選擇性必修第一冊第三章-《圓錐曲線的方程》教材分析新教材人教A版

《圓錐曲線的方程》教材分析與教學(xué)建議鄒平一中南校區(qū)高二數(shù)學(xué)組一、本章教材在整冊教材及高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的地位與作用

《圓錐曲線的方程》是在學(xué)習(xí)《直線和圓的方程》的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步運(yùn)用坐標(biāo)法研究幾何問題，通過行星運(yùn)行軌道，拋物運(yùn)動(dòng)軌跡等，讓學(xué)生了解圓錐曲線的背景與應(yīng)用，在平面直角坐標(biāo)系中，建立它們的標(biāo)準(zhǔn)方程認(rèn)識橢圓、雙曲線、拋物線的幾何特征，運(yùn)用平面解析幾何的方法解決簡單的數(shù)學(xué)問題和實(shí)際問題，感悟平面解析幾何中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。二、本章教材與原教材相應(yīng)內(nèi)容的主要區(qū)別和聯(lián)系

1.新教材《曲線與方程》不再作為獨(dú)立單元呈現(xiàn)

新教材選擇性必修第一冊第三章《圓錐曲線的方程》對應(yīng)舊教材中《圓錐曲線與方程》，舊教材選修2-1中把《曲線與方程》作為一個(gè)獨(dú)立的單元來處理，選修教材1-1和新教材都是是將這部分內(nèi)容滲透到圓錐曲線的學(xué)習(xí)過程中，并在章末小結(jié)中（課本143頁）給出了曲線的方程與方程的曲線的定義；通過例題和習(xí)題把求曲線方程的常用方法一一作了介紹,除了建立三種圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；在例題、習(xí)題中設(shè)置了21個(gè)求軌跡方程的問題：1.新教材《曲線與方程》不再作為獨(dú)立單元呈現(xiàn)

橢圓有8個(gè)：課本108頁例2,例3；109頁練習(xí)4；113頁例6；115頁習(xí)題3.1中6，8,9,10.雙曲線中共設(shè)置了7個(gè)求軌跡方程的題：121頁的探究；5頁例5；126頁的練習(xí)1；127頁習(xí)題3.2中5,10,11,14.拋物線中共設(shè)置了4個(gè)：137頁例6；138頁練習(xí)第5題；習(xí)題3.3中的第9、11題.再加上145頁的復(fù)習(xí)參考題中的第9,11題.1.新教材《曲線與方程》不再作為獨(dú)立單元呈現(xiàn)在舊教材的課本中：2-1課本35頁例題2求解線段垂直平分線后，給出了求解原曲線方程的步驟：（第36頁）

2.課本例題、習(xí)題有所調(diào)整

橢圓的例題(7個(gè))，練習(xí)題(共11個(gè))（原來分兩個(gè)練習(xí)，現(xiàn)在是三個(gè)練習(xí)），習(xí)題(14個(gè))，總體個(gè)數(shù)沒變，具體題目內(nèi)容和順數(shù)有所調(diào)整；新教材中的例7是與舊教材中的例7相關(guān)的一個(gè)變式，而舊教材中的例7放到了新教材課后習(xí)題13題的位置上；課后習(xí)題第2題刪除了一個(gè)與例1同類型的一個(gè)小題，保留了原來的兩個(gè)小題，刪除了舊教材的習(xí)題第3題（給出方程畫橢圓）；新教材習(xí)題14題是原來的A組中的第8題.2.課本例題、習(xí)題有所調(diào)整

雙曲線：例題6個(gè)沒變，課本121頁練習(xí)新增第4題；課本124頁和127頁練習(xí)由原來的5個(gè)增加到7個(gè)，刪除了一個(gè)，新增了3個(gè)：習(xí)題3.2的習(xí)題數(shù)量由原來的10個(gè)增加到14個(gè)：新增第7，11,12,14題.拋物線：6個(gè)例題，其中例2改了一個(gè)數(shù)據(jù)（深度由原來的2m改為1m），2.課本例題、習(xí)題有所調(diào)整2.課本例題、習(xí)題有所調(diào)整

例6由原來的直線與拋物線的位置關(guān)系換成了求軌跡方程（課本137頁）：練習(xí)由原來的7個(gè)增加到11個(gè)；136頁練習(xí)1中4個(gè)小題的體干表述有所改變，課本138頁5個(gè)練習(xí)均為新增。2.課本例題、習(xí)題有所調(diào)整

