人教A版(新教材)高中數學選擇性必修第一冊第二章 直線和圓的方程章末復習課

人教A版(新教材)高中數學選擇性必修第一冊PAGEPAGE1章末復習課〖網絡構建〗〖核心歸納〗1.直線的傾斜角與斜率(1)直線的傾斜角α的范圍是0°≤α<180°.(2)斜率keq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(存在，α≠90°，,不存在，α＝90°.))(3)斜率的求法：①依據傾斜角；②依據兩點的坐標；③依據直線方程.2.直線方程的幾種形式的轉化3.兩條直線的位置關系設l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同時為0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同時為0)，則(1)平行?A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0；(2)相交?A1B2－A2B1≠0；(3)重合?A1＝λA2，B1＝λB2，C1＝λC2(λ≠0)或eq\f(A1,A2)＝eq\f(B1,B2)＝eq\f(C1,C2)(A2B2C2≠0).4.距離公式(1)兩點間的距離公式.已知點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則|P1P2|＝eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2).(2)點到直線的距離公式.①點P(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同時為0)的距離d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))；②兩平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0與l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B不同時為0，C1≠C2)的距離d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).5.圓的方程(1)圓的標準方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其中圓心是C(a，b)，半徑長是r.特別地，圓心在原點的圓的標準方程為x2＋y2＝r2.圓的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0).(2)由于圓的方程均含有三個參變量(a，b，r或D，E，F)，而確定這三個參數必須有三個獨立的條件，因此，三個獨立的條件可以確定一個圓.(3)求圓的方程常用待定系數法，此時要善于根據已知條件的特征來選擇圓的方程.如果已知圓心或半徑長，或圓心到直線的距離，通?？捎脠A的標準方程；如果已知圓經過某些點，通?？捎脠A的一般方程.6.直線與圓的位置關系直線與圓的位置關系有三種：相交、相離、相切，其判斷方法有兩種：代數法(通過解直線方程與圓的方程組成的方程組，根據解的個數來判斷)、幾何法(由圓心到直線的距離d與半徑長r的大小關系來判斷).(1)當直線與圓相離時，圓上的點到直線的最大距離為d＋r，最小距離為d－r，其中d為圓心到直線的距離.(2)當直線與圓相交時，圓的半徑長、弦心距、弦長的一半構成直角三角形的三邊長.(3)當直線與圓相切時，經常涉及圓的切線.①若切線所過點(x0，y0)在圓x2＋y2＝r2上，則切線方程為x0x＋y0y＝r2；若點(x0，y0)在圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2上，則切線方程為(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.②若切線所過點(x0，y0)在圓外，則切線有兩條.此時解題時若用到直線的斜率，則要注意斜率不存在的情況也可能符合題意.(4)過直線l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同時為0)與圓C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)的交點的圓系方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0，λ是待定的系數.7.圓與圓的位置關系兩個不相等的圓的位置關系有五種：外離、外切、相交、內切、內含，其判斷方法有兩種：代數法(通過解兩圓的方程組成的方程組，根據解的個數來判斷)、幾何法(由兩圓的圓心距d與半徑長r，R的大小關系來判斷).(1)求相交兩圓的弦長時，可先求出兩圓公共弦所在直線的方程，再利用直線與圓相交的幾何性質和勾股定理來求弦長.