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文檔簡(jiǎn)介
廣東省揭陽(yáng)市兩校2025屆高三上學(xué)期8月聯(lián)考
數(shù)學(xué)試題
一、單選題:本題共8小題,每小題5分,共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求
的。
1.設(shè)集合力={0,1,2,3},B={%eN\x2-5x+4>0],則AnB=()
A.{1}B.{1,2}C.[0,1}D.{1,2,3}
2."%2<%"是1”的()
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件
3.已知函數(shù)f(x)=+3a,X<1的值域?yàn)镽,那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是()
A.(-00,-1]B.[-1,2)C.(0,2)D.(-2,1]
4.如圖,已知4(1,0),8(0,1),點(diǎn)C在函數(shù)y=a%的圖象上,點(diǎn)。在函數(shù)y=Zoga%的圖象上,若四邊形
4BCD為正方形,貝b=()
3
A.|B.2C.3D.4
5.已知sin0+sin(0+,)=1,則sin(0+]=()
A.|B.?C.|D.苧
6.神舟十二號(hào)載人飛船搭載3名宇航員進(jìn)入太空,在中國(guó)空間站完成了為期三個(gè)月的太空駐留任務(wù),期間
進(jìn)行了很多空間實(shí)驗(yàn),目前已經(jīng)順利返回地球.在太空中水資源有限,要通過(guò)回收水的方法制造可用
水.回收水是將宇航員的尿液、汗液和太空中的水收集起來(lái)經(jīng)過(guò)特殊的凈水器處理成飲用水,循環(huán)使
用.凈化水的過(guò)程中,每增加一次過(guò)濾可減少水中雜質(zhì)20%,要使水中雜質(zhì)減少到原來(lái)的5%以下,則至
少需要過(guò)濾的次數(shù)為()(參考數(shù)據(jù):仞2=0.3010.)
A.10B.12C.14D.16
7.設(shè)Fi,F(xiàn)2分別是橢圓E:提+。=1(。>6>0)的左、右焦點(diǎn),過(guò)尸2的直線交橢圓于4B兩點(diǎn),且麗?
麗=0,屈=4耐,則橢圓E的離心率為()
A.|B.年C岑D.?
n
8.已知數(shù)列{&J滿足的=1,前n項(xiàng)和為由,an+1-an=2(n6N*),則S2024等于()
101210121012
A.22°24_1B.3x2-1C.3x2-2D.3x2-3
二、多選題:本題共3小題,共15分。在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求。
9.下列大小關(guān)系正確的是().
A.1.92<219B.229<2.92
21n22"
<wTTD.log4<log7
N一■1Z—1712
10.已知函數(shù)/'(x)=czsinx—cos2x,則()
A.f(x)的最小正周期為兀
B.函數(shù)f(x)的圖象不可能關(guān)于點(diǎn)(兀,0)對(duì)稱
C.當(dāng)a=-2時(shí),函數(shù)/⑺在(葭)上單調(diào)遞增
D.若函數(shù)/(X)在(0,9上存在零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-1,+8)
11.已知函數(shù)/(%)=lg(y/x2+1+x)+ex—e~x+l(e?2.7...),若不等式/(sin。+cos。)<2—
/(sin20-t)對(duì)任意8£R恒成立,則實(shí)數(shù)t的可能取值為()
A.1B.72C.3D.4
三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分。
12.定義運(yùn)算]=ad—6c則不等式J7<0對(duì)任意X6R恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍
是.
13.已知過(guò)原點(diǎn)。的直線與y=/。%萬(wàn)交于4B兩點(diǎn)(4點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)),過(guò)4作%軸的垂線與函數(shù)y=4工交于C
點(diǎn),過(guò)B點(diǎn)作x軸的垂線與函數(shù)y=2*交于。點(diǎn),當(dāng)CD平行于x軸時(shí),點(diǎn)4的橫坐標(biāo)為.
14.已知/O)是定義在R上的單調(diào)函數(shù),f[f(x)-2X]=3對(duì)xeR恒成立,則f(3)的值為.
四、解答題:本題共5小題,共60分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟。
15.(本小題12分)
在AABC中,角4昆C的對(duì)邊分別是a,b,c,已知c=5,2bcosC=2a—c.
