一次函數(shù)的應(yīng)用（講義）（原卷版）-2024年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

第11講一次函數(shù)的應(yīng)用

目錄

一、考情分析

二、知識(shí)建構(gòu)

題型01分配問(wèn)題

題型02最大利潤(rùn)問(wèn)題

題型03行程問(wèn)題

題型04幾何問(wèn)題

題型05工程問(wèn)題

題型06分段計(jì)費(fèi)問(wèn)題

題型07體積問(wèn)題

題型08調(diào)運(yùn)問(wèn)題

題型09計(jì)時(shí)問(wèn)題

題型10現(xiàn)實(shí)生活相關(guān)問(wèn)題

考點(diǎn)要求新課標(biāo)要求命題預(yù)測(cè)

一次函數(shù)的應(yīng)用在中考中多考察一次函數(shù)圖象的理

解和信息提取，通常以行程類問(wèn)題為主。出題時(shí)也多和

一次函數(shù)方程、不等式結(jié)合，一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用的題目在中考

>能用一次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題

的應(yīng)用中難度不大，關(guān)鍵在于函數(shù)關(guān)系式的建立，主要考查的

是理解和分析能力，從文字、圖像和圖表中獲取信息，

建立函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵.

夯基?必備基礎(chǔ)知識(shí)梳理

一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用：

1）一次函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題的求解思路：

①建立一次函數(shù)模型一求出一次函數(shù)解析式一結(jié)合函數(shù)解析式、函數(shù)性質(zhì)作出解答；

②利用函數(shù)并與方程（組）、不等式（組）聯(lián)系在一起解決實(shí)際生活中的利率、利潤(rùn)、租金、生產(chǎn)方案的設(shè)計(jì)

問(wèn)題以及經(jīng)濟(jì)決策、市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)等方面的應(yīng)用。

2）建立函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟：

①審題，設(shè)定實(shí)際問(wèn)題中的變量，明確變量x和y；

②根據(jù)等量關(guān)系，建立變量與變量之間的函數(shù)關(guān)系式，如：一次函數(shù)的函數(shù)關(guān)系式；

③確定自變量x的取值范圍，保證自變量具有實(shí)際意義；

④利用函數(shù)的性質(zhì)解決問(wèn)題；

⑤寫出答案。

3）利用一次函數(shù)的圖象解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟；

①觀察圖象，獲取有效信息；

②對(duì)獲取的信息進(jìn)行加工、處理，理清各數(shù)量之間的關(guān)系；

③選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具（如函數(shù)、方程、不等式等），通過(guò)建模解決問(wèn)題。

【提示】時(shí)刻注意根據(jù)實(shí)際情況確定變量的取值范圍。

4）求最值的本質(zhì)為求最優(yōu)方案，解法有兩種：

①可將所有求得的方案的值計(jì)算出來(lái)，再進(jìn)行比較；

②直接利用所求值與其變量之間滿足的一次函數(shù)關(guān)系式求解，由一次函數(shù)的增減性可直接確定最優(yōu)方案及

最值；若為分段函數(shù)，則應(yīng)分類討論，先計(jì)算出每個(gè)分段函數(shù)的取值，再進(jìn)行比較.

【提示】一次函數(shù)本身并沒(méi)有最值，但在實(shí)際問(wèn)題中，自變量的取值往往有一定的限制，其圖象為射線或

線段.涉及最值問(wèn)題的一般思路：確定函數(shù)表達(dá)式一確定函數(shù)增減性一根據(jù)自變量的取值范圍確定最值.

.提升-必考題型歸納

題型01分配問(wèn)題

［例1］（2023?陜西咸陽(yáng)??？家荒＃┠澄木呱痰晡木叽黉N給出了兩種優(yōu)惠方案：①買一支鋼筆贈(zèng)送一本筆記

本，多于鋼筆數(shù)的筆記本按原價(jià)收費(fèi)；②鋼筆和筆記本均按定價(jià)的八折收費(fèi).已知每支鋼筆定價(jià)為15元,

每本筆記本定價(jià)為4元.某顧客準(zhǔn)備購(gòu)買尤支鋼筆和筆記本（尤+10）本，設(shè)選擇第一種方案購(gòu)買所需費(fèi)用為

為元，選擇第二種方案購(gòu)買所需費(fèi)用為為元.

（1）請(qǐng)分別寫出為，為與x之間的關(guān)系式：一,

（2）若該顧客準(zhǔn)備購(gòu)買10支鋼筆，且只能選擇其中一種優(yōu)惠方案，請(qǐng)你通過(guò)計(jì)算說(shuō)明選擇哪種方案更為優(yōu)惠.

【變式1T】（2023?陜西西安??？家荒＃├罾蠋熡?jì)劃組織學(xué)生暑假去北京研學(xué)旅行，經(jīng)了解，現(xiàn)有甲、乙兩

家旅行社比較合適，報(bào)價(jià)均為每人2000元，且提供的服務(wù)完全相同，針對(duì)組團(tuán)旅游的游客，甲旅行社表示，

每人都按八折收費(fèi)；乙旅行社表示，若人數(shù)不超過(guò)20人，每人都按八五折收費(fèi)，超過(guò)20人時(shí)，其中20人每

人仍按報(bào)價(jià)的八五折收費(fèi)，則超出部分每人按七折收費(fèi)，假設(shè)組團(tuán)參加甲、乙兩家旅行社研學(xué)旅行的人數(shù)

均為x人.

