2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：數(shù)列求和（含新定義解答題）（學(xué)生版+解析）

二、填空題

8.（24-25高一上?陜西咸陽(yáng)?開(kāi)學(xué)考試）計(jì)算

11][1

A/20+4V4+76V6+V8^/98+^/i00----------

三、解答題

9.（24-25高三上?河北?階段練習(xí)）已知數(shù)歹心見(jiàn)｝滿足。用=2?！?3、2"，4=2.

（1）證明：數(shù)列[墨｝是等差數(shù)列，并求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式.

（2）設(shè)2="，求數(shù)列電｝的前〃項(xiàng)和，“?

10.（23-24高三上?湖南?階段練習(xí)）已知遞增等差數(shù)列｛%｝滿足：q=2,。,幻-2%包=a；+2an.

⑴求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

⑵若數(shù)列也｝滿足〃=1+（T）Z，求數(shù)列也｝的前2n項(xiàng)和T2n.

11.（23-24高二下廣東珠海?階段練習(xí)）已知數(shù)列｛廝｝中，％=1,G?=2o?_1+l（n>2）.

⑴求｛an｝的通項(xiàng)公式；

n7/—1

⑵求和：ST—

?=11十%

12.(24-25高三上?內(nèi)蒙古包頭?開(kāi)學(xué)考試)已知正項(xiàng)數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和為S“，且

2s“=?！?q+1).

(1)求｛%｝的通項(xiàng)公式；

為奇數(shù)

⑵設(shè)或=<]”為偶數(shù)，求數(shù)列｛〃｝的前2"項(xiàng)和凡?

aa，

??+i

B能力提升

1.(2024?福建泉州?二模)已知數(shù)列｛即｝和｛與｝的各項(xiàng)均為正，且生=18々，｛篇｝是公比3

的等比數(shù)列.數(shù)列的前n項(xiàng)和S,滿足4S“=<+2an.

⑴求數(shù)列｛aj｛%｝的通項(xiàng)公式;

b"+3

⑵設(shè)%=+%cos”兀，求數(shù)列｛5｝的前〃項(xiàng)和

(￡+3-3)(%T)

2.(2024?河北秦皇島?二模)己知等比數(shù)列｛叫的前"項(xiàng)和為S,,且數(shù)列設(shè),+2｝是公比為

2的等比數(shù)列.

(1)求｛?！ǎ耐?xiàng)公式；

n+2..1

(2)若2=〃加+八〃，數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和為小求證：Tn<-.

C綜合素養(yǎng)（新定義解答題）

1.（23-24高二下?河南安陽(yáng)?期中）在數(shù)列｛%｝中，4+，+§++-^-=J.

⑴求｛%｝的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)a=回]，求數(shù)列也｝的前12項(xiàng)和，其中[可表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，如[0.9]=0,

[2.6]=2.

2.（23-24高三下?上海浦東新?階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)列｛廝｝滿足：ax=t,點(diǎn)（（4,%+J在曲

2x+m

線丁=（龍/-4）上.

x+4

⑴當(dāng)r=2且祖=-1時(shí)，求實(shí)數(shù)列5｝的通項(xiàng)公式；

（2）在（1）的條件下，若已表示不超過(guò)實(shí)數(shù)/的最大整數(shù)，令"=S“是

數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和,求邑儂的值;

⑶當(dāng)f=2,a“>O（"N*）時(shí)，若則見(jiàn)=人存在，且出7<。2用〈人對(duì)〃eN*恒成立，求證:

k<a2n+2<a2n(neN

第04講數(shù)列求和（分層精練）

A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)（新定義解答題）

A夯實(shí)基礎(chǔ)

一、單選題

L（24-25高二上?江蘇鎮(zhèn)江?開(kāi)學(xué)考試）已知數(shù)列｛%｝的前，，項(xiàng)和為S,,.若4+%+1=2力+5,

貝”8=()

A.48B.50C.52D.54

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)數(shù)列遞推公式寫(xiě)出數(shù)列的項(xiàng)、數(shù)列求和的其他方法

【分析】根據(jù)4,+。“+1=2”+5得到％+%=7,a3+(z4=11,a5+a6=15,%+6=19,相加

得到答案.