(2)過圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0與圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交點的直線方程為(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.要點一直線方程的求法及應用求直線方程的一種重要方法就是待定系數法.運用此方法，要注意各種形式的方程的適用條件，選擇適當的直線方程的形式至關重要.〖例1〗在平面直角坐標系中，已知△ABC的頂點A(0，1)，B(3，2).(1)若C點坐標為(1，0)，求AB邊上的高所在的直線方程；(2)若點M(1，1)為邊AC的中點，求邊BC所在的直線方程.解(1)∵A(0，1)，B(3，2)，∴kAB＝eq\f(2－1,3－0)＝eq\f(1,3)，由垂直關系可得AB邊上的高所在的直線的斜率為k＝－3，∴AB邊上的高所在直線方程為y－0＝－3(x－1)，化為一般式可得3x＋y－3＝0.(2)∵M(1，1)為AC的中點，A(0，1)，∴C(2，1)，∴kBC＝eq\f(2－1,3－2)＝1，∴邊BC所在直線方程為y－1＝x－2，化為一般式可得x－y－1＝0.〖訓練1〗已知△ABC的頂點A(6，1)，AB邊上的中線CM所在直線方程2x－y－5＝0，AC邊上的高BH所在直線方程為x－2y－5＝0.求：(1)頂點C的坐標；(2)直線BC的方程.解(1)由題意知AC邊上的高所在直線斜率為eq\f(1,2)，故AC邊所在的直線的斜率為－2，則它的方程為y－1＝－2(x－6)，即2x＋y－13＝0.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋y－13＝0，,2x－y－5＝0，))求得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(9,2)，,y＝4，))故點C的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)，4)).(2)設B(m，n)，則Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m＋6,2)，\f(n＋1,2))).把M的坐標代入直線方程2x－y－5＝0，把點B的坐標代入直線方程x－2y－5＝0，可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2·\f(m＋6,2)－\f(n＋1,2)－5＝0，,m－2n－5＝0，))求得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝－\f(7,3)，,n＝－\f(11,3)，))故點Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,3)，－\f(11,3))).再用兩點式求得直線BC的方程為eq\f(y－4,－\f(11,3)－4)＝eq\f(x－\f(9,2),－\f(7,3)－\f(9,2))，化簡為46x－41y－43＝0.要點二兩條直線的位置關系解決此類問題關鍵是掌握兩條直線平行與垂直的判定：若兩條不重合的直線l1，l2的斜率k1，k2存在，則l1∥l2?k1＝k2，l1⊥l2?k1k2＝－1.若給出的直線方程中存在字母系數，則要考慮斜率是否存在.對于兩條直線平行的問題，要注意排除兩條直線重合的可能性.〖例2〗(1)當a＝________時，直線l1：y＝－x＋2a與直線l2：y＝(a2－2)x＋2平行；(2)當a＝________時，直線l1：y＝(2a－1)x＋3與直線l2：y＝4x－3垂直.〖解析〗(1)直線l1的斜率k1＝－1，直線l2的斜率k2＝a2－2.因為l1∥l2，所以a2－2＝－1且2a≠2，解得a＝－1.所以當a＝－1時，直線l1：y＝－x＋2a與直線l2：y＝(a2－2)x＋2平行.(2)直線l1的斜率k1＝2a－1，l2的斜率k2＝4.因為l1⊥l2，所以k1·k2＝－1，即4(2a－1)＝－1，解得a＝eq\f(3,8).所以當a＝eq\f(3,8)時，直線l1：y＝(2a－1)x＋3與直線l2：y＝4x－3垂直.〖答案〗(1)－1(2)eq\f(3,8)〖訓練2〗(1)已知直線l1：ax－3y＋1＝0，l2：2x＋(a＋1)y＋1＝0.若l1⊥l2，則實數a的值等于________；(2)已知直角三角形ABC的直角頂點C(1，1)，點A(－2，3)，B(0，y)，則y＝________.〖解析〗(1)∵直線l1：ax－3y＋1＝0，l2：2x＋(a＋1)y＋1＝0，且l1⊥l2，∴2a－3(a＋1)＝0，∴a＝－3.(2)kAC＝eq\f(3－1,－2－1)＝－eq\f(2,3)，kBC＝eq\f(y－1,0－1)＝1－y.∵∠C＝90°，∴AC⊥BC，∴－eq\f(2,3)(1－y)＝－1，∴y＝－eq\f(1,2).