（1）請(qǐng)分別寫出甲、乙兩家旅行社收取組團(tuán)研學(xué)旅行的總費(fèi)用y（元）與x（人）之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）若李老師組團(tuán)參加研學(xué)旅行的人數(shù)共有25人，請(qǐng)你計(jì)算，在甲、乙兩家旅行社中，幫助李老師選擇收取

總費(fèi)用較少的一家.

【變式1-2］（2022?陜西西安?統(tǒng)考三模）某校為改善辦學(xué)條件，計(jì)劃購(gòu)進(jìn)A、8兩種規(guī)格的書架，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)

查發(fā)現(xiàn)有線下和線上兩種購(gòu)買方式，具體情況如表：

規(guī)格線下線上

單價(jià)（元/個(gè)）運(yùn)費(fèi)（元/個(gè)）單價(jià)（元/個(gè)）運(yùn)費(fèi)（元/個(gè)）

A240021020

B300025030

（1）如果在線上購(gòu)買A、2兩種書架20個(gè)，共花費(fèi)y元，設(shè)其中A種書架購(gòu)買尤個(gè)，求y關(guān)于尤的函數(shù)關(guān)系

式；

（2）在（1）的條件下，若購(gòu)買2種書架的數(shù)量不少于A種書架的2倍，請(qǐng)求出花費(fèi)最少的購(gòu)買方案，并計(jì)算

按照這種購(gòu)買方案線上比線下節(jié)約多少錢.

【變式「3】（2021.貴州六盤水?統(tǒng)考二模）某班舉行“學(xué)黨史”知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，班主任安排小穎購(gòu)買A,2兩

種物品，如圖是小穎購(gòu)買物品前與同學(xué)的對(duì)話情景：

A,3兩種物品的單

價(jià)各是多少元呢？

（1）請(qǐng)計(jì)算出A，2兩種物品的單價(jià);

（2）本次競(jìng)賽活動(dòng)共需購(gòu)買20個(gè)物品，且A物品的數(shù)量不少于2物品數(shù)量的一半，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)出最省錢的購(gòu)買方

案，并說(shuō)明理由.

題型02最大利潤(rùn)問(wèn)題

【例2】（2023?云南德宏?統(tǒng)考一模）某房地產(chǎn)開發(fā)公司計(jì)劃建A、8兩種戶型的經(jīng)濟(jì)適用住房共80套，該公

司所籌資金不少于2090萬(wàn)元，但不超過(guò)2122萬(wàn)元，且所籌資金全部用于建房，兩種戶型的建房成本和售

價(jià)如下表：

AB

成本（萬(wàn)元/套）2528

售價(jià)（萬(wàn)元/套）3034

（1）該公司對(duì)這兩種戶型住房共有幾種建房方案？

（2）若該公司所建的兩種戶型住房可全部售出，則采取哪一種建房方案獲得利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？

【變式2-1］（2022?陜西西安?校考模擬預(yù)測(cè)）西安白鹿原櫻桃以果大、汁多味甜、品質(zhì)優(yōu)良等特點(diǎn)遠(yuǎn)近聞名.袁

浪浪家種植了A,8兩個(gè)品種的櫻桃共4畝，兩種櫻桃的成本（包括種植成本和設(shè)備成本）售價(jià)如表：

品種種植成本（萬(wàn)元/畝）設(shè)備成本（萬(wàn)元/畝）售價(jià)（萬(wàn)元/畝）

A10.23.5

B1.50.34.2

設(shè)種植A品種櫻桃x畝，若4畝地全部種植兩種櫻桃共獲得利潤(rùn)y萬(wàn)元(利潤(rùn)=售價(jià)-種植成本-設(shè)備成本).

(1)求y與x之間的函數(shù)表達(dá)式；

(2)若A品種櫻桃的種植畝數(shù)不少于B品種櫻桃種植畝數(shù)的1.5倍，則A品種櫻桃種植多少畝時(shí)利潤(rùn)最大？

并求最大利潤(rùn).

【變式2-2](2023?河南洛陽(yáng)?統(tǒng)考二模)西峽舜猴桃是河南省西峽縣特產(chǎn).某網(wǎng)店新進(jìn)甲、乙兩種跳猴桃,

已知購(gòu)進(jìn)10件甲種獅猴桃和15件乙種猱猴桃需950元，購(gòu)進(jìn)15件甲種跳猴桃和20件乙種掰猴桃需1350元.

(1)求甲、乙兩種舜猴桃的進(jìn)貨單價(jià)；

(2)若該網(wǎng)店購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種舜猴桃共100件，甲種舜猴桃按進(jìn)價(jià)提價(jià)20%后的價(jià)格銷售，乙種獅猴桃按進(jìn)價(jià)

的2倍標(biāo)價(jià)后再打七折銷售，若甲、乙兩種舜猴桃全部售完后的銷售總額不低于5100元(不考慮損耗)，請(qǐng)

你幫網(wǎng)店設(shè)計(jì)利潤(rùn)最大的進(jìn)貨方案，并說(shuō)明理由.

