福建省泉州市部分地區(qū)2024-2025學(xué)年高二年級上冊開學(xué)聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

20242025學(xué)年福建省泉州市部分地區(qū)高二上學(xué)期開學(xué)考試

數(shù)學(xué)試卷

【滿分：150】

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)

選項(xiàng)是正確的.

?2023

1.復(fù)數(shù)z==在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)位于（）

l-2i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2已知向量￡,行滿足同=3,"=_5,則僅一24￡=（）

A.lB.2C.15D.19

3.為了迎接2025年第九屆亞冬會的召開，某班組織全班學(xué)生開展有關(guān)亞冬會知識的競賽活動.

已知該班男生30人，女生20人.按照分層抽樣的方法從該班共抽取10人，進(jìn)行一輪答題.相

關(guān)統(tǒng)計(jì)情況如下：男生答對題目的平均數(shù)為10,方差為1；女生答對題目的平均數(shù)為15,方

差為0.5,則這10人答對題目的方差為（）

C.7

4.已知機(jī)，〃是空間中兩條不同的直線，a，，是兩個(gè)不同的平面，則下列說法錯誤的是

（）

A.若加_Ltz,nila,貝B.若77zJ_a,mlIn,則〃_La

C.若m//n,n±）3,m±a,則。///7D.若加J_a,mLn,則〃〃0

5.為了加深師生對黨史的了解，激發(fā)廣大師生知史愛黨，知史愛國的熱情，某校舉辦了“學(xué)黨史，育

文化的黨史知識競賽，并將1000名師生的競賽成績（滿分100分,成績?nèi)≌麛?shù)）整理成如圖所

示的頻率分布直方圖，則下列說法錯誤的為（）

木頻率/組距

6a

5a

3。

2a

a

O405060708090100成績/分

A.a的值為0.005

B.估計(jì)這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為75分

C.估計(jì)這組數(shù)據(jù)的第85百分位數(shù)為85分

D.估計(jì)成績低于60分的有250人

6.在△ABC中，題=2麗，森=；定，MN為線段上（不包含端點(diǎn)）不同的兩個(gè)動點(diǎn).若

越+麗=+則2丸+〃=（）

A.3B.4C.6D.7

7.某人拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子一次，記事件人="出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”,3="出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不大于

3”,事件C="出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為3的倍數(shù)”，則下列說法正確的是（）

A.A與3互為對立事件B.P（AUB）=P（A）+P（B）

c.p（O=gD.P（A）=P（C）

8.在正三棱柱ABC-A3G中，AB=2,朋=26,。為BC的中點(diǎn)，跖N分別為線段用G,AM上

的動點(diǎn)，且出=絲2,則線段MN的長度的取值范圍為（）

MOMA

［平,曰B"而,4）C.1，半［警?

二、選擇題：本題共3個(gè)小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求.全部選對得6分，部分選對的得部分分，選對但不全的得補(bǔ)部分分，有選錯的得0

分.

9.已知圓C：(x+l)2+(y-2)2=25,直線/:(3m+l)x+(m+l)y-4"?一2=0,

直線/與圓C交于A石兩點(diǎn)，則()

A.直線/恒過定點(diǎn)(1,1)

B.當(dāng)相=1時(shí)最長

C.當(dāng)根=—3時(shí)，弦A3最短

5

D.最短弦長|AB|=26

10.已知向量a=(x,l),》=(4,2),則下列結(jié)論正確的是()

A.若a〃A,貝！J%=2

B.若a_L辦，則x

2

C.若x=3,則向量a與向量。的夾角的余弦值為尊

D.若x=-1,則向量方在向量a上的投影向量為(3,0)

11.在菱形ABCD中,45=1，43。=120。,將4鈣。沿對角線8。折起，使點(diǎn)A至點(diǎn)P(P在平

面ABCO外)的位置，則()

A.在折疊過程中，總有BD1PC

B.存在點(diǎn)P,使得=2

C.當(dāng)尸C=1時(shí),三棱錐p—BCD的外接球的表面積為現(xiàn)

2

D.當(dāng)三棱錐p—BCD的體積最大時(shí),PC=』

2

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.在空間直角坐標(biāo)系中，已知A（5,2,l）,B（4,2,-l）,C（O,-1,O）,D（1,O,1）,則直線A5與

CD所成角的余弦值為.