〖答案〗(1)－3(2)－eq\f(1,2)要點三距離問題解決〖解析〗幾何中的距離問題時，往往是代數運算與幾何圖形直觀分析相結合.三種距離是高考考查的熱點，公式如下表：類型已知條件公式兩點間的距離A(x1，y1)，B(x2，y2)|AB|＝eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2)點到直線的距離P(x0，y0)l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))(A2＋B2≠0)兩平行直線的距離l1：Ax＋By＋C1＝0l2：Ax＋By＋C2＝0(A2＋B2≠0，C1≠C2)d＝eq\f(|C2－C1|,\r(A2＋B2))〖例3〗直線l在兩坐標軸上的截距相等，且P(4，3)到直線l的距離為3eq\r(2)，求直線l的方程.解當直線過原點時，設所求直線方程為kx－y＝0，則eq\f(|4k－3|,\r(1＋k2))＝3eq\r(2).解得k＝±eq\f(3\r(14),2)－6，∴y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(±\f(3\r(14),2)－6))x.當直線不經過原點時，設所求直線方程為x＋y＝a，則eq\f(|4＋3－a|,\r(2))＝3eq\r(2)，解得a＝13或a＝1，∴x＋y－13＝0或x＋y－1＝0.綜上，所求直線方程為y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(±\f(3\r(14),2)－6))x或x＋y－13＝0或x＋y－1＝0.〖訓練3〗已知直線l在兩坐標軸上的截距互為相反數，且點A(3，1)到它的距離為eq\r(2)，求直線l的方程.解當直線過原點時，設直線的方程為y＝kx，即kx－y＝0.由題意知eq\f(|3k－1|,\r(k2＋1))＝eq\r(2)，解得k＝1或k＝－eq\f(1,7).所以所求直線的方程為x－y＝0或x＋7y＝0.當直線不經過原點時，設所求直線的方程為eq\f(x,a)－eq\f(y,a)＝1，即x－y－a＝0.由題意知eq\f(|3－1－a|,\r(2))＝eq\r(2)，解得a＝4或a＝0(舍去).所以所求直線的方程為x－y－4＝0.綜上可知，所求直線的方程為x－y＝0或x＋7y＝0或x－y－4＝0.要點四對稱問題1.關于點的對稱問題(1)點關于點的對稱問題：若兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)關于點P(x0，y0)對稱，則P是線段AB的中點，并且eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝\f(x1＋x2,2)，,y0＝\f(y1＋y2,2).))(2)直線關于點的對稱問題：若兩條直線l1，l2關于點P對稱，則：①l1上任意一點關于點P的對稱點必在l2上，反過來，l2上任意一點關于點P的對稱點必在l1上；②若l1∥l2，則點P到直線l1，l2的距離相等；③過點P作一直線與l1，l2分別交于A，B兩點，則點P是線段AB的中點.2.關于直線的對稱問題(1)點關于直線的對稱問題：若A，B兩點關于直線l對稱，則l是線段AB的垂直平分線.①直線AB與直線l垂直；②線段AB的中點在直線l上；③直線l上任意一點到A，B兩點的距離相等.(2)直線關于直線的對稱問題：若兩條直線l1，l2關于直線l對稱，則①l1上任意一點關于直線l的對稱點必在l2上，反過來，l2上任意一點關于直線l的對稱點必在l1上；②過直線l上的一點P且垂直于直線l作一直線與l1，l2分別交于A，B兩點，則點P是線段AB的中點.〖例4〗已知直線l：y＝3x＋3，求：(1)點P(4，5)關于l的對稱點坐標；(2)直線y＝x－2關于l的對稱直線的方程；(3)直線l關于點A(3，2)的對稱直線的方程.解(1)設點P關于直線l的對稱點為P′(x′，y′)，則線段PP′的中點M在直線l上，且直線PP′垂直于直線l，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(y′＋5,2)＝3·\f(x′＋4,2)＋3，,\f(y′－5,x′－4)·3＝－1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝－2，,y′＝7.))∴P′點坐標為(－2，7).(2)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y－2＝0，,3x－y＋3＝0，))得交點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，－\f(9,2))).取直線x－y－2＝0上一點B(0，－2)，設點B關于直線l：3x－y＋3＝0的對稱點為B′(x0，y0)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(y0＋2,x0－0)·3＝－1，,3·\f(x0,2)－\f(y0－2,2)＋3＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝－3，,y0＝－1.))