2020-2021學(xué)年湖北省重點(diǎn)高中智學(xué)聯(lián)盟高一下學(xué)期5月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

試卷第=page22頁，共=sectionpages44頁2020-2021學(xué)年湖北省重點(diǎn)高中智學(xué)聯(lián)盟高一下學(xué)期5月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)對(duì)數(shù)型函數(shù)的定義域的求法求出集合，然后根據(jù)補(bǔ)集的概念求出，然后結(jié)合并集的概念即可求解.【詳解】或，則，所以，故選：A.2．若復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部為A．-1 B．1 C． D．【答案】A【分析】把已知等式變形,利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則：分子、分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，化簡復(fù)數(shù)，求出復(fù)數(shù)，從而可得結(jié)果.【詳解】由可知，，故，所以其虛部為，故選A.【點(diǎn)睛】復(fù)數(shù)是高考中的必考知識(shí)，主要考查復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的運(yùn)算．要注意對(duì)實(shí)部、虛部的理解，掌握純虛數(shù)、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的模這些重要概念，復(fù)數(shù)的運(yùn)算主要考查除法運(yùn)算，通過分母實(shí)數(shù)化轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的乘法，運(yùn)算時(shí)特別要注意多項(xiàng)式相乘后的化簡，防止簡單問題出錯(cuò)，造成不必要的失分.3．下列命題中，正確的是（）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】對(duì)于選項(xiàng)A，取，即可判斷是否正確；對(duì)于選項(xiàng)B，根據(jù)輔角公式以及三角函數(shù)的性質(zhì)，即可球的，由此即可判斷是否正確；對(duì)于選項(xiàng)C，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知當(dāng)時(shí)，，由此即可判斷是否正確；對(duì)于選項(xiàng)D，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，采用配方法即可即可判斷是否正確；【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，當(dāng)時(shí)，，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，，又，所以，所以，所以，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，當(dāng)時(shí)，，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，對(duì)，，故選項(xiàng)D正確.故選：D.4．中國宋代的數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出“三斜求積術(shù)”，即假設(shè)在平面內(nèi)有一個(gè)三角形，邊長分別為，三角形的面積S可由公式求得，其中為三角形周長的一半，這個(gè)公式也被稱為海倫秦九韶公式，現(xiàn)有一個(gè)三角形的邊長滿足，則此三角形面積的最大值為（）A．10 B．12 C．14 D．16【答案】B【分析】由題意可得，，進(jìn)而利用基本不等式，即可得出結(jié)論．【詳解】由題意，，，可得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以此三角形面積的最大值為12．故選：．5．G是的重心，分別是角的對(duì)邊，若，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由G是的重心，得，可令，可求得，再運(yùn)用余弦定理計(jì)算可得選項(xiàng).【詳解】因?yàn)镚是的重心，所以，又，可令，解得，所以，故選：C.6．下列函數(shù)中，有對(duì)稱中心或?qū)ΨQ軸的有（）①，②，③，④A．3個(gè) B．2個(gè) C．1個(gè) D．0個(gè)【答案】A【分析】①采用分離常數(shù)的方法確定出對(duì)稱中心；②利用輔助角公式說明對(duì)稱軸；③根據(jù)三次函數(shù)圖象的特點(diǎn)以及圖象平移進(jìn)行說明；④根據(jù)指數(shù)函數(shù)圖象的特點(diǎn)以及圖象平移進(jìn)行說明.【詳解】①，其圖象相當(dāng)于將向左平移個(gè)單位再向上平移個(gè)單位，所以對(duì)稱中心為，故有對(duì)稱中心；②，令，所以對(duì)稱軸為，故有對(duì)稱軸；③，其圖象相當(dāng)于將的圖象向下平移一個(gè)單位，所以對(duì)稱中心為，故有對(duì)稱中心；④，其圖象相當(dāng)于將的圖象向上平移一個(gè)單位，結(jié)合圖象可知：無對(duì)稱中心和對(duì)稱軸；故選：A.7．