【變式2-3](2023?山西忻州?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))2022年第19屆亞運(yùn)會(huì)

{(,Thel()thAsianGamesHangzhou2022)\簡(jiǎn)稱“杭州2022年亞運(yùn)會(huì)”，將于2023年9月23日至10月8日在

中國(guó)浙江杭州舉行.杭州亞運(yùn)會(huì)吉祥物是一組承載深厚底蘊(yùn)和充滿時(shí)代活力的機(jī)器人，組合名為“江南憶”,

出自唐朝詩(shī)人白居易的名句“江南憶，最憶是杭州”.它融合了杭州的歷史人文、自然生態(tài)和創(chuàng)新基因，三個(gè)

吉祥物分別取名“琮琮”“宸宸”“蓮蓮”.某專賣店購(gòu)進(jìn)48兩種杭州亞運(yùn)會(huì)吉祥物禮盒共50個(gè),共花去7500元,

這兩種吉祥物禮盒的進(jìn)價(jià)、售價(jià)如表：

進(jìn)價(jià)(元/個(gè))售價(jià)(元/個(gè))

a種禮盒168198

B種禮盒138158

(1)求48兩種吉祥物禮盒分別購(gòu)進(jìn)了多少個(gè)；

(2)由于銷售情況很好，第一次購(gòu)進(jìn)的50個(gè)禮盒很快就銷售完了，專賣店老板又計(jì)劃用不超過(guò)12000元購(gòu)進(jìn)小

B兩種禮盒共80個(gè)，則應(yīng)該如何進(jìn)貨，才能使得第二批禮盒全部售完后獲得最大利潤(rùn)？最大利潤(rùn)為多少？

題型03行程問(wèn)題

【例3】(2023?湖南婁底?統(tǒng)考一模)周末，小明和小亮相約到公園游玩.已知小明、小亮家到公園的距離相

同，小明先騎車6min到達(dá)超市，購(gòu)買了一些水果和飲用水，然后再騎車lOmin到達(dá)公園.小明出發(fā)lOmin后，

小亮騎車從家出發(fā)直接去公園.下面給出的圖象反映的是小明、小亮騎行的情況.請(qǐng)根據(jù)相關(guān)信息，解答

下列問(wèn)題：

⑴填表:

小明離開家的時(shí)間/min4620

1500

⑵填空：

①小明在超市購(gòu)物的時(shí)間是_min；

②超市到公園的距離是」11；

③小亮騎行的速度是—m/min；

④小亮到達(dá)公園時(shí)，小明距離公園還有_m；

(3)解答：當(dāng)0WXW31時(shí)，請(qǐng)直接寫出為關(guān)于久的函數(shù)解析式.

【變式3-1](2022?浙江紹興?統(tǒng)考一模)紹興首條智慧快速路于今年3月19日正式通車.該快速路上M,N

兩站相距20km,甲、乙兩名杭州亞運(yùn)會(huì)會(huì)務(wù)工作志愿者從“站出發(fā)前往N站附近的比賽場(chǎng)館開展服務(wù).甲

乘坐無(wú)人駕駛小巴，乙乘坐無(wú)人駕駛汽車.圖中。C,4B分別表示甲、乙離開M站的路程s(km)與時(shí)間t(min)

的函數(shù)關(guān)系的圖象.

⑴填空：甲比乙提前分鐘出發(fā)；無(wú)人駕駛小巴的速度為km/min；當(dāng)乙乘坐無(wú)人駕駛汽車到達(dá)

N站時(shí)，無(wú)人駕駛小巴離N站還有km.

(2)求乙離開M站的路程s(km)與時(shí)間t(min)的函數(shù)關(guān)系式并說(shuō)明圖中兩函數(shù)圖象交點(diǎn)P的實(shí)際意義.

【變式3-2](2022.江蘇無(wú)錫?宜興市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？级?疫情期間，某志愿者組織籌集兩車物資送往疫情嚴(yán)

重地區(qū).圖中的折線、線段分別表示甲，乙兩車所走的路程y平(千米)，yz(千米)與時(shí)間無(wú)(小時(shí))之間

的函數(shù)關(guān)系對(duì)應(yīng)的圖象.請(qǐng)根據(jù)圖象所提供的信息，解決下列問(wèn)題：

(1)由于汽車發(fā)生故障，甲車在途中停留了小時(shí)；

(2)甲車排除故障后，立即提速趕往.請(qǐng)問(wèn)甲車在排除故障時(shí)，距出發(fā)點(diǎn)的路程是多少千米？

(3)為了保證及時(shí)聯(lián)絡(luò)，甲、乙兩車在第一次相遇時(shí)約定此后兩車之間的路程不超過(guò)45千米，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)

明，按圖象所表示的走法是否符合約定.

【變式3-3](2021?河南平頂山?統(tǒng)考二模)小明和小亮相約從學(xué)校前往博物館，其中學(xué)校距離博物館900米.

小明因有事，比小亮晚一些出發(fā)，圖中為=/qt、%=的1+。分別是小明、小亮行駛的路程y與小明追趕時(shí)

間t之間的關(guān)系.

(1)觀察圖象可知,小亮比小明先走了?米.

(2)求自、心的值，并解釋七的實(shí)際意義.

(3)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明,誰(shuí)先到博物館.

題型04幾何問(wèn)題

【例4-1](2021?廣東廣州?二模)如圖所示，直線y=|x+2分另！J與x軸、y軸交于點(diǎn)A、B,以線段48為邊,

在第二象限內(nèi)作等腰直角AABC,ABAC=90。，則過(guò)8、C兩點(diǎn)直線的解析式為()

A.y—^x+2B.y=—+2C.y=+2D.y=—2x+2

【例4-2](2023?江蘇鹽城??？既?如圖，菱形A8CD的頂點(diǎn)4(1,0)、B(7,0)在x軸上，4DAB=60。，點(diǎn)E在

邊BC上且橫坐標(biāo)為8,點(diǎn)F為邊CD上一動(dòng)點(diǎn)，y軸上有一點(diǎn)P(0,-1百).當(dāng)點(diǎn)P到EF所在直線的距離取得最

大值時(shí)，點(diǎn)F的坐標(biāo)為.