13.已知互不相等的4個(gè)正整數(shù)從小到大排序?yàn)閤,y,z,6.若這4個(gè)數(shù)據(jù)的極差是中位數(shù)的2

倍，則這4個(gè)數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為..

14.在圓臺。2中，圓。1的半徑是2,母線PC=2,圓。2是4ABC的外接圓,ZACB=60。，A5=百，

則三棱錐p—ABC體積最大值為.

四、解答題：本題共5分，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

15.（13分）如圖，在△ABC中，而=2通，點(diǎn)E為AC中點(diǎn)，點(diǎn)R為上的三等分點(diǎn)，且靠近點(diǎn)

5--

C^CA=aCB=b-

⑴用7,B表示麗,E；

⑵如果/4（28=60。,4?=2,且8_￡印,求|前「

16.（15分）甲,乙兩人進(jìn)行圍棋比賽，采取積分制，規(guī)則如下:每勝1局得1分，負(fù)1局或平局都不

得分，積分先達(dá)到2分者獲勝;若第四局結(jié)束，沒有人積分達(dá)到2分，則積分多的一方獲勝;若第四

周結(jié)束，沒有人積分達(dá)到2分，且積分相等，則比賽最終打平.假設(shè)在每局比賽中，甲勝的概率為L

2

負(fù)的概率為L且每局比賽之間的勝負(fù)相互獨(dú)立.

3

（1）求第三局結(jié)束時(shí)乙獲勝的概率；

（2）求甲獲勝的概率.

17.（15分）如圖，在三棱臺ABC-AgG中，N^C=9O°,AB=AC=4，AA=A與=2,側(cè)棱

4A1平面ABC,點(diǎn)D是棱CG的中點(diǎn).

（1）證明：5片，平面4片。；

（2）求平面BCD與平面的夾角的余弦值.

18.（17分）某校高一年級開設(shè)有羽毛球訓(xùn)練課，期末對學(xué)生進(jìn)行羽毛球五項(xiàng)指標(biāo)（正手發(fā)高

遠(yuǎn)球、定點(diǎn)高遠(yuǎn)球、吊球、殺球以及半場計(jì)時(shí)往返跑）考核，滿分100分.參加考核的學(xué)生有

40人，考核得分的頻率分布直方圖如圖所示.

（1）由頻率分布直方圖，求出圖中/的值，并估計(jì)考核得分的第60百分位數(shù)：

（2）為了提升同學(xué)們的羽毛球技能，校方準(zhǔn)備招聘高水平的教練.現(xiàn)采用分層抽樣的方法（樣

本量按比例分配），從得分在［70,90）內(nèi)的學(xué)生中抽取5人，再從中挑出兩人進(jìn)行試課，求兩人

得分分別來自［70,80）和［80,90）的概率：

（3）現(xiàn)已知直方圖中考核得分在［70,80）內(nèi)的平均數(shù)為75,方差為6.25,在［80,90）內(nèi)的平均

數(shù)為85,方差為0.5,求得分在［70,90）內(nèi)的平均數(shù)和方差.

19.（17分）在①-=C^B+1,

a<3sinA

②2Z?sinA=atanB,

③(a-c)sinA+csin(A+B)=Asin5這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上,并加以解答.

已知AABC的內(nèi)角A,5,C所對的邊分別是若.

(1)求角8；

(2)若a=2,c=3,點(diǎn)。在AWC外接圓上運(yùn)動，求麗.沅的最大直

答案以及解析

L答案：D

解析：因?yàn)閇2023=尸=—,

-j_-i(l+2i)2-i

所以

l-2i-(l-2i)(l+2i)5

所以，復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)為

所以，復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限.

故選:D.

2.答案：D

解析：因?yàn)?|=3,￡.6=_5，

所以=a-2?-S=9-2x(-5)=19.

故選：D.

3.答案：A

解析：男生30人，女生20人，則抽取的時(shí)候分層比為3:2.則1。個(gè)人中男女分別抽取了6人

和4人.這10人答對題目的平均數(shù)為-1-><(6x10+4x15)=12.

所以這10人答對題目的方差為怖x[1+(10-12)2]+系[0.5+(15-12月=6.8.

故選：A.

4.答案：D

解析：對于A,當(dāng)〃〃1時(shí)，過〃作平面/3,使，口。=/,則〃///,因?yàn)閘ua,所

以加，/,所以機(jī)_L〃，故A正確；對于B,由線面垂直的性質(zhì)知B正確；對于C,因?yàn)?/p>

mlIn,4，所以m_1_尸，又加_L。，所以(z///7,故C正確；對于D,當(dāng)m_La,m±n

時(shí)，〃可能在平面。內(nèi)，故D錯誤.故選D.