若，是兩個(gè)不同的平面，下列四個(gè)條件：①存在一條直線，，；②存在一個(gè)平面，，；③存在兩條平行直線，，，，，；④存在兩條異面直線，，，，，.那么可以是的充分條件有（）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】D【分析】由題意判斷分析出能得出的選項(xiàng)，然后根據(jù)線面、面面的位置關(guān)系判斷即可【詳解】對(duì)①.當(dāng)直線與兩個(gè)平面的交線都平行時(shí)，直線與兩個(gè)平面都平行，但此時(shí)兩平面相交，故①不正確；對(duì)②，，，?可以相交也可以平行，②不正確；對(duì)③，，，，，時(shí)，?位置關(guān)系不確定，③不正確；對(duì)④，異面直線，.，過直線作一平面，使得，則且，，所以若直線與直線平行或重合，則，與，異面相矛盾，所以直線與直線相交所以相交直線均與平面平行，所以可得，④正確.故選:D8．如圖所示，一個(gè)棱長為的正四面體，沿棱的四等分點(diǎn)作平行于底面的截面，截去四個(gè)全等的棱長為的正四面體，得到截角四面體，則該截角四面體的體積為（）A．4 B． C．5 D．【答案】D【分析】先計(jì)算出棱長為的正四面體的體積，然后計(jì)算出棱長為的正四面體的體積，由此可求截角四面體的體積.【詳解】如圖所示正四面體的棱長為，所以，所以，所以此正四面體的體積為，同理可計(jì)算出棱長為的正四面體的體積為，所以截角四面體的體積為：，故選：D.二、多選題9．設(shè)銳角的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，若，則的值不可能為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】ACD【分析】利用正弦定理將表示為角的正弦形式，結(jié)合三角形形狀求解出角的范圍，利用三角函數(shù)性質(zhì)求解出的取值范圍并進(jìn)行判斷.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，又，且，所以，所以，又，所以，所以，所以不可能為，故選：ACD.10．如圖所示，設(shè)是平面內(nèi)相交成角的兩條數(shù)軸，分別是與軸正方向同向的單位向量，則稱平面坐標(biāo)系為仿射坐標(biāo)系，若，則把有序數(shù)對(duì)叫做向量的仿射坐標(biāo)，記為，在的仿射坐標(biāo)系中，，，則下列結(jié)論中正確的是（）A． B．C． D．【答案】AB【分析】利用題意以及向量模，數(shù)量積的定義對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐個(gè)求解即可．【詳解】，，故A正確，，故B正確，，故C錯(cuò)誤，，故D錯(cuò)誤，故選：AB11．如圖，在棱長為1的正方體中，P為棱CC1上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P不與點(diǎn)C，C1重合)，過點(diǎn)P作平面使A1C⊥平面，分別與棱BC，CD交于M，N兩點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A．CP＝CM＝CNB．存在點(diǎn)P，使得AC1∥平面C．存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)A1到平面的距離為D．用過點(diǎn)P，M，D1的平面去截正方體，得到的截面一定是梯形【答案】AD【分析】連接，因?yàn)?，所以＝，所以，即可判斷A；證明平面，然后由⊥平面，由平面可判斷B，由點(diǎn)A1到平面的距離的取值范圍為可判斷C，過點(diǎn)P，M，D1的平面去截正方體得到的截面是四邊形，可判斷D.【詳解】連接因?yàn)?，所以＝，所以，則又平面，平面，所以平面同理可證，所以，故CP＝CM＝CN，故A正確平面，平面，所以平面又，、平面，所以平面平面易證⊥平面，所以⊥平面，又平面，所以與平面相交，不存在點(diǎn)P，使得∥平面，故B不正確；因?yàn)?，點(diǎn)到平面的距離為所以點(diǎn)A1到平面的距離的取值范圍為又，所以不存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)A1到平面的距離為，故C不正確.因?yàn)椋?，所以用過點(diǎn)P，M，D1的平面去截正方體得到的截面是四邊形，又，且，所以截面為梯形，D正確故選：AD12．已知函數(shù)，其中實(shí)數(shù)，則下列關(guān)于的方程的實(shí)數(shù)根的情況，說法正確的有（）A．a(chǎn)取任意實(shí)數(shù)時(shí)，方程最多有4個(gè)根 B．當(dāng)時(shí)，方程有3個(gè)根C．當(dāng)時(shí)，方程有3個(gè)根 D．當(dāng)時(shí)，方程有4個(gè)根【答案】ACD【分析】先化簡方程為或，再對(duì)進(jìn)行分類討論，結(jié)合圖象來確定和分別有幾個(gè)根，根據(jù)結(jié)果對(duì)選項(xiàng)逐一判斷即可．