故所求直線過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，－\f(9,2)))與(－3，－1)，斜率k＝eq\f(－1＋\f(9,2),－3＋\f(5,2))＝－7，∴所求直線方程為y＋eq\f(9,2)＝－7eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(5,2)))，即7x＋y＋22＝0.(3)設直線l關于點A(3，2)的對稱直線為l′，由于l∥l′，故可設l′為y＝3x＋b(b≠3).由點到直線的距離公式得eq\f(|3×3－2＋b|,\r(32＋（－1）2))＝eq\f(|3×3－2＋3|,\r(32＋（－1）2))，即|b＋7|＝10，解得b＝－17，或b＝3(舍去)，∴直線l′的方程為y＝3x－17，即對稱直線的方程為3x－y－17＝0.〖訓練4〗已知直線l：2x－3y＋1＝0，點A(－1，－2).求：(1)點A關于直線l的對稱點A′的坐標；(2)直線m：3x－2y－6＝0關于直線l的對稱直線m′的方程；(3)直線l關于點A(－1，－2)對稱的直線l′的方程.解(1)設A′(x0，y0)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(y0＋2,x0＋1)×\f(2,3)＝－1，,2·\f(x0－1,2)－3·\f(y0－2,2)＋1＝0.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝－\f(33,13)，,y0＝\f(4,13).))∴A′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(33,13)，\f(4,13))).(2)在直線m上取一點，如M(2，0)，則M(2，0)關于直線l的對稱點M′必在m′上.設M′(a，b)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋2,2)))－3·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b＋0,2)))＋1＝0，,\f(b－0,a－2)×\f(2,3)＝－1.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(6,13)，,b＝\f(30,13)，))∴M′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,13)，\f(30,13))).設m與l的交點為N，則由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－3y＋1＝0，,3x－2y－6＝0，))得N(4，3).又∵m′經過點N(4，3)，∴由兩點式得直線方程為9x－46y＋102＝0，即為所求直線方程.(3)設P(x，y)為l′上任意一點，則P(x，y)關于點A(－1，－2)的對稱點為P′(－2－x，－4－y).∵P′在直線l上，∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，即2x－3y－9＝0，即為所求直線方程.要點五求圓的方程求圓的方程是考查圓的方程問題中的一個基本點，一般涉及圓的性質、直線與圓的位置關系等，主要依據圓的標準方程、一般方程、直線與圓的幾何性質，運用幾何方法或代數方法解決問題，多以選擇題、填空題為主，屬于基礎題.(1)圓的方程中有三個參數，即標準方程中的a，b，r，或一般式中的D，E，F，因此需要三個獨立條件建立方程組求解.(2)求圓的方程時，首選幾何法，即先分析給出的條件的幾何意義，或直接利用待定系數法求解.〖例5〗一個圓C和已知圓x2＋y2－2x＝0相外切，并與直線l：x＋eq\r(3)y＝0相切于點M(3，－eq\r(3))點，求圓C的方程.解由x2＋y2－2x＝0得(x－1)2＋y2＝1，故其圓心為(1，0)，半徑為1.∵圓C與圓x2＋y2－2x＝0相外切，故兩個圓心之間的距離等于半徑的和，又∵圓C與直線l：x＋eq\r(3)y＝0相切于點M(3，－eq\r(3))，可得圓心與點M(3，－eq\r(3))的連線與直線x＋eq\r(3)y＝0垂直，其斜率為eq\r(3).設圓C的圓心為(a，b)，半徑為r，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(b＋\r(3),a－3)＝\r(3)，,\r(（a－1）2＋b2)＝1＋r，,r＝\f(|a＋\r(3)b|,2)，))解得a＝4，b＝0，r＝2或a＝0，b＝－4eq\r(3)，r＝6，∴圓C的方程為(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4eq\r(3))2＝36.