(1)求角B的大??;
(2)若AABC的面積10門(mén),設(shè)。是BC的中點(diǎn),求吃的值.
sSL”7T乙
16.(本小題12分)
如圖,在四棱臺(tái)ABCD-AiBiGDi中,底面4BCD是菱形,AB=2AAr=2A1B1=2,AABC=60°,AA11
(2)棱BC上是否存在一點(diǎn)E,使得二面角E-ADi-D的余弦值為界若存在,求線段CE的長(zhǎng);若不存在,請(qǐng)
說(shuō)明理由.
17.(本小題12分)
設(shè)函數(shù)f(x)=裊(。K0,x>0),滿足:①f(l)=②對(duì)任意久>0,/(%)=恒成立.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式.
(2)設(shè)矩形48CD的一邊4B在工軸上,頂點(diǎn)C,。在函數(shù)/(x)的圖象上.設(shè)矩形2BCD的面積為S,求證:0<
S<1.
18.(本小題12分)
已知函數(shù)f(x)=署+k是奇函數(shù).(e是自然對(duì)數(shù)的底)
(1)求實(shí)數(shù)k的值;
(2)若%>0時(shí),關(guān)于久的不等式/(2%)<771/(%)恒成立,求實(shí)數(shù)7H的取值范圍;
(3)設(shè)g。)=《禁,對(duì)任意實(shí)數(shù)a,仇c€(0,用,若以a,b,c為長(zhǎng)度的線段可以構(gòu)成三角形時(shí),均有以
g(a),g(b),g(c)為長(zhǎng)度的線段也能構(gòu)成三角形,求實(shí)數(shù)n的最大值.
19.(本小題12分)
已知函數(shù)/'(x)=ax2—Inx—x.
(I)討論f(?的單調(diào)性;
(II)若不等式/(%)20恒成立,求Q的取值范圍;
(HI)當(dāng)a=0時(shí),試判斷函數(shù)F(%)=2sin%-/(%)-2%的零點(diǎn)個(gè)數(shù),并給出證明.
參考答案
l.C
2.5
3.B
4.B
5.B
6.C
7.8
8.D
9.ABD
10.BCD
11.CD
12.(-4,0]
13.2
14.9
15.解:(1)2bcosC=2a-c,結(jié)合余弦定理cosC=&+:J,
可得2b?°T'=2a—c,整理得小+c2—ft2=ac,
2ab
a2+c2—b21
所以cosB=
2ac2
又Be(0,兀),所以B=(
(2)因?yàn)椤鰽BC的面積IOC,
1
兀
即5
所以9aB?BC?sinB=10<3,-XXX-1o
2BCsi3
解得BC=8.
在△力BC中,據(jù)余弦定理可得
AC2=AB2+BC2-2AB-BC-cosB
=52+82-2x5x8xcos|=49,
故AC=7.
又。是BC的中點(diǎn),故=S44co,
所以1扣B?4D?sin^BAD=^1AC-AD-sinzCXO,
>>sinz.BAD_AC__7
改sin/CAD-麗一丁
16.1?:(1)證明:連接ac,QCi,
因?yàn)?BCD為棱臺(tái),所以4&,Q,C四點(diǎn)共面,
又因?yàn)樗倪呅?BCD為菱形,所以BD12C,
因?yàn)锳4i_L平面ABC。,BDu平面ABCD,所以1BD,
又因?yàn)镃"=AS.AAltACu平面4CQ41,所以801平面力
因?yàn)镃t71u平面ACCiA,所以BD1CCt.
(2)取8c中點(diǎn)Q,連接2Q,
因?yàn)榈酌?BCD是菱形,且N4BC=60。,所以AABC是正三角形,所以4Q1BC,即4Q1AD,
由于441_1_平面48。。,以4為原點(diǎn),分別以4Q,40,441為無(wú)軸、y軸和z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)
則4(0,0,0),4(0,0,1),^(0,1,1),Q(/3,0,0)
假設(shè)點(diǎn)E存在,設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(、總,尢0),其中—1W2W1,
可得荏=(0,兒0),M=(0,1,1)
設(shè)平面gE的法向量元=(x,y,z),則g'竺二+為=°,
In-AD1=y+z=0
取久=心可得y=所以元=(尢一V~5,V5).