【變式4-1]((2022?安徽滁州?統(tǒng)考一模)如圖，直線/對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=x+l,在直線/上，順次取

點(diǎn)4(1,2),4(2,3),4(3,4),4式4,5),……,An(n,n+1),構(gòu)成的形如“7”的圖形的陰影部分面積分別為

S1=3x2—2x1；S2=4x3—3x2；S3=5x4—4x3；

猜想并填空：

(2)Sn=(用含"的式子表示)；

(3)S1+S2+$3+“-+Sn=(用含〃的式子表示，要化簡(jiǎn)).

【變式4-2]((2019?山東青島?統(tǒng)考二模)閱讀材料解答問(wèn)題：

自主學(xué)習(xí)：在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于任意兩點(diǎn)的“非常距離”給出如下定義：

若㈤-切沙l對(duì)，則點(diǎn)P與點(diǎn)尸2的“非常距離”為團(tuán)-切;

若㈤-初〈僅「對(duì)，則點(diǎn)P1與點(diǎn)尸2的“非常距離”為|"-M

例如：如圖1所示，點(diǎn)P/(1,2),點(diǎn)B(3,5),因?yàn)閨1-3|<|2-5|,所以點(diǎn)B與點(diǎn)P的“非常距離''為|2

-5|=3,也就是圖1中線段P/。與線段P2。長(zhǎng)度的較大值(點(diǎn)。為垂直于y軸的直線P/。與垂直于x軸的

直線尸2。的交點(diǎn))

問(wèn)題解決：

(1)計(jì)算：平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)A(-1,0),B(2,3)的“非常距離”.

應(yīng)用拓展：

(2)已知點(diǎn)C(|,0),點(diǎn)。為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)：

①若點(diǎn)C與點(diǎn)D的“非常距離”為3,則點(diǎn)D的坐標(biāo)為；

②在D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)C與點(diǎn)。的“非常距離”的最小值為；

問(wèn)題延伸：

(3)已知：E是直線y=3+3上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如圖2,點(diǎn)尸的坐標(biāo)是(0,1),求點(diǎn)E與點(diǎn)產(chǎn)的“非常距離”

的最小值及相應(yīng)點(diǎn)E的坐標(biāo).

【變式4-3]((2022?河北邢臺(tái)??？既?如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)丫=kx+b的圖象人經(jīng)過(guò)點(diǎn)

4(一2,4),且與正比例函數(shù)y=的圖象6交于點(diǎn)B(zn,2),與久軸交于點(diǎn)C.

(1)求小的值及直線k的解析式；

(2)求SABOC的面積；

(3)設(shè)直線x=a與直線匕，％交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，當(dāng)SAEFB=3SAB℃時(shí)，請(qǐng)直接寫出a的值.

【變式4-4]((2023?重慶沙坪壩?重慶一中校考二模)如圖，在四邊形2BCD中，A0IBC,ZD=90°,過(guò)點(diǎn)4作

AE1BC于點(diǎn)E,=5,BC=7,BE=3.動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿B-力-D運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)D時(shí)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)

點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路程為x,△2?！?的面積為、1..

9

8

7

6

5

4

3

2

1

(1)請(qǐng)直接寫出力與x之間的函數(shù)關(guān)系式以及對(duì)應(yīng)的x的取值范圍；

(2)請(qǐng)?jiān)谥苯亲鴺?biāo)系中畫出力的圖象，并寫出函數(shù)月的一條性質(zhì)；

(3)若直線光的圖象如圖所示，結(jié)合你所畫為的函數(shù)圖象，直接寫出當(dāng)月＞歷時(shí)尤的取值范圍.(保留一位小

數(shù)，誤差不超過(guò)0.2)

題型05工程問(wèn)題

【例5】(2022?山東泰安?統(tǒng)考二模)2020年至2022年，某區(qū)計(jì)劃三年集中攻堅(jiān)農(nóng)村公路，提升修建200公

里農(nóng)村公路.已知A施工隊(duì)每天修建公路長(zhǎng)度是2施工隊(duì)每天修建公路長(zhǎng)度的2倍，若A、B兩個(gè)施工隊(duì)分

別獨(dú)立完成整個(gè)任務(wù)，A施工隊(duì)比2施工隊(duì)少用25天.

（1）求B施工隊(duì)每天修建公路長(zhǎng)度是多少公里；

（2）若該區(qū)需付給A施工隊(duì)的費(fèi)用為每天40萬(wàn)元，需付給B施工隊(duì)的費(fèi)用為每天12萬(wàn)元.考慮到要不超過(guò)

20天完成整個(gè)工程，該區(qū)安排2施工隊(duì)先單獨(dú)完成一部分，剩下的部分兩個(gè)施工隊(duì)再合作完成.求B施工

隊(duì)先單獨(dú)做多少天，該區(qū)需付的全部費(fèi)用最低？最低費(fèi)用是多少萬(wàn)元？

【變式5-1］（（2021?山東淄博.統(tǒng)考二模）為準(zhǔn)備參加“全國(guó)文明城市”評(píng)選，某市計(jì)劃對(duì)200公里的道路進(jìn)行

維護(hù).已知甲工程隊(duì)每天維護(hù)道路的長(zhǎng)度是乙工程隊(duì)每天維護(hù)道路的長(zhǎng)度的2倍，若甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)分別

獨(dú)立完成整個(gè)任務(wù)，甲工程隊(duì)比乙工程隊(duì)少用25天.