【詳解】因?yàn)閍“+”.+i=2"+5,所以卬+為=7，a3+?4=11,a5+a6=15,a7+a8=19,

所以58=7+11+15+19=52

故選：C

0y_

2.（24-25高三上?山東濟(jì)寧?開(kāi)學(xué)考試）/（8）=/，利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前"項(xiàng)和的

2x-l

1?2022

公式的方法，可求得/（訴）+/（而去）++/(^—)=()

2023

A.1010B.1011C.2020D.2022

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】倒序相加法求和

【分析】利用/（%）叩。-幻=2求解即可.

2x2(1-%)2x2—2x

【詳解】/。）=泠7,故/（尤W（1T）=-----17~~：=------------二2,

2x-l2x—12(1—X)—12x—l2x-l

故/(---1-)+2022=2,/(--2-)+/(、20一21)二2,

2023202320232023

故/(—1M+/(^2)++于2022當(dāng)202"2x2=2022.

2023202320232

故選：D

片，〃為奇數(shù)，

3.（24-25高二上?全國(guó)?課后作業(yè)）若數(shù)列｛g｝的通項(xiàng)公式是風(fēng)=<，其前w項(xiàng)

二〃為偶數(shù)，

12

和為S",則S3。等于（）

A.120B.180C.240D.360

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】求等差數(shù)列前n項(xiàng)和、分組（并項(xiàng)）法求和

【分析】利用并組求和、等差數(shù)列的求和公式可得答案.

【詳解】由題意得50=（4+4++/9）+（生+。4+，+/o）

=（1+2+.+15）+（1+2++15）

故選：C.

4.（23-24高二下?江蘇南京?階段練習(xí)）已知數(shù)列｛%｝滿足q=1,g=3,

22

a?+2=（l-2sin^）a?+cos^,則該數(shù)列的前22項(xiàng)和為（）

A.69B.88C.89D.96

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】分組（并項(xiàng)）法求和、由遞推數(shù)列研究數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值

【分析】利用條件分奇偶討論巴+2,?！暗年P(guān)系，利用分組求和法計(jì)算即可.

【詳解】當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，an+2=-an,

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，。"+2=。"+1，

S22=%+%+/+,,,+%1+%2

=（4+/+???+）+（42+04+，，?+%2）

=（1-1+1-1+---+1）+（3+4+---+13）=89.

故選：c

5.（24-25高三上?廣東?階段練習(xí)）已知數(shù)列｛4｝滿足％=1,前”項(xiàng)和為S”，

-q=2"（〃eN*）,則邑期等于（）

A.22024-1B.3x21012-1C.3x21012-2D.3x21012-3

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】由定義判定等比數(shù)列、求等比數(shù)列前n項(xiàng)和、分組（并項(xiàng)）法求和

【分析】根據(jù)給定條件，求出的，再利用等比數(shù)列前〃項(xiàng)和公式計(jì)算即得.

【詳解】數(shù)列憶｝中，％=1,由％q=2",得4=2,”.%=2用，則有9=2,

an

因此數(shù)歹是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，數(shù)歹￡的“｝是以2為首項(xiàng)，2為公比的

等比數(shù)列，

I-210122（1—21012）

以§2024=（a1+〃3++〃2023）+（〃2+〃4+'+〃2024）=------------1-----------------3X21012—3.

1—21—2

故選：D

6.（23-24高二下?河北張家□?開(kāi)學(xué)考試）在數(shù)列｛q｝中，=-40,an+l=an+2,貝I]

M+同+…+|%|=（）

A.380B.800C.880D.40

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】分組（并項(xiàng)）法求和、求等差數(shù)列前n項(xiàng)和、由遞推關(guān)系證明數(shù)列是等差數(shù)列、

利用定義求等差數(shù)列通項(xiàng)公式

【分析】先根據(jù)遞推公式得出等差數(shù)列得出通項(xiàng)公式，再結(jié)合通項(xiàng)正負(fù)分組求和即可.

