2020-2021學年廣東省廣大附中、鐵一、廣外三校高一下學期期中聯(lián)考數(shù)學試題（解析版）

試卷第=page22頁，共=sectionpages44頁2020-2021學年廣東省廣大附中、鐵一、廣外三校高一下學期期中聯(lián)考數(shù)學試題一、單選題1．已知為虛數(shù)單位，集合，.若，則復數(shù)等于A．1 B．?1 C． D．【答案】C【分析】由復數(shù)的概念得到集合Q，計算集合P與集合Q的補集，即可確定出復數(shù)z.【詳解】,,則，即zi=-1,z=,故選C【點睛】本題考查集合的交集運算和復數(shù)的運算，屬于簡單題.2．設(shè)為三個不同的平面，若，則“是“”的（）A．充分不必要條件 B．充要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】利用充分條件和必要條件的定義判斷，即可得正確答案.【詳解】因為，，則，所以由，可以得出，若，，則與可能相交或平行，所以，，得不出，所以若，則“是“”的充分不必要條件，故選：A3．已知向量，若，則（）A．0 B． C． D．6【答案】C【分析】先求出向量的坐標，利用向量垂直于向量數(shù)量積的關(guān)系知，再利用向量的數(shù)量積的坐標運算列出式子可得解.【詳解】，由，得，即，解得：故選：C4．中國折疊扇有著深厚的文化底蘊.如圖（2），在半圓O中作出兩個扇形OAB和OCD，用扇環(huán)形ABDC（圖中陰影部分）制作折疊扇的扇面.記扇環(huán)形ABDC的面積為，扇形OAB的面積為，當與的比值為時，扇面的形狀較為美觀，則此時弧CD與弧AB的長度之比為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)扇形的面積公式，求得兩扇形的半徑比，結(jié)合弧長公式，即可求解.【詳解】設(shè)扇形的半徑為，半圓半徑為，，則，所以，可得，解得，則弧CD與弧AB的長度之比為.故選：B.5．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，則（）.A． B．C． D．【答案】C【分析】利用為偶函數(shù)將所給式子的自變量全部轉(zhuǎn)化到上，然后判斷自變量的大小關(guān)系，根據(jù)自變量的大小關(guān)系及單調(diào)性判斷.【詳解】∵定義在上的偶函數(shù)，∴，，又∵，，∴，∴，故選：C.【點睛】本題考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合運用，較容易，解答時轉(zhuǎn)化并判斷自變量的大小關(guān)系是關(guān)鍵.6．在中國共產(chǎn)黨建黨100周年之際，某外國語學校組織了“黨史知識競賽”活動，已知該外國語學校共有高中生2700名，用分層抽樣的方法從該校高中學生中抽取一個容量為45的樣本參加活動，其中高三年級抽取了14人，高二年級抽取了15人，則該校高一年級學生人數(shù)為（）A．1680 B．1020 C．960 D．720【答案】C【分析】先得到從該校高一年級抽取的學生人數(shù)為人，根據(jù)分層抽樣的方法列出方程，即可求解.【詳解】設(shè)該校高一年級學生人數(shù)為人，由題意，從該校高一年級抽取的學生人數(shù)為人，可得，解得人，即從該校高一年級學生的人數(shù)為人.故選：C.7．祖暅（公元5-6世紀），祖沖之之子，是我國齊梁時代的數(shù)學家.他提出了一條原理：“冪勢既同，則積不容異.”這句話的意思是：兩個等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等，則這兩個幾何體的體積相等.該原理在西方直到十七世紀才由意大利數(shù)學家卡瓦列利發(fā)現(xiàn)，比祖暅晚一千一百多年.橢球體是橢圓繞其軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體.如圖將底面直徑皆為，高皆為a的橢半球體及已被挖去了圓錐體的圓柱體放置于同一平面上.以平行于平面的平面于距平面任意高d處可橫截得到及兩截面，可以證明總成立.據(jù)此，短軸長為，長軸為的橢球體的體積是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意利用圓柱體和圓錐體計算對應(yīng)橢球體的體積即可．【詳解】解：根據(jù)題意知，短軸長為，長軸為的橢球體的體積是．故選：．8．已知函數(shù)，函數(shù)，若，，使得不等式成立，則實數(shù)的取值范圍為A． B．C． D．