2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案：導(dǎo)數(shù)中的隱零點(diǎn)問(wèn)題（虛設(shè)零點(diǎn)設(shè)而不求）（高階拓展、競(jìng)賽適用）

第14講導(dǎo)數(shù)中的隱零點(diǎn)問(wèn)題（虛設(shè)零點(diǎn)設(shè)而不求）

（高階拓展、競(jìng)賽適用）

（3類(lèi)核心考點(diǎn)精講精練）

IN.考情探究

1.5年真題考點(diǎn)分布

5年考情

考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)

2020年新I卷，第21題,12分導(dǎo)數(shù)中的隱零點(diǎn)問(wèn)題不等式恒成立問(wèn)題

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的載體內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較大，分值為15-17分

【備考策略】1能用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)基本問(wèn)題

2掌握函數(shù)零點(diǎn)存在性定理及其應(yīng)用

3能設(shè)而不求進(jìn)行隱零點(diǎn)的相關(guān)替換求值或范圍

【命題預(yù)測(cè)】零點(diǎn)問(wèn)題是高考的熱點(diǎn)問(wèn)題，隱零點(diǎn)的代換與估計(jì)問(wèn)題是函數(shù)零點(diǎn)中常見(jiàn)的問(wèn)題之一，其源于

含指對(duì)函數(shù)的方程無(wú)精確解，這樣我們只能得到存在性之后去估計(jì)大致的范圍，高考中曾多次考查隱零點(diǎn)

代換與估計(jì)，所以本節(jié)我們做一個(gè)專(zhuān)門(mén)的分析與討論，方便學(xué)生高考綜合復(fù)習(xí)

知識(shí)點(diǎn)1解題步驟

知識(shí)點(diǎn)2隱零點(diǎn)的同構(gòu)

核心知識(shí)點(diǎn)

知識(shí)點(diǎn)3解題感悟

隱零點(diǎn)問(wèn)題

虛設(shè)零點(diǎn)設(shè)而不求考點(diǎn)1隱零點(diǎn)初應(yīng)用

考點(diǎn)2隱零點(diǎn)問(wèn)題之參數(shù)范圍綜合

核心考點(diǎn)

考點(diǎn)3隱零點(diǎn)問(wèn)題之不等式證明綜合

知識(shí)講解

在求解導(dǎo)數(shù)問(wèn)題時(shí)，我們一般對(duì)函數(shù)的零點(diǎn)設(shè)而不求，通過(guò)一種整體代換和過(guò)渡，再結(jié)合題目條件最

終解決問(wèn)題，我們稱(chēng)這類(lèi)問(wèn)題為“隱零點(diǎn)問(wèn)題”.

1.解題步驟

第1步：用零點(diǎn)存在性定理判定導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的存在性，列出零點(diǎn)方程/'(/)=0,并結(jié)合/(X)的單調(diào)

性得到零點(diǎn)的范圍；

第2步：以零點(diǎn)為分界點(diǎn)，說(shuō)明導(dǎo)函數(shù)/(%)的正負(fù)，進(jìn)而得到/(x)的最值表達(dá)式；

第3步：將零點(diǎn)方程/(xo)=O適當(dāng)變形，整體代入/(%)最值式子進(jìn)行化簡(jiǎn)：

。)要么消除/(%)最值式中的指對(duì)項(xiàng)

(2)要么消除其中的參數(shù)項(xiàng)；

從而得到/(x)最值式的估計(jì).

2.隱零點(diǎn)的同構(gòu)

實(shí)際上，很多隱零點(diǎn)問(wèn)題產(chǎn)生的原因就是含有指對(duì)項(xiàng)，而這類(lèi)問(wèn)題由往往具有同構(gòu)特征，所以下面我們看到

的這兩個(gè)問(wèn)題，它的隱零點(diǎn)代換則需要同構(gòu)才能做出，否則，我們可能很難找到隱零點(diǎn)合適的代換化簡(jiǎn)方

向.我們看下面兩例：一類(lèi)同構(gòu)式在隱零點(diǎn)問(wèn)題中的應(yīng)用的原理分析

xexxlnx

/(X)=<x+e*=/(lnx)=《x+lnx

ex—x—1x-Inx-1

f(x)=xex=>/(-lnx)=--^^=^>x2ex+lnx=O

所以在解決形如ex=~^x+lnx=Q,這些常見(jiàn)的代換都是隱零點(diǎn)中常見(jiàn)的操作.

3.解題感悟

1.隱零點(diǎn)指對(duì)于超越方程或者是一些帶參數(shù)的方程，無(wú)法直接求得確切的零點(diǎn)，但是零點(diǎn)確實(shí)存在的問(wèn)題。

特別是在求導(dǎo)的過(guò)程，求函數(shù)極值點(diǎn)，對(duì)原函數(shù)求導(dǎo)后，令導(dǎo)函數(shù)等于零，就導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)進(jìn)一步探尋原函

數(shù)極值點(diǎn)或最值時(shí)會(huì)經(jīng)常遇到“隱零點(diǎn)”問(wèn)題。

2.隱零點(diǎn)常見(jiàn)題型，有證明零點(diǎn)個(gè)數(shù)，求解不等式，求最值的取值范圍，求參數(shù)的范圍。

3.解決辦法，往往是“虛設(shè)零點(diǎn)”，設(shè)而不求，結(jié)合零點(diǎn)存在定理來(lái)初步確定零點(diǎn)的所在區(qū)間。往往這樣的

零點(diǎn)都與某個(gè)參數(shù)相關(guān)聯(lián)，相互依賴(lài)。在使用零點(diǎn)存在定理確定區(qū)間時(shí)往往存在困難，必要時(shí)使用放縮法