【詳解】因?yàn)椤?+1=?！?2,所以4rfl-%=2,

以a”=q+（〃—1）x2=-40+2n—2=2/z—42,

當(dāng)“221時(shí)，?！?0,當(dāng)時(shí)，?！?lt;0,

、20(-40-2)20(0+38)

所以+|tz|H-----F|flo|=-(4++。2。)+(。21+,+%<))=-一~-=800.

242

故選：B.

7.（24-25高二上?全國(guó),課后作業(yè)）已知某數(shù)例J的通項(xiàng)見(jiàn)瓦'",26,則

1,n=26

%+2++。51=（）

A.48B.49C.50D.51

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】倒序相加法求和

【分析】令函數(shù)〃對(duì)="三（工片26）,

2%—52

“x）+〃52-耳=1+可占+1+可豆土西=2,所以”“+*=2,由倒序相加法求

和即可.

2x-51

【詳解】令函數(shù)/（%）=(xw26),

2%-52

￡(\2x—52+11

則〃3KF=i+(xw26),

2(x-26)

所以〃同+〃)可/+()

527=1+1+25226=2(xw26)

所以+"52-〃=2,令5=。］+/++。51'貝US=。51+。50++，

則有2s=（?+%）+（4+%（））+-+（%+4）=2*51,所以S=51.

故選：D.

二、填空題

8.（24-25高一上?陜西咸陽(yáng)?開(kāi)學(xué)考試）計(jì)算

1]][1

V20+/4+而#+&^/98+^/^00------------

【答案】5

【知識(shí)點(diǎn)】裂項(xiàng)相消法求和

【分析】運(yùn)用裂項(xiàng)相消求和即可.

【詳解】此問(wèn)題可以看作數(shù)列an=-,\,=，而々2〃一2）的前50項(xiàng)和公。.

++1(A/100-A/98)

即&=：(應(yīng)-血+4-0+#-4++V100-A/98)=1X5/100=5.

故答案為：5.

三、解答題

9.（24-25高三上?河北?階段練習(xí)）已知數(shù)歹!]｛?！埃凉M足。用=2。“+3義2",。|=2.

⑴證明：數(shù)列，殳）是等差數(shù)列，并求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式.

（2）設(shè)優(yōu)="，求數(shù)列色｝的前〃項(xiàng)和

【答案】（1）%=（3"T-2"T；

【知識(shí)點(diǎn)】利用定義求等差數(shù)列通項(xiàng)公式、求等比數(shù)列前n項(xiàng)和、分組（并項(xiàng)）法求和

【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列定義即可得數(shù)列，墨｝是以1為首項(xiàng)，|■為公差的等差數(shù)列，并

求出通項(xiàng)公式;

（2）寫(xiě)出數(shù)列｛么｝的通項(xiàng)公式，利用分組求和的方法即可得出S".

【詳解】（1）根據(jù)題意由%=2%+3x2,易知需=尊等=殳+9,

即可得"一會(huì)=^為定值，

由此可得數(shù)列，金是以今=1為首項(xiàng)，公差d=|的等差數(shù)列，

所以去=1+|(〃-1)=丫，可得見(jiàn)MG"：!)?一；

即數(shù)歹1]｛?！埃耐?xiàng)公式為an=(3w—2”T；

(2)由(1)可得6=9=(37>2“一+3=叫匚+」；

〃TT2T

3x1-13x2-13x3-13n-l333

貝IJ數(shù)歹U｛么｝的前幾項(xiàng)和5=----1--------1-------1---1------1--rH--y+.—?----

22222122X

1-

3X(1+2+3H-----\-n\-n2JJ3n2+n

—------------1—+3x+31

24-F,

x、

3X(1+2+3H-----\-n)-n2、

--------------------------------F3x----7

2x4

即可得5“=即產(chǎn)+3(11

T

10.(23-24高三上?湖南?階段練習(xí))已知遞增等差數(shù)列｛%｝滿足：4=2,-2。用=a^+2a?,

(1)求數(shù)列｛叫的通項(xiàng)公式；

⑵若數(shù)列｛2｝滿足a=1+(-DZ，求數(shù)列也｝的前2n項(xiàng)和T2rl.