（1）求乙工程隊(duì)每天維護(hù)道路的長(zhǎng)度是多少公里；

（2）若該市需付給甲工程隊(duì)的費(fèi)用為每天40萬(wàn)元，需付給乙工程隊(duì)的費(fèi)用為每天12萬(wàn)元.考慮到要不超過(guò)

20天完成整個(gè)工程，該市安排乙工程隊(duì)先單獨(dú)完成一部分，剩下的部分兩個(gè)工程隊(duì)再合作完成，乙工程隊(duì)

先單獨(dú)做多少天，該市需付的整個(gè)工程費(fèi)用最低？整個(gè)工程費(fèi)用最低是多少萬(wàn)元？

題型06分段計(jì)費(fèi)問(wèn)題

【例6】（2023?湖南長(zhǎng)沙??？家荒＃┠车貫榱斯膭?lì)市民節(jié)約用水，采取階梯分段收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)，共分三個(gè)梯段,

0-15噸為基本段，15-22噸為極限段，超過(guò)22噸為較高收費(fèi)段，且規(guī)定每月用水超過(guò)22噸時(shí)，超過(guò)的

部分每噸4元，居民每月應(yīng)交水費(fèi)y（元）是用水量x（噸）的函數(shù)，其圖象如圖所示：

（1）求出基本段每噸水費(fèi)，若某用戶該月用水5噸，問(wèn)應(yīng)交水費(fèi)多少元？

（2）寫出y與x的函數(shù)解析式.

（3）若某月一用戶交水量48元，則該用戶用水多少噸？

【變式6-1］（2021?陜西西安?統(tǒng)考三模）某景區(qū)售票處規(guī)定：非節(jié)假日的票價(jià)打7折售票.節(jié)假日根據(jù)團(tuán)隊(duì)

人數(shù)x（人）實(shí)行分段售票，若x<10,則按原票價(jià)售票；若%>10,則其中10人按原票價(jià)售票，超過(guò)部

分的按原價(jià)打8折售票.某旅行社帶團(tuán)到該景區(qū)游覽，設(shè)在非節(jié)假日的購(gòu)票款為為元，在節(jié)假日的購(gòu)票款

為丫2元，%、％與X之間的函數(shù)圖象如圖所示.

（2）該旅行社在今年5月1日帶甲團(tuán)（人數(shù)超過(guò)10人）與5月10日（非節(jié)假日）帶乙團(tuán)到該景區(qū)游覽,

兩團(tuán)合計(jì)100人，共付門票款6240元，求甲團(tuán)人數(shù)與乙團(tuán)人數(shù).

【變式6-2］（2021上?江蘇鎮(zhèn)江?八年級(jí)統(tǒng)考期末）某地區(qū)的電力資源缺乏，未能得到較好的開發(fā).該地區(qū)

一家供電公司為了居民能節(jié)約用電，采用分段計(jì)費(fèi)的方法來(lái)計(jì)算電費(fèi).月用電量度）與相應(yīng)電費(fèi)y（元）

之間的函數(shù)圖象如圖所示.

（2）當(dāng)眾100時(shí)，求y與龍之間的函數(shù)關(guān)系式.

（3）月用電量為150度時(shí)，應(yīng)交電費(fèi)元.

題型07體積問(wèn)題

【例7】（2020?浙江紹興?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）實(shí)驗(yàn)室里，水平桌面上有甲、乙、丙三個(gè)高都為10cm圓柱形容器

（甲、丙的底面積相同），用兩個(gè)相同的管子在容器的6cm高度處連通（即管子底離容器底6cm,管子的體

積忽略不計(jì)）.現(xiàn)三個(gè)容器中，只有甲中有水，水位高2cm,如圖①所示.若每分鐘同時(shí)向乙、丙容器中注

入相同量的水，到三個(gè)容器都注滿水停止，乙、丙容器中的水位h（cm）與注水時(shí)間t（min）的圖象如圖

②所示.若乙比甲的水位高2cm時(shí)，注水時(shí)間m分鐘，則m的值為（）

A.3或5B.4或6C.3或三D.5或9

【變式7-1](2023?河北保定?統(tǒng)考一模)如圖1,一個(gè)正方體鐵塊放置在高為90cm的圓柱形容器內(nèi)，現(xiàn)以一

定的速度往容器內(nèi)注水，注滿容器為止.容器頂部離水面的距離y(cm)與注水時(shí)間尤(min)之間的函數(shù)圖象如

圖2所示.

.便?

圖1

(1)求直線8D的解析式，并求出容器注滿水所需的時(shí)間.

(2)求正方體鐵塊的體積.

【變式7-2](2021?河北石家莊??？家荒?如圖，4、B兩個(gè)長(zhǎng)方體水箱放置在同一水平桌面上，開始時(shí)水

箱4中沒(méi)有水，水箱B中盛滿水.現(xiàn)以6dM3/min的流量從水箱B中抽水注入水箱4中，直至水箱4注滿水為

止.設(shè)注水t(min),水箱2的水位高度為防(dm),水箱B中的水位高度為(由n),根據(jù)圖中數(shù)據(jù)解答下列問(wèn)

題(抽水水管的體積忽略不計(jì))

水箱A水箱B

(1)水箱a的容積為；(提示：容積=底面積x高)

（2）分別寫出防、力?與t之間的函數(shù)表達(dá)式；

（3）當(dāng)水箱4與水箱B中的水的體積相等時(shí)，求出此時(shí)兩水箱中水位的高度差.