取含參的特殊值來(lái)確定零點(diǎn)存在區(qū)間。

4.特別是針對(duì)導(dǎo)函數(shù)的“隱零點(diǎn)”，求解取值范圍時(shí)，需要根據(jù)導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)代入方程，把參數(shù)表示成含隱零

點(diǎn)的函數(shù)，再來(lái)求原函數(shù)的極值或者最值問(wèn)題，或證明不等式。構(gòu)建關(guān)于隱零點(diǎn)作為自變量的新函數(shù)，求

函數(shù)值域或者證明不等式恒成立問(wèn)題。

考點(diǎn)一、隱零點(diǎn)初應(yīng)用

典例引領(lǐng)

I.證明ex-21nx>4-21n2

證明：要證明左邊大于右邊，只需證明左邊的最小值大于右邊即可

令g(x)=e*-21nx(x>0)

2?

然后求導(dǎo)g\x)=ex——,:.g\x)=ex+—>O,:.g\x)單增，

XX

g(0.5)<0g(l)>0,因此g(x)存在零點(diǎn)，二.g(x)有一個(gè)極小值

，2

x

設(shè)g(%)的零點(diǎn)為x=x0/.e°-----=0(1),兩邊同時(shí)取自然對(duì)數(shù)，「?％0=ln2—ln/(2)

%

2

將(1)、(2)帶入g(x),得g(x0)=——21n2+2x0>4-21n2,證畢

xo

2.求/(x)=ex+1-31nx的極值

解:f\x)=ex+1--(x>0),/'(x)=^+1+4>0,.-./(x)T

XX

/(0.5)<0/(1)>0,/./(x)存在一個(gè)零點(diǎn)

設(shè)/(x)的零點(diǎn)為x=%,.??令f\x)=ex+i--=0

x

3

.e"+i=一(1)，x0+1=In3-Inx0

%

3

.?./(%)二——31n3+3x+3>9-31n3,即極小值為9-31n3

x0

1.已知函數(shù)=xlnx+Ax-34,求：

⑴當(dāng)k=1時(shí),求曲線(xiàn)/(x)在點(diǎn)(1,/⑴)處的切線(xiàn)方程；

(2)當(dāng)x>3時(shí)，總有“勸>1,求整數(shù)％的最小值.

【答案】⑴2x-y-4=0

⑵-3

【分析】(1)先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，計(jì)算出斜率，再用點(diǎn)斜式即可；(2)分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題.

【詳解】(1)當(dāng)左=1時(shí)，/(x)=xlnx+x-3

/(x)=lnx+2

.??/?)=2/(1)=-2

〃x)在點(diǎn)(1J⑴)處的切線(xiàn)方程為y+2=2(x-1)即2尤-y-4=0

(2)由題意，fix)>1,即xlnx+依-3左>1,即左(x-3)>l-xlnx,

--,1-xlnx

又x>3,:.k>-------恒成

x-3

1-xlnx3Inx-x+2

令g(x)=g'(x)=

x-3(x-3)2

3—x

令/z(x)=31nx-x+2,則/(%)=----<0恒成立.

x

???〃⑴在（3,+8）上遞減,

v/i(8)=31n8-6>0,A(9)=31n9-7<0

/.3x0e(8,9)使〃(%)=0,即31nx0—/+2=0,貝iJIn/=,

.?.當(dāng)X￡(8,/)時(shí)，g\x)>0,當(dāng)、￡(玉),+8)時(shí)，g"(x)<0

X2

l-x.Q-

0

l-xolnxo3x0+110

??gOOmax=g(%)=一=-----六-=

xQ-3x0-333

因?yàn)?>g(x)1mx,.-.k>-3,即整數(shù)人的最小值為-3

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于零點(diǎn)不可求問(wèn)題，可以設(shè)而不求，整體替換從而求出范圍。

即時(shí)檢測(cè)

I_________________________

1.(2024?山東威海?二模)已知函數(shù)/(x)=lnx-ax+l.

⑴求/(X)的極值;

(2)證明：Inx+x+lWxe".

【答案】(1)答案見(jiàn)解析

(2)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性以及極值的關(guān)系，即可求得答案；

(2)根據(jù)要證明的不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，設(shè)g(x)=xex-lnx-x-l,x>0,求出其導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)

性，結(jié)合其最值，即可證明結(jié)論.

【詳解】(1)由題意得〃x)=lnx-辦+1的定義域?yàn)?0,+8),

當(dāng)aWO時(shí)，r(x)>0,/(x)在(0,+◎上單調(diào)遞增，無(wú)極值；

當(dāng)0>0時(shí)，令/'(x)<0,貝令/''(x)>。，貝IJ0〈尤<!，

aa

即〃x)在(0,-)上單調(diào)遞增，在(士+⑹上單調(diào)遞減，

aa

故x=L為函數(shù)的極大值點(diǎn)，函數(shù)極大值為/(，］=Tna,無(wú)極小值;

a\aJ

(2)證明：g(x)=xex-Inx-x-1,x>0,

gr(x)=(x+l)ex---1,令/z(x)=(x+l)ex———1,

則〃(x)=(x+2)e，+g>0,(x>0),即/?(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

唱)=|”_3<O，Me)=(e+l)e-_l>0,

故三七?［；，］,使得〃(％)=0,即x()e』=l,

當(dāng)xe(O,x())時(shí),/z(x)<0,g(x)在(0,%)上單調(diào)遞減,

當(dāng)無(wú)e(%,+00)時(shí)，h(x)>0,g(x)在(%,+00)上單調(diào)遞增,

A

故gGL=g(xo)=xoe°-ln-^-xo-l=O

即g(x)20,即xe*Nlnx+x+1,則lnx+x+1Vxe，

2.(2024?浙江杭州?一模)已知函數(shù)/(x)=/-(a-2)x-alnx(。eR).