注意用好教科書中的例題、習(xí)題從當(dāng)前教學(xué)實(shí)際看，各種教輔資料中充斥著大量解析幾何題，諸如單動(dòng)點(diǎn)軌跡問題、雙動(dòng)點(diǎn)軌跡問題、多動(dòng)點(diǎn)軌跡問題，圓錐曲線中參數(shù)的取值范圍問題、最值問題、定值問題、對稱問題、存在性問題……這些題目的解答往往需要一些特定技巧，需要學(xué)生投入大量時(shí)間和精力，但對理解圓錐曲線的定義與性質(zhì)卻起不了多大作用。這種現(xiàn)狀需要改變。教科書中的例題與習(xí)題，其選編的原則是幫助學(xué)生深入理解圓錐曲線的幾何特征，熟練運(yùn)用坐標(biāo)法研究圓錐曲線的性質(zhì)以及它們的位置關(guān)系，并能解決有一定綜合性的問題，通過解題感悟解析幾何中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想。具體的題目主要是研究圓錐曲線的性質(zhì)。教學(xué)中應(yīng)注意這些題目的教學(xué)功能，使學(xué)生認(rèn)識到認(rèn)真解答這些題目的重要性，必要時(shí)可以對有關(guān)題目進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兪酵卣埂?.圓錐曲線定義的引入方面

橢圓定義的引入沒改變，通過探究實(shí)驗(yàn)畫橢圓，讓學(xué)生觀察橢圓的幾何特征，抽象概括出橢圓的定義；雙曲線的定義的引入不再利用拉鏈畫圖探究，而是借助信息技術(shù)軟件《GeoGebra》進(jìn)行探究，（見課本118頁）：拋物線定義的引入不是從二次函數(shù)的圖像引入而是利用橢圓、雙曲線的統(tǒng)一定義，借助信息技術(shù)展示作圖過程讓學(xué)生抽象概括出定義，見課本130頁引言：3.圓錐曲線定義的引入方面3.圓錐曲線定義的引入方面折紙實(shí)驗(yàn)

在圓Ｏ內(nèi)任取一點(diǎn)Ｆ（與點(diǎn)Ｏ不重合）．在圓周上任取一點(diǎn)Ｎ，將其與圓心Ｏ相連，得半徑ＯＮ．折疊圓形紙片，使點(diǎn)Ｎ與點(diǎn)Ｆ重合，將折痕與半徑ＯＮ的交點(diǎn)記作Ｍ

．重復(fù)以上過

程，得到下圖：

折紙實(shí)驗(yàn)讓學(xué)生活動(dòng)起來了，不僅由此能抽象出橢圓的定義，還能發(fā)現(xiàn)折痕是橢圓的切線，進(jìn)一步還可以研究橢圓的光學(xué)性質(zhì)．后續(xù)還可以折紙生成雙曲線、拋物線．三、本章教材的編寫特點(diǎn)

在本章的數(shù)學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)中，教材根據(jù)圓錐曲線的內(nèi)容特點(diǎn)，首先注意發(fā)揮"史料"的作用，從整體上提出圓錐曲線的產(chǎn)生以及所要研究的問題。三、本章教材的編寫特點(diǎn)

如前所述，解析幾何的發(fā)明既是為了解決人類實(shí)踐活動(dòng)中提出的問題，又是為了探尋科學(xué)研究的普適性方法，教材以數(shù)學(xué)史為素材，以用坐標(biāo)法研究幾何圖形的過程與方法為導(dǎo)向，從宏觀上提出系列問題，引導(dǎo)學(xué)生感受坐標(biāo)法。這樣的處理對學(xué)生把握解析幾何的基本思想和學(xué)習(xí)方向很有好處，這是教師在分析和理解教材編寫意圖時(shí)需要關(guān)注的一個(gè)問題。三、本章教材的編寫特點(diǎn)