【答案】⑴?！?2〃

(2)J=4〃

【知識(shí)點(diǎn)】利用定義求等差數(shù)列通項(xiàng)公式、由遞推關(guān)系證明數(shù)列是等差數(shù)列、求等差數(shù)列前

n項(xiàng)和、分組(并項(xiàng))法求和

【分析】(1)利用因式分解得。用=2,即d=2,從而求解通項(xiàng)公式.

(2)解法一：結(jié)合等差數(shù)列求和公式和等比數(shù)列求和公式，利用分組求和求解即可；解法

二：利用并項(xiàng)求和法求和即可.

【詳解】(1)設(shè)遞增等差數(shù)列｛。工的公差為乩則d>0,

因?yàn)閍；+1-2an+1=a；+2an,所以*-a；=2aM+2ali,

即(an+1-an)(%+,+a,)=2(%+a“)，

因?yàn)?=2,d>0,所以a“+i+a”>。，所以a,"-a”=2,所以d=2,

故數(shù)列｛%J的通項(xiàng)公式為“，=4+(〃T)d=2+(〃-l)x2=2/2.

(2)解法一：T2n=bt+b2++匕2”_1+%,=(1—1)+(“2+D++(1-)+(“2”+1)

=—(%+/+-+42〃一i)+〃+(%+〃4+…+a2n)+〃

八n(n-V).n(n-V)8/

=—2n-\----------x4A+4〃+---------x4A+2〃=4〃

22

解法二：T2n=bx+b2++b2n_x+b2n=(1-4)+(%+1)++(1—。2凡一1)+(。2〃+1)

=(%一4)+(%-/)++(a2n--1)+〃+〃=2〃+2〃=4〃.

11.(23-24高二下?廣東珠海?階段練習(xí))已知數(shù)列｛&J中，4=1,??=2??_1+l(n>2).

(1)求｛斯｝的通項(xiàng)公式；

⑵求和：iv-r

1u

?=1十i

【答案】⑴4=2〃—1；

2i-l02幾+3

(2)E------=3-----------

Z=11+%T

【知識(shí)點(diǎn)】寫(xiě)出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、由遞推關(guān)系證明等比數(shù)列、求等比數(shù)列前n項(xiàng)和、錯(cuò)

位相減法求和

【分析】（1）由條件證明數(shù)列｛q+1｝為等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式求數(shù)列的通

項(xiàng)公式；

n2/—1

（2）設(shè)sn=Y--，則s“=偽+&+4+--+2，利用錯(cuò)位相減法求和即可.

1+??印+4

【詳解】（1）因?yàn)??！?2%+1（九22）,

所以見(jiàn)+1=2（%+1乂;止2）,又q+1=2,

所以數(shù)歹1J｛%+1｝為首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)歹U，

所以%+1=2",

所以｛斯｝的通項(xiàng)公式為%=2"-L

2n-l,￡2i—1

⑵設(shè)止笆，S"?Q，則S,i+&+&+…+如

2n-l

由⑴可得勿=丫

匚匚］1352n-l

所以Sc"=耍+域+萬(wàn)+…+〒

印、J。1352n-l

所以5sL級(jí)+聲+夢(mèng)+?一+方丁

11112〃一1

所以'”—I-------------------------------------------

221222“T2n+1

￡_J_

所以;一混,

乙乙X——乙

2

112n-\

所以S〃=l+4

22〃2n

2n+3

所以可=3—

2〃

2z-12幾+3

所以X----=3--------

Z=1i+qT

12.（24-25高三上?內(nèi)蒙古包頭?開(kāi)學(xué)考試）已知正項(xiàng)數(shù)列｛g｝的前”項(xiàng)和為S.，且

2S“=%（%+1）.