⑴求函數(shù)J=/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)”=1時(shí)，證明：對(duì)任意的x>0,f(x)+ex>x2+x+2.

【答案】⑴見(jiàn)解析

(2)見(jiàn)解析

【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間；(2)將不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為e*-lnx-2>0,利用導(dǎo)數(shù)討論最值即可求

解.

【詳解】(1)由題可知函數(shù)/(X)的定義域?yàn)?0,+8),

,“、一,?、a2x2-(a-2)x-a

/'(x)=2x-(a-2)——=---------------,

xx

即/，(x)=(x+D(2xa),

X

(i)若awo,

則/'(x)>0在定義域(0,+功上恒成立，

此時(shí)函數(shù)f(x)在(0,+CO)上單調(diào)遞增；

(ii)若a>0,

令;(x)>0,即2x-a>0,解得喈,

令/'(x)<0,即2x—a<0,解得0<x<],

所以/(x)在(0,9上單調(diào)遞減，(彳,+功上單調(diào)遞增.

綜上，a?0時(shí)，/(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增；

Q〉0時(shí)，/(%)在(0,§上單調(diào)遞減，(不,+8)上單調(diào)遞增.

(2)當(dāng)a=1時(shí)，/(x)=x2+x-Inx,

要證明f（x）+e%>x2+x+2,只用證明e"—lnx—2>0,

令g（x）=ex-lnx-2,g'（x尸e"一一,

x

令g'（x尸e，」，即e，=L可得方程有唯一解設(shè)為外,且

XX

1

所以e'x°=一,

當(dāng)x變化時(shí)，g'（x）與g（x）的變化情況如下，

X(0%)%(Xo，+co)

g'(x)-0+

g(x)單調(diào)遞減單調(diào)遞增

所以g(x)min=g(Xo)=e*TnXo-2=L+%-2,

%

因?yàn)椤?x0-2N2LX0-2=0,因?yàn)閄0*1,所以不取等號(hào),

尤o

即工+%-2>°,即g(X)mm>。恒成立，

XQ

所以，e*-lnx-2>0恒成立，

得證.

考點(diǎn)二、隱零點(diǎn)問(wèn)題之參數(shù)范圍綜合

典例引領(lǐng)

I.（2020?新I卷?統(tǒng)考高考真題第21題）已知函數(shù)/（X）=湛-'-Inx+lna.

（1）當(dāng)a=e時(shí)，求曲線(xiàn)>=/（x）在點(diǎn)（1,/。））處的切線(xiàn)與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；

（2）若不等式/'（x）21恒成立，求。的取值范圍.

【答案】（1）—（2）[l,+oo）

e-1

【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出在點(diǎn)（1,/。））切線(xiàn)方程，即可得到坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)，最后根據(jù)三角形

面積公式得結(jié)果；

（2）方法一：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)/（x）的單調(diào)性，當(dāng)°=1時(shí)，由/'⑴=0得〃=符合題意；

當(dāng)時(shí)，可證/d）/''⑴<0,從而/'（x）存在零點(diǎn)%>0,使得r（Xo）=ae&T-'=O,得到/（乃向?,利用

a/

零點(diǎn)的條件，結(jié)合指數(shù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算化簡(jiǎn)后，利用基本不等式可以證得/'(X)21恒成立；當(dāng)時(shí)，研究

/(1).即可得到不符合題意.綜合可得?的取值范圍.

【詳解】(1)?.?/(x)=eJ-lnx+l,:.f\x)=ex--,k==.

X

■：f(y)=e+\,切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1+e),

???函數(shù)/(x)在點(diǎn)(lg)處的切線(xiàn)方程為V-e-l=(e-l)(x-l),即.y=(e-l)x+2,

???切線(xiàn)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(0,2),(二4,0),

e-l

1-?2

???所求三角形面積為刀x2x|--|=--.

2e-le-l

(2)［方法一］：通性通法

,//(x)=aex~x-Inx+In(2,f\x)=aex~x--,且a〉0.

x

設(shè)g(x)=/'(x)，則g'O)=+3>0,

x

???g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增,即f3在(0,+a))上單調(diào)遞增，

當(dāng)。=1時(shí)，/XI)=0,???/⑺.=/⑴=1，,：〃、)之1成立?

1111-1

當(dāng)。>1時(shí)，一<1，.?.尸<1，.../'(一)/(1)=。&-l)(?-l)<0,

.??存在唯一x()>0,使得/'6)=。0頻1-=0,且當(dāng)xe(O,Xo)時(shí)/'(x)<0,當(dāng)xe(%,+(?)時(shí)/'(x)>0,

x1

ae°~=—,lntz+x0-l=-lnx0,

%

Xo-1

因此/(xLn=/(x0)=ae-lnxo+lna

----FIn。+XQ-1+ln〃221na-1+2/—,—2Ina+1>1

/Vxo

恒成立；

當(dāng)0<a<1時(shí)，/(I)=a+ina<a/(I)<l,/(x)>1不是恒成立.

綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是［1,+oo).

［方法二］【最優(yōu)解】：同構(gòu)

lna+x1

由/"(X)N1得-Inx+lna21BPe~+lna+x-l>lnx+x,而lnx+x=+Inx,所以

e'na+x-'+lna+x-l>e,nx+lnx.

