2025年福建省高考數(shù)學(xué)模擬試卷（附答案解析）

2025年福建省高考數(shù)學(xué)模擬試卷

一、單選題

1.已知集合M={-2,-1,0,1,2},7V={X|X2-X-6^0},則MCN=（）

A.{-2,-1,0,1}B.{0,1,2}C.{-2}D.{2}

2.已知命題0：V.xeR,|x+l|>l,命題q：3x>0,x3=x,貝U（）

A.p和q都是真命題B.「p和q都是真命題

C.p和都是真命題D.「p和「q都是真命題

3.設(shè)a,b是向量，則"（a+b）?（a-b）=0"是"a=-b或a=b"的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

4.鶯是鷹科的一種鳥，《詩(shī)經(jīng)?大雅?旱麓》日“鶯飛戾天，魚躍于淵”.鶯尾花因花瓣形如鶯尾而得名（圖

1）,寓意鵬程萬(wàn)里、前途無(wú)量，通過(guò)隨機(jī)抽樣，收集了若干朵某品種鶯尾花的花萼長(zhǎng)度和花瓣長(zhǎng)度（單

位：cm）,繪制對(duì)應(yīng)散點(diǎn)圖（圖2）如下：

計(jì)算得樣本相關(guān)系數(shù)為0.8642,利用最小二乘法求得相應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y=0.7501x+0.6105.根據(jù)以

上信息，如下判斷正確的為（）

A.花萼長(zhǎng)度與花瓣長(zhǎng)度不存在相關(guān)關(guān)系

B.花萼長(zhǎng)度與花瓣長(zhǎng)度負(fù)相關(guān)

C.花萼長(zhǎng)度為7cm的該品種鶯尾花的花瓣長(zhǎng)度的平均值約為5.8612cm

D.若選取其他品種鶯尾花進(jìn)行抽樣，所得花萼長(zhǎng)度與花瓣長(zhǎng)度的樣本相關(guān)系數(shù)一定為0.8642

5.若（2%-I）,=（14/+。3爐+a2X?+的久+劭，則。0+。2+。4=（）

A.-40B.40C.41D.82

第1頁(yè)（共14頁(yè)）

6.甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同的排列

方式共有（）

A.12種B.24種C.36種D.48種

7.從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，則這2個(gè)數(shù)互質(zhì)的概率為（）

1112

A.-B.—C.-D.—

6323

8.已知4=2。，7,b=c=log2^則（）

A.a>c>bB.b>c>aC.a>b>cD.c>a>b

二、多選題

9.有一組樣本數(shù)據(jù)XI，X2,…，X6,其中XI是最小值，X6是最大值，則（）

A.X2,X3，X4,X5的平均數(shù)等于XI,X2,…，X6的平均數(shù)

B.X2,X3,X4,X5的中位數(shù)等于XI，X2,…，X6的中位數(shù)

C.XI,X3，X4,X5的標(biāo)準(zhǔn)差不小于XI,XI,???,X6的標(biāo)準(zhǔn)差

D.X2,X3,X4,X5的極差大于XI,X2，…，X6的極差

（多選）10.甲、乙、丙三人玩擲硬幣游戲，依次連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣1次，每次結(jié)果要么正面

向上，要么反面向上，兩種結(jié)果等可能，而且各次拋擲相互獨(dú)立.記事件/表示“3次結(jié)果中有正面向

上，也有反面向上”，事件3表示“3次結(jié)果中最多一次正面向上”，事件C表示“3次結(jié)果中沒有正面

向上”，則（）

A.事件3與事件C互斥

3

B.P（B）=|

C.事件/與事件3相互獨(dú)立

D.記C的對(duì)立事件為C,則P（B|C）=1

（多選）11.若函數(shù)/G）勿X+/+裊既有極大值也有極小值，貝!I（）

A.6c>0B.ab>0C.b~+8ac>0D.ac<0

三、填空題

12.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（2,?。?，且尸（2VXW2.5）=0.36,則P（X>2.5）=.

13.（1-q）（x+y）8的展開式中的系數(shù)為（用數(shù)字作答）.

14.若曲線y=（x+a）/有兩條過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則。的取值范圍是.

