2024-2025學年福建師大附中高二（上）月考數(shù)學試卷（10月份）（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年福建師大附中高二（上）月考數(shù)學試卷（10月份）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.若角α的終邊上一點的坐標為(1,?1)，則cosα=(

)A.?1 B.?22 C.2.下列函數(shù)中，在區(qū)間(1,2)上為增函數(shù)的是(

)A.y=1x B.y=|x| C.y=?2x+1 3.為了解甲、乙兩個班級學生的物理學習情況，從兩個班學生的物理成績(均為整數(shù))中各隨機抽查20個，得到如圖所示的數(shù)據(jù)圖(用頻率分布直方圖估計總體平均數(shù)時，每個區(qū)間的值均取該區(qū)間的中點值)，關(guān)于甲、乙兩個班級的物理成績，下列結(jié)論正確的是(

)

A.甲班眾數(shù)小于乙班眾數(shù) B.乙班成績的75百分位數(shù)為79

C.甲班的中位數(shù)為74 D.甲班平均數(shù)大于乙班平均數(shù)估計值4.在體積為722的直三棱柱ABC?A1B1C1中，A.12π B.8π C.6π D.3π5.已知函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)(?π<φ<0).將f(x)的圖象向左平移π3個單位長度后所得的函數(shù)為偶函數(shù)，則關(guān)于函數(shù)f(x)，下列命題正確的是A.函數(shù)f(x)在區(qū)間(?π6,π3)上有最小值 B.函數(shù)f(x)的一條對稱軸為x=π12

C.函數(shù)f(x)在區(qū)間6.如圖，在三棱錐P?ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=27，BC=6，D，E，F(xiàn)，G分別為PB，AB，AC，PC的中點，Q為DE上一點，AQ⊥GQ，當△AQG的面積取得最小值時，三棱錐Q?AEF外接球的表面積為(

)A.24π B.28π C.32π D.36π7.正四棱臺上、下邊長為2、22，外接球表面積為20π，則正四棱臺側(cè)棱與底面所成角的正切值為A.1 B.3 C.1或3 D.12或8.在△ABC中，BC?CA=CA?AB，|BA+A.[?2,1) B.[23,1) C.[?2,二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為x?(x?≠0)，標準差為s.另一組樣本數(shù)據(jù)xn+1，xn+2，…，x2n，的平均數(shù)為3x?，標準差為s.兩組數(shù)據(jù)合成一組新數(shù)據(jù)x1，x2，…，A.y?>2x? B.y?=210.在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，點E，F(xiàn)A.A1B/?/平面AEC1

B.EF與BC1所成的角為30°

C.EF⊥平面B1AC11.已知a，b均為正數(shù)且a+b=1a+1A.aa+2bb≥3 B.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知x>?1，則x+4x+1的最小值為______．13.已知函數(shù)f(x)=log①若a=1，f(x)的最小值是

(1)

；②若f(x)恰好有2個零點，則實數(shù)a的取值范圍是

(2)

．14.如圖，在△ABC中，AB=AC=2，AD=DC，DE=2EB，AE的延長線交BC邊于點F，若AF?BC

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)

如圖1，在平面四邊形PBCD中，已知BC⊥PB，PD⊥CD，PB=6，BC=2，DP=2CD，DA⊥PB于點A.將△PAD沿AD折起使得PA⊥平面ABCD，如圖2，設(shè)MD=λPD(0≤λ≤1)．

(1)若λ=23，求證：PB/?/平面MAC；

(2)若直線AM與平面PCD所成角的正弦值為16.(本小題14分)

如圖，直三棱柱ABC?A1B1C1的體積為1，AB⊥BC，AB=2，BC=1．

(1)求證：BC117.(本小題15分)

如圖，在四面體ABCD中，△ABC是等邊三角形，平面ABC⊥平面ABD，點M為棱AB的中點，AB=2，AD=2??3，∠BAD=90°．

(1)求證：AD⊥BC；

(2)求異面直線BC與MD所成角的余弦值；

(3)求直線CD與平面ABD18.(本小題15分)

棱柱ABCD?A1B1C1D1的所有棱長都等于4，∠ABC=60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD，∠A1AC=60°．

(1)證明：DB⊥AA1；

19.(本小題21分)