^h(m)=em+m,貝M'(a)=/+1>0,所以〃(〃?)在R上單調(diào)遞增.

由e』°+xT+lna+龍一1Ahi工+lnx,可知力(lna+x-l)2〃(lnx),所以lna+x-LNlnx,所以

lnaN(lnx-x+l)1mx.

11—x

令產(chǎn)(x)=lnx-x+l,則尸'(x)=--1=-

XX

所以當(dāng)xe(0,1)時(shí)，尸?)>0,尸(x)單調(diào)遞增;

當(dāng)無(wú)e(l,+s)時(shí)，P(x)<0,尸(x)單調(diào)遞減.

所以甲(切而=網(wǎng)1)=0,則InaNO,即心1.

所以“的取值范圍為

［方法三］:換元同構(gòu)

由題意知。>0,x>0,令ae*T=f,所以lna+x-1=In7,所以Ina=ln-x+l.

于是/(x)=aex~l-Inx+Ina=？-Inx+InZ-x+1.

由于/(x)21J-Inx+lnf-x+121ot+lnf2x+lnx,而y=x+lnx在xe(0,+oo)時(shí)為增函數(shù)，故即

X

“efx,分離參數(shù)后有心聲.

ex-\\-x)

令g(x)=W所以g'(x)

e2x~2e2-2

當(dāng)0<x<1時(shí),g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x>l時(shí)，g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減.

Y

所以當(dāng)x=l時(shí),g(x)『取得最大值為g(D"所以a"

［方法四］:

因?yàn)槎x域?yàn)?0,+8),且所以“1)21,即a+lnaNl.

令S(a)=a+ln"，貝|JS<a)=1>0,所以S(a)在區(qū)間(0,+8)內(nèi)單調(diào)遞增.

a

因?yàn)榱x1)=1,所以時(shí)，有義.)2s⑴，即a+ln“21.

下面證明當(dāng)aNl時(shí)，/(x)21恒成立.

令丁(〃)=。/—1—Inx+lna,只需證當(dāng)時(shí)，7(。)21恒成立.

因?yàn)門(mén)'(a)=*+->0,所以T(a)在區(qū)間［1,+◎內(nèi)單調(diào)遞增，則［T(a)］=7(1)=e1-Inx.

amin

因此要證明時(shí)，T(a)21恒成立，只需證明=e^-InxNl即可.

由e*>x+l,］nx<x-l,得e*T>x,-lnx>l-x.

上面兩個(gè)不等式兩邊相加可得ei-lnx21,故aNl時(shí)，恒成立.

當(dāng)0<a<l時(shí)，因?yàn)?(l)=a+lna<l,顯然不滿(mǎn)足/(x)21恒成立.

所以。的取值范圍為。21.

【整體點(diǎn)評(píng)】(2)方法一：利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)/(x)的單調(diào)性，求出其最小值，由￡皿20即可求出，解法雖

稍麻煩，但是此類(lèi)題，也是本題的通性通法;

方法二：利用同構(gòu)思想將原不等式化成+Ina+x-1N+Inx,再根據(jù)函數(shù)/加)=^+加的單調(diào)性以

及分離參數(shù)法即可求出，是本題的最優(yōu)解;

方法三：通過(guò)先換元，令a+'=t,再同構(gòu)，可將原不等式化成，+ln此x+lnx,再根據(jù)函數(shù)>=x+lnx的

單調(diào)性以及分離參數(shù)法求出；

方法四：由特殊到一般，利用〃1”1可得。的取值范圍，再進(jìn)行充分性證明即可.

2.已知函數(shù)/(x)=ln(ax),a>0；若/(x)W(x—l)e"、求a的取值范圍.

解：記h(x)=(x-De"—"-/(x)=(x-l)e'j-lnx-lna,x>0,

依題意，h(x)>0恒成立，

求導(dǎo)得h\x)=xex-a--,x>0,

X

令y=h'(x)=xex~a--,y=(x+l)e『+二〉0,

xx

則/z'(x)在(0,+oo)上單調(diào)遞增，

,<1>1--a,1

又〃一=—e2-2<o,/z(a+l)=(a+l)e----->0,

<2)2Q+1

則A。e[g,a+1)使得A'(xo)=O,即x°e5=—成立，

則當(dāng)xe(0,x0),/z(x)<0,A(x)單調(diào)遞減；當(dāng)xG(X0?+GO),/Z(x)>0,/z(x)單調(diào)遞增，

心)min=〃(％)=(%T)e、。-"—In/—Ina,

由xoG^°——,得e""———,a—XQ+2Inxo,

//

X1

于是得/z(x0)=°2-lnx0-ln(x0+21nx0),

xo

x—1

當(dāng)xG(1,+oo)時(shí)，令/(x)=--——Inx,

x

有/(x)=(1—^2)<0,r(x)在(l,+oo)上單調(diào)遞減，

X

而x+21nx在(l,+oo)上單調(diào)遞增，

即有函數(shù)y=-ln(x+21nx)在(1,+8)上單調(diào)遞減，

Y—1

于是得函數(shù)(p(x)=--——Inx-ln(x+2Inx)

x

在(1,+8)上單調(diào)遞減，則當(dāng)Xo€(1,+00)時(shí)，%(％0)=/(%0)</(1)=0,不合題意；

當(dāng)且x0+21nx。〉。時(shí)，由(1)中m"-I知，-ln"l-x0,有

-ln(x0+21nx0)>l-(x0+2Inx0),

從而

，(、o)=-^~2----In%—In(X。+2In)2―-----Inx0+1—(x。+2In)

="-31nx0-x°+G0-3(x。-1)-x°+l=(J/)(2"1)(2XO+1),

%0%0玉)

由皿/i(xo)>O,因此滿(mǎn)足f(x)<(x-,又a=%o+21nxo/=x+21nx

在f|9l上單調(diào)遞增，則有—21n2,l,而a>Of所以實(shí)數(shù)Q的取值范困是(0,1].