在每一種圓錐曲線的研究中，教材從節(jié)引言開始，通過"觀察""思考""探究"等欄目，根據(jù)知識的發(fā)生、發(fā)展需要提出層層遞進(jìn)的問題，從而形成環(huán)環(huán)相扣的系列化數(shù)學(xué)活動(dòng)。這些問題是學(xué)生在學(xué)習(xí)具體內(nèi)容時(shí)普遍都會遇到的，教材通過它們來引導(dǎo)學(xué)生的思考方向，為學(xué)生獨(dú)立思考、自主探究構(gòu)建平臺。例如，在"橢圓"一節(jié)中，教材按知識的發(fā)展過程順次提出了如下問題∶三、本章教材的編寫特點(diǎn)

（1）節(jié)引言以"橢圓到底有怎樣的幾何特征?我們該如何利用這些特征建立橢圓的方程，從而為研究橢圓的幾何性質(zhì)奠定基礎(chǔ)?"從宏觀上提出問題，給出研究目標(biāo)。三、本章教材的編寫特點(diǎn)

（2）在引入橢圓概念時(shí)，以"探究∶移動(dòng)的筆尖（動(dòng)點(diǎn)）滿足的幾何條件是什么?"引導(dǎo)學(xué)生探究橢圓的幾何特征，為抽象橢圓概念、展開后續(xù)內(nèi)容做好必要準(zhǔn)備。三、本章教材的編寫特點(diǎn)

（3）以"思考∶觀察橢圓的形狀，你認(rèn)為怎樣建立坐標(biāo)系可能使所得的橢圓方程形式簡單?"引導(dǎo)學(xué)生思考如何利用橢圓的幾何特征合理建立坐標(biāo)系。三、本章教材的編寫特點(diǎn)

圓錐曲線是傳統(tǒng)內(nèi)容，對它的改革思路，總體上看是"削支強(qiáng)干"，以"精簡"為基調(diào)，并注重用向量方法進(jìn)行拓展。因此人教A版在編寫本單元教材時(shí)，注意吸收以往教科書的優(yōu)點(diǎn).強(qiáng)調(diào)在繼承的基礎(chǔ)上進(jìn)行創(chuàng)新。三、本章教材的編寫特點(diǎn)

具體的，在內(nèi)容的選擇上，圍繞圓錐曲線的核心概念.以橢圓、雙曲線、拋物線的主要性質(zhì)及其應(yīng)用為重點(diǎn)，做到削支強(qiáng)干;在結(jié)構(gòu)體系上，強(qiáng)調(diào)知識發(fā)生發(fā)展的邏輯合理性，加強(qiáng)背景和應(yīng)用，從而使學(xué)生在三種曲線的學(xué)習(xí)中經(jīng)歷完整的研究過程;注重按照學(xué)生學(xué)習(xí)心理組織教科書內(nèi)容，加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想的引導(dǎo)和解題方法的分析，循序漸進(jìn)地逐步提高論理要求;注重坐標(biāo)法思想內(nèi)涵的理解和應(yīng)用，減少機(jī)械套用、死記硬背;注重與平面幾何、函數(shù)等相關(guān)主線的聯(lián)系與綜合.強(qiáng)調(diào)代數(shù)運(yùn)算與邏輯推理的融合，體現(xiàn)解析幾何的學(xué)科特征;注重利用數(shù)學(xué)史料，滲透數(shù)學(xué)文化等。三、本章教材的編寫特點(diǎn)

貫徹"問題引導(dǎo)學(xué)習(xí)"思想，通過"觀察""思考""探究"信息技術(shù)應(yīng)用"等欄目.以層層遞進(jìn)、邏輯連貫的"問題串"為載體創(chuàng)設(shè)系列化數(shù)學(xué)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生開展創(chuàng)造性學(xué)習(xí)活動(dòng);強(qiáng)調(diào)根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，采用"歸納式"呈現(xiàn)學(xué)習(xí)內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生自己歸納和概括數(shù)學(xué)結(jié)論;注意使用"先行組織者"手段，從方法論高度，對如何觀察、發(fā)現(xiàn)圓錐曲線的幾何特征，如何構(gòu)建研究路徑，三、本章教材的編寫特點(diǎn)