5.答案：C

解析：根據(jù)頻率分布直方圖可知:10(2a+3a+3a+6a+5a+a)=1,即a=0.005，故A正確;

由圖易得在區(qū)間［70,80)的人最多,故可估計(jì)這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為75,故B正確；

10x0.005x(2+3)x1000=250,故成績低于60(分)的有250人，即D正確；

由圖中前四組面積之和為:(2+3+3+6)x0.005x10=0.7,

圖中前五組面積之和為:(2+3+3+6+5)x0.005x10=0.95,

故這組數(shù)據(jù)的第85百分位數(shù)在第五組數(shù)據(jù)中，

設(shè)這組數(shù)據(jù)的第85百分位數(shù)為m,

則有0.7+5x0.005(m-80)=0.85,

故加=86，即估計(jì)這組數(shù)據(jù)的第85百分位數(shù)為86分，故C錯誤.

故選:C.

6.答案：C

解析：因?yàn)橐?2麗，=所以==

^AM=tzAB+(l-a)AC(0<tz<l),A7V=Z>AB+(l-Z?)AC(0<Z?<l),

則說+而=°通+(1-a)/+Z?麗+(1-Z?)正

__3__?__?

^(a+b)ABk+(2-a-b)AC=-(a+b)AE+3(2-a-b)AF,

又說+前=九正+〃赤(Z〃wR),且衣，衣不共線，

門I—((2+Z7)=2

則,

3(2-Q〃

A

F

E//\\

BMNC

所以22+/J—6-

7.答案：C

解析：拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)構(gòu)成的樣本空間為{⑴,⑵，⑶,(4),(5),(6)卜

則A={⑴，⑶,(5)},5={⑴,(2),(3)},。={⑹,⑶},

對于A,事件A乃可同時(shí)發(fā)生，故不是對立事件,A錯誤，

對于B,AU5={(l),(2),(3),(5)},尸(AU3)=g，P(A)+P(B)=l,故B錯誤，

對于C,P(C)=1-P(C)=|,C正確，

對于D,p(A)=；,p(c)=：Q錯誤，

故選:C

8.答案：D

解析：取AG的中點(diǎn)。，連接0。,如圖，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，反，西，麗的方向分別為x,y,z軸的

正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，

z.

Bi01

U

、、N

B7

C

x

則0(0,0,0),A(0,百,0),4卜1,0,2百),G(l,0,2V3).

因?yàn)?是棱片C1上一動點(diǎn)，設(shè)“N，0,2Gb且ae[-1,1]，

所以的=卜,0,26),瓶=卜。,6,—26).

因?yàn)榻z乜=幽，所以MN=@=尸+12=糜”.

MOMAMA7?2+3+12y/a2+15

令片="TI?"e[而,4],則號3L=上二。"e[而,4].又函數(shù)y=/—。在上

^]a2+15ttt

為增函數(shù)，所以線段MN的長度的取值范圍為生叵,U.

54

9.答案：AC

解析：直線方程可化為(3x+y—4)機(jī)+x+y—2=0,當(dāng)<3"+'^^>x=l,j=l,

故直線/恒過定點(diǎn)P(1,1%A正確；

易知圓心c(—1,2),半徑廠=5,

顯然當(dāng)直線I過圓心時(shí),|AB|最長，則(3m+l)x(-l)+(m+l)x2-4m-2=0=>-g,

故B錯誤；

當(dāng)CP，/時(shí),此時(shí)弦A3最短,即-網(wǎng)WxJ^=-In帆"

m+11一(-115

故C正確；

當(dāng)加=—|時(shí)，則弦長\AB\=2—CP?=475，故D錯誤.

故選:AC

10.答案：AC

解析：若allb,則2x—4=0,解得光=2,故A正確；若aD,則4x+2=0,解得x=—工，

2

故B錯誤；若x=3,則a=(3,1).又5=(4,2),所以向量a與向量8的夾角的余弦值為

能=述,故c正確；若尤=—1,則。=(一1,1).又5=(4,2),所以向量b在向

何問V10x2V510

量a上的投影向量為叱?g=聿學(xué)=(1,-1)-故D錯誤.故選AC.