3.已知函數(shù)/(%)=Q%+xlnx(a￡7?),當(dāng)a-\且keZ時(shí)，不等式k(x-1)</(x)在xG(1,+OO)

上恒成立，求k的最大值.

解：依題分離參數(shù)得：心

人/、x+xlnx

令g(x)=-------—,

x-1

則

令/z(x)=x—In%—2(x>1).

1x―]

貝U"(x)=l——=——>0,/.h(x)在(l,+oo)上遞增,

XX

???/z(3)=l-ln3<0,/z(4)=2-21n2>0,

存在毛￡(3,4),使A(xo)=O.

即In%=%-2,

當(dāng)l<x<%o時(shí)，/z(x)<0ng(x)<0,g(x)/；

當(dāng)x>x0,/z(x)>0g(x)>0,g(x)\.

g"n=g(x0)=五*W-2)=x°e(3,4).

xo-1xo-1

%<g(x)min=/<3,4),-：k&z,:.k^=3.

a+1

4.已知函數(shù)f(x)=aex---------2(6Z+1)>0對(duì)任意的x￡(0,+oo)恒成立，其中實(shí)數(shù)?>0,求Q的

x

取值范圍.

解：由已知得/(X)mn>0(a>0,x>0)

、xa+1-(a+1)

/(x)=四---=------v—-

XX

令g(x)=ae-2一(Q+1),(a>0,x>0)

由g'(x)=a(2x+X2)/〉0得g(x)在(0?+oo)上遞增，

又g(0)=-(Q+1)<0,而g(x)=aexx2-(4Z+1)>ax2-((2+1),

存在x0G(0,+oo),使得g(x0)=0得ae/二巴?.

當(dāng)0<%</時(shí)，g(x)<0,f(x)<0,/(x)遞減；

當(dāng)x>x0時(shí)，g(x)>0,/(x)>0,/(x)遞增：

,,，/、r(\XnQ+1c/八Q+1

故/Wmin=/(xo)=ae——：——2(a+l)=-------Q-+-—1—C2(/a+l)>0

得又因?yàn)間(x)=aexx2-(4Z+1)在(0,+oo)上遞增，且Ov/KL

，0=g(Xo)<g⑴，由OWg(l)得

e—1

即時(shí)性測(cè)

1.(2024?湖南邵陽(yáng)?三模)已知函數(shù)/(x)=21nxix+%eR)

(1)若。=2,求/(x)的單調(diào)區(qū)間.

(2)若對(duì)Vxe(0,+co),/(x)Vxe,恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍

【答案】(D/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0/)，單調(diào)遞減區(qū)間為(1,+8)

⑵(-8』

【分析】(1)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)判斷原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2)分析可知原題意等價(jià)于對(duì)Vxe(0,+co),aw/e*-21nx-x恒成立，構(gòu)建g(x)=x2e*-21nx-x,x>0,

利用導(dǎo)數(shù)判斷g(x)的單調(diào)性和最值，結(jié)合恒成立問(wèn)題分析求解.

【詳解】(1)若Q=2,則+2的定義域?yàn)?0,+a),

xf—F1]-(21nx+x+2)

-2Inx，

令尸(x)>0,解得0<x<l；令/'(x)<0,解得x>l：

所以/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞減區(qū)間為(1,+8).

(,2、)「因?yàn)?、t/(/%)\=-4-11-1A--十-八-十--J<,xeY,則rIaWx2Ce*-21nx-x,

X

所以原題意等價(jià)于對(duì)Vxe(O,+⑹，aw/e，-21nx-x恒成立，

構(gòu)建g(x)=x2qX-21nx-x,x>0,

貝Ijg，(x)=M+2xV-1=X(x+2),_曰，

1o

令"x)=e*-,X>0,則”(x)=e、+了>0對(duì)Vxe(0,+⑹恒成立，

可知力(x)在(0,+s)內(nèi)單調(diào)遞增，且力=血-4<0/z(l)=e-l>0,

可知在(0,+8)內(nèi)存在唯一零點(diǎn)毛eU,

當(dāng)0<x<x()時(shí)，〃(x)<0,即g'(x)<0；

當(dāng)x〉/時(shí),/z(x)>0,即g[x)>0；

可知g(x)在(0,%)內(nèi)單調(diào)遞減，在(演,+8)內(nèi)單調(diào)遞增，

則g(x)2g(x0)=-2Inx0-x0=-Inx衿。,

且"x0)=e'"-±=0,可得考、=1,

xo

則g(x)2g(xo)=l-lnl=l,可得all,

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍為(-嗎1].

2.(2024?山東日照?三模)已知函數(shù)/(x)="lnx-x2+(a-2)x,g(x)=(x-2)e"---4x+機(jī)，aeR.

⑴討論函數(shù)/'(x)的單調(diào)性；

⑵當(dāng)a=-l時(shí)，對(duì)Vxe(O,l),/(%)>g(x),求正整數(shù)加的最大值.

【答案】(1)答案見(jiàn)解析:

(2)3.

【分析】(1)求出函數(shù)/(x)的導(dǎo)數(shù)，再按aWO與。>0分類(lèi)討論求出函數(shù)的單調(diào)性.

(2)把a(bǔ)=-l代入，再等價(jià)變形給定的不等式，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出最小值的范圍得解.

