第二章-控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型是描述系統(tǒng)中各變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。穩(wěn)態(tài)數(shù)學(xué)模型和動態(tài)數(shù)學(xué)模型

控制系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)工作條件下，描述變量之間關(guān)系可用代數(shù)方程，稱為穩(wěn)態(tài)數(shù)學(xué)模型?？紤]系統(tǒng)暫態(tài)研究，描述變量之間關(guān)系用微分方程，稱為動態(tài)數(shù)學(xué)模型。機理分析法和實驗辨識法——建立數(shù)學(xué)模型的兩種方法1.機理分析法是對系統(tǒng)各部分的運動機理進(jìn)行分析，根據(jù)它們所依據(jù)的物理、化學(xué)及各種科學(xué)規(guī)律，列寫相應(yīng)的運動方程，例如，力學(xué)中的牛頓定律，電學(xué)中的基爾霍夫定律等。2.實驗辨識法是有目的地對被測系統(tǒng)施加某種測試信號，測出相應(yīng)的輸出數(shù)據(jù)，再根據(jù)輸入輸出的實驗數(shù)據(jù)，用某種數(shù)學(xué)方法進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，擬合出與實際系統(tǒng)比較接近的數(shù)學(xué)模型。這種方法稱為系統(tǒng)辨識。2．1控制系統(tǒng)微分方程的建立

（線性定常系統(tǒng)機理分析法）一、列寫微分方程的一般方法

1．明確系統(tǒng)的輸入量、輸出量，列寫的微分方程描述的是系統(tǒng)的輸出與輸入間關(guān)系。

2．由入到出依次按機理建立各元件（環(huán)節(jié)）的數(shù)學(xué)關(guān)系式。

3．按各元件組合方式，消去中間變量，導(dǎo)出只含有輸人變量和輸出變量的系統(tǒng)微分方程。

4．整理微分方程，使其規(guī)范化，將輸出項放到方程左側(cè)，輸人項放到方程右側(cè)，各階導(dǎo)數(shù)項按階次從高到低的順序排列。2．1控制系統(tǒng)微分方程的建立二、舉例例1：已知RLC電路系統(tǒng)如圖所示，試列寫其輸入—輸出之間的微分方程。2．1控制系統(tǒng)微分方程的建立例2：帶阻尼的彈簧系統(tǒng)(k-m-f)，輸入力x,輸出位移y

，試列寫系統(tǒng)的微分方程。外壓力-彈簧拉力-阻尼力

=質(zhì)量塊加速度2．1控制系統(tǒng)微分方程的建立例3：建立他激直流電機運動方程，電機供電如圖所示。ua

為電樞兩端供電電壓；ia

為電樞電流；ω為電機旋轉(zhuǎn)角速度；L、R分別為電樞回路電感和電阻；ed

為電樞兩端反電勢;M為電機的電磁力矩；ML為折合到電機軸上總的負(fù)載轉(zhuǎn)矩;J為電機軸上總的轉(zhuǎn)動慣量；

If為激磁電流，不變；kd為電勢常數(shù)；km為電機電磁力矩常數(shù)。2．1控制系統(tǒng)微分方程的建立——例3解ua為給定輸人，ML為干擾輸人，ω為輸出。據(jù)KVL電樞回路方程：據(jù)牛頓轉(zhuǎn)動定律，電機轉(zhuǎn)子的運動方程（動力學(xué)方程）：當(dāng)激磁磁通不變時，M與ia

成正比:2．1控制系統(tǒng)微分方程的建立——例3將各式聯(lián)立，

消去中間變量M、ed、ia可得：Ta

：電磁時間常數(shù)Tm：機電時間常數(shù)輸出轉(zhuǎn)速ω既受ua控制，又受到ML

的影響。相當(dāng)于具有兩個輸人一個輸出的線性系統(tǒng)，可以應(yīng)用疊加原理進(jìn)行分析。如果忽略電樞電阻R和電動機轉(zhuǎn)動慣量J，則Tm=0。上式可變?yōu)棣?cd

ua此時，電動機轉(zhuǎn)速與電樞電壓成正比。2．1控制系統(tǒng)微分方程的建立三、系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)數(shù)學(xué)模型

由直流電機例分析如果電機處于平衡狀態(tài)，則方程中各階導(dǎo)數(shù)均為零。此時微分方程變成代數(shù)方程，即此式稱為系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)數(shù)學(xué)模型。

