中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)培優(yōu)練一全等模型高效拆分特訓(xùn)答案

01幾何壓軸題高效拆分特訓(xùn)專題一全等模型高效拆分特訓(xùn)特訓(xùn)1旋轉(zhuǎn)全等(一)一線三等角模型1．92．解：如圖，過D作DH⊥EF于H.∵∠DAC＝90°，∴∠DAH＋∠CAE＝90°.∵CE⊥AF于E，∴∠ACE＋∠CAE＝90°，∴∠DAH＝∠ACE.∵∠AHD＝∠AEC＝90°，AD＝AC，∴△ADH≌△CAE，∴AH＝CE＝12.設(shè)AC＝x，則AF＝AD＝x，∴FH＝AF－AH＝x－12.∵DE＝DF，DH⊥FE，∴EH＝FH＝x－12，∴AE＝AH－EH＝12－(x－12)＝24－x.∵AC2＝AE2＋CE2，∴x2＝(24－x)2＋122，∴x＝15.∴AC的長為15.特訓(xùn)2旋轉(zhuǎn)全等(二)手拉手模型【熟悉模型】證明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE.在△ABD和△ACE中，∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE，∴BD＝CE.【運用模型】150°【深化模型】解：∵∠ACB＝∠ABC＝45°，∴∠BAC＝90°，且AC＝AB.將△ADB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△AEC，連接DE，如圖．∴AD＝AE，∠DAE＝90°，BD＝CE.∴∠EDA＝45°，DE＝eq\r(2)AD＝4eq\r(2).∵∠ADC＝45°，∴∠EDC＝45°＋45°＝90°.在Rt△DCE中，CE＝eq\r(CD2＋DE2)＝eq\r(9＋32)＝eq\r(41)，∴BD＝CE＝eq\r(41).特訓(xùn)3旋轉(zhuǎn)全等(三)半角模型(1)證明：如圖，將△ADF繞點A旋轉(zhuǎn)至△ABG的位置，∴BG＝DF，AG＝AF，∠GAB＝∠FAD，∴∠GAF＝∠BAD＝90°，∴∠EAG＝∠GAF－∠EAF＝90°－45°＝45°＝∠EAF.又∵AE＝AE，∴△EAG≌△EAF，∴GE＝EF.又∵GE＝BE＋BG＝BE＋DF，∴EF＝BE＋DF.(2)解：MN2＝BM2＋DN2.理由：如圖，將△ABM繞點A旋轉(zhuǎn)至△ADH的位置，連接HN，∴AH＝AM,DH＝BM，∠ADH＝∠ABM，∠HAD＝∠MAB，∴∠HAM＝∠BAD＝90°，∴∠HAN＝∠HAM－∠EAF＝90°－45°＝45°＝∠MAN.又∵AN＝AN，∴△HAN≌△MAN，∴HN＝MN.∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABM＝∠ADN＝45°，∴∠ADH＝∠ABM＝45°，∴∠HDN＝∠ADH＋∠ADN＝90°，∴HN2＝DH2＋DN2，∴MN2＝BM2＋DN2.特訓(xùn)4中點模型(一)倍長中線(或作平行線)1．證明：延長AD到M，使AD＝DM，連接BM，如圖．∵AD是△ABC的中線，∴CD＝BD，在△ADC和△MDB中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(DC＝DB，,∠ADC＝∠MDB，,DA＝DM，)))∴△ADC≌△MDB，∴BM＝AC，∠CAD＝∠M.∵AC＝BF，∴BM＝BF，∴∠M＝∠BFM.∵∠AFE＝∠BFM，∴∠CAD＝∠AFE，∴AE＝FE.2．解：猜想：BE2＋CF2＝EF2.證明：延長ED到點G，使DG＝ED，連接GF，GC，如圖．∵ED⊥DF，DG＝ED，∴EF＝GF.∵D是BC的中點，∴BD＝CD.在△BDE和△CDG中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(ED＝GD，,∠BDE＝∠CDG，,BD＝CD，)))∴△BDE≌△CDG，∴BE＝CG，∠B＝∠GCD.∵∠A＝90°，∴∠B＋∠ACB＝90°，∴∠GCD＋∠ACB＝90°，即∠GCF＝90°，∵在Rt△CFG中，GC2＋CF2＝GF2，∴BE2＋CF2＝EF2.特訓(xùn)5中點模型(二)構(gòu)造中位線1．12．證明：連接AC，取AC的中點M,連接ME,MF，則ME,MF分別為△ABC和△ACD的中位線，∴ME＝eq\f(1,2)AB，MF＝eq\f(1,2)CD，ME∥AB，MF∥CD.∵AB＝CD，∴ME＝MF，∴∠MEF＝∠MFE.∵ME∥AB，MF∥CD，∴∠BPE＝∠MEF，∠Q＝∠MFE，∴∠BPE＝∠Q.特訓(xùn)6中點模型(三)平行線證中點(1)證明：如圖①，過點D作DG∥AC，交BC于點G.∴∠DGB＝∠ACB.∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∴∠DGB＝∠B，∴BD＝GD.