四、解答題

第2頁(yè)（共14頁(yè)）

15.已知函數(shù)/(%)=(2x2-5x+4)

(1)求歹=/(x)在點(diǎn)(0,/(0))處的切線方程；

(2)求函數(shù)/G)的極值.

16.記△45。的內(nèi)角4,B,C的對(duì)邊分別為〃，b,c,分別以。，b,c為邊長(zhǎng)的三個(gè)正三角形的面積依次

為S1，S2,S3.已知S1-S2+S3=搭，sin5=1.

(1)求△/BC的面積；

(2)若sirb4sinC=辛，求6.

17.在校運(yùn)動(dòng)會(huì)上，只有甲、乙、丙三名同學(xué)參加鉛球比賽，比賽成績(jī)達(dá)到9.50機(jī)以上(含9.50加)的同

學(xué)將獲得優(yōu)秀獎(jiǎng).為預(yù)測(cè)獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的人數(shù)及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績(jī)，并整理得

到如下數(shù)據(jù)(單位僅)：

甲：9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,9.30,9.25；

乙：9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23；

丙：9.85,9.65,9.20,9.16.

假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且甲、乙、丙的比賽成績(jī)相互獨(dú)立.

(1)估計(jì)甲在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率；

(2)設(shè)X是甲、乙、丙在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的總?cè)藬?shù)，估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望EX；

(3)在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中，甲、乙、丙誰(shuí)獲得冠軍的概率估計(jì)值最大？(結(jié)論不要求證明)

18.已知函數(shù)/(x)=a(F+Q)-x.

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

(2)證明：當(dāng)。>0時(shí)，/(x)>2Zna+1.

19.一醫(yī)療團(tuán)隊(duì)為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣(衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類)

的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)查了100例(稱為病例組)，同時(shí)在未患該疾病的人群中隨機(jī)調(diào)

查了100人(稱為對(duì)照組)，得到如下數(shù)據(jù)：

不夠良好良好

病例組4060

對(duì)照組1090

(1)能否有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異？

(2)從該地的人群中任選一人，/表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”，3表示事件“選到的人患

第3頁(yè)(共14頁(yè))

有該疾病”,知與㈱的比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對(duì)患該疾病風(fēng)險(xiǎn)程度的一項(xiàng)度量指標(biāo)，記該指

標(biāo)為R.

R=P(d|B).P(才吵

(i)證明:

P(A\B}P(4歷)

（ii）利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出PCA\B）,PU|5）的估計(jì)值，并利用（i）的結(jié)果給出R的估計(jì)值.

n^ad—bc')2

附：K2=

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，

P（爛、左）0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

第4頁(yè)（共14頁(yè)）

2025年福建省高考數(shù)學(xué)模擬試卷

參考答案與試題解析

一、單選題

1.已知集合M={-2,-1,0,1,2},"={4?-工-620},則MCN=()

A.{-2,-1,0,1}B.{0,1,2}C.{-2}D.{2}

【解答】解：-x-620,.。(x-3)(x+2)20,二無(wú)N3或xW-2,

N—(-8,-2]U[3,+8),則MCN={-2}.

故選：C.

2.已知命題0：VxeR,|x+l|>l,命題q：3x>0,x3=x,貝I]()

A.p和q都是真命題B.「p和q都是真命題

C.p和「g都是真命題D.「p和「q都是真命題

【解答】解：命題：0：VxGR,|x+l|>1,x=~1時(shí)，不成立，所以命題：p是假命題；則Fp是真命題.

命題q：3x>0,x3=x,x=l時(shí)成立，所以命題q是真命題，是假命題；

所以10和q都是真命題.

故選：B.

3.設(shè)a,b是向量，則"(a+b),(a—b)=0"是"a=—6或a=b”的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

—>T—>T

【解答】解：根據(jù)題意,若(a+b)?(。-b)=0,則次一廬=o,即回=網(wǎng)，

->T—T

則。=一匕或a=Z?不一定成乂，

T->_>—>_>_>_>_>_>—>_>—>

反之，若。=一力或a=b,必有同=|加，即小一扶=0,變形可得(a+b)?(a-b)=0,

7T-?T

故"(a+b)?(a—b)=0"是"a=—b或a=b"的必要不充分條件.