（1）求｛a〃｝的通項(xiàng)公式;

%,〃為奇數(shù)

⑵設(shè)2=?，"為偶數(shù)，求數(shù)列也｝的前2〃項(xiàng)和f.

、%%+2'

【答案】（1）4=〃

?11

（2）T2=n-\----------

2〃44〃+4

【知識(shí)點(diǎn)】利用an與sn關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)、分組（并項(xiàng)）法求和、裂項(xiàng)相消法求和

S],n=\

【分析】（1）利用4=來(lái)求得｛&J的通項(xiàng)公式?

Sn-Sn_x,n>2

（2）利用分組求和法、裂項(xiàng)求和法等求和方法來(lái)求得數(shù)列初?｝的前2〃項(xiàng)和心

【詳解】（1）依題意，2S“=a”（a“+l）,a?>0,

當(dāng)”=1時(shí)，2al=4（q+l）,解得q=1,4=0（舍去）.

當(dāng)〃N2時(shí)，由2s〃=4Q+1）得2sM=%（見(jiàn)t+1），

兩式相減得2%=Q：+an一d一心

即（%+%-%T=°，由于4+%>0，

所以%-q_1-1=0,an-an_x=1（M>2）,所以數(shù)列｛麻｝是首項(xiàng)為1,

公差為1的等差數(shù)列，所以%=〃（％=1也符合）.

〃，〃為奇數(shù)

（2）由（1）得2=-1_111

〃為偶數(shù)’

"〃+2）2n"+2

所以=4+仇+匕3+匕4++瓦自+b2rl

=（4+4++%T）+（A+2++%,）

=[1+3+5+-.+（2n-l）]+1_1411+.411

12421462\2n2〃+2

l+2n-l1（11>11

------------n+—\-------------=nH2----------------

22（22n+2）44〃+4

B能力提升

1.（2024?福建泉州?二模）已知數(shù)列和｛g｝的各項(xiàng)均為正，且生=18々，｛4｝是公比3

的等比數(shù)列.數(shù)列｛廝｝的前n項(xiàng)和Sn滿足4S?=a；+2an.

⑴求數(shù)列｛%J,｛?。耐?xiàng)公式；

b

+a

（2）設(shè)c“=（h_奇；_丁ncosmt,求數(shù)列｛c“｝的前，項(xiàng)和Tn.

【答案】⑴4=2",〃=3"-2

111

+〃,當(dāng)〃為偶數(shù)

2-3K+1-l

（2）7；=13

-:\~n，當(dāng)〃為奇數(shù)

2（3,,+1-1）4

【知識(shí)點(diǎn)】裂項(xiàng)相消法求和、分組（并項(xiàng)）法求和、等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算、利用

an與sn關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)

【分析】（1）利用遞推公式可證得數(shù)列｛&J是等差數(shù)列，可求出數(shù)列｛即｝的通項(xiàng)；利用等

比數(shù)列的性質(zhì)，可求出｛篇｝通項(xiàng)；

（2）根據(jù)裂項(xiàng)相消和分組求和法求解即可；

【詳解】（1）由題設(shè)，當(dāng)”=1時(shí)4S]=a；+24,;.4=2或a1=0（舍），

由4S,=說(shuō)+2a?,知4Sn_t=+2aLi，

兩式相減得（a”+%-2）=0,

-'-a?+a?-i=Q（舍）或-2=°，即a“-a“_i=2,

..?數(shù)列｛即｝是首項(xiàng)為2,公差為2的等差數(shù)列，，=2〃.

2

又％=1跖=6,:.優(yōu)=；,.-.bn=y-.