在平衡狀態(tài)下，對應(yīng)的各變量值稱為穩(wěn)態(tài)工作點，分別表示為則代數(shù)方程可為2．1控制系統(tǒng)微分方程的建立——系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)數(shù)學(xué)模型四、以平衡狀態(tài)為基礎(chǔ)的微分方程增量表達(dá)式增量表達(dá)式方程中變量是以平衡狀態(tài)下相應(yīng)的工作點為基準(zhǔn)變化的。例：可導(dǎo)出習(xí)慣上可將△號省掉，而表示為。該系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)特性可分別由機械特性曲線（當(dāng)ua為常數(shù)時，ω與ML的關(guān)系曲線）和控制特性曲線（當(dāng)ML

為常數(shù)時，ω與ua的關(guān)系曲線）來表示。2．1控制系統(tǒng)微分方程的建立五、非線性系統(tǒng)局部線性化處理2．2拉普拉斯變換及其應(yīng)用（數(shù)學(xué)基礎(chǔ)）拉普拉斯（Laplace

）變換（簡稱拉氏變換）拉氏變換將時域問題轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)域問題。（t）→(s),s是復(fù)變量，s=σ+jω。采用拉氏變換的好處：⑴簡化運算①將微積分運算轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算；②大大簡化微分方程的求解過程。⑵開辟了研究控制系統(tǒng)的方便途徑2．2拉普拉斯變換及其應(yīng)用一、拉氏變換的定義拉氏變換:通常稱F(s)為f(t)象函數(shù)，而f(t)為F(s)的原函數(shù)。拉氏反變換：2．2拉普拉斯變換及其應(yīng)用二、幾個常用函數(shù)的拉氏變換

1．階躍函數(shù)2．單位斜坡函數(shù)

2．2拉普拉斯變換及其應(yīng)用——幾個常用函數(shù)的拉氏變換

3．等加速度函數(shù)4．指數(shù)函數(shù)e-at2．2拉普拉斯變換及其應(yīng)用——幾個常用函數(shù)的拉氏變換

5.正弦函數(shù)sinωt

6.余弦函數(shù)cosωt2．2拉普拉斯變換及其應(yīng)用三、拉氏變換的幾個重要運算定理1.線性定理2.微分定理

2．2拉普拉斯變換及其應(yīng)用——拉氏變換的幾個重要運算定理

3.積分定理若f(t)n重積分，各重積分在t=0的值為0時，2．2拉普拉斯變換及其應(yīng)用——拉氏變換的幾個重要運算定理

4．位移定理⑴實位移定理（時間坐標(biāo)中有一個位移）該定理又稱延遲定理。⑵復(fù)位移定理（在復(fù)數(shù)s坐標(biāo)中有一位移）2．2拉普拉斯變換及其應(yīng)用——拉氏變換的幾個重要運算定理

5．終值定理6．初值定理7．卷積定理X(s)=L[x(t)]G(s)=

L[g(t)]函數(shù)x(t)和g(t)卷積為則它的拉氏變換為卷積定理表明，時域兩函數(shù)卷積的拉氏變換等于復(fù)域象函數(shù)的乘積。2．2拉普拉斯變換及其應(yīng)用四、拉普拉斯變換應(yīng)用舉例函數(shù)拉氏變換中積分與反演積分運算很復(fù)雜，為方便應(yīng)用，事先將絕大多數(shù)典型函數(shù)拉氏變換做成表格，實際使用時，只需查表及運用拉氏變換的幾個重要運算定理即可。例：已知函數(shù)，求其象函數(shù)

2．2拉普拉斯變換及其應(yīng)用五、拉氏反變換1.思路（方法）這里F(s)是s的有理分式函數(shù)，由線性定常系統(tǒng)得到。采用部分分式法分解成部分分式之和，再用公式進(jìn)行拉氏反變換。（不研究一般意義拉氏反變換）若si不重復(fù)，則：2．2拉普拉斯變換及其應(yīng)用——拉氏反變換

2．si

和ci的求法（無重根情況下）可以解方程A(s)=0求出si（若si不重復(fù)，即A(s)無重根）2．2拉普拉斯變換及其應(yīng)用——拉氏反變換

舉例例1:解：A(s)=0的根s1=-1,s2=-22．2拉普拉斯變換及其應(yīng)用——拉氏反變換

2．2拉普拉斯變換及其應(yīng)用——拉氏反變換

2．2拉普拉斯變換及其應(yīng)用——拉氏反變換

3.A(s)=0有重根例題2．2拉普拉斯變換及其應(yīng)用——拉氏反變換

2．2拉普拉斯變換及其應(yīng)用——拉氏反變換

一般重根待定系數(shù)cm…c1可按下面計算公式求得2．2拉普拉斯變換及其應(yīng)用——拉氏反變換

單根部分分式的待定系數(shù)，可按前式同樣求得。2．2拉