【詳解】(1)函數(shù)的定義域?yàn)?0,+功，求導(dǎo)得廣3=3_2…_2=卜+1卜2x+.),

XX

①當(dāng)a<0時(shí)，有/'(力<0,此時(shí)函數(shù)〃無(wú))在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞減；

②當(dāng)。>0時(shí)，當(dāng)時(shí)，/'(x)>0,此時(shí)函數(shù)〃x)在區(qū)間(0,鼻上單調(diào)遞增；

當(dāng)代仁,+二|時(shí)，r(x)<0,此時(shí)函數(shù)/(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減.

所以當(dāng)aW0時(shí)，函數(shù)/'(x)在區(qū)間(0,+“)上單調(diào)遞減；

當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)/(x)在區(qū)間(0,上單調(diào)遞增，在區(qū)間(W,+sj上單調(diào)遞減.

(2)當(dāng)a=-l,xe(O,l)時(shí)，/(x)>g(x)恒成立,等價(jià)于加<(-x+2)e"—lnx+尤恒成立,

設(shè)=(-x+2)e*-lnx+x,xe(0,1),則=(l—xje*,

當(dāng)0<x<l時(shí)，有l(wèi)-x>0,

函數(shù)〃(x)=e=:在(0,1)上單調(diào)遞增，且=五-2<0,w(l)=e-l>0,

則存在唯一的使得“*=0,即e'"=,,

當(dāng)X￡(O,Xo)時(shí)，w(x)<0,h'^x)<0；當(dāng)x￡(x(),l)時(shí)，w(x)>0,l(x)〉0,

函數(shù)力⑴在(0,%)上單調(diào)遞減，在(%4)上單調(diào)遞增，

12

力(x)min=〃(%o)=(f)+2)e'。-lnx0+x0=(-x0+2)一+2x0=-1+—+2x0

%oxo

222

設(shè)y=—Id---F2x,貝!J當(dāng)x￡(0,1)時(shí)，y'=--+2<0,函數(shù)y=_ln在(0,1)上單調(diào)遞減,

XXX

又因?yàn)樗?z(xo)e(3,4).

所以正整數(shù)加的最大值是3.

3.(2024?四川綿陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=alnx-L+x(aeR).

(1)討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

⑵若關(guān)于％的不等式/(司工2、-：在(0,+”)上恒成立，求。的取值范圍.

【答案】(1)答案見(jiàn)解析

-ir

(2)Q￡--e,e――.

ee

【分析】(1)求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，對(duì)于。分來(lái)討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性以及極值情況，即

可求得答案；

719

(2)不等式/(x)W2x-1在(0,+。)上恒成立等價(jià)于alnx-+在(0,+")上恒成立，從而構(gòu)造函數(shù)

12

G(x)=alnx-x--+—,利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性求解即可.

xe

【詳解】(1)因?yàn)?(x)=Hnx-：+x的定義域?yàn)?0,+功，

當(dāng)x=l時(shí)，/(1)=0,所以1是f(x)的一個(gè)零點(diǎn),

2

小)=151=x+ax+\

x2

令g(x)=X2+6ZX+1,X>0,則g(x)=++1-亍,x>0,

當(dāng)-]40,即時(shí)，g(x)在(0,+功上單調(diào)遞增，則g(x)>g(0)=l>0,

故/'(x)>0,〃龍)在(0,+8)上單調(diào)遞增，結(jié)合〃1)=0,

可知此時(shí)〃x)有1個(gè)零點(diǎn)；

2

當(dāng)一二>0,即a<0時(shí)，若1一幺20,貝廠(chǎng)24。<0時(shí)，g(x)>0,

24

故廠(chǎng)(%)>0,/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增,結(jié)合((1)=0,

可知此時(shí)/(x)有1個(gè)零點(diǎn)；

2

若1一幺<0,貝！JQ?—2時(shí)，貝！Jg(x)=/+"+1=0的判另式八=/一4>o,

4

不妨設(shè)兩根為石戶(hù)2，則41+工2=-。>0,石入2=1，

即I2+辦+1=0有2個(gè)正數(shù)根，且不妨設(shè)。<再vlv%2，

則當(dāng)0<X<M時(shí)，g(x)>0,即/'(x)>0；當(dāng)玉v%v%2時(shí)，g(x)<0,即/'(、)<0；

當(dāng)力>尤2時(shí)，g(x)>。，即/'(x)>。；

則可知/⑺在(再,1)上單調(diào)遞減，貝lj/(x)極大=/(再)〉/⑴=0,

/(X)在(L9)上單調(diào)遞減，則/(X)極小=/(%)</(1)=0,

由當(dāng)X無(wú)限趨近于0時(shí)，-工的變化幅度要大于alnx的變化幅度，

X

故/(x)=Hnx-J+x趨近于負(fù)無(wú)窮，

當(dāng)x趨近于正無(wú)窮時(shí)，x的變化幅度要大于alnx的變化幅度,

故/（x）=41nx+%趨近于正無(wú)窮，

此時(shí)函數(shù)/（%）=4此一｝+》有3個(gè)零點(diǎn)，

綜上：當(dāng)〃<-2時(shí)，/（x）有3個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)2時(shí)，/（X）有1個(gè)零點(diǎn)

7

（2）不等式/（耳42》-[在（0,+8）上恒成立

12

等價(jià)于a\wc-x一一+-40在（0,+8）上恒成立，

xe

4^G（x）=dnx-x--+-,貝ljG,（x\=--\+\=-X

xexxx

對(duì)于函數(shù)>=--辦-1,透=/+4>o,所以其必有兩個(gè)零點(diǎn).