故選：B.

4.鶯是鷹科的一種鳥，《詩(shī)經(jīng)?大雅?旱麓》曰''鶯飛戾天，魚躍于淵”.鶯尾花因花瓣形如鶯尾而得名(圖

1),寓意鵬程萬(wàn)里、前途無(wú)量，通過(guò)隨機(jī)抽樣，收集了若干朵某品種鶯尾花的花萼長(zhǎng)度和花瓣長(zhǎng)度(單

位：cm),繪制對(duì)應(yīng)散點(diǎn)圖(圖2)如下：

第5頁(yè)(共14頁(yè))

計(jì)算得樣本相關(guān)系數(shù)為0.8642,利用最小二乘法求得相應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y=0.7501x+0.6105.根據(jù)以

上信息，如下判斷正確的為（）

A.花萼長(zhǎng)度與花瓣長(zhǎng)度不存在相關(guān)關(guān)系

B.花萼長(zhǎng)度與花瓣長(zhǎng)度負(fù)相關(guān)

C.花萼長(zhǎng)度為的該品種鶯尾花的花瓣長(zhǎng)度的平均值約為5.8612”?

D.若選取其他品種鶯尾花進(jìn)行抽樣，所得花萼長(zhǎng)度與花瓣長(zhǎng)度的樣本相關(guān)系數(shù)一定為0.8642

【解答】解：對(duì)于/￡因?yàn)橄嚓P(guān)系數(shù)r=0.8642>0.75,且散點(diǎn)圖呈左下角到右上角的帶狀分布，

所以花瓣長(zhǎng)度和花萼長(zhǎng)度呈正相關(guān)，且相關(guān)性較強(qiáng)，故/,8選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于C,當(dāng)x=7時(shí)，代入經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y=0.7501x+0.6105,可得>=5.8612,

所以花萼長(zhǎng)度為7cw的該品種鶯尾花的花瓣長(zhǎng)度的平均值約為5.8612c%,故C選項(xiàng)正確；

對(duì)于。，若選取其他品種鶯尾花進(jìn)行抽樣，所得花萼長(zhǎng)度與花瓣長(zhǎng)度的樣本相關(guān)系數(shù)不一定是0.8642,

故。選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：C.

5.若（2%-I）’=ad4+。3爐+a2%?+的久+劭，則。0+。2+。4=（）

A.-40B.40C.41D.82

4432

【解答】解：根據(jù)（2x-I）=a4x+a3x+a2x+axx+a0,

令X=l,故（2-1）4=1=44+03+02+。i+ao，

令工="1,故34—1—<74-。3+。2-。1+。0，

34+1

所以ao+a2+a4—―，一=41.

故選：C.

6.甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同的排列

方式共有（）

A.12種B.24種C.36種D.48種

【解答】解：把丙和丁捆綁在一起，4個(gè)人任意排列，有用.4卜48種情況，

第6頁(yè)（共14頁(yè)）

甲站在兩端的情況有C%i/=24種情況，

...甲不站在兩端，丙和丁相鄰的不同排列方式有48-24=24種，

故選：B.

7.從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，則這2個(gè)數(shù)互質(zhì)的概率為（）

1112

A.-B.-C.-D.一

6323

【解答】解：從2至8的7個(gè)整數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)共有第=21種方式，

其中互質(zhì)的有：23,25,27,34,35,37,38,45,47,56,57,58,67,78,共14種,

142

故所求概率為五=--

故選：D.

8.已知a=20-7,°=0產(chǎn)，c-log2^則（）

A.a>c>bB.b>c>aC.a>b>cD.c>a>b

【解答】解：因?yàn)殄胶瘮?shù)尸達(dá)7在（0,+8）上單調(diào)遞增，且2%,

所以20,7>弓）。-7>0；

1

又函數(shù)y=log”在（0,+8）上單調(diào)遞增，所以/。先可Vogl=0.

故a>b>c.

故選：C.

