié)論錯誤的是（）

A.4M。三點共線B.四點異不共面

C.四點共面D.四點共面

【解題思路】由長方體性質(zhì)易知441,4C四點共面且。是異面直線，再根據(jù)M與&C、面ACCr

乙、面ABrDr的位置關(guān)系知M在面4CC1&與面AB1D1的交線上，同理判斷。、A,即可判斷各選

項的正誤.

【解答過程】

因為44i〃CCi,

則4&,Ci，C四點共面.

因為Me/liC,

則Me平面ACCrAr,

又Me平面AB^Dx,

則點M在平面4CC1&與平面的交線上，

同理，。、4也在平面ACC1&與平面AB1D1的交線上，

所以4M。三點共線；

從而M.O.Ax.A四點共面，都在平面ACC^Ax內(nèi)，

而點3不在平面ACC1A1內(nèi)，

所以M,。,B四點不共面，故選項B正確；

民當,。,三點均在平面881。1。內(nèi)，

而點A不在平面BB1D1D內(nèi)，

所以直線/。與平面BBiOi。相交且點。是交點，

所以點/不在平面8當。1。內(nèi),

即四點不共面，

故選項C錯誤；

BCIID1&,且BC=DM

所以BCDMi為平行四邊形，

所以C4i,BDi共面，

所以B,D1cM四點共面，

故選項D正確.

故選:C.

【變式2-1］（23-24高一下?江蘇?階段練習）下列選項中，P,Q,R,S分別是所在棱的中點，則這四個點

不共面的是（）

【解題思路】利用空間中平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化可判斷ABC正確，根據(jù)異面直線的定義可判斷D錯誤.

【解答過程】在A圖中，分別連接

由正方體可得四邊形4BCD為矩形，則4B〃CD,

因為P,S為中點，故PS〃4B,貝iJPS〃QR,所以P,S,R,Q四點共面.

在B圖中，設(shè)E,F為所在棱的中點，分別連接PS,SR,REFQ,EQ,PE,

Q

由A的討論可得PS〃ER,故P,S,E,R四點共面，

同理可得ER〃QF,故PS〃QF,同理可得EP〃RF,SR//EQ

故FC平面PRS,Q6平面PRS,所以P,S,R,Q,E尸六點共面.

在C圖中，由P,Q為中點可得PQ〃48,同理RS〃4B,

在D圖中，PQ,RS為異面直線，四點不共面.

故選：D.

【變式2-2]（2024?重慶?二模）如圖所示，在空間四邊形/8C。中，E,尸分別為的中點，G,H分

別在BC,C。上，且86:6。=?！?"。=1:2,則下面幾個說法中正確的個數(shù)是（）

①￡,F,G,〃四點共面；②EG〃FH;③若直線EG與直線FH交于點尸，則P,A,。三點共線.

A.0B.1C.2D.3

【解題思路】推導(dǎo)出E/7/8D,GH//BD,從而EF//GH,由此能證明E,F,G,“四點共面；EFGH,從

而直線EG與直線尸〃必相交，設(shè)交點為尸，證明尸點在直線4C上.

【解答過程】如圖所示，

E,P分別為AB,4D的中點，.?.EF〃BD,EF=^BD,

G,H分別在8C,CD上，且BG:GC=DH:HC=1:2,:.GH//BD,GH=|B。,

.■.EF//GH,則E,F,G,〃四點共面，說法①正確；

■■GH>EF,四邊形FEGH是梯形，EG〃FH不成立，說法②錯誤；

若直線EG與直線FH交于點P,則由PCEG,EGu平面4BC,得Pe平面4BC,

同理pe平面acD,又平面4Bcn平面a。。=ac,PEAC

???則尸，A,C三點共線，說法③正確；

說法中正確的有2個.

故選：C.

【變式2-3］（2024?四川南充?三模）如圖，在直三棱柱28。一4/1的中，AC1BC,AC=BC=AA1,E、

F、G、X分別為力B、BBi、CCi、4C的中點，則下列說法中錯誤的是（