【答案】D【分析】令t=，利用二次函數(shù)圖像的性質(zhì)求函數(shù)f（x）的最大值，令u=sinx∈[0,]對函數(shù)g（x）按a=0,a>0,a<0進行討論求出函數(shù)最大值，由題可得f（x）max<g（x）max，解不等式即可得到所求范圍．【詳解】，當時，令t=可得,對稱軸為，故最大值為，即f(x)得最大值為，當時，令u=sinx∈[0,],則,當a=0時，y=2,當a<0時，二次函數(shù)對稱軸為，故函數(shù)在對稱軸處取到最大值為2-,當a>0時，開口向上，0距對稱軸遠，故當u=0時取到最大值為2-a,所以，由題意可得f（x）max<g（x）max，即當a<0時，，解得，故a<0,當a=0時，，滿足題意，當a>0時，，解得，綜上可得，故選D．【點睛】本題考查函數(shù)恒成立和有解問題的解法，考查利用換元法轉(zhuǎn)為二次函數(shù)求最值問題，屬于中檔題．二、多選題9．已知復數(shù)，則下列說法正確的是（）A．若，則共軛復數(shù) B．若復數(shù)，則C．若復數(shù)z為純虛數(shù)，則 D．若，則【答案】BD【分析】根據(jù)每個選項里的條件，求出相應(yīng)的結(jié)果，即可判斷選項的正誤.【詳解】對于A，時，，則，故A錯誤；對于B，若復數(shù)，則滿足，解得，故B正確；對于C，若復數(shù)z為純虛數(shù)，則滿足，解得，故C錯誤；對于D，若，則，，故D正確.故選：BD.【點睛】本題主要考查對復數(shù)相關(guān)概念的理解，注意不同情形下的取值要求，是一道基礎(chǔ)題.10．已知，，，下列結(jié)論正確的是（）A．的最小值為 B．的最大值為C．的最小值為 D．的最小值為【答案】BD【分析】利用基本不等式可判斷AD選項的正誤；利用基本不等式與對數(shù)的運算性質(zhì)可判斷B選項的正誤；將與相乘，展開后利用基本不等式求出的最小值，可判斷C選項的正誤.【詳解】已知，，.對于A選項，，當且僅當時，等號成立，即的最小值為，A選項錯誤；對于B選項，由基本不等式可得，可得，所以，，當且僅當時，等號成立，所以，的最大值為，B選項正確；對于C選項，，當且僅當時，等號成立，即的最小值為，C選項錯誤；對于D選項，由基本不等式可得，當且僅當時，等號成立，即的最小值為，D選項正確.故選：BD.【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.11．如圖所示，點是函數(shù)(，)圖象的最高點，?是圖象與軸的交點，若，且，則（）A． B． C． D．【答案】BC【分析】根據(jù)題設(shè)可得為等腰直角三角形，故可得半周期，從而可得的值及各點坐標，通過的坐標可求，從而可得判斷各項的正誤.【詳解】由題知的縱坐標為，又，所以，，所以，所以的周期，所以，，故B正確；所以，故C正確；，故A錯誤，將代入函數(shù)解析式可得：，()，故D錯誤.故選：BC.12．定義域和值域均為的函數(shù)和的圖象如圖所示，其中，下列四個結(jié)論中正確有（）A．方程有且僅有三個解 B．方程有且僅有三個解C．方程有且僅有八個解 D．方程有且僅有一個解【答案】ABD【分析】通過利用和，結(jié)合函數(shù)和的圖象，分析每個選項中外層函數(shù)的零點，再分析內(nèi)層函數(shù)的圖象，即可得出結(jié)論.【詳解】由圖象可知，對于方程，當或，方程只有一解；當時，方程只有兩解；當時，方程有三解；對于方程，當時，方程只有唯一解.對于A選項，令，則方程有三個根，，，方程、、均只有一解，所以，方程有且僅有三個解，A選項正確；對于B選項，令，方程只有一解，方程只有三解，所以，方程有且僅有三個解，B選項正確；對于C選項，設(shè)，方程有三個根，，，方程有三解，方程有三解，方程有三解，所以，方程有且僅有九個解，C選項錯誤；對于D選項，令，方程只有一解，方程只有一解，所以，方程有且僅有一個解，D選項正確.故選：ABD.【點睛】思路點睛：對于復合函數(shù)的零點個數(shù)問題，求解思路如下：（1）確定內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)；（2）確定外層函數(shù)的零點；（3）確定直線與內(nèi)層函數(shù)圖象的交點個數(shù)分別為、、、、，則函數(shù)的零點個數(shù)為.三、填空題13．函數(shù)的定義域是____________．【答案】【分析】根據(jù)分母不為零、真數(shù)大于零列不等式組，解得結(jié)果.【詳解】由題意得，故答案為：【點睛】本題考查函數(shù)定義域，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.14．