又由平面ADD1的法向量為而=(6,0,0),
所以|cos(湎同=解得;1=±苧
E#+6
由于二面角E—A%—。為銳角,則點(diǎn)E在線段QC上,
所以4=苧,即CE=1—苧,
故BC上存在點(diǎn)E,當(dāng)CE=1-亨時(shí),二面角"皿-。的余弦值為去
1
-即2a+1
17.解:⑴由①得:"1)=捻-2=
a
由②得:/聶—(%>0)怛成立,
%2
2
即Z?+/=bx+1恒成立,
所以b=1,所以Q=1,
所以/(%)=備,
(2)證明:因?yàn)椤浮?=%等,
(l+xz)
當(dāng)0<x<1時(shí),f'(x)>0,
當(dāng)x>1時(shí),f(x)<0,
所以f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+8)上單調(diào)遞減,
不妨設(shè)4(t,0),t6(0,1),
由/(嗎=/(3知以:,0),
則M切=:一3|4。|=點(diǎn),
1t2
S=\AB\-\AD\=(^-t)-^=-l+^,
因?yàn)閠6(0,1),所以[2€(0,1),/+16(1,2),
_-7
所以涇五G(L2),
則-1+3e(0,1),
所以0<S<1.
18.解:(1)因?yàn)?(x)是奇函數(shù),且定義域?yàn)镽,所以/'(0)=0,
7zi0
即磊+卜=°,解得々=一1.經(jīng)檢驗(yàn),此時(shí)/(%)是奇函數(shù)
所以k=—l.
(2)由(1)知/(%)=普—1=刀,
px_-i
由X>0時(shí),/(2x)<mf(x)恒成立,得聲意Wm-西P
因?yàn)檠幸?>0,所以巾2以¥,
■入,、0+1)2e2x+2ex+l.2ex.2
設(shè)Mx)==e2x+l'=1+兩=1+三,
因?yàn)椤?裊2,當(dāng)且僅當(dāng)x=°時(shí),等號(hào)成立,又久>0,所以靖+白>2,
故九(久)==1+鼻<1+1=2,
所以血>2.
(3)由題意得:g(x)f(%)+i=E+I
不妨設(shè)0<a〈b4c47i,
以a,b,c為長(zhǎng)度的線段可以構(gòu)成三角形,即a+b>c,且
以g(a),g(b),g(c)為長(zhǎng)度的線段也能構(gòu)成三角形,則e。+二>'恒成立,得>1恒成立,
.__________a+b—2cc
因?yàn)閑。—。+eb~c>2Vea~c-eb~c=2e―2—>2e-2,僅當(dāng)a=b時(shí)前一個(gè)等號(hào)成立,
c1
所以2e~2>1,即c<-21n-=21n2,于是九的最大值為21n2.
19.解:(I)因?yàn)?(%)=a/-in%—%,%e(0,+8),
所以尸(無(wú))=2ax—;—1=2*1,
當(dāng)Q<0時(shí),2axz—%—1<0恒成立,所以/'(%)<0;
當(dāng)a>0時(shí),令2a——%—1=0,解得%=1±塞四(舍負(fù)),
令「。)>0,得久>匕尹恒;令<0,得o<久尹匣.
4a4a
綜上所述:當(dāng)aWO時(shí),/(%)在(0,+8)上單調(diào)遞減;
當(dāng)a>0時(shí),/(久)在(0,止等)上單調(diào)遞減,在(1+蒙面,+8)上單調(diào)遞增.
(11)/(%)>0恒成立,得a/>jnx+%在(0,+8)上恒成立,
所以a2:+整在(0,+8)上恒成立.
令g(x)=;+,(乂>o),
則或久)=4+匕|學(xué)
4+1—21nx—x+1—21nx
令h(x)=-21nx—x+1(%>0).
易知九(%)=-21nx-%+1在(0,+8)上單調(diào)遞減.
又九(1)=0,
所以當(dāng)久G(0,1)時(shí),/i(x)>0,“(%)>0.
當(dāng)%e(l,+8)時(shí),/i(x)<o,g'{x)<0.
所以g(%)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+8)上單調(diào)遞減,
所以9(%)在久=1處取得極大值,也是最大值,即g(%)max=g(l)=1,
所以即a的取值范圍為[1,+8).
(III)當(dāng)a=0時(shí),F(xiàn)(x)=2sinx+In%+x—2x=Inx—%+2sinx,x>0.
-1
則F'(%)=--1+2cosx.
令G(%)=P(%)=--1+2cosx,%>0,
-1
貝UG'(%)=——2sinx?
當(dāng)%6(0,7T)時(shí),G'(%)V0,所以F'(%)在(0,7T)上單調(diào)遞減.
又尸⑴=2cosl>0.F'(^)=|-1<0.
所以F'(x)在(0,兀
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