福建省2025屆高三高考模擬數學試題（解析版）

福建省2025屆高三高考模擬數學試題

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共計40分.在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的.

1,已知集合A=8x+7訓，集合於{巾6+16<0},則.=

()

A.付74%<8}B.1x|7<x<8}

C,32<%<7}D.32<]<7}

K答案》A

K解析X集合人={%,2-8%+720}={%上"1時27},

集合5={中2-1。丁+16<()}={計2<丁<8},

所以Ac5={x[7<x<8}.

故選：A.

已知復數2=’土L(i是虛數單位)，則Z的共軌復數是(

2.

2+3i

31.51.

A.—I—1B.——+—1

13131313

53.D.A±i

C.—I—i+

13131313

K答案』B

1+i(l+i)(2-3i)2-3i+2i-3i25-i51.

K解析R因為z=—=------1,

2+3i(2+3i)(2-3i)4-9i2131313

所2￡+會

故選：B.

3.已知向量商=(1,一2)石二(2,x),若卜力)//但+2孫則實數x=()

A.2B.1C.0D.-4

K答案1D

K解析H3M-Z?=(1,-6-x),M+2Z?=(5,2x-2),

由(3日—石)〃(三+2石)，則有l(wèi)x(2%-2)-5x(-6-x)=0,

解得x=Y.故選：D.

4.方程sin卜一三sinx-sin|■在[0,2兀]內根的個數為（

A.0B.1C.2D.3

K答案』D

K解析』由題意，—sinx-^-cosx=sinx-^-=—sinx+^-cosx，

222222

_/Qqrqr<rr/TV

即sin(x+—)=——，可得%+―=—+2fai,左eZ,或%+—二一+2kit,kGZ,

323333

7T

解得x=2hi,k￡Z,或九二一+2kn,kGZ,

3

又因為工￡[0,2兀],所以尤=0弓,2兀,

故選：D.

5.已知某圓臺上下底面半徑（單位：cm）分別為2和5,高（單位：cm）為3,則該圓臺

的體積（單位：cn?）是（

11371115K1177111971

A.------B.-------C.-------D.-------

3333

K答案』c

K解析U因為圓臺上下底面半徑分別為2cm和5cm,高為3cm,

所以該圓臺的體積為V=§兀義3義（22+52+2x5）=39K=^^cm3.

故選：c.

6.對任意的實數機?0,2],不等式（％—2乂%—3+間＞0恒成立，則X的取值范圍是

()

A.x<l或x>3B.x<l或x>2C.x<2或x>3D.R

K答案1A

K解析』依題意，對任意的實數〃回0,2],不等式（X—2乂％—3+間＞0恒成立,

整理得（％-2）根+（%—2）（工一3）〉0,令//（根）=（x-2）m+（x-2）（x-3）,

/z(O)=(x-2)(x-3)>0

則,解得xv1或%>3.

/z(2)=2(x-2)+(x-2)(x-3)>0

故選：A.

JT

7.在鈍角VA5C中，C=—,AC=4則的取值范圍是（）

6f

A.（0,M）B.（2石，華）

3

C.（0,2君）U（￥，+“）D.（4,半）

（答案》c

K解析X由正弦定理得匹=父=」

sinAsinBsinB

所以_4sinA

LjLX一

sin5

TT

因為鈍角△MC中，c=—

6

兀45兀八

—<A=--B<TI

當3為銳角時，/「兀

得0<3<§,則0<tanB<7L

0<B<-

[2

所以」一〉立，則，+3〉友，所以g=4[—+￡]〉

tanB32tanB232tanB2J3

71

—<B<71

2,口兀八5?！璊3

當5為鈍角時，,得一<B<――,則tanB<----，

?.37t八7t263

0<A=----B<—

I62

所以一YI<^L<O,則0<^^+1<@,

3tanB2tanB22

綜上：3Ce（0,2G）U（￥，+"）.

故選：C.

8.當x>1時，（4左一l—lnx）%vln九一%+3恒成立，則整數上的最大值為（）

A.-2B.-1C.0D.1

K答案1c

K解析X若左=0,則對任意%>1,由ln%>lnl=0,

知（4左一l-lnx）x=-jr-xlnxv-xvlnjr-x+3,

故原不等式對X>1恒成立；

若左21,貝！］由ln2<lne=l,

知（4左一1—ln2>22（3—In2>2>2.2=4>ln2+3>ln2—2+3,

故原不等式對龍=2不成立.