又兩個(gè)零點(diǎn)之積為-1,所以?xún)蓚€(gè)零點(diǎn)一正一負(fù)，

設(shè)其中一個(gè)零點(diǎn)％0￡（。，+8）,貝！Jx；—QX?！?=0,即。=%一工.

此時(shí)G（x）在（0,%）上單調(diào)遞增，在（%,+8）上單調(diào)遞減，

故需G（%0）<O,BPIx0---Ilnx0-x0----+—<0.

IJx0e

設(shè)函數(shù)/z（x）=（x_L]Inx-X--+—,貝=[1+4]Inx.

kxjxekxj

當(dāng)X￡（0,l）時(shí)，/z/（x）<o；當(dāng)X￡（l,+8）時(shí)，〃（x）〉0.

所以〃（x）在（0,1）上單調(diào)遞減，在（1,+⑹上單調(diào)遞增.

又d=〃（e）=0,所以%￡1,e.

1「11

由---在一,e上單調(diào)遞增，

*。Le_

/口「1r

得—e,e—.

ee

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決函數(shù)/（X）的零點(diǎn)問(wèn)題，一般兩種思路：（1）分離參數(shù)法，此時(shí)要注意參數(shù)的系數(shù)

正負(fù)確定，便于分離才可應(yīng)用這種方法，不過(guò)這種方法有可能要用到洛必達(dá)法則；（2）當(dāng)參變分離不容易

進(jìn)行時(shí)，可構(gòu)造函數(shù)，求解函數(shù)的最值，來(lái)討論確定答案.

考點(diǎn)三、隱零點(diǎn)問(wèn)題之不等式證明綜合

典例引領(lǐng)

InY1

1.(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=-e，+T+1+a(aeR).

⑴當(dāng)a=e時(shí)，求曲線(xiàn)J=/(x)在點(diǎn)(1J。))處的切線(xiàn)方程；

(2)當(dāng)。41時(shí)，證明：切(x)40在定義域內(nèi)恒成立.

【答案］⑴ex+y_1_e=0

⑵證明見(jiàn)解析

【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義計(jì)算即可；

(2)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理先判定。=1時(shí)符合題意，再適當(dāng)放縮即可證

明.

【詳解】(1)當(dāng)a=e時(shí)，/(x)=-ejr+—+-+e(x>0),

XX

"⑴="(x)=Y+審T=-e*一1J”)=-e，

二當(dāng)a=e時(shí)，曲線(xiàn)y=/(x)在點(diǎn)(1J⑴)處的切線(xiàn)方程為yT=_e(x_l),即ex+yT_e=0.

(2)由題知，函數(shù)/(x)=-e，+螞+,+。的定義域?yàn)?0,+“),

XX

當(dāng)a=1時(shí)，h(x)=xf(x)=Inx+x-xex+l,xG(0,+a),

則/(x)=L+l_(x+l)e“=(x+l)p1_e'

x

令f(x)=g-e",x￡(0,+8),則，'(x)=-5-e*<0對(duì)任意x￡(0,+。)恒成立,

「?才(工)在(0,+e)上單調(diào)遞減，又=2-廄>0/⑴=l-e<0,

使得"％)=(),即1=1°,則一向0=%.

.,.當(dāng)0<x<%0時(shí)，，(x)〉0,則〃'(x)>0,〃(x)單調(diào)遞增;

當(dāng)x>%o時(shí)，/(x)<0,則〃'(%)<0,力(力單調(diào)遞減,

〃(％)?〃(%)=1%)+/_/e殉+1=0-1+1=0,BPInx+x+1<xex.

X<1,x>0,/.Inx++1<Inx+x+1<xex，

lwc+ax+\<xex,

當(dāng)時(shí)，^(x)(0在定義域內(nèi)恒成立.

2.(2024?河北張家口?三模)已知函數(shù)/(x)=lnx+5x—4.

(1)求曲線(xiàn)歹=/(x)在點(diǎn)(1J。))處的切線(xiàn)方程；

3

(2)證明:/(%)>---2.

JX

【答案】⑴6x—y-5=0；

⑵證明見(jiàn)詳解.

【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)求斜率，由解析式求出切點(diǎn)縱坐標(biāo)，然后可得切線(xiàn)方程；

(2)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為xlnx+5x2—2x>-7令g(x)=xlnx+5——2x,x〉0,求導(dǎo)，利用零點(diǎn)存在性定理判斷

極值點(diǎn)/,利用隱零點(diǎn)方程化簡(jiǎn)極小值可得g(x0)=-5x；-x0,結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)即可得證.

【詳解】(1)/⑴的定義域?yàn)?0,+8),

因?yàn)?(X)=：+5,所以曲線(xiàn)〉=/(%)在點(diǎn)(1,7(1))處的切線(xiàn)斜率為左=/'⑴=6,

X/(l)=lnl+5-4=l,所以切線(xiàn)方程為了一1=6(尤-1),即6x-y-5=0.

33

(2)f(x)〉-----2xInx+5%2-2x>—,

5x5

^g(x)=xlnx+5x2-2x,x>0,貝ijg'(x)=Inx+lOx—1,

因?yàn)?'(片2)=111-2+10'/一1=當(dāng)_3<0,

g,Q^=ln^-+10x1-l=|-ln4=1(lne3-lnl6)>0

所以存在X。€(廠(chǎng),；1,使得8'(/)=111%+10工0-1=0,B|]Inx0=1-1Oxo,

易知g'(x)在(0,+。)上單調(diào)遞增，

所以，當(dāng)xe(0,x°)時(shí)，g'(x)<0,g(x)在(0,%)上單調(diào)遞減；

當(dāng)xe(xo，+e)時(shí)，g,(x)>0,g(x)在(%,+。)上單調(diào)遞增.