【變式7-3］（2023?福建廈門?福建省廈門第六中學(xué)校考二模）下面是小明同學(xué)的一則日記，請(qǐng)仔細(xì)閱讀，并

完成相應(yīng)的任務(wù)：

年*月*日星期日

利用一次函數(shù)知識(shí)解決化學(xué)問(wèn)題

今天我看到一則化學(xué)實(shí)驗(yàn)材料：

如圖1,在一支10ml的試管中充滿了NO?和。2的混合氣體，將其倒立在盛有足量水的燒杯中，這里會(huì)發(fā)生化

學(xué)反應(yīng).

4NO2+劣+2“2。=4HNO3@

當(dāng)NO2和。2的體積比為4:1時(shí)，NO2和。2恰好完全反應(yīng).如果反應(yīng)后NO2仍有剩余，則NO2會(huì)和水繼續(xù)發(fā)生

化學(xué)反應(yīng).

3NC）2+”2。2=2HNO3+NO?

化學(xué)反應(yīng)②中參與反應(yīng)的可。2與生成的N。的體積比為3:1.

根據(jù)以上材料，我有如下思考：化學(xué)反應(yīng)結(jié)束后試管中剩余氣體的體積與化學(xué)反應(yīng)前試管中混合氣體中的

體積存在怎樣的關(guān)系？經(jīng)過(guò)分析，我可以建立一次函數(shù)模型解決這個(gè)問(wèn)題.

設(shè)原混合氣體中NO2的體積為久ml,O2的體積為（10-x）ml,完全反應(yīng)后試管內(nèi)乘余氣體的體積為yml.

情況一：由反應(yīng)①可知，當(dāng)NO2和。2的體積比為4:1時(shí)，NO2和。2恰好完全反應(yīng)，此時(shí)工=8,y=0.

情況二：當(dāng)久<8時(shí)，由反應(yīng)①可知NO?全部參加反應(yīng)，G過(guò)量，參加反應(yīng)①的。2的體積彳，剩余。2的體積

為10-x—=10.

44

因?yàn)椴蝗苡谒?，故完全反?yīng)后試管內(nèi)剩余氣體的體積y=10即丫=-竽+10.

在平面直角坐標(biāo)系中畫出當(dāng)0<xW8時(shí)的函數(shù)圖象如圖2所示.

情況三：當(dāng)8＜久＜10時(shí)，由反應(yīng)①可知。2全部參與反應(yīng)，NO2過(guò)量，參與反應(yīng)①的NQ的體積為

4（10-久）ml,剩余的NO?和水發(fā)生反應(yīng)②，產(chǎn)生不溶于水的N。氣體.

任務(wù)：

（1）根據(jù)材料中的內(nèi)容，求出當(dāng)8Vx＜10時(shí)，y與x的函數(shù)關(guān)系式，并在下面的平面直角坐標(biāo)系中畫出該函

數(shù)圖象；

（2）當(dāng)完全反應(yīng)后試管內(nèi)剩余氣體的體積為2ml時(shí)，求原混合氣體中NQ的體積.

【變式7-4］（2023?河南南陽(yáng)?統(tǒng)考二模）為提醒人們節(jié)約用水，及時(shí)修好漏水的水龍頭，避免造成水資源浪

費(fèi).課外實(shí)踐活動(dòng)中，王老師安排數(shù)學(xué)興趣小組“慎思組”和“博學(xué)組”兩組同學(xué)分別做水龍頭漏水試驗(yàn)，“慎

思組”同學(xué)用于接水的量筒最大容量為200毫升，“博學(xué)組”同學(xué)用于接水的量筒最大容量為100毫升.

試驗(yàn)一：“慎思組”同學(xué)在做水龍頭漏水試驗(yàn)時(shí)，每隔10秒觀察一次量筒中水的體積，記錄的數(shù)據(jù)如下表（漏

出的水量精確到1毫升):

時(shí)間比(秒)10203040506070

漏出的水量y(毫升)25811141720

根據(jù)以上信息，請(qǐng)你與他們一起完成以下問(wèn)題：

(1)在圖①的平面直角坐標(biāo)系中描出上表中數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，畫出y與x的圖象，并判斷y是x的什么函數(shù)，且求

出此函數(shù)關(guān)系式.

O3O5O

20406()70

①

(2)如果繼續(xù)試驗(yàn)，請(qǐng)求出至少幾秒后量筒中的水會(huì)滿而溢出.

(3)按此漏水速度，1小時(shí)會(huì)漏水升(精確到0.1升).

試驗(yàn)二：“博學(xué)組”同學(xué)根據(jù)自己的試驗(yàn)數(shù)據(jù)畫出的圖象如圖②所示,

(4)為什么圖象中會(huì)出現(xiàn)與橫軸“平行”的部分？請(qǐng)說(shuō)出你的理由.

20

18

16

14

12

10

8

6

4

2

T--□

I_???r

!??1????

608

40100120140力秒

②

【變式7-5](2023?陜西漢中?統(tǒng)考二模)在做測(cè)量液體密度的實(shí)驗(yàn)中，曉華想對(duì)比甲，乙兩種液體.他利用

天平測(cè)出液體和量杯的總質(zhì)量y(g),記錄此時(shí)液體的體積尤(cm3),并根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)畫出甲、乙兩種液體

的總質(zhì)量y(g)與液體的體積x(cm3)之間的函數(shù)關(guān)系圖像如圖.