二、多選題

9.有一組樣本數(shù)據(jù)XI,X2,…，X6，其中XI是最小值，X6是最大值，則（）

A.X2,X3,X4,X5的平均數(shù)等于XI,X2,…，X6的平均數(shù)

B.X2,X3,X4,X5的中位數(shù)等于XI,X2,…，X6的中位數(shù)

C.X2,X3,X4,X5的標(biāo)準(zhǔn)差不小于XI,X2，…，X6的標(biāo)準(zhǔn)差

D.XI,X3，X4,X5的極差大于XI,XI,X6的極差

【解答】解：對(duì)于選項(xiàng)/:設(shè)X2,X3,X4,X5的平均數(shù)為加，XI，X2,…，X6的平均數(shù)為",

皿勺+無(wú)2+*3+%4+冽+%6次+*3+*4+尤52（X+X）-（X+X+X+X）

則九-m=---------6-----------------4-----=----1----6---152---2---3----4-，

因?yàn)闆]有確定2（X1+X6），X5+X2+X3+X4的大小關(guān)系，所以無(wú)法判斷加，〃的大小，

例如：1,2,3,4,5,6,可得機(jī)=〃=3.5；

例如1,1,1,1,1,7,可得加=1,〃=2,：.m<n；

第7頁(yè)（共14頁(yè)）

例如1，2,2,2,2,2,可得爪=2,n=^,：.m>n；故N錯(cuò)誤;

對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)槭亲钚≈担?是最大值，

則X2,X3,X4,X5的波動(dòng)性不大于XI，X2,…，X6的波動(dòng)性，即X2，%3,%4,X5的標(biāo)準(zhǔn)差不大于％1，X2,…,

X6的標(biāo)準(zhǔn)差,

1

例如：2,4,6,8,10,12,則平均數(shù)n=G(2+4+6+8+10+12)=7,

標(biāo)準(zhǔn)差S]=[(2-7)*1234+(4-7)2+(6-7)2+(8-7)2+(10-7)2+(12—7)2]=邛

1

4,6,8,10,則平均數(shù)爪="(4+6+8+10)=7,

標(biāo)準(zhǔn)差S2=[(4-7/+(6-7/+(8-7)2+(10-7)2]=V5,

V105l

顯然--—>Vs,即S1>S2；故C錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)3：不妨設(shè)XlWx2Wx3(X4Wx5Wx6，

可知X2,X3,X4,X5的中位數(shù)等于XI,X2,…，X6的中位數(shù)均為%|2，故2正確；

對(duì)于選項(xiàng)D:不妨設(shè)X1WX2WX3WX4WX5WX6，

則X6-X12X5-X2,當(dāng)且僅當(dāng)X1=X2,X5=X6時(shí)，等號(hào)成立，故D錯(cuò)誤.

故選：B.

(多選)10.甲、乙、丙三人玩擲硬幣游戲，依次連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣1次，每次結(jié)果要么正面

向上，要么反面向上，兩種結(jié)果等可能，而且各次拋擲相互獨(dú)立.記事件N表示“3次結(jié)果中有正面向

上，也有反面向上”，事件3表示“3次結(jié)果中最多一次正面向上”，事件C表示“3次結(jié)果中沒有正面

向上”，則()

A.事件3與事件C互斥

B.P(F)=|3

C.事件/與事件8相互獨(dú)立

D.記C的對(duì)立事件為C,則P(B|C)=,

【解答】解：對(duì)于a事件3與事件c能同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，故/錯(cuò)誤；

41

對(duì)于2,尸(2)=方=z，故3錯(cuò)誤；

,113123

對(duì)于C,P(4)=l—gig=4，P(B)=2，P(4B)=—g,

P(AB)=P(/)P(B),事件/與事件3相互獨(dú)立，故C正確；

第8頁(yè)(共14頁(yè))

—r*1.1

對(duì)于D,P(C)=i=1,P(5|C)==故D正確.

2，y尸(。)i-1/

故選：CD.

