遼寧省聯(lián)盟2024-2025學年高二年級上冊第一次月考數(shù)學試題（含解析）

遼寧省名校聯(lián)盟2024-2025學年高二上學期第一次月考數(shù)學試題含解

析數(shù)學

命題人：

考生注意：

L本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘.

2.答題前，考生務必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內項目填寫清楚.

3.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應

題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域

內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.

4.本卷命題范圍：人教B版選擇性必修第一冊第一章?第二章第2節(jié).

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1.已知直線（。一?。?+了+2=0的傾斜角為30°，則。=（）

A.2GC.^~D,O

33

2.若@=（一1,2,-1）3=（1,3,-2）,貝“3+孫（”2B）=（）

A.-29B.-22C.22D.29

3.如果且8C<0,那么直線/x+￡y+C=O不經過（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

4.如圖，在四棱錐尸—4BCD中，底面4BCD是平行四邊形，點￡在側棱PC上，且=若

2

AB=a,AD=b,AP=c，則亞=（）

333333

八2一2〃1一2一2匚1一

C.—a+—b+~cD.——a——b——c

333333

5.已知加為實數(shù)，直線（：（〃z+2）x+y—2=0,4:5x+（m-2）j+1=0,貝!]“§〃/2"是"m=-3”的

（）

A.充分不必要條件B,必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

6.已知空間中三點2（0,0,0）,8（1,-1,2）,2,1）,則以45,ZC為鄰邊的平行四邊形的面積為（）

3373r

A.-C.3D.3V3

7.點/（2,—4）到直線/:（1—3加）x+（l—加）y+4+4加=0（加為任意實數(shù)）的距離的取值范圍是（）

A.[0,5]B,[0,2V5]C.[0,4]D[0,6]

8.在正三棱錐尸—45C中，P/=48=4,點。,￡分別是棱PC48的中點，則]萬.而=（）

A.-2B.-4C.-6D.-8

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.下列說法正確的是（）

A.直線x—y+l=0與直線x-y—l=0之間的距離為行

B.直線x-2〉-4=0在兩坐標軸上的截距之和為6

C.將直線N=x繞原點逆時針旋轉75°，所得到的直線為j=-V3x

D.若直線/向左平移3個單位長度，再向上平移2個單位長度后，回到原來的位置，則直線/的斜率為-2

3

10.在正方體48CD-44GA中，能構成空間的一個基底的一組向量為（）

A.AA^,AB,ACB.BA,BC,BD

C.鶯，西，西D.ADi,BA1,AC

11.如圖，在棱長均為1的平行六面體48CD—/4GA中，AS1，平面48CD,/4BC=60°,P,Q分

別是線段NC和線段4臺上的動點，且滿足至=%可，屈=（1-力）聲，則下列說法正確的是（）

A.當4=g時，尸?！?。

8.當X=一時,若PQ=xAB+yAD+zAA1(xj,zcR)則x+y+z=O

2

|兀

C.當4=7時，直線尸。與直線Cq所成角的大小為一

36

D.當Xe（O,l）時，三棱錐。-的體積的最大值為"

48

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知直線/過點2（1,2）,且在歹軸上的截距是在x軸上截距的2倍，則直線/的方程為.

13.在空間直角坐標系?！踔校阎?（2,2,0）,8（2』,-3）,C（0,2,0）,則三棱錐O-4BC的體積為

14.在棱長為4的正方體48CD-44GA中，點瓦廠分別為棱。的中點，分別為線段

￡（14,44上的動點（不包括端點），且ENLFM,則線段九W的長度的最小值為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.（本小題滿分13分）

如圖，正方體ABCD-44Gq的棱長為2.

（1）用空間向量方法證明：4G〃平面/CR；

（2）求直線與平面NCR所成角的正弦值.

16.（本小題滿分15分）

已知點尸（1,3）,點N（-3,-1）,直線4過點（-2,4）且與直線PN垂直.

（1）求直線4的方程；

（2）求直線l2:2x+y-5=0關于直線的對稱直線的方程.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

17.（本小題滿分15分）

如圖，已知平行六面體48CD-

（1）若/5=4,/Q=3,^4'=3,/g/Q=90°,/gW=60°,NZX￡4'=60°,求ZC'的長度;

（2）若4B=4D=44=2,NBAD=XBAA'=ZDAA1=60°,求ZC與BD'所成角的余弦值.