函數(shù)f(x)＝sin(x＋φ)－2sinφcosx的最大值為________．【答案】1【分析】按照兩角和的正弦公式將式子展開，得到f(x)＝sin(x－φ)，根據(jù)－1≤sin(x－φ)≤1，所以f(x)的最大值為1.【詳解】因為f(x)＝sin(x＋φ)－2sinφcosx＝sinxcosφ－cosxsinφ＝sin(x－φ)，－1≤sin(x－φ)≤1，所以f(x)的最大值為1.故答案為：1.【點睛】本題主要考查了函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖像和性質(zhì)，在研究函數(shù)的單調(diào)性和最值時，一般采用的是整體思想，將ωx+φ看做一個整體，地位等同于sinx中的x．15．2020年年初，新冠肺炎疫情襲擊全國.口罩成為重要的抗疫物資，為了確?？谡止?yīng)，某工廠口罩生產(chǎn)線高速運轉(zhuǎn)，工人加班加點生產(chǎn)，設(shè)該工廠連續(xù)5天生產(chǎn)的口罩數(shù)依次為x1，x2，x3，x4，x5(單位：十萬只)，若這組數(shù)據(jù)x1，x2，x3，x4，x5的方差為1.44，且x12，x22，x32，x42，x52的平均數(shù)為4，則該工廠這5天平均每天生產(chǎn)口罩___________十萬只.【答案】1.6【分析】由題意結(jié)合平均數(shù)，方差的定義整理計算即可求得最終結(jié)果.【詳解】設(shè)該工廠這5天平均每天生產(chǎn)口罩為，由題意可得，則，由，可得，解得.故答案為：1.616．在三棱錐中，是邊長為的等邊三角形，是以為斜邊的等腰直角三角形，二面角的大小為，則該三棱錐外接球的表面積為________．【答案】【分析】取AB的中點D，連接SD，CD，設(shè)的外接圓的圓心為，連接AO，BO，SO，根據(jù)二面角和勾股定理求得，求得球心和球半徑，由此可求得球的表面積.【詳解】取AB的中點D，連接SD，CD，設(shè)的外接圓的圓心為，連接AO，BO，SO，因為是邊長為的等邊三角形，是以為斜邊的等腰直角三角形，所以，所以就是二面角的平面角，又二面角的大小為，所以，又，，，所以，所以，所以點O就是三棱錐外接球的球心，其球半徑為，所以該三棱錐外接球的表面積為，故答案為：.【點睛】方法點睛：解決與球相關(guān)的切、接問題，其通法是作出截面，將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題求解，其解題思維流程如下：（1）定球心：如果是內(nèi)切球，球心到切點的距離相等且為球的半徑；如果是外接球，球心到接點的距離相等且為半徑；（2）作截面：選準最佳角度做出截面（要使這個截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素的關(guān)系），達到空間問題平面化的目的；（3）求半徑下結(jié)論：根據(jù)作出截面中的幾何元素，建立關(guān)于球的半徑的方程，并求解.四、解答題17．中，角的對的邊分別為，且（1）求角的大??；（2）若，求面積的最大值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由，由正弦定理可得：，可得，化簡即可求值；（2）由，根據(jù)余弦定理，代入可得：，所以，再根據(jù)面積公式即可得解.【詳解】（1）由，由正弦定理可得：，可得，在中，，，可得：，故；（2）由（1）知，且，根據(jù)余弦定理，代入可得：，所以，所以，當且僅當時取等號，所以面積的最大值為.【點睛】本題考查了解三角形，考查了正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，在解題過程中主要有角化邊和邊化角兩種化簡方法，同時應(yīng)用了基本不等式求最值，屬于基礎(chǔ)題.18．如圖，已知平面，平面，為等邊三角形，，F(xiàn)為的中點．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求直線和平面所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）取CE中點G，連接BG，F(xiàn)G，則可證且，根據(jù)題意可得，，可得四邊形ABGF為平行四邊形，所以，根據(jù)線面平行的判定定理，即可得證.（Ⅱ）根據(jù)四邊形ABGF為平行四邊形，根據(jù)題意及線面垂直的判定定理，可證平面CDE，則即為直線和平面所成角，在中，求得各個邊長，根據(jù)三角函數(shù)的定義，即可求得答案.