\a\\a\V2xV2

IL答案：AC

解析：如圖所示，取PC的中點(diǎn)E,連接BE,DE,則BE上PC，DE上PC，

因?yàn)锽En￡>E=E,3D,OEu平面BDE,所以，平面BDE,又跳)u平面BDE,

所以BD,PC，A項(xiàng)正確；

在菱形ABCD中，AB=1,ZABC=12Q°，所以AC=石，當(dāng)△ABD沿對角線BD折起

時(shí)，0<PC<6,所以不存在點(diǎn)P，使得PC=2,B項(xiàng)錯誤；

當(dāng)PC=1時(shí)，將正四面體補(bǔ)成正方體，根據(jù)正方體的性質(zhì)可知,

三棱錐P—BCD的外接球就是該正方體的外接球，因?yàn)檎襟w的各面的對角線長為1.

所以正方體的棱長為交，設(shè)外接球的半徑為氏則4&=F+［正］=2,

2l2J2

所以三棱錐P-BCD的外接球的表面積S球=4乃F=￡,C項(xiàng)正確；

當(dāng)三棱錐p—BCD的體積最大時(shí)，取BD的中點(diǎn)。，連接。。，。。，易知尸^,平面BCD,則

PO±OC，

又PO=OC，AC=立,

=YLD項(xiàng)錯誤.

所以pc=

故選:AC.

12.答案：巫

麗①_—3_?

解析：因?yàn)檐?(-1,0,-2),CD=(1,1,1),所以cos(通，①”

|AB||CD|小義#15

所以直線與8所成角的余弦值為年

13.答案：4.5片

解析：易知這4個(gè)數(shù)據(jù)的極差為6—%,中位數(shù)為江￡,

即可得6_X=2X3；Z,所以x+y+z=6;

又因?yàn)檎麛?shù)元,?z互不相等且l<x<y<z<6,可得工=1，y=2,z=3；

由4義75%二3為正數(shù)，因此這4個(gè)數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為第三個(gè)數(shù)和第四個(gè)數(shù)的平均數(shù)，即

*=4.5,則這4個(gè)數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為45

2

故答案為：4.5

14.答案：2

4

解析：如圖，設(shè)圓。1，。2半徑分別為7],公則6=2,

由正弦定理,_/_=2小解得4=1，

sin60°

設(shè)圓臺的高為九則h=002==石，

2

在△ABC中，取AC—b,BC=a，由余弦定理,4+^_2abcos60°=3,

即得4+〃=必+322ab，即得次?V3,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=A/3時(shí)取等號.

因三棱錐p—ABC的體積為它

33244

即a=6=石時(shí)，三棱錐尸-ABC的體積的最大值為

故答案為：2.

4

15.答案：(1)CD=-a+—b,EF=—b-~a

5532

(2)述

5

解析：(1)因?yàn)檠?2通，

5

所以①=再+葩=國+—通=國+—（逐一夙）=三瓦+—國=三a+—5

55、,5555

EF=CF-CE=-CB--CA=-b--a；

3232

（2）因?yàn)樗远?前=1|囚+|￡￥-別=。,

所以工片一工_/=0,由|￡|=2,可得同=3,

15101111

又NACfi=60。，所以￡啰=23工=3,

2

1~9~4二c32。6A/3

——X4H----x9+2x—X—x3=------

2525555

16.答案：（1）—

27

⑵普

解析：（1）設(shè)事件A為“第三局結(jié)束乙獲勝”

由題意知,乙每局獲勝的概率為L不獲勝的概率為4.

33

若第三局結(jié)束乙獲勝，則乙第三局必定獲勝,總共有2種情況:（勝，不勝，勝）,（不勝，勝,勝）.

1212114

*frpfdA_xx+xx-

',33333327

（2）設(shè)事件3為“甲獲勝”.

若第二局結(jié)束甲獲勝，則甲兩局連勝，此時(shí)的概率

若第三局結(jié)束甲獲勝，則甲第三局必定獲勝,總共有2種情況:（勝，不勝，勝）,（不勝，勝,勝）.

止匕時(shí)的概率鳥=」義工義工+工義工義工=工

22222224

若第四局結(jié)束甲以積分獲勝，則甲第四局必定獲勝，前三局為1勝2平或1勝1平1負(fù),總共有9

種情

況：（勝，平，平，勝）,（平，勝，平，勝）,（平，平，勝，勝）,（勝，平，負(fù)，勝）,（勝，負(fù)，平，勝）,（平，勝，負(fù)，勝）,（負(fù)，勝，平,

勝）,（平，負(fù)，勝，勝）,（負(fù)，平，勝,勝）.