18.（本小題滿分17分）

如圖，四邊形48CD是直角梯形，4B〃CD,AB上BC,AB=BC=2CD=2,E為BC的中點,P是平

面48CQ外一點，PA=1,PB=#,PELBD,M是線段PB上一點,三棱錐M—BD￡的體積是g.

（1）求證：上4_1_平面4SCD；

（2）求二面角/的余弦值.

19.（本小題滿分17分）

如圖，在三棱臺48C—44G中，AZBC是等邊三角形，AB=2AlBi=4,CC1=2,側棱C。，平面Z8C,

點D是棱AB的中點，點￡是棱BBX上的動點（不含端點B）.

(1)證明：平面44143_L平面DCG；

(2)求平面48￡與平面NCE所成角的余弦值的最小值.

高二上學期第一次月考試卷-數(shù)學

參考答案、提示及評分細則

1.C由題意知直線的斜率為4,所以tan30°=g-。=立，解得.故選C.

33

2.A由G=(—12—1)3=(1,3,—2),得M+B=(0,5,—3)k—23=(—3,—4,3),所以

,+孫卜-23)=-29.故選A.

C

3.C由48〉0且3。<0,可得48同號，氏C異號，所以4。也是異號.令x=0,得^=——>0；

B

C

令歹=0,得x=—±>0,所以直線Zx+與+C=0不經過第三象限.故選C.

A

1—-1—.

4.A因為P￡=—￡C,所以P￡=—PC,根據(jù)空間向量的運算法則，可得

23

AE=AP+PE^AP+~PC=AP+-(PA+AC}^-AP+-AC=-AP+~(AB+AD}=-AB+-AD+-AP

33、,3333、>333

—■11-2

,所以/￡=—1+—力+―故選A.

333

一（加+2）=---------，

m—2

5.B易知兩直線的斜率存在，當4〃4時，則，解得加=±3,由/]〃4推不出加=—3,

2,——

、m-2

充分性不成立；當加=-3時，可以推出4〃，2,必要性成立.故選B.

—.—.-77；ABAC1x(-+-2)+2xl1

6D68公夾角的余弦值為3</團數(shù)>=西園=臚+(_1)2+22.J(R+(-2)2+玄i

因此五瓦k夾角的正弦值為sin<AB,AC>=—，故以48,4c為鄰邊的平行四邊形的面積為

2

S=|Zs|-|^c|-sin<AB,AC>=癡x癡x券=36.故選D.

7.B將直線方程（1一3加）x+（l-加）y+4+4冽=0變形為（x+y+4）+（—3x—y+4）加=0,所以

x+y+4=0,x=4./、??

<_3:+4_0解得J__8由此可得直線/恒過點8(4,-8),所以/到直線/的最遠距離為,此

時直線I垂直于AB,A到直線I的最短距離為0,此時直線I經過點4又|/卻=J(2-4y+(—4+8)2=2,

所以/到直線/的距離的取值范圍是［0,2.故選B.

8.D在正三棱錐尸―A8C中，口=45=4,所以P/=P5=PC=4,^APB=ZAPC=ZBPC=60°,

又赤=無_蘇=1■無—萬，屋=|■(可+而)=+g屈，所以

__，—.(1___?-A(1-?1-A1___?-?1___?-.1——-1-?—.

AD-PE=\-PC-PA--PA+-PB\=-PC-PA+-PCPB--PA2--PBPA

(2JU2J4422

=-x4x4x—+—x4x4x---x42--x4x4x-=-8.故選D.