所以整數上的最大值為0.

故選：C.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知隨機變量X,Y,其中y=3X+l,已知隨機變量X的分布列如下表

X12345

113

Pmn

105To

若磯x）=3,則（）

c.E（y）=ioD.o（y）=2i

k答案》AC

1132

K解析X由—+-+n+一=1可得：加+〃=一①，

105105

又因為E（y）=E（3X+1）=3E（X）+l=10,故C正確.

ii3

所以E（X）=zn+2x--i-3x—+4n+5x-=3,

10510

713

則加+4〃=一②，所以由①②可得：n=一,m=一,故A正確，B錯誤；

101010

D（X）=（1-3）2X^+（2-3）2X^+（3-3）2X|+（4-3）2X^+（5-3）2X^

,3,1,1,313

=4xFixFix--i-4x——二——,

101010105

1Q117

D（y）=D（3X+l）=9D（X）=9xy=故D錯誤.

故選：AC.

10.下列命題中正確的是（）

A.函數y=1—sin2尤的周期是兀

jr

B.函數y=l—cos2］的圖像關于直線x=i對稱

C.函數y=2-sinx—cosx在［“汨上是減函數

D.函數y=cos(2022x--)+73sin(2022x+-)的最大值為1+

36

k答案』AD

【(解析H

A：由正弦型函數的周期公式可知：該函數的周期為空=兀，故本命題是真命題；

2

42r1+cos2x1-cos2x.7八~、kit八

B：y=l—cosx=l----------=--------,令：2x=kn(kGZ)x=—(^GZ),

izjTJT1jr

—=——k=TZ,所以x=—不是該函數的對稱軸，因此本命題是假命題；

2424

C：y'=-cosx+sinx=V2sin(x--),由九￡［巴，兀］=>九一火w［0,史］,

4444

即y'2。，所以該函數在［；,兀］上是增函數，所以本命題是假命題；

D：y=cos(2022x--)+逐sin(2022x+—)=cos(2022x--)+A/3sin(2022x+-)

36323

=Gcos(2022x—g)+cos(2022x—g)=(l+G)cos(2022x—g),顯然該函數的最大

值為1+百，因此本命題是真命題，

故選：AD.

11.已知雙曲線C：*—y2=i(a>0)的左、右焦點分別為耳，F2,P為雙曲線C右支

上的動點，過尸作兩漸近線的垂線，垂足分別為A,B.若圓(x-2)2+y2=i與雙曲線

C的漸近線相切，則下列命題正確的是()

A.雙曲線C的離心率e=2叵

3

B.|/科?盧可為定值

C.MB|的最小值為3

D.若直線y=&x+m與雙曲線C的漸近線交于"、N兩點,點。為MN的中點，OD

（。為坐標原點）的斜率為42,則左#2=g

k答案》ABD

1|0±2|

（解析》雙曲線的漸近線方程為y=±—x,圓與漸近線相切，則基」=1,即

aVI+a2

a=5所以c=2,則e=2叵，故A正確；

3

由A選項可得雙曲線兩條漸近線方程為）=±走x，設尸（小,%）為雙曲線上任意一

-3

\pB\=回—4，所以|PA|.出對=2%—".2%—"=國—引=1為定值,

11211112244

故B正確;

過尸（%,%）與漸近線垂直的方程分別與漸近線組成方程組求出交點坐標,

'=_qrr

3，解得父點——Jo,-Jo—“”o)'同理得

jV-y0=A/3(X-X0)"

%+字為，;%+￥%），因為尸為雙曲線。右支上的動點，所以毛之石，則

ABX+33

ll=J|0|^0=JX0~故C錯誤;

42

對D選項，設/(3,%)、Ng,%),則￡)(“1號正），又M、N在雙曲線的兩條

，兩式相減可得y—y2="3(X]+%)，即\—

漸近線上，貝IJ

33

_731212,%1+%2

%=__~X2

兩式相加可得以+%=Y3(X]—%)，即生4=g，又匕=上二21,&=江&,

xx

3x1—x23\~2玉+w

所以秘2==

&-x2xt+x2x1+x2xl-x23

故D正確.