止匕時(shí)的概率巴=—X—X—X—x3+—X—X—X—x6=—

32662263248

若第四局結(jié)束甲以積分獲勝，則乙的積分為0分,總共有4種情況:（勝，平，平，平）,（平，勝，平，平）,（平,

平，勝，平）,（平，平，平,勝）.

止匕時(shí)的概率巳=工*工乂!*4><4=」一

42666108

故p（B）=4+g+月+4=|||

17.答案：（1）見解析

⑵普

解析：（1）證明：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以A3,AC,AA所在直線為x軸,y軸,z軸建立如圖所示的

空間直角坐標(biāo)系，

根據(jù)題意可得4（0,0,0）,5（4,0,0）,C（0,4,0）,（2,0,2），G（0,2,2）,D（0,3,l）,

二函=（-2,0,2）,恁=（0,4,0）,鬲=（2,0,2）,

設(shè)平面AB。的法向量為元=（/%/）,

7j.^C=4.（>=c）

則一，令d=l,即/=—l,e=0,則力=（1,0,—1）,

n-AB1=2d+2f=0

：.BBX=-2n,：,BBx//n,BBXJ_平面AB{C.

(2)由(1)知反=(T,4,0),函=(0,-1,1),設(shè)平面BCD的法向量為沅=(羽y,z),

則<____，令y=l,即x=l,z=l,即沆=(1,1,1),

m-CD=-y+z=Q

由(1)知,初=(4,0,0),擊=(0,3,1),設(shè)平面鉆。的法向量為與=(。力,°),

“--?

l［e-AB=4a=0人口門口口/\

則\_，令6=1，即〃=。,C=一3.即?=(0,1,-3),

e-AD=3b+c=Q

設(shè)平面BCD與平面ABD的夾角為凡則cosO=\cos(m,e\\=售］=，

1'?|同同VJ3xVL1015

平面BCD與平面ABD的夾角的余弦值為雪.

18.答案：(1).=0.030,85；

⑵-5

5

(3)得分在［70,90)內(nèi)的平均數(shù)為81,方差為26.8.

解析:(1)由題意得：10x(0.01+0.015+0.020+^+0.025)=1,解得/=0.03,

設(shè)第60百分位數(shù)為x,則0.01x10+0.015x10+0.02x10+0.03x(%-80)=0.6,

解得x=85,第60百分位數(shù)為85.

(2)由題意知，抽出的5位同學(xué)中，得分在［70,80)的有5x2=2人，設(shè)為A、B,在

[80,90)的有5x*=3人，設(shè)為a、b、c.

20

則樣本空間為Q={(A,5),(A,a),(AN),(Ac),(瓦a),(B,b),(B,c),(a,b),(a,c),(b,c)},n(Q)=10.

設(shè)事件〃="兩人分別來自[70,80)和[80,90),則/={(A,a),(A垃(Ac),(5a),(32),(3,c)}，

〃(M)=6,

因此。（"端63

10-5

所以兩人得分分別來自［70,80）和［80,90）的概率為|.

（3）由題意知，落在區(qū)間［70,80）內(nèi)的數(shù)據(jù)有40x10x0.02=8個(gè)，

落在區(qū)間［80,90）內(nèi)的數(shù)據(jù)有40x10x0.03=12個(gè).

記在區(qū)間［70,80）的數(shù)據(jù)分別為玉，％，…，/，平均分為總方差為｛；

在區(qū)間［80,90）的數(shù)據(jù)分別為為％,%，…，％2，平均分為7，方差為1；

這20個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為力方差為§2.

18]N

由題意，元=75，9=85,s；=6.25,sj=0.5,且％=—￡%，y=—yj,則

8Z=112j=l

_8元+1298x75+12x85O1

2020

根據(jù)方差的定義，

22

s2=W]E(x,「N)2+與(L—2)24^(x,-x+x-z)+J；(j.-y+y-z)

121212

1可+f(刀―y)?一+E(y-n2+2叵一彳這(刀―可

20>1>17=1

881212

由Z&—元)=?廠8元=o,^(y.-y)=T2歹=0,

i=li=lj=ly=l

18812°12

可得/xa一元)+x(元富A+x(巴司

/U|_z=li=lj=\j=\

=