4242222—

1+1rr

9.ACD直線x-y+l=O與直線x-y-l=O之間的距離=,故A正確；對

A/1+(T)

x—2y—4=o,令x=0,得y=-2,令歹=0得x=4,所以直線x—2y—4=0在兩坐標軸上的截距之

和為2,故B錯誤；歹=x的傾斜角為45°，繞原點逆時針旋轉75°后,所得直線的傾斜角為120°，斜率為-百，

故C正確；設直線/的方程為G+0+c=0,向左平移3個單位長度，再向上平移2個單位長度后得

?(x+3)+Z?(j-2)+c=0,即ot+如+c+3a—26=0,與ox+勿+c=0是同一條直線，所以

3。-26=0,所以左=一q=,故D正確.故選ACD.

b3

10.AC空間的一組向量可以成為基底的充分必要條件是這組向量不共面.選項A中，直線45,ZC

所在的平面是48CD,而幺4與平面48CD相交，所以五《，方，就不共面，故這組向量可以成為基底，

A正確；選項B,互7,前,麗滿足函+/=麗，所以這三個向量共面，這組向量不可以成為基底，B

錯誤；選項c中，直線zq,8〃所在的平面是48。A,而C4與平面48GA相交，所以而，西，函

不共面，這組向量可以成為基底,C正確;選項D中，因為7瓦=就+西="+瓦彳，所以函，鳳，就

共面，這組

向量不可以成為基底，D錯誤.故選AC.

11.ABD由平行六面體48CD—44G2知四邊形4BCD是平行四邊形，連接5。，當2=g時，P,Q

分別是NC,48的中點，所以P也是的中點，所以PQ〃4。，故A正確；當2時，由A選項

可知PQ=；￡>4=—g/Z)+gx4］,又PQ=x/B+y/￡>+zJ4(x,y,zeR),所以

當」時,

x=O,y=——,z=—,x+y+z=0,故B正確;a=

3

CC1=BB1,PQ=BQ-BP=^BA1-(BC+CPy1鳳-［衿+紀］

=；（方+函）（切—元）_/=；函_；切因為在棱長均為1的平行六面體

/BCD—44CQ中，84,平面Z8CD,/Z8C=60°,所以|西|=|加|=|旅卜1,

BB,-BA=O,BB,-BC=Q,BA-BC=-,所以

2

=；麗;—；瓦配函—；"?函=g,設直線PQ與直線CG所成角為6,則

1

21717r7T

CCS0--..............—Y-=-＞又o,-,所以6=右，即直線PQ與直線cq所成角為故c

國同—xlL」'J

3

錯誤；過。作。〃〃力4交45于X,可證平面4BCD,所以三棱錐。―BCP的體積

F=|x15CxCPxs1n60^2H=lxLxlx(l-2)xs1n60^x2=2￡(l-2)2fl-2+2?_和

-2廠淳

，當且僅當1-2=2,即2=工時取等號，故D正確.故選ABD.

2

12.2x—歹=0或2x+y—4=0設/在x軸上的截距為a,貝1]/在〉軸上的截距為2a,若a=0,貝U過原

點（0,0）,故/的方程為y=2x,即2x—y=0；若awO,貝i"的方程為二+上=1,所以—+—=1,

a2aa2a

所以a=2,所以/的方程為三+1=1,即2x+y-4=0.綜上所述，直線/的方程為2x—歹=0,或

24

2x+y-4=0.

13.2由題意得雙=（0,2,0）,k=（—2,0,0）,所以反?k=（）,OCLZC,AOC4的面積為

J反（彳@=2,點。,4。都在平面X。上，點8（2,1,-3）到平面工勿的距離3,所以三棱錐O-4BC

的體積為』x2x3=2.

3

14.拽以。為坐標原點，所在的直線分別為x軸、》軸、2軸，建立空間直角坐標系，如

5

圖所示.所以￡（2,0,0），p（4,4,2）,設M（x,0,4）,N（4/,4）,其中0<x<4,0<y<4,則

麗=（2/,4）,前=（%—4,—4,2）.又麗,閑，所以麗.前=（2/,4）.（》—4,—4,2）=2%—4歹=0,

所以x=2y,又0<x<4,0<><4,所以0<y<2,所以

TW=7（X-4）2+/+（4-4）2=&2y-4）2+y2=j卜_|1+g,所以跖V*=挈，此時y=g,

即線段的長度的最小值為拽.

15.如圖，以。為原點，。4。。,?！ㄋ谥本€分別為％軸，》軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系

Dxyz,則/(2,0,0),C(0,2,0)，4(2,0,2)，G(0,2,2),5(2,2,0),^(0,0,2).

所以4G=(—2,2,0),ZC=(—2,2,0),ZD]=(—2,0,2),B￡>=(—2,—2,0).