(1)求乙種液體的總質(zhì)量y(g)與液體的體積x(cm3)之間的函數(shù)關(guān)系式；

(2)當(dāng)甲，乙兩種液體的體積都為60cm3時(shí)，甲液體的總質(zhì)量比乙液體的總質(zhì)量多多少克？

題型08調(diào)運(yùn)問(wèn)題

【例8】(2021?廣西南寧?統(tǒng)考一模)自2020年12月以來(lái)，我國(guó)全面有序地推進(jìn)全民免費(fèi)接種新冠疫苗，現(xiàn)

某國(guó)藥集團(tuán)在甲、乙倉(cāng)庫(kù)共存放新冠疫苗450萬(wàn)劑，如果調(diào)出甲倉(cāng)庫(kù)所存新冠疫苗的60%和乙倉(cāng)庫(kù)所存新

冠疫苗的40%后，剩余的新冠疫苗乙倉(cāng)庫(kù)比甲倉(cāng)庫(kù)多30萬(wàn)劑.

(1)求甲、乙兩倉(cāng)庫(kù)各存放新冠疫苗多少萬(wàn)劑？

(2)若該國(guó)藥集團(tuán)需從甲、乙倉(cāng)庫(kù)共調(diào)出300萬(wàn)劑新冠疫苗運(yùn)往2市，設(shè)從甲倉(cāng)庫(kù)調(diào)運(yùn)新冠疫苗根萬(wàn)劑,

請(qǐng)求出總運(yùn)費(fèi)W關(guān)于m的函數(shù)解析式并寫出m的取值范圍；

其中，從甲、乙倉(cāng)庫(kù)調(diào)運(yùn)新冠疫苗到B市的運(yùn)費(fèi)報(bào)價(jià)如下表：

運(yùn)費(fèi)定價(jià)調(diào)運(yùn)疫苗不超過(guò)130萬(wàn)劑時(shí)調(diào)運(yùn)疫苗超過(guò)130萬(wàn)劑時(shí)

甲倉(cāng)庫(kù)

135元/萬(wàn)劑不優(yōu)惠優(yōu)惠10%zn元/萬(wàn)劑

乙倉(cāng)庫(kù)105元/萬(wàn)劑不優(yōu)惠

(3)在(2)的條件下，國(guó)家審批此次調(diào)運(yùn)新冠疫苗總運(yùn)費(fèi)不高于33000元，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明此次調(diào)運(yùn)疫

苗最低總運(yùn)費(fèi)是否在國(guó)家審批的范圍內(nèi)？

【變式8-1](2022.河南南陽(yáng)?統(tǒng)考三模)某銷售公司準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)A、B兩種商品，已知購(gòu)進(jìn)3件A商品和2件

B商品，需要1100元；購(gòu)進(jìn)5件A商品和3件B商品，需要1750元.

(1)求A、B兩種商品的進(jìn)貨單價(jià)分別是多少元？

(2)若該公司購(gòu)進(jìn)A商品200件，8商品300件，準(zhǔn)備把這些商品全部運(yùn)往甲、乙兩地銷售，已知每件A商

品運(yùn)往甲、乙兩地的運(yùn)費(fèi)分別為20元和25元；每件B商品運(yùn)往甲、乙兩地的運(yùn)費(fèi)分別為15元和24元.若

運(yùn)往甲地的商品共240件，運(yùn)往乙地的商品共260件.設(shè)運(yùn)往甲地的A商品為無(wú)(件)，總運(yùn)費(fèi)為y(元)，

①請(qǐng)寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量尤的取值范圍；

②設(shè)投資的總費(fèi)用為w元，怎樣調(diào)運(yùn)A、8兩種商品可使投資總費(fèi)用最少？最少費(fèi)用是多少元？(投資總費(fèi)

用=購(gòu)進(jìn)商品的費(fèi)用+運(yùn)費(fèi))

【變式8-2](2020.江西新余?統(tǒng)考一模)在抗擊新型冠狀病毒期間，科學(xué)合理調(diào)運(yùn)各種防控物資是重要任務(wù)

之一.在某市的甲、乙、丙、丁四地中，已知某種消毒液甲地需要10噸，乙地需要8噸，正好丙地儲(chǔ)備有

12噸，丁地儲(chǔ)備有6噸.該市新冠肺炎疫情防控應(yīng)急指揮部決定將這18噸消毒液全部調(diào)往甲、乙兩地.已

知消毒液的運(yùn)費(fèi)價(jià)格如下表(單位：元/噸).又知從丙地調(diào)運(yùn)2噸到甲地、3噸到乙地共需420元；從丙地

調(diào)運(yùn)4噸到甲地、2噸到乙地共需440元.如果設(shè)從丙地調(diào)運(yùn)x噸到甲地.

起點(diǎn)/終點(diǎn)甲地乙地

丙地ab

丁地3570

(1)確定表中。的值；

(2)求調(diào)運(yùn)18噸消毒液的總運(yùn)費(fèi)y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

(3)求出總運(yùn)費(fèi)最低的調(diào)運(yùn)方案，并求出最低運(yùn)費(fèi)是多少.

【變式8-3](2023上?河北保定?八年級(jí)校考期末)“冰墩墩”和“雪容融”分別是北京2022年冬奧會(huì)和冬殘奧

會(huì)的吉祥物.某冬奧官方特許商品零售店購(gòu)進(jìn)了一批同一型號(hào)的“冰墩墩”和“雪容融”玩具，連續(xù)兩個(gè)月的銷

售情況如表

銷售量/件

月份銷售額/元

冰墩墩雪容融

第1個(gè)月1004014800

第2個(gè)月1606023380

(1)求此款“冰墩墩”和“雪容融”玩具的零售價(jià)格.