故選：ABD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

2

12.已知/(%)=sincoxcoso)x-y[3coscox(^>0),xvx2是函數y=/(%)+2+弋的

77E

兩個零點，且|%-x211nhi=兀，當xe時，了(無)最小值與最大值之和為

塔案T

1.c/T1+cos2cox

[[解析U/(%)=sina)xcosox-yj3cos2cox二-sin2〃zx—，3x---------

22

1.o。6?0兀、6

=—sin2cox----cos2①x-----=sin(269x---)----,

22232

由/(x)+^^=0,得sin(2°x—1)—母+^^=0,得sin(20x—W)=-L

因為西,％2是函數y=/(X)+百/兩個零點，且上一々/=兀，

2幾

所以了(無)的最小正周期為兀，所以丁=71,得力=1,

2(0

所以/(x)=sin(2x-y)--,

由xe0,普,得2xe0,?，則2x—ge軍，

_12」16」3L36_

所以sin[—1]<sin[2x—1]<sinm，得一孝Wsin2x-^\<l,

所以—鳳sinRx—工]—且W1—烏

I3；22

所以/（X）最小值與最大值之和為一6+l—曰=2一y.

22

13.已知雙曲線==1（。/〉0）,F],F2為雙曲線的左右焦點，過用做斜率為正的

ab

直線交雙曲線左支于A（X，M）,3（%,%）（X<%）兩點，若|肺|=2匹

ZABF2=90°,則雙曲線的離心率是.

（答案》,5-20

K解析』因為|M|=2。，貝從班|=|M|+2a=4a,

|AB|=|明|+|班|=|班|+2a=|%|,

且NA§B=90°,可知△ABE為等腰直角三角形，

則即|=2缶，忸片—|班|=20a—2a=2（點一1）即

且忸用之+忸=山耳『，即4（應a-+8a2=4c2,

2I~~~______

整理可得二=5—2形,所以雙曲線的離心率e=￡=J二=』5—20.

aaVfl-

14.己知平面向量萬，B的夾角為。，與a的夾角為3，，同=1,汗和5-苕在石上

的投影為x,y,則Mv+sin。）的取值范圍是.

正

K答案H

k解析》因為平面向量益，5的夾角為。，行-1與萬的夾角為3，,

所以石-N與萬的夾角為2夕，

b-a\W,同二1,

所以根據正弦定理可得

sin0sin20

b-a\問1

所以1，所以國一4=

sin。sin232sin。cos。2cose

G<0<71

71

因為，o<2^<K,所以ovev—,

3

0<3,<兀

所以E在方上的投影為x=[cos。=cos。，

b-a^-b上的投影為y=M—dcos20=cosA,

2cose

所以九(y+sin8)=cos8(---------bsin0)

2cos6

=—cos20+—sin20=-^-sin(20+—),

2224

因為0V6V巴，所以0W28W女,所以烏<2，+2《業(yè)，

334412

IT11jr

所以當28+]=下時，x(y+sin9)取得最小值，

口日[/古.UTTA/2.2兀7iA/22兀.7t-J3-1

且取4、1目為—sm----二—sin——cos—H------cos——sm—=--------

2122342344

當28+：=]時，龍(丁+sin取得最大值，且最大值為*,

石-1V2

所以x(y+sin。)的取值范圍為

4萬

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知銳角ABC的三個內角A,B,C所對的邊為a,b,c,sin(A-B)=cosC.

(1)求角B的大??；

22

(2)求巴F的取值范圍.

b2

解：(1)在銳角VABC中，sin(A-B)=cosC>0,

JTjr

則0<A—3<—,sin(A—B)=sin(---C),

22

JTTTTV

于是A—3=——C,即A+C—3=—,而A+C=7t—則兀-23=—

222

71

所以B=一

4

0八<AA<—兀

(2)由(1)知，C-----A,由<，得一<A<一,

40<cM42

[2

2

由正弦定理得&￥=sm"smC=?sin2A+2sjnC=l-cos2A+l-cos2C

b2sin2B

-2-cos2A-cos(--2A)=2+sin2A-cos2A=2+\/2sin(2A-—),

24

而一<2A---<—，則<sin(2A——)<1,3<2+A/2sin(2A)V2+A/2,

444244

22

所以仁幺的取值范圍是(3,2+拒].

b-

16.由正棱錐截得的棱臺稱為正棱臺.如圖，正四棱臺中，瓦戶分別為

的中點，45=24片=4,側面55℃與底面.8所成角為45。.

(1)求證：3。//平面4后/；

(2)線段AB上是否存在點使得直線2"與平面4石/所成的角的正弦值為

空,若存在，求出線段AM的長；若不存在，請說明理由.