如何發(fā)現(xiàn)圓錐曲線的性質(zhì)，如何用坐標(biāo)法研究幾何問題等加強(qiáng)指導(dǎo)，從而提高教科書的思想性;注重學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的積累和應(yīng)用.在用坐標(biāo)法研究一個(gè)幾何對象的統(tǒng)一思想統(tǒng)領(lǐng)下，以直線與圓的方程的學(xué)習(xí)為基礎(chǔ).從橢圓、雙曲線到拋物線順次展開內(nèi)容，逐漸增強(qiáng)開放性，引導(dǎo)學(xué)生通過類比已有經(jīng)驗(yàn)展開學(xué)習(xí)活動(dòng)等。四、本章教材的教學(xué)建議課時(shí)分配：教參給出本章教學(xué)約需13課時(shí)，建議增加3課時(shí)橢圓5課時(shí)雙曲線3課時(shí)拋物線3課時(shí)直線與圓錐曲線（重點(diǎn)是直線與橢圓）2課時(shí)文獻(xiàn)閱讀與數(shù)學(xué)寫作，解析幾何的形成與發(fā)展1課時(shí)復(fù)習(xí)與小結(jié)2課時(shí)四、本章教材的教學(xué)建議在本章的數(shù)學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)中，教材根據(jù)圓錐曲線的內(nèi)容特點(diǎn)，從整體上提出圓錐曲線的產(chǎn)生以及所要研究的問題。四、本章教材的教學(xué)建議

教材以歷史資料為素材，以用坐標(biāo)法研究幾何圖形的過程與方法為導(dǎo)向，從宏觀上提出系列問題，引導(dǎo)學(xué)生感受坐標(biāo)法，這樣的處理對學(xué)生把握解析幾何的基本思想和學(xué)習(xí)方向很有好處，這是教師在分析和理解教材編寫意圖時(shí)需要關(guān)注的一個(gè)問題。四、本章教材的教學(xué)建議

在每一種圓錐曲線的研究中，教材從節(jié)引言開始，通過"觀察""思考""探究"等欄目，根據(jù)知識的發(fā)生發(fā)展需要提出層層遞進(jìn)的問題，從而形成環(huán)環(huán)相扣的系列化數(shù)學(xué)活動(dòng)。這些問題是學(xué)生在學(xué)習(xí)具體內(nèi)容時(shí)普遍都會遇到的，教材通過它們來引導(dǎo)學(xué)生的思考方向，為學(xué)生獨(dú)立思考、自主探究構(gòu)建平臺。四、本章教材的教學(xué)建議教材以上述系列化情境與問題為載體，構(gòu)建了分析背景----探索幾何特征----選擇坐標(biāo)系、建立標(biāo)準(zhǔn)方程----探索不同形式的標(biāo)準(zhǔn)方程---通過方程研究幾可性質(zhì)"的系列化數(shù)學(xué)活動(dòng)。五、如何貫徹實(shí)施“單元整體教學(xué)”

圍繞碎片化的知識點(diǎn)，以"知識點(diǎn)講解+例題+練習(xí)"的方式設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)起經(jīng)無法承載數(shù)學(xué)基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)教學(xué)的要求，對"四能"的提高不利，對核心素養(yǎng)發(fā)展更不利。為了幫助教師提升“理解數(shù)學(xué)，理解學(xué)生，理解教學(xué)”"三個(gè)理解"的水平，根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)提出的數(shù)材編寫應(yīng)體現(xiàn)整體性"，"要便于教師把握知識本質(zhì)，駕馭課程內(nèi)容;要便于教師地握知識結(jié)構(gòu)，統(tǒng)籌教學(xué)安排。

五、如何貫徹實(shí)施“單元整體教學(xué)”

單元的學(xué)習(xí)任務(wù)一般都有一個(gè)明確的主線，這個(gè)主線可以是外顯的知識技能，也可以是內(nèi)蘊(yùn)于知識學(xué)習(xí)過程中的思想方法或?qū)W科素養(yǎng)。五、如何貫徹實(shí)施“單元整體教學(xué)”《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年）》指出∶通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能獲得進(jìn)一步學(xué)習(xí)以及未來發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)（簡稱"四基"）。知識技能不等于數(shù)學(xué)素養(yǎng)，但卻是發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)的有效載體，現(xiàn)階段教科書基本是以外顯的知識為明線組織的，因此，教科書中自然的章節(jié)就是天然的單元。

五、如何貫徹實(shí)施“單元整體教學(xué)”