【詳解】關(guān)于的方程，即，解得或，函數(shù)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，對(duì)稱軸為，判別式．（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象如下：由圖象可知，方程有1個(gè)根，當(dāng)時(shí)，方程有2個(gè)根，當(dāng)時(shí)，方程有1個(gè)根，故當(dāng)時(shí)，已知方程有3個(gè)根，當(dāng)時(shí)，已知方程有2個(gè)根，當(dāng)時(shí)，已知方程有1個(gè)根；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象如下：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象如下：由兩個(gè)圖象可知，時(shí)，方程有2個(gè)根，方程沒有根，故已知方程有2個(gè)根；（3）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象如下：方程有2個(gè)根，下面討論最小值與的關(guān)系，由，解得，當(dāng)時(shí)，，直線如圖①，方程有2個(gè)根，故已知方程有4個(gè)根；當(dāng)時(shí)，，直線如圖②，方程有1個(gè)根，故已知方程有3個(gè)根；當(dāng)時(shí)，，直線如圖③，方程沒有根，故已知方程有2個(gè)根．綜上可知，取任意值時(shí)，方程最多有4個(gè)根，故選項(xiàng)正確；當(dāng)時(shí)，方程有2個(gè)根，當(dāng)時(shí)，方程有1個(gè)根，當(dāng)時(shí)，方程有3個(gè)根，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，方程有3個(gè)根，故選項(xiàng)正確；當(dāng)時(shí)，方程有4個(gè)根，故選項(xiàng)正確．故選：．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決函數(shù)零點(diǎn)或方程根的問題，常用的方法有：（1）方程法（直接解方程得到函數(shù)的零點(diǎn)）；（2）圖象法（直接畫出函數(shù)的圖象分析得解）；（3）方程圖象法（令函數(shù)為零，再重新構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，數(shù)形結(jié)合分析得解）．三、填空題13．設(shè)都是銳角，且，則________.【答案】【分析】由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求，的值，利用兩角差的余弦函數(shù)公式即可計(jì)算求值得解．【詳解】解：、為銳角，，，，，，．故答案為：．14．冪函數(shù)，，且，滿足，則下列冪函數(shù)滿足上述性質(zhì)的有_______.（填序號(hào)）①②③④【答案】②【分析】在定義域內(nèi)任取，且，代入函數(shù)中逐個(gè)驗(yàn)證即可答案【詳解】解：對(duì)于①，任取，且，，，因?yàn)樗?，所以①不符合題意；對(duì)于②，任取，則，，因?yàn)椋裕?，所以，所以，所以②符合題意；對(duì)于③，定義域?yàn)?，任取，則，，所以，所以③不符合題意；對(duì)于④，定義域?yàn)?，任取，且，，，因?yàn)?，所以，所以④不符合題意，故答案為：②15．已知和中，，若“”是“”的充要條件，則的范圍為___________.【答案】【分析】依題意即使三角形要有唯一解求出參數(shù)的取值范圍，利用正弦定理計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)楹椭校?，若“”是“”的充要條件，即只有唯一解，①當(dāng)，即，解得；②當(dāng)時(shí)，即，解得綜上可得故答案為：16．在棱長為1的正方體中，是棱的中點(diǎn)，是側(cè)面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且滿足直線平面，當(dāng)直線與平面所成角最小時(shí)，記過點(diǎn)的平面截正方體所得到的截面為，則截面的周長為__________.【答案】或【分析】取為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，進(jìn)而證明平面平面，故在上，再根據(jù)直線與平面所成角的正弦值為得與重合時(shí)，直線與平面所成角最小，再分別討論的兩種位置情況即可得答案.【詳解】取為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，如圖：由正方體的性質(zhì)得，所以四邊形是平行四邊形，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面；由中位線性質(zhì)得：，又因?yàn)?，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面，又因?yàn)椋云矫嫫矫?