(、n-AC=0,—2x+2y=0,

(1)證明：設平面/cn的法向量為〃二(x/,z),由<一得《

—2x+2z=0,

n-AD’.1=0,

令x=l,得為=(1,1,1)

因為4G?萬=—2xl+2xl+0xl=0,所以4G，萬，

又4儲仁平面所以4G〃平面/czy

(2)解：由(1),得平面NCR的法向量拓=(1,1,1),

設直線AD與平面NCR所成角為e,則

BD-n|-2x1+(-2)x1+0x1|^^6

sin6*=|cos<BD,n>|=]

BD\-\n\33

所以直線BD與平面ACD,所成角的正弦值為逅.

3

3-(-1)

16.解：(1)因為左,=];二=1,直線與直線PN垂直，所以直線4的斜率為-1,

1—(—3)

又直線4過點(—2,4),所以直線4的方程為y—4=—(x+2),即x+y—2=0.

x-Fy—2=09x=3

(2)由<c,八解得故的交點坐標為(3,-1),

2x+jv-5=0,

因為2(0,5)在直線4：2x+y—5=0上，設幺(0,5)關于乙對稱的點為4(見〃)，

77-5

----=1,

m

則《

m72+5c八

—+------2=0,

122

m=-3,

解得《

n=2.

所以直線12關于直線4對稱的直線經過點（3,-1）,（-3,2）,

代入兩點式方程得巴=土3,即x+2y—1=0,

2+1-3-3

所以直線4：2x+y—5=0關于直線/］的對稱直線的方程為x+2〉—1=0.

17.解：（1）AB-AD=0,AB-AAr=4x3xcos60°=6,-AAr=3x3xcos60°=—,

2

因為十二方+赤+五彳，

所以應=\ABI2+Io|2+Zr+2在.茄+22§.Z?+2Z5.ZF=16+9+9+0+12+9=55，

所以國卜卮

（2）因為*=益+詬，曲=初—方=Z?+而一商，

所以次.初=（方+詬＞⑷+亞_碼=方.Z?-回,+而./+西F=2X2X2X

cos60°=4，

10分

22o2

因為方+而刀『+228-2D+|AD|=2+2x2x2xcos60+2=12,所以=2百,

2

因為|就『=|Z?+礪—刀『|而|+|2§+2AA'-^D-2AA-AB-2AD-AB

=3x22—2x2x2xcos60°=8>所以卜叫=2^2,

I/——Ai\AC-BD'\4V6

設/C與BD，所成的角為e,則cose=kos（zc,5。）=,鬲=26,收=子,

即ZC與BD'所成角的余弦值為逅.

6

18.（1）證明：如圖，連接/￡交BD于點E,

因為AB=BC,BE==1=CD,ZABE=/BCD=90°,

所以“BEWBCD,所以ZBAE=ZCBD,

因為ZABD+ZCBD=90°，所以ZABD+ZBAE=90°，

所以N/FS=90°，即

又因為BD上PE,PEcAE=E,PE,4Eu平面P4E,

所以5。，平面上4￡,又上4u平面上4￡,所以Br>J_R4.

又因為上^+452=1+4=5=必2,所以力_]_45,

又5。cA8=民5￡>,<=平面/BCD,

所以上4_L平面48cD.

（2）解：以5為原點，84BC所在直線分別為軸，平行于4P的直線為z軸，建立空間直角坐標系

如圖所示，則B（0,0,0）,/（2,0,0）,C（0,2,0）,P（2,0,l）,￡（0』,0）,r>（L2,0）,而=（2,0,1）.

設嬴=4而（021）,則兩=（240"）,即點附（22,0,2）,

則三棱錐M一BDE的體積廠=gxSBDEx2=^-x^-xlxlx2=y2=^-,解得％=］，

332693

所以M

則,ED=(1,1,0),設平面DEAf的法向量萬=(x,y,z),

n-ED=x+y=0,

由<——?42，令x=-2,得平面Z)￡A/的一個法向量萬=(-2,2,7),

n-EM=-x-y+-z=0,

I33

易知，萬5=（0,0,1）為平面40￡的一個法向量,

n-AP77歷

所以cos<五,AP>=

HR757~57

由圖可知二面角M—￡>￡—/是銳二面角，故二面角M—￡>￡—/的余弦值是2叵