圓錐曲線部分包含橢圓、雙曲線、拋物線，從知識技能角度看，三者的知識結(jié)構(gòu)相近，知識間存在內(nèi)在的必然聯(lián)系，具有統(tǒng)一性?，F(xiàn)行人教版教科書采用了"總——分——總"的方式，把三者整合在一起。教材先通過阿波羅尼奧斯《圓錐曲線論》總體建構(gòu)橢圓、雙曲線、拋物線的概念，引出大單元的學(xué)習(xí)內(nèi)容。然后分三個(gè)小單元進(jìn)行學(xué)習(xí)，每個(gè)單元的研究結(jié)構(gòu)是一致的，均從標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)兩個(gè)方面展開研究，最后在知識學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上;進(jìn)行單元總結(jié)回顧，形成圓錐曲線學(xué)習(xí)與研究的大框架。五、如何貫徹實(shí)施“單元整體教學(xué)”教科書中對本章的整體設(shè)計(jì)如下∶五、如何貫徹實(shí)施“單元整體教學(xué)”

五、如何貫徹實(shí)施“單元整體教學(xué)”

教師只要按照教科書設(shè)計(jì)的上述過程進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)并展開教學(xué)，就可以引導(dǎo)學(xué)生展開結(jié)構(gòu)化的系統(tǒng)學(xué)習(xí)，建立清晰、穩(wěn)定和可利用的"橢圓與方程"的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。雙曲線、拋物線兩節(jié)內(nèi)容與橢圓同構(gòu)，所以設(shè)計(jì)思路完全一致，如果橢圓的基礎(chǔ)扎實(shí)，那么就可以讓學(xué)生通過類比橢圓的研究過程展開雙曲線和拋物線的自主學(xué)習(xí)，只要在雙曲線的漸近線，拋物線的背景與定義等幾個(gè)點(diǎn)上適當(dāng)啟發(fā)即可。

從單元到課時(shí)，既需要站在高觀點(diǎn)、思想性、結(jié)構(gòu)化的視角對教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行整體設(shè)計(jì)，又需要用思想方法來引領(lǐng)課時(shí)實(shí)施，只有這樣，我們的課堂才能"既見樹木又見森林"，才能讓核心素養(yǎng)落地生根。六、夯實(shí)“四基”，提升“四能”，培養(yǎng)“核心素養(yǎng)”

在每一種圓錐曲線的研究中，教材從節(jié)引言開始，通過"觀察""思考""探究"等欄目，根據(jù)知識的發(fā)生發(fā)展需要提出層層遞進(jìn)的問題，從而形成環(huán)環(huán)相扣的系列化數(shù)學(xué)活動(dòng)。這些問題是學(xué)生在學(xué)習(xí)具體內(nèi)容時(shí)普遍都會遇到的，教材通過它們來引導(dǎo)學(xué)生的思考方向，為學(xué)生獨(dú)立思考、自主探究構(gòu)建平臺。例如，在"橢圓"一節(jié)中，教材按知識的發(fā)展過程順次提出了如下問題∶六、夯實(shí)“四基”，提升“四能”，培養(yǎng)“核心素養(yǎng)”

教材以上述系列化情境與問題為載體，構(gòu)建了分析背景----探索幾何特征----選擇坐標(biāo)系、建立標(biāo)準(zhǔn)方程----探索不同形式的標(biāo)準(zhǔn)方程---通過方程研究幾何性質(zhì)"的系列化數(shù)學(xué)活動(dòng)。

對于橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)，人教Ａ版、北師大版和湖南教育版教材都采用了“移項(xiàng)平方”的方法，在等式兩邊構(gòu)造出大量相同項(xiàng)，消去后起到化簡的效果;人教B版教材通過構(gòu)造共軛無理數(shù)對去根號六、夯實(shí)“四基”，提升“四能”，培養(yǎng)“核心素養(yǎng)”

六、夯實(shí)“四基”，提升“四能”，培養(yǎng)“核心素養(yǎng)”

這個(gè)方法很多學(xué)生不容易想到，但這樣做只需經(jīng)歷一次平方，所以在驗(yàn)證曲線方程定義時(shí)要容易一些，其中，北師大版教材給出了對"以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上"的嚴(yán)格證明過程供學(xué)生參考，人教A版只說明了"以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上"是成立的，但未證明。在橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)的實(shí)際教學(xué)中，由于推導(dǎo)過程較長、運(yùn)算量較大，很多教師常常采用直接講授，或者告知