〖訓練5〗已知直線l經過兩條直線2x－y－3＝0和4x－3y－5＝0的交點，且與直線x＋y－2＝0垂直.(1)求直線l的方程；(2)若圓C過點(1，0)，且圓心在x軸的正半軸上，直線l被該圓所截得的弦長為2eq\r(2)，求圓C的標準方程.解(1)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－y－3＝0，,4x－3y－5＝0))解得兩直線交點為(2，1)，∵l與x＋y－2＝0垂直，∴kl＝1.又∵l過點(2，1)，∴l(xiāng)的方程y－1＝x－2即x－y－1＝0.(2)設圓C的標準方程為(x－a)2＋y2＝r2(a＞0)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（1－a）2＝r2，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|a－1|,\r(2))))\s\up12(2)＋2＝r2，))解得a＝3，r＝2.∴圓C的標準方程為(x－3)2＋y2＝4.要點六直線與圓、圓與圓的位置關系圓具有許多重要的幾何性質，如圓的切線垂直于經過切點的半徑；圓心與弦的中點的連線垂直于弦；切線長定理；直徑所對的圓周角是直角等.充分利用圓的幾何性質可獲得解題途徑，減少運算量.另外，對于未給出圖形的題目，要邊讀題邊畫圖，這樣能更好地體會圓的幾何形狀，有助于找到解題思路.〖例6〗有一個圓與直線l：4x－3y＋6＝0相切于點A(3，6)，且經過點B(5，2)，求此圓的標準方程.解設圓心為C，則CA⊥l.又設直線CA與圓的另一個交點為P.∵CA⊥l，∴直線CA的斜率為－eq\f(3,4)，故直線CA的方程為y－6＝－eq\f(3,4)(x－3)，即3x＋4y－33＝0.又kAB＝eq\f(6－2,3－5)＝－2，從而由平面幾何知識可知kPB＝eq\f(1,2)，則直線PB的方程為x－2y－1＝0.解方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋4y－33＝0，,x－2y－1＝0，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝7，,y＝3，))即點P的坐標為(7，3).∵圓心C為AP的中點，∴圓心C的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(9,2)))，半徑長|CA|＝eq\f(5,2)，∴所求圓的標準方程為(x－5)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(9,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(25,4).〖訓練6〗已知點P(0，5)及圓C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.若直線l過點P，且被圓C截得的弦AB的長為4eq\r(3)，求l的方程.解由x2＋y2＋4x－12y＋24＝0得(x＋2)2＋(y－6)2＝42，∴圓C的圓心為C(－2，6)，半徑r＝4.如圖所示，|AB|＝4eq\r(3)，設D是線段AB的中點，連接CD，則CD⊥AB，|AD|＝2eq\r(3)，|AC|＝4.在Rt△ACD中，可得|CD|＝2.設所求直線l的斜率為k，則直線l的方程為y－5＝kx，即kx－y＋5＝0.由點C到直線AB的距離|CD|＝eq\f(|－2k－6＋5|,\r(k2＋1))＝2，得k＝eq\f(3,4)，此時直線l的方程為3x－4y＋20＝0，又∵直線l的斜率不存在時，其方程為x＝0，易知也滿足題意.∴所求直線l的方程為x＝0或3x－4y＋20＝0.要點七與圓有關的最值問題與圓有關的最值問題包括：(1)求圓O上一點到圓外一點P的最大距離、最小距離：dmax＝|OP|＋r，dmin＝|OP|－r；(2)求圓上的點到某條直線的最大、最小距離：設圓心到直線的距離為m，則dmax＝m＋r，dmin＝|m－r|；(3)已知點的運動軌跡方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，求①eq\f(y,x)；②eq\f(y－m,x－n)；③x2＋y2等式子的最值，一般是運用幾何法求解.〖例7〗已知圓C：(x＋2)2＋y2＝1，P(x，y)為圓C上任一點，(1)求eq\f(y－2,x－1)的最大、最小值；(2)求x－2y的最大、最小值.解法一(1)設k＝eq\f(y－2,x－1)，則y－2＝kx－k，即kx－y＋2－k＝0.∵P(x，y)為圓C上任一點，∴圓心(－2，0)到直線kx－y＋2－k＝0的距離d＝eq\f(|－2k＋2－k|,\r(1＋k2))＝eq\f(|2－3k|,\r(1＋k2))≤1，即|2－3k|≤eq\r