所以當(dāng)x=x0時(shí)，g(x)取得最小值：

g(x0)=x0Inx0+5%o-2XQ=x0(1-1Oxo)+-2x0=-5x1-x0,

由二次函數(shù)性質(zhì)可知，8伉)=-5寸-/在卜,；|上單調(diào)遞減，

所以g(xo)>g[；[=_[>_(,BPg(x)=xlnx+5x2-2x>-|,

3

所以/(x)>---2.

即時(shí)

1.(2024?陜西西安?模擬預(yù)測(cè))已矢口函數(shù)/(x)="n…,若/(x)的最小值為0,

⑴求。的值；

(2)若g(x)=#(x),證明:g(x)存在唯一的極大值點(diǎn)為,且g(xo)<；.

【答案】⑴。=1

⑵證明見(jiàn)解析

【分析】(1)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后，分和。>0兩種情況討論求解即可；

(2)令〃(x)=g'(x)=2x-2-lnx,求導(dǎo)后可得/x)在，遞減，遞增，再結(jié)合零點(diǎn)存在性定理

得〃(x)在(0,切存在唯一的％使得〃(毛)=0,在［■,+1?］存在唯一的零點(diǎn)x=l,從而得x=x()是g(x)

唯一的極大值點(diǎn).

【詳解】(1)/(x)=fl--=^l(x>0),

XX

當(dāng)aWO時(shí),f'(x)<0,所以/(x)在(0,+8)上遞減，則/(x)沒(méi)有最小值，

當(dāng)a>0時(shí)，由/>'(x)>0,得由/'(x)<0,得0<x<L

aa

所以/(X)在J上遞減，在上遞增，

所以X=L時(shí)，/(X)取得最小值/p_］=l-ln'-a=O,得a=l成立，

a\aJa

下面證。二1為唯一解，

11—(7

令%(Q)=l+lnQ_Q,貝Ur(q)=——1=---(6Z>0),

aa

當(dāng)Ovavl時(shí)，t\a)>0,當(dāng)a>l時(shí)，t\d)<0,

所以在(0,1)上遞增,在以+◎上遞減,

所以(Q)max=(1)=0,

所以方程l+lna-Q=0有且只有唯一解。=1,

綜上，4=1；

(2)證明:由(1)知g(x)=%2一x-xlnx,g'(x)=2x-2—lnx,

1Oy—1

令〃(x)=2x-2-Inx,/2(x)=2—=----(x>0),

xx

當(dāng)0<x<5時(shí)，h\x)<0,當(dāng)時(shí)，h\x)>0,

所以/z(x)在(0,；)上遞減，上遞增，

因?yàn)榱?/J=M2一1<3>°4⑴=0，

所以〃⑴在［J存在唯一的x°e(0,￡|使得4％)=0,在1,+6存在唯一的零點(diǎn)x=l,

所以當(dāng)0<x<Xo或x>l時(shí)，h(x)>0,gpg'(x)>0,

當(dāng)尤0cx<1時(shí),h(x)<0,即g\x)<0,

所以g(x)在(0,%)上遞增，在(x°,l)上遞減，在(1,+8)上遞增，

即X=X。是g(x)唯一的極大值點(diǎn),

g(xo)=Xo-x0-x0lnx0,

由得In%=2(無(wú)。-1),

xx_

所以g(x())=o~o2x0(x0-1)=一］/-1)+->

因?yàn)閤()e(0,g］,所以g(xo)<；.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查函數(shù)的單調(diào)性，考零點(diǎn)存在性定理，考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，第(2)問(wèn)解題

的關(guān)鍵是二次求導(dǎo)后結(jié)合零點(diǎn)存在性定理確定出函數(shù)極值點(diǎn)的范圍，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力，屬于

較難題.

2.(2024?陜西安康?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=j,g(x)=lnx.

⑴求的極值；

2

⑵證明：xg(x)+2>e"(x)->

【答案】⑴極大值為,，無(wú)極小值.

e

(2)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)先求出/(x)的單調(diào)性，再根據(jù)單調(diào)性求得極值；

2?

(2)構(gòu)造“x)=xg(x)+2-e"(x)+—=xlnx+2-x+—(x>0),求出其單調(diào)性進(jìn)而求得最小值為〃(%),

證明力(%)>0即可.

【詳解】⑴=，/(x)=F，

當(dāng)x<l時(shí)，/'(x)>0,當(dāng)x>l時(shí)，f'(x)<Q,

所以/(x)在(-8,1)單調(diào)遞增，在(1,+8)單調(diào)遞減，

所以當(dāng)X=1時(shí)，取得極大值L無(wú)極小值.

e

22

(2)解：令〃(x)=%g(x)+2—e*/(x)+—=xlnx+2-x+—(x>0),

2

貝lj〃'(x)=lnx——-(x>0),

2

令尸(x)=Inx——-(x>0),

14

貝lj/(%)=—+石>0在％>0上恒成立,

XX

所以「(%)在(0,+")上單調(diào)遞增，

2?2

又尸(l)=lnl—7=-2<0,r(e)=lne——-=1——->0,

1ee

所以存在X。e(l,e),使得F(Xo)=O,

gplnx0=-(x0e(l,e)),

所以X￡(o,%o)時(shí),r(x)<0,"(x)<0,〃(x)單調(diào)遞減，

%￡(%o，+oo)時(shí),r(x)>0,〃(x)〉0,單調(diào)遞增，

〃(x)min=%(工0)=%0山