幾何體中的截面問題

...wd......wd......wd...幾何體中的的截面問題1．定義及相關(guān)要素用一個平面去截幾何體，此平面與幾何體的交集，叫做這個幾何體的截面．此平面與幾何體外表的交集(交線)叫做截線．此平面與幾何體的棱的交集(交點)叫做截點．2．作多面體的截面方法(交線法)：該作圖關(guān)鍵在于確定截點，有了位于多面體同一外表上的兩個截點即可連結(jié)成截線，從而求得截面．題型一、截面的形狀1．P、Q、R三點分別在直四棱柱AC1的棱BB1、CC1和DD1上，試畫出過P、Q、R三點的截面．1解答：(1)連接QP、QR并延長，分別交CB、CD的延長線于E、F.(2)連接EF交AB于Ｔ，交AD于S．(3)連接RS、TP。則多邊形PQRST即為所求截面。2．P、Q、R分別是四棱柱ABCD―A1B1C1D1的棱CD、DD1和AA1上的點，且QR與AD不平行，求作過這三點的截面．2解答：(1)連接QP并延長交DA延長線于點I。(2)在平面ABCD內(nèi)連接PI交AB于點M。(3)連接QP、RM。則四邊形PQRM即為所求。注：①假設(shè)兩點在同一平面內(nèi)，只要連接這兩點，就可以得到截面與多面體的一個面的截線。②假設(shè)面上只有一個點，應(yīng)設(shè)法在同一平面上再找出第二確定的點。③假設(shè)兩個點分別在相鄰的面上，應(yīng)找出這兩個平面的交線與截面的交點。ACBD3．一個正方體內(nèi)接于一個球，過這個球的ACBD3答案：D解析：考慮過球心的平面在轉(zhuǎn)動過中，平面在球的內(nèi)接正方體上截得的截面不可能是大圓的內(nèi)接正方形，應(yīng)選D。題型二、截面面積、長度等計算4．過正方體的對角線的截面面積為S，Smax和Smin分別為S的最大值和最小值，則的值為()A． B． C． D．4答案：C解析：設(shè)M、N分別為AA1、CC1的中點.易證截面BMD1N是邊長為的菱形(正方體棱長設(shè)為1),其面積S(min)=.而截面BB1D1D是矩形,其面積S(max)=．5.如圖，球O是棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1的內(nèi)切球，則平面ACD1截球O的截面面積為．5答案：解析：平面ACD1是邊長為的正三角形，且球與以點D為公共點的三個面的切點恰為三角形ACD1三邊的中點，故所求截面的面積是該正三角形的內(nèi)切圓的面積，則由圖得，△ACD1內(nèi)切圓的半徑是×tan30°=，則所求的截面圓的面積是π××=．Ｏ２ＯＣＯ26．Ｏ２ＯＣＯ2A． B． C． D．6答案：C解析：與的公共弦為AB，球心為Ｏ，AB中點為C，則四邊形為矩形，所以7．正四棱錐P—ABCD的棱長都等于,側(cè)棱PB、PD的中點分別為M、N，則截面AMN與底面ABCD所成二面角大小的正切值為．7答案：解析：過A在平面ABCD內(nèi)作直線，連接AC,BD交于O，連接PO，MN．記PO、MN交于O‘．因為PB、PD的中點分別為M、N，所以MN//BD，因為，所以，，所以平面AMN，平面AMN∩平面ABCD．易知即為面AMN與底面ABCD所成二面角的平面角．8．如圖，正方體的棱長為1，P為BC的中點，Q為線段上的動點，過點A,P,Q的平面截該正方體所得的截面記為S。則以下命題正確的選項是_____①當時，S為四邊形②當時，S為等腰梯形③當時，S與的交點R滿足④當時，S為六邊形⑤當時，S的面積為8答案：①②③⑤解析：.對①，,則所以截面S為四邊形，且S為梯形.所以為真.對②,，截面S為四邊形截面S為等腰梯形.所以為真.對③,所以為真.對④,.截面S與線段相交，所以四邊形S為五邊形.所以為假.對⑤,.對角線長度分別為所以為真.9．如圖，為正方體。任作平面與對角線垂直，使得與正方體的每個面都有公共點，記這樣得到的截面多邊形的面積為S，周長為.則〔〕A．S為定值，不為定值B．S不為定值，為定值C．S與均為定值D．S與均不為定值9答案:B解析:將正方體切去兩個正三棱錐與后，得到一個以平行平面與為上、下底面的幾何體V，V的每個側(cè)面都是等腰直角三角形，截面多邊形W的每一條邊分別與V的底面上的一條邊平行，將V的側(cè)面沿棱剪開，展平在一張平面上，得到一個平行四邊形，而多邊形W的周界展開后便成為一條與平行的線段〔如圖中〕，顯然，故為定值。當位于中點時，多邊形W為正六邊形，而當移至處時，W為正三角形，易知周長為定值的正六邊形與正三角形面積分別為與，故S不為定值。題型三、截面圖形的計數(shù)10．設(shè)四棱錐的底面不是平行四邊形,用平面去截此四棱錐,使得截面四邊形是平行四邊形,則這樣的平面()A.不存在B.只有1個C.恰有4個D.有無數(shù)多個10答案：D解析：設(shè)四棱錐的兩組不相鄰的側(cè)面的交線為m，n，直線m、n確定了平面β，作與β平行的平面α與四棱錐側(cè)棱相截，則截得的四邊形是平行四邊形．這樣的平面α有無數(shù)多個．11．過正四面體的頂點做一個形狀為等腰三角形的截面，且使截面與底面成角，問這樣的截面可作幾個11答案：6個．解析：可以證明正四面體的棱、側(cè)面與底面成角均小于75度，這樣過頂點與底面成75度角，且平行與底面一條邊的截面也就是符合題意的截面，有兩個。三條邊就是6個。題型四、截面圖形的性質(zhì)12．如圖4，在透明的塑料制成的長方體ABCD-A1B1C1D1ABABCHA1B1C1D1EFGDABCDA1B1C1D1EFGH圖4〔2〕圖4〔1〕水面EFGH的面積不改變；棱A1D1始終與水面EFGH平行；當容器傾斜到如圖4〔2〕時，BE·BF是定值；其中正確的命題序號是______________12答案：①③④解析當長方體容器繞BC邊轉(zhuǎn)動時，盛水局部的幾何體始終滿足棱柱定義，故①正確；在轉(zhuǎn)動過程中EH//FG，但EH與FG的距離EF在變，所以水面EFGH的面積在改變，故②錯誤；在轉(zhuǎn)動過程中，始終有BC//FG//A1D1，所以A1D1//面EFGH，③正確；當容器轉(zhuǎn)動到水局部呈直三棱柱時如圖5〔2〕，因為是定值，又BC是定值，所以BE·BF是定值，即④正確。C1ABCDA1D1B1EGF圖〔1〕C1ABCDA1D1B1EGF圖〔1〕A．B．C．D．13答案：CC1ABCDA1D1B1EGF圖〔2〕解析C1ABCDA1D1B1EGF圖〔2〕14．(08年江西)如圖1，一個正四棱柱形的密閉容器底部鑲嵌了同底的正四棱錐形實心裝飾塊，容器內(nèi)盛有升水時，水面恰好經(jīng)過正四棱錐的頂點P。如果將容器倒置，水面也恰好過點〔圖2〕。有以下四個命題：A．正四棱錐的高等于正四棱柱高的一半B．將容器側(cè)面水平放置時，水面也恰好過點C．任意擺放該容器，當水面靜止時，水面都恰好經(jīng)過點D．假設(shè)往