10

(1)證明：連接5。、B,R,由分別為的中點，則石尸//5￡),

又EFU平面BB[D]D,BDu平面342。，故石產//平面3月￡)1。，

正四棱臺ABC。—A4G2中，4片//43且44=^AB=BF,

則四邊形4用與為平行四邊形，故4口//8用，

又4/0平面84RO,BB[U平面BBQQ,故^尸//平面BqR。，

又AFcEF=F,且ARu平面AEF,EFu平面AEB，

故平面AEE//平面3月。。，又5D]U平面3月。。，故3。//平面AEB；

(2)解：正四棱臺ABC?！?4GA中，上下底面中心的連線og，底面ANCD，

底面ABCD為正方形，故

故可以。為原點，OA.OB、。。1為羽％z軸，建立空間直角坐標系。一孫z,

由45=24用=4,側面與底面ABCO所成角為45。,

貝IjOOX=44Xtan45°=1,

則A（五,0,1）,F（V2,A/2,0）,E（也—也0）,

假設在線段AB上存在點M（%,%0）滿足題設，則㈤0=（x—%0b

設：W=,則"=僅四—2屈,2屈,0）,

D[M=（2行-2何,2立I+72,-1）,

設平面4所的法向量為沆=Q,y,z),

n,'&E=叵y-z=0

令％=1,則y=0,z=0,即沅=（1,0,0）,

&?喬=20=0

因為直線D.M與平面AEF所成的角的正弦值為地，

10

|20—2屈|3小

,____k,D[M.m

故cosR}0,玩二二^~^

112

DxM\\m\A/162-82+11XA/110

解得2=工或4=2(舍)，故AM=LAB=I,

444

故線段AB上存在點M,使得直線RM與平面AEF所成的角的正弦值為遠，

10

此時線段AM的長為1.

17.小李參加一種紅包接龍游戲：他在紅包里塞了24元，然后發(fā)給朋友4如果A猜中,

A將獲得紅包里的所有金額；如果A未猜中，A將當前的紅包轉發(fā)給朋友8,如果B猜

中，A、B平分紅包里的金額；如果8未猜中，8將當前的紅包轉發(fā)給朋友C,如果C猜

中，A、B和C平分紅包里的金額；如果C未猜中，紅包里的錢將退回小李的賬戶，設

A、B、C猜中的概率分別為1,工，工，且A、8、C是否猜中互不影響.

323

(1)求A恰好獲得8元的概率；

(2)設A獲得的金額為X元，求X的分布列及X的數學期望.

解：(1)若A恰好獲得8元紅包，則結果為A未猜中，B未猜中，C猜中,

故A恰好獲得8元的概率為-x-x-=-;

3239

(2)X的可能取值為0,8,12,24,

21221

則P(X=0)=gX5X§=§,尸(x=8)=§,

2111

p(X=12)=-x-=-,P(X=24)=-,

所以X的分布列為:

X081224

2￡11

P

9933

數學期望為E(X)=0x|+8xg+12xg+24xg=T.

18.設y=/(x)是定義域為R的函數，如果對任意的內,占^X2),

|/(%1)-/(x2)|<I%-日均成立，則稱y=f(x)是“平緩函數”.

⑴若/(x)=試判斷y=/(%)是否為“平緩函數”并說明理由；

(2)已知y=/(尤)的導函數/,⑴存在，判斷下列命題的真假:若y=/(X)是“平緩函數”,

則，'⑸41,并說明理由.

(3)若函數y=/(%)是“平緩函數"，且y=/(x)是以1為周期的周期函數，證明:對任意的

七eR(XN%)，均有|/(石)-/(%)|<g

解：(1)令石=2,々=1,因為/'("=]2,則|/a)_/(x2)|=3，k-尤21=1,不滿足對任

意的不,WeR(%。％2),，(%)一/(尤2)|<上一日均成立，故,=/(￡)不是“平緩函數"?

(2)命題為真命題.

因為/(x)=&"x+個一”X),

不妨令玉=%+△%,尤2=%，

因為丁=/(力是'平緩函數”，

則|〃%+')一"刈<附=1⑴<]

所以''(x)|=lim*x+y⑴K],

1'4-f。Ax

故命題為真命題.

(3)因為y=/(x)是以1為周期的周期函數,不妨設玉,々40』，

當上-司wg時，因為函數y=/(%)是“平緩函數”，

則，4)-/(々)|<上—工2區(qū)[；

當上—々|>g時,不妨設。<西<々<1，則%-石〉g,

因為y=/(x)是以1為周期的周期函數，

則/(。)=/⑴,

因為函數y=