已知非空集合A是由一些函數(shù)組成，滿足如下性質(zhì)：

①對任意f(x)∈A，f(x)均存在反函數(shù)f?1(x)，且f?1(x)∈A；

②對任意f(x)∈A，方程f(x)=x均有解；

③對任意f(x)、g(x)∈A，若函數(shù)g(x)為定義在R上的一次函數(shù)，則f(g(x))∈A；

(1)若f(x)=(12)x，g(x)=2x?3均在集合A中，求證：函數(shù)?(x)=log12(2x?3)∈A；

(2)若函數(shù)f(x)=x2+ax+1(x≥1)在集合A中，求實數(shù)參考答案1.C

2.B

3.D

4.A

5.C

6.B

7.C

8.D

9.BC

10.ABD

11.BCD

12.3

13.?114.761515.解：(1)證明：在平面四邊形PBCD中，∵BC⊥PB，PB=6，BC=2，

∴CP=210，tan∠BPC=13，又PD⊥CD，DP=2CD，

∴CD=22，PD=42，tan∠DPC=12，

∴tan∠BPD=tan(∠BPC+∠DPC)=12+131?12×13=1，∴∠BPD=45°．

∴在Rt△PAD中，易得PA=AD=4．

∵DA⊥PB，BC⊥PB，∴AD/?/BC．

在四棱錐P?ABCD中，連接BD，設(shè)BD∩AC=F，連接MF，

∵λ=23，∴DMMP=2，又ADBC=DFFB=2，

∴MF/?/PB，又MF?平面MAC，PB?平面MAC，

∴PB/?/平面MAC．

(2)由題意易知AB，AD，AP兩兩垂直，故建系如圖：

則A(0,0,0)，C(2,2,0)，D(0,4,0)，P(0,0,4)，

∴CD=(?2,2,0)，PD=(0,4,?4)．

16.(1)證明：直三棱柱ABC?A1B1C1的體積為：V=12×AB?BC?AA1=12×2×1×AA1=1，

則AA1=1=BC，四邊形BCC1B1為正方形，

直棱柱ABC?A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，又AB⊥BC，

以B為原點，BC，BA，BB1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，

則B(0,0,0)，B1(0,0,1)，C(1,0,0)，A1(0,2,1)，C1(1,0,1)，

BC1=(1,0,1)，A1C=(1,?2,?1)

BC1?A1C=1×1+0×(?2)+1×(?1)=0，

所以BC1⊥A1C，即BC17.(1)證明：由平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD=AB，AD?平面ABD，AD⊥AB，

得AD⊥平面ABC，又BC?平面ABC，故AD⊥BC；

(2)解：取棱AC的中點N，連接MN，ND，

∵M為棱AB的中點，故MN/?/BC，

∴∠DMN(或其補角)為異面直線BC與MD所成角，

在Rt△DAM中，AM=1，故DM=AD2+AM2=13，

∵AD⊥平面ABC，AC?平面ABC，故AD⊥AC，

在Rt△DAN中，AN=1，故DN=AD2+AN2=13，

在等腰三角形DMN中，MN=1，可得cos∠DMN=12MNDM=1326，

∴異面直線BC與MD所成角的余弦值為1326；

(3)解：連接CM，

∵△ABC為等邊三角形，M為邊AB的中點，

故CM⊥AB，CM=3，

又∵平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD=AB，而CM?平面ABC，

故C18.解：由題，連接BD交AC于O，則BD⊥AC，連接A1O，

在△AA1O中，AA1=4，AO=2，∠A1AO=60°，

所以A1O2=AA12+AO2?2AA1?AOcos60°=12，

則AO2+A1O2=AA12，

所以A1O⊥AO，又平面AA1C1C⊥平面ABCD，A1O?平面AA1C1C，

所以A1O⊥底面ABCD，

所以以O(shè)B、OC、OA1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示空間直角坐標系，

則A(0,?2,0)，B(23,0,0)，C(0,2,0)，D(?23,0,0)，A1(0,0,23)，

(1)證明：由于BD=(?43,0,0)，AA1=(0,2,23)，AB=(23,2,0)，

則AA1?BD=?43×0+0×2+0×23=0，

所以BD⊥AA1；

(2)設(shè)平面AA1B的法向量n1=(a,b,c)，

則n1?AA1=0AB?19.(1)證明：由f(x)=(12)x∈A，根據(jù)性質(zhì)①可得：f?1(x)=log12x∈A，且存在x0>0，使得log12x0=x0，

由g(x)=2x?3∈A，且為一次函數(shù)，根據(jù)性質(zhì)③可得：?(x)=log12(2x?3)=f?1(g(x))∈A．

(2)解：由性質(zhì)②，方程x2+ax+1=x(x≥1)，即a=x在x∈[1,+∞)上有解，∴a≥1．

由f(x)=x2+ax+1=x2?1+a+1x+1=x+1+a+1x+1?2，(x∈[1,+∞)