(多選)11.若函數(shù)/G)=a/"x+/+強(qiáng)(aWO)既有極大值也有極小值，貝！I()

A.bc>0B.ab>0C.序+8。。>0D.ac<0

【解答】解：函數(shù)定義域?yàn)?0,+8),

曰〃x_ab2c_ax2—bx—2c

)Xr~xx2x3~x3'

由題意，方程，(x)=0即〃f_及-2c=0有兩個(gè)正根，設(shè)為xi,Xi,

則有xi+x2=￡>0,xiX2=-—>0,A=b2+Sac>0,

ab>0,ac<0,

ab*ac=a~bc<0,即bc<0.

故選：BCD.

三、填空題

12.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2,尸)，且尸(2CXW2.5)=0.36,則P(X>2.5)=0.14.

【解答】解：???隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2,。2),

：.P(2CXW2.5)+P(X>2.5)=0.5,

：.P(X>2.5)=0.5-0.36=0.14,

故答案為：0.14.

13.(1—()0+y)8的展開式中x2科的系數(shù)為-28(用數(shù)字作答).

【解答】解：由已知可得(1-^)(x+y)8=(x+y)8-^(x+y)8,

所以由二項(xiàng)式定理可得多項(xiàng)式(1-3)0+y)8的展開式中含x2/的項(xiàng)為爆2y6_Zc|x3y5=-28x2y6,

(1—3)(x+y)8的展開式中x2/的系數(shù)為-28.

故答案為：-28.

14.若曲線》=(x+a)，有兩條過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則Q的取值范圍是(-8,-4)U(0,+8).

【解答】解：y'="+(x+a)",設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(xo,(XO+Q)ex°),

???切線的斜率k=a。+(x0+。)/°，

xxx

???切線方程為y-(xo+a)e°=(e°+(x0+a)e°)(x-xo),

第9頁(yè)(共14頁(yè))

xzx

又?切線過(guò)原點(diǎn)，.-(xo+a)e°=(e°+(x0+a)e°)C-xo),

2

整理得：x0+ax0-a—0,

..?切線存在兩條，...方程有兩個(gè)不等實(shí)根，

/.A=a2+4a>0,解得。<-4或。>0,

即a的取值范圍是(-8,-4)U(0,+8),

故答案為：(-8,-4)U(0,+°°).

四、解答題

15.已知函數(shù)/(x)=(2x2-5x+4)

(I)求y=/G)在點(diǎn)(0,/(0))處的切線方程；

(2)求函數(shù)/(x)的極值.

【解答】解：(1)函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,fG)=⑵2_x-1)

所以/(0)=-1,

又/(0)=4,

故y=/(x)在點(diǎn)(0,/(0))處的切線方程為y-4=-(x-0),即x+廠4=0.

(2)令/(x)=0,貝!!2/-x-1=0,

1

解得久1=-2，x=\,

所以當(dāng)xV—9時(shí)，f(x)>0,f(x)單調(diào)遞增，

1

當(dāng)一2V%VI時(shí)，f(x)<0,f(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)%>1時(shí)，f(x)>0,/(x)單調(diào)遞增，

111

所以當(dāng)?shù)?—鄂寸，/(x)取得極大值/(一方)=7g-2,

當(dāng)％=1時(shí)，f(x)取得極小值/(I)=e.

16.記△45C的內(nèi)角4,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,分別以Q,b,c為邊長(zhǎng)的三個(gè)正三角形的面積依次

為S1,S1,S3.已知S1-S2+S3=噂,sin^=1.

(1)求△ZBC的面積；

(2)若siiL4sinC=半,求6.

【解答】解：(1)Si=^6z2sin60o二冬凡

S2=l^sinGO。=字抉，

第10頁(yè)(共14頁(yè))

5*3=^-c2sin60°=-^-c2,

'：Si-S2+S3=拳2—魯+景2=孚,

解得：a2-b2+c2=2,

VsinB=/-Z)2+C2=2>0,即cos5>0,

???cos5=孥,

2|2/j2272

cos5=ac

lac

解得：ac=

S“BC=^acsinB=申

V2

4ABe的面積為

8

bac

（2）由正弦定理得：—;

sinBsinAsinC'

._bsinA_bsinC

，

??Gsi'nBr'iCsi,nBn

由（1）得ac=

bsinAbsinC3A/2

??ac=--------=------

sinBsinB4

已矢口，sinB=]siiL4sinC=孝,

解得：b=

、、?,etc9「

萬(wàn)法二、由嬴嬴^廠⑵）2,

21

即有2R=J,即b=2RsinB='