(2)若某公司購(gòu)進(jìn)冰墩墩200件，雪容融300件，準(zhǔn)備把這些吉祥物全部運(yùn)往甲、乙兩地銷售.已知每件冰墩

墩運(yùn)往甲、乙兩地的運(yùn)費(fèi)分別為8元和10元；每件雪容融運(yùn)往甲、乙兩地的運(yùn)費(fèi)分別為7元和11元.若運(yùn)往

甲地的吉祥物共240件，運(yùn)往乙地的吉祥物共260件.

①設(shè)運(yùn)往甲地的為冰墩墩a件(80WaW120),總運(yùn)費(fèi)為w元，請(qǐng)寫出w與a的函數(shù)關(guān)系式；

②怎樣調(diào)運(yùn)、兩種吉祥物可使總運(yùn)費(fèi)最少？最少總運(yùn)費(fèi)是多少元?

題型09計(jì)時(shí)問(wèn)題

【例9】(2023?浙江紹興?統(tǒng)考三模)漏刻是我國(guó)古代的一種計(jì)時(shí)工具，據(jù)史書記載，西周時(shí)期就已經(jīng)出現(xiàn)了

漏刻，這是中國(guó)古代人民對(duì)函數(shù)思想的創(chuàng)造性應(yīng)用.某學(xué)校STEAM社團(tuán)在進(jìn)行項(xiàng)目化學(xué)習(xí)時(shí)依據(jù)漏刻的原

理制作了一個(gè)簡(jiǎn)單的漏刻計(jì)時(shí)工具模型.該實(shí)驗(yàn)小組通過(guò)觀察，記錄水位八(cm)、時(shí)間t(min)的數(shù)據(jù)，得到

表格.

t(min)1234

h(cm)1.62.02.42.8

為了描述水位h(cm)與時(shí)間t(min)的關(guān)系，現(xiàn)有以下三種函數(shù)模型供選擇:h=kt+b(kH0),h=at2+bt+

c(aW0),h=-(k豐0).

(1)在平面直角坐標(biāo)系中描出表中數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，再選出最符合實(shí)際的函數(shù)模型，求出相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式，

并畫出這個(gè)函數(shù)的圖象.

(2)當(dāng)水位高度h為4.8cm時(shí)，求對(duì)應(yīng)的時(shí)間t的值.

【變式9-1](2023?江西南昌?統(tǒng)考一模)沙漏又稱“沙鐘”，是我國(guó)古代一種計(jì)量時(shí)間的裝置.它是根據(jù)均勻

的沙粒從一玻璃球漏到另一個(gè)玻璃球的數(shù)量來(lái)計(jì)量時(shí)間.其中上面玻璃球中沙粒完全流入下面玻璃球后立

即將沙漏倒置(倒置時(shí)間忽略不計(jì))，重新進(jìn)行計(jì)時(shí)，周而復(fù)始.某課外數(shù)學(xué)小組觀察發(fā)現(xiàn)：該沙漏上面玻

璃球沙粒剩余量y粒與流入時(shí)間t秒成一次函數(shù)關(guān)系(不考慮其他因素)，當(dāng)流入時(shí)間在第3秒時(shí)，上面玻璃

球剩余沙粒1140粒，當(dāng)流入時(shí)間在第9秒時(shí)，上面玻璃球剩余沙粒1020粒.

H

U

(1)求出上面玻璃球沙粒余量y粒與流入時(shí)間t(秒)之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）求沙漏恰好完成第一次倒置所需時(shí)間.

題型10現(xiàn)實(shí)生活相關(guān)問(wèn)題

【例10]（2023?陜西渭南?統(tǒng)考二模）千百年來(lái)，手桿秤也可算作華夏“國(guó)粹”，是我國(guó)傳統(tǒng)的計(jì)重工具，方

便了人們的生活.如圖1,可以用秤蛇到秤紐的水平距離，來(lái)得出秤鉤上所掛物體的重量.稱重時(shí)，若秤桿

上秤蛇到秤紐的水平距離為尤（厘米）時(shí)，秤鉤所掛物重為＞（斤），則y是x的一次函數(shù).下表中為若干次

稱重時(shí)所記錄的一些數(shù)據(jù).

X（厘米）12481012

y（斤）0.751.001.502.503.003.50

■秤鉤

秤砒（1）在圖2中，通過(guò)描點(diǎn)的方法畫出一次函數(shù)的圖象，并求y（斤）與x（厘米）之

間的函數(shù)表達(dá)式;

木川斤

4

3

2

I

O246810123/厘米

（2）當(dāng)秤鉤上所掛物重是5.5斤時(shí)，秤桿上秤蛇到秤紐的水平距離是多少？

【變式10T】（2021.云南保山.統(tǒng)考一模）公司小李駕駛一輛小車到M市出差，將車停在了M市一個(gè)停車場(chǎng)

里，該停車場(chǎng)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下表:

時(shí)段收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)備注

07時(shí)一22時(shí)停車3小時(shí)以內(nèi)（含3小時(shí)）5元/輛?次，

（小車）超過(guò)小時(shí)，每小時(shí)加收元.持續(xù)幾天停車，僅前3小時(shí)收費(fèi)5元；超

白天33

過(guò)3小時(shí)，不足1小時(shí)的按1小時(shí)計(jì)算收

停車

07時(shí)一22時(shí)停車3小時(shí)以內(nèi)（含3小時(shí)）10元/輛?次，費(fèi).

（大車）超過(guò)3小時(shí)，每小時(shí)加收5元.

夜間22時(shí)一07時(shí)

無(wú)論停車時(shí)間長(zhǎng)短10元/輛?次

停車（小車）