【詳解】（Ⅰ）取CE中點G，連接BG，F(xiàn)G，如圖所示：因為F、G分別為CD、CE的中點，所以且，又因為平面，平面，所以，,所以，，所以四邊形ABGF為平行四邊形，所以，又因為平面，平面，所以平面；（Ⅱ）因為平面，平面ACD，所以，所以，又為等邊三角形，F(xiàn)為CD的中點，所以，又平面CDE，所以平面CDE，即平面CDE，又平面CDE，則，連接DG，BD，如圖所示，則即為直線和平面所成角，設(shè)，在中，，在直角梯形ABED中，，在中，，所以，所以直線和平面所成角的正弦值為.【點睛】解題的關(guān)鍵是熟練掌握線面平行的判定定理，線面垂直的判定定理，并靈活應(yīng)用，在用定義法處理線面角時，需找到平面的垂線，作出線面角，利用三角函數(shù)進行求解，考查分析計算，推理證明的能力，屬基礎(chǔ)題.19．從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取100件，測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標值，由測量表得如下頻數(shù)分布表：質(zhì)量指標值分組[75，85)[85，95)[95，105)[105，115)[115，125)頻數(shù)62638228（I）在答題卡上作出這些數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：（II）估計這種產(chǎn)品質(zhì)量指標值的平均數(shù)及方差（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；（III）根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，能否認為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“質(zhì)量指標值不低于95的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品的80%”的規(guī)定？【答案】（1）見解析；（2）平均數(shù)100，方差為104；（3）不能認為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“質(zhì)量指標值不低于95的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品80%”的規(guī)定.【詳解】（1）直方圖如圖，（2）質(zhì)量指標值的樣本平均數(shù)為.質(zhì)量指標值的樣本方差為.（3）質(zhì)量指標值不低于95的產(chǎn)品所占比例的估計值為，由于該估計值小于0.8，故不能認為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“質(zhì)量指標值不低于95的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品80%”的規(guī)定.20．如圖，是圓的直徑，點是圓上異于，的點，直線平面.（1）證明：平面平面；（2）設(shè)，，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）依據(jù)題意可得，根據(jù)圓的性質(zhì)可得，最后根據(jù)面面垂直的判定定理可得結(jié)果.（2）作，通過證明平面，找到二面角的平面角，然后簡單計算即可.【詳解】（1）證明：∵是圓的直徑，∴，又∵平面，∴，∵，平面，平面，∴平面.又平面，∴平面平面；（2）∵平面，平面，所以過作于，連接，,平面，所以平面則，∴即為二面角的平面角，，，∴.∴.21．已知函數(shù)的圖像如下圖所示，點，，為與軸的交點，點，分別為的最高點和最低點，若將其圖像向右平移個單位后得到函數(shù)的圖像，而函數(shù)的最小正周期為，且在處取得最小值．（1）求參數(shù)和的值；（2）若，求向量與向量之間夾角的余弦值；（3）若點為函數(shù)圖像上的動點，當點在，之間運動時，恒成立，求的取值范圍．【答案】（1），；（2）；（3）.【分析】（1）根據(jù)周期求出，利用在處取得最小值求出；（2）由函數(shù)解析式求出零點，根據(jù)向量的坐標求夾角即可；（3）設(shè)，利用向量運算求A的取值范圍.【詳解】（1）又時，取最小值則，，又則（2），則，，則則（3）是上動點，，又恒成立設(shè)，或時，上式有最小值即當在活時，有最小值或為時，，，得又