，所以在上，又因?yàn)橹本€與平面所成角為，，所以當(dāng)最大時(shí)，直線與平面所成角最小，即與重合時(shí)，直線與平面所成角最小，當(dāng)與重合時(shí)，過點(diǎn)的平面截正方體所得到的截面為四邊形，其邊長為1和，其周長為；當(dāng)與重合時(shí)，過點(diǎn)的平面截正方體所得到的截面為梯形，該梯形為等腰梯形，上底為，下底為，腰為，其周長為；故答案為：或，【點(diǎn)睛】本題考查線面所成角，面面平行的判定，正方體中的截面問題，考查空間思維能力，運(yùn)算求解能力；本題解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意尋找在平面內(nèi)的軌跡，進(jìn)而根據(jù)線面角的概念求解.四、解答題17．（1）計(jì)算：；（2）解方程：.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘方及除法運(yùn)算法則計(jì)算可得；（2）將方程配方成，再根據(jù)，開方即可；【詳解】（1）（2）方程可變?yōu)椋瑑蛇呴_方得：，故18．中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，.（1）求B的大?。唬?）若，且，是邊的中線，求長度.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）首先結(jié)合正弦定理邊化角，然后利用余弦定理解三角形即可；（2）法一：結(jié)合中線公式求出，然后借助平面向量的運(yùn)算求出，進(jìn)而求出的模長，即長度；法二：在中利用余弦定理求出，結(jié)合得到，然后在和結(jié)合余弦定理可得，解方程即可求出結(jié)果.【詳解】解：因?yàn)?，即即，所以，故法一：中線公式：由，故又，則故，故法二：，則，故，又即19．在正四棱柱中，，為的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）連接，連接，利用三角形中位線的性質(zhì)得到，即可得證；（2）依題意可得面，作于，連接，則即為二面角的平面角，利用等面積法求出，再利用勾股定理求出，最后利用銳角三角函數(shù)計(jì)算可得；【詳解】解：（1）連接，連接，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，四邊形為正方形，所以為的中點(diǎn)在中，又面，面，故面（2）因?yàn)樵谡睦庵忻?，即面作于，連接，則即為二面角的平面角在中，且，故在中，，故故二面角的余弦值為20．已知函數(shù)，點(diǎn)是直線與函數(shù)的圖象自左至右的某三個(gè)的相鄰交點(diǎn)，且.將的圖象向左平移個(gè)單位，得到的函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.（1）求函數(shù)的解析式；（2）若對(duì)，以的值為邊長可以構(gòu)成一個(gè)銳角三角形，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由已知求得，從而求得周期，再根據(jù)圖象的平移和正弦函數(shù)的對(duì)稱性求得，得出函數(shù)的解析式；（2）由已知求得函數(shù)的值域，將問題轉(zhuǎn)化為使對(duì)于任意的恒成立.根據(jù)函數(shù)的值域建立不等式組，解之可求得答案.【詳解】解：（1）函數(shù)，由，解得，，將的圖像向左平移個(gè)單位得到關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，；（2）時(shí)，，又題意知，要構(gòu)成銳角三角形，則要使對(duì)于任意的恒成立.成立.即，即，.21．如圖，已知正三棱錐的側(cè)面是直角三角形，，頂點(diǎn)在平面內(nèi)的正投影為點(diǎn)，在平面內(nèi)的正投影為點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn).作交于.（1）證明：是的中點(diǎn)；（2）證明：面；（3）過點(diǎn)作面，為垂足，求三棱錐的外接球體積.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）.【分析】（1）利用線面垂直的正弦定理證得，，然后利用線面垂直的判定定理證得面，從而得，然后利用中線證得結(jié)論；（2）利用線面垂直的判定定理證得面，利用平行關(guān)系證得結(jié)論；（3）作且，利用三角形知識(shí)求得，，取中點(diǎn)，證得為三棱錐的外接球球心，求得球的半徑，從而求得球的體積.【詳解】因?yàn)槊?，面，故又面，面，故且，故面，又面，故，三棱錐為正三棱錐，故，故為邊中線，是的中點(diǎn).因?yàn)槿忮F為正三棱錐，故各側(cè)面都是全等的等腰三角形且，故，，且，所以面又，故面.作且，則面，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，且為正中心，所以三點(diǎn)共線，且，又所以，，又，所以在中，即，所以，故，又，故因?yàn)槊?，所以，且面，故，故面，故取中點(diǎn)，在和中，故為三棱錐的外接球球心，，記三棱錐的外接球半徑為，三棱錐的外接球體積.22．對(duì)于函數(shù)，若存在正常數(shù)，使得對(duì)任意的，都有成立，我們稱函數(shù)為“同比不減函數(shù)”.（1）求證：對(duì)任意正常數(shù)，都不是“同比不減函數(shù)”；（2）若函數(shù)是“同比不減函數(shù)”，求的取值范圍；（3）已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，