17.在校運(yùn)動(dòng)會(huì)上，只有甲、乙、丙三名同學(xué)參加鉛球比賽，比賽成績(jī)達(dá)到9.50m以上（含9.50加）的同

學(xué)將獲得優(yōu)秀獎(jiǎng).為預(yù)測(cè)獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的人數(shù)及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績(jī)，并整理得

到如下數(shù)據(jù)（單位加）：

甲：9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,9.30,9.25；

乙：9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23；

丙：9.85,9.65,9.20,9.16.

假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且甲、乙、丙的比賽成績(jī)相互獨(dú)立.

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(1)估計(jì)甲在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率；

(2)設(shè)X是甲、乙、丙在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的總?cè)藬?shù)，估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望EX；

(3)在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中，甲、乙、丙誰(shuí)獲得冠軍的概率估計(jì)值最大？(結(jié)論不要求證明)

【解答】解：(1)已知甲以往的9次成績(jī)中有4次獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)，

若用頻率估計(jì)概率，

4

則甲在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率為了

(2)若用頻率估計(jì)概率，

31

則乙在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率為2

6L

丙在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率為?=;

42

易知X的所有可能取值為0,1,2,3,

rn(w_八、5115n(寸_八_c5114117

則mi尸(X=0)=不x亍X5P(X=1)=2xdx亍x5+(6x5x5

7zZDO7zz7zzlo

n/V—c、511s41113n-、4111

P(X—2)=6X5X+2XGX亨XP(X—3)=6X3X=G，

yzzyzz3oyzzy

S711R

所以EX=0x+1x-TQ-+2X+3XQ-=-Q-；

DOloDOyy

(3)易知乙與丙獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率較大，均為最

又丙投出過(guò)三人成績(jī)中的最大值9.85/77,在三人中有一定優(yōu)勢(shì)，

故如果發(fā)揮較好的話丙獲得的概率估計(jì)值最大.

18.已知函數(shù)/(%)=a(犬+〃)-x.

(1)討論/G)的單調(diào)性；

(2)證明：當(dāng)。>0時(shí)，/(x)>2Zna+1.

【解答】解：(1)因?yàn)?(x)=a(/+a)-x,定義域?yàn)镽,f(x)=aex-1,

當(dāng)aWO時(shí)，，(x)=°爐-1<0恒成立，所以/(x)在R上單調(diào)遞減；

當(dāng)a>0時(shí)，令，(x)=ae(-1=0,解得x=-加°,

當(dāng)x<-方a時(shí)，/G)<0,則/(x)在(-8,-歷。)上單調(diào)遞減；

當(dāng)x>-Ina時(shí)，/(x)>0,則/(x)在(-勿°,+°°)上單調(diào)遞增；

綜上：當(dāng)aWO時(shí)，/(x)在R上單調(diào)遞減；

當(dāng)a>0時(shí)，/(x)在(-8,-Ina)上單調(diào)遞減，/(x)在(-Ina,+°°)上單調(diào)遞增.

證明：(2)由(1)得，f(久)7n譏=f(一bia)=a(e-ma+或+bia=1+a?+)a,

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要證/'（%）>2萬(wàn)a+即證1+M+lna>2lna+彳即證/———仇。>0恒成立，

令g（d）=a2-—Zna（a>0）,貝!Jg（a）=2a-￡=L

令g'（a）<0,則0VaV^^；令g'（a）>0,則

所以g（Q）在（0,孝）上單調(diào)遞減，在（爭(zhēng)+8）上單調(diào)遞增，

所以9（。）加九=9（孝）=（辛）？—"I■—仇孝=br\/^〉0,則g（a）>0恒成立，

Q

所以當(dāng)a>0時(shí)，/（久）>2m￡1+恒成立，證畢.

19.一醫(yī)療團(tuán)隊(duì)為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣（衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類）

的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)查了100例（稱為病例組），同時(shí)在未患該疾病的人群中隨機(jī)調(diào)

查了100人（稱為對(duì)照組），得到如下數(shù)據(jù):

不夠良好