∵BD＝CE，∴GD＝CE.∵DG∥AC，∴∠GDF＝∠CEF，∠DGF＝∠ECF，∴△DGF≌△ECF，∴DF＝EF.(2)解：當(dāng)點D在線段BA上時，過點E作EO⊥BC，交BC的延長線于O，如圖②所示，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝∠OCE.又∵∠DHB＝∠EOC＝90°，BD＝CE，∴△DHB≌△EOC，∴BH＝CO，∴HO＝HC＋CO＝HC＋HB＝BC＝4.∵∠DHF＝∠EOF＝90°，∠DFH＝∠EFO，由(1)得DF＝EF，∴△DHF≌△EOF，∴HF＝OF＝eq\f(1,2)HO＝2.∵CF＝1，∴BH＝CO＝OF－CF＝2－1＝1；當(dāng)點D在BA的延長線上時，過點E作EO⊥BC交BC的延長線于點O，如圖③，同理可證△DHB≌△EOC，△DHF≌△EOF，∴BH＝OC，HF＝OF.∴HO＝HC＋CO＝HC＋HB＝BC＝4，∴HF＝OF＝eq\f(1,2)HO＝2.∵CF＝1，∴BH＝CO＝OF＋CF＝2＋1＝3.綜上所述，BH的長為1或3.特訓(xùn)7中點模型(四)斜邊中線1．(1)證明：如圖，連接DM，DN.∵BN，CM分別是△ABC的兩條高，∴∠BMC＝∠CNB＝90°.∵D是BC的中點，∴DM＝eq\f(1,2)BC，DN＝eq\f(1,2)BC.∴DM＝DN.∵DE⊥MN，∴E是MN的中點．(2)2eq\r(5)2．證明：連接OC，如圖．∵∠BAD＝∠BCD＝90°，O為BD的中點，∴∠ABC＋∠ADC＝180°，OA＝eq\f(1,2)BD＝OB，OC＝eq\f(1,2)BD＝OB，∴OA＝OC.∵∠ADC＝135°，∴∠ABC＝45°.∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠COD＝2∠CBO，同理可得∠AOD＝2∠ABO.∴∠AOC＝∠AOD＋∠COD＝2∠ABO＋2∠CBO＝2(∠ABO＋∠CBO)＝2∠ABC＝90°，∴△AOC為等腰直角三角形，∴AC＝eq\r(OA2＋OC2)＝eq\r(2)OA.特訓(xùn)8角平分線模型1．52．證明：如圖，過點D分別作DE⊥BC于E，DF⊥BA，交BA的延長線于點F.∵點D在∠ABC的平分線上，∴DE＝DF.∵∠BAD＝120°，∴∠DAF＝60°，∴∠DAF＝∠C.∵DE⊥BC,DF⊥AF，∴∠F＝∠DEC＝90°，∴△ADF≌△CDE，∴AD＝CD.3．證明：在BC邊上截取EC＝AC，連接DE，則BC＝BE＋EC.∵CD是∠ACB的平分線，∴∠DCE＝∠DCA.在△CDE和△CDA中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(EC＝AC，,∠DCE＝∠DCA，,CD＝CD，))∴△CDE≌△CDA，∴∠CED＝∠A，ED＝AD.∵∠CED＝∠B＋∠BDE，∠A＝2∠B，∴∠B＝∠BDE，∴BE＝ED，∴BE＝AD，∴BE＋EC＝AD＋AC，即BC＝AD＋AC.特訓(xùn)9十字架模型(1)證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝AB＝BC，∠DAB＝∠B＝90°.∵BE＝CF，∴AE＝BF，∴△DAE≌△ABF，∴DE＝AF.(2)證明：∵△DAE≌△ABF，∴∠ADE＝∠BAF.∵∠BAF＋∠DAF＝∠DAB＝90°，∴∠ADE＋∠DAF＝90°，∴∠DOA＝90°，∴AF⊥DE.(3)eq\r(17)特訓(xùn)10對角互補模型1．12．證明：如圖，過點B分別作BF⊥DC于點F，BE⊥DA交DA的延長線于點E，則∠BEA＝∠BFC＝90°.∵DB平分∠ADC，∴BE＝BF.∵∠BAD＋∠BCD＝180°，∠BAD＋∠BAE＝180°，∴∠BCF＝∠BAE.在△BEA和△BFC中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(∠BAE＝∠BCF，,∠BEA＝∠BFC，,BE＝BF，)))∴△BEA≌△BFC，∴AB＝CB.∵∠ADB＝60°，DB平分∠ADC，∴∠ADC＝2∠ADB＝120°.∵∠BAD＋∠BCD＝180°，∴∠ADC＋∠ABC＝180°，∴∠ABC＝180°－∠ADC＝60°，∴△ABC是等邊三角形．特訓(xùn)11設(shè)參導(dǎo)等角1．證明：設(shè)∠B＝α.∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝α.∵∠ACB是△ACD的外角，且∠ADB＝45°，∴∠CAD＝∠ACB－∠ADB＝α－45°.∵CE⊥AB，∴∠CEB＝90°.∴∠BCE＝90°－∠B＝90°－α.∴∠DCF＝∠BCE＝90°－α.∵∠ADC是△CDF的外角，∴∠F＝∠ADC－∠DCF＝α－45°，∴∠CAD＝∠F，∴AC＝FC.2．證明：設(shè)∠CAE＝2α，∠ABC＝β，則∠AFD＝2β.∵