⑵/_細(xì)_-+a?cos^=7_W_^㈢門(mén)〃

聞3-3）聞3-1）（3"+|-3）（3?+1-1）'）

=（3"-1）3（"3"+1-1）+（-1）2^=21（［3"1-1-3"+1-1>/（-1）2tl

則（T［占一￡）+［吉一土>

+2［（-1+2）+（-3+4）+....+（-l）"n］

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，+

_

當(dāng)“為奇數(shù)時(shí)，T”=|Q3J_

1.（23-24高二下?河南安陽(yáng)?期中）在數(shù)列｛4｝中，/+?+§++，=g

352n—l3

（1）求｛?！埃耐?xiàng)公式；

（2）設(shè)〃=&],求數(shù)列也｝的前12項(xiàng)和,其中[可表示不超過(guò)x的最大整數(shù),如[0.9]=0,

[2.6]=2.

【答案】⑴氏異

（2）44

【知識(shí)點(diǎn)】由遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式、數(shù)列求和的其他方法

【分析】（1）降次作差即可得到a“=2g〃一y1，最后驗(yàn)證q即可;

（2）求出前12項(xiàng)的每一項(xiàng)，最后求和即可.

【詳解】⑴當(dāng)〃=1時(shí)，4二，卬+g+§++占=/①,

3352n-l3

所以當(dāng)心2時(shí)，“符+?+erT②,

nn-1_1

①-②得

2n—l3__

即%=手，4=；也滿足該式，所以4=27

（2）由（1）知〃=二^一,

當(dāng)”=1時(shí)，偽=[g[=0，

當(dāng)”=2,3時(shí)，IV為二<2,2=1,

當(dāng)〃=4時(shí)，"=[[=2,

當(dāng)”=5,6時(shí)，34tl<4,2=3,

依次類推，可知2=4,々=仇=5也=6,%=%=7.

所以數(shù)歹!]｛%｝的前12項(xiàng)和為0+1+1+2+3+3+4+5+5+6+7+7=44.

2.（23-24高三下?上海浦東新?階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)列｛即｝滿足：％=乙點(diǎn)（（a,M”+J在曲

線y=*（"T）上.

x+4'7

⑴當(dāng)f=2且m=-1時(shí)，求實(shí)數(shù)列的通項(xiàng)公式;

(2)在(1)的條件下，若表示不超過(guò)實(shí)數(shù)/的最大整數(shù)，令bn=(〃eN*),S"是

數(shù)列｛g｝的前〃項(xiàng)和，求與皿的值；

⑶當(dāng)U2,4>0("eN*)時(shí)，若則為=無(wú)存在，且%1T<出向〈人對(duì)〃eN*恒成立，求證：

左<%,+2<%,(〃€N*).

3

【答案】⑴4=1—1;

n

(2)4959；

⑶證明見(jiàn)解析.

【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)列的極限、數(shù)列不等式恒成立問(wèn)題、數(shù)列求和的其他方法、構(gòu)造法求數(shù)列通項(xiàng)

【分析】(1)根據(jù)題意，構(gòu)造等差數(shù)列,」7,結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求得見(jiàn)；

(2)根據(jù)(1)中所求，求得么，結(jié)合"國(guó)”的定義，即可求得結(jié)果；

(3)由弓=2,結(jié)合遞推公式求得由，根據(jù)其大小關(guān)系，以及數(shù)列的極限存在，求得機(jī)的

取值范圍，同時(shí)求得％關(guān)于加的表達(dá)式，結(jié)合作差法以及遞推公式，即可證明.

2an-1,3Q+1）111

【詳解】(1)由題可知:---=>%+1=——―n------------------二-

?！?4（〃“+1）+3%+i+l〃〃+13

故數(shù)列工是公差為2的等差數(shù)列，又心=占=；，

36+1，+1J

111/八〃3

貝不=§+§（，1）=,,故凡=丁1.

33

（2）由（1）可知：a=一—In-------=n^>b=\lgn],

nn+1n

[lgl]=[lg2]==[lg9]=0,

[lgl0]=[lg2]==[lg99