人教版六年級下冊數(shù)學思維訓練講義-第十七講對策問題（含答案）

第十七講對策問題第一部分：趣味數(shù)學怎樣過河？一個農(nóng)夫帶著一條狗、一只雞和一袋米去趕集。路上遇到一條河,農(nóng)夫要把這3樣東西都運過去。然而,只有一條船,而且船很小,每次只能運過去一樣東西。可是,如果農(nóng)夫不在場,狗要吃雞,雞要去啄米?，F(xiàn)在,請你想一想,農(nóng)夫怎樣才能把這3樣東西都運過河去,而且不受到任何損失呢?關(guān)鍵是狗不會吃米。因此農(nóng)夫應(yīng)該這樣做:第一步,帶著雞過河。第二步,把雞放在對岸,自己獨自駕駛小船回到原處第三步,帶著狗過河,到了對岸把狗放下,把雞帶上船,駛回原處。第四步,把雞留在原處,帶著大米過河,放在對岸,然后獨自劃船回來。最后,帶著雞過河。第二部分：習題精講專題簡析：同學們都熟悉“田忌與齊王賽馬”的故事，這個故事給我們的啟示是：田忌采用了“揚長避短”的策略，取得了勝利。生活中的許多事物都蘊含著數(shù)學道理，人們在競賽和爭斗中總是玩游戲，大至體育比賽、軍事較量等，人們在競賽和爭斗中總是希望自己或自己的一方獲取勝利，這就要求參與競爭的雙方都要制定出自己的策略，這就是所謂“知己知彼，百戰(zhàn)不殆”。哪一方的策略更勝一籌，哪一方就會取得最終的勝利。解決這類問題一般采用逆推法和歸納法。例題1：兩個人做一個移火柴的游戲，比賽的規(guī)則是：兩人從一堆火柴中可輪流移走1至7根火柴，直到移盡為止。挨到誰移走最后一根火柴就算誰輸。如果開始時有1000根火柴，首先移火柴的人在第一次移走多少根時才能在游戲中保證獲勝。先移火柴的人要取勝，只要取走第999根火柴，即利用逆推法就可得到答案。設(shè)先移的人為甲，后移的人為乙。甲要取勝只要取走第999根火柴。因此，只要取到第991根就可以了（如乙取1根甲就取7根；如乙取2根甲就取6根。依次類推，甲取的與乙取的之和為8根火柴）。由此繼續(xù)推下去，甲只要取第983根，第975根，……第7根就能保證獲勝。所以，先移火柴的人要保證獲勝，第一次應(yīng)移走7根火柴。練習1：1.一堆火柴40根，甲、乙兩人輪流去拿，誰拿到最后一根誰勝。每人每次可以拿1至3根，不許不拿，乙讓甲先拿。問：誰能一定取勝？他要取勝應(yīng)采取什么策略？2.兩人輪流報數(shù)，規(guī)定每次報的數(shù)都是不超過8的自然數(shù)，把兩人報的數(shù)累加起來，誰先報到88，誰就獲勝。問：先報數(shù)者有必勝的策略嗎？3.把1994個空格排成一排，第一格中放一枚棋子，甲、乙兩人輪流移動棋子，每人每次可后移1格、2格、3格，誰先移到最后一格誰勝。先移者確保獲勝的方法是什么？例題2：有1987粒棋子。甲、乙兩人分別輪流取棋子，每次最少取1粒，最多取4粒，不能不取，取到最后一粒的為勝者?，F(xiàn)在兩人通過抽簽決定誰先取。你認為先取的能勝，還是后取的能勝？怎樣取法才能取勝？從結(jié)局開始，倒推上去。不妨設(shè)甲先取，乙后取，剩下1至4粒，甲可以一次拿完。如果剩下5粒棋子，則甲不能一次拿完，乙勝。因此甲想取勝，只要在某一時刻留下5粒棋子就行了。不妨設(shè)甲先取，則甲能取勝。甲第一次取2粒，以后無論乙拿幾粒，甲只要使自己的粒數(shù)與乙拿的粒數(shù)之和正好等于5，這樣，每一輪后，剩下的棋子粒數(shù)總是5的倍數(shù)，最后總能留下5粒棋子，因此，甲先取必勝。練習2：1.甲、乙兩人輪流從1993粒棋子中取走1?；?粒或3粒，誰取到最后一粒的是勝利者，你認為先取的能獲勝，還是后取的能獲勝，應(yīng)采取什么策略？2.有1997根火柴，甲、乙兩人輪流取火柴，每人每次可取1至10根，誰能取到最后一根誰為勝利者，甲先取，乙后取。甲有獲勝的可能嗎？取勝的策略是什么？3.盒子里有47粒珠子，兩人輪流取，每次最多取5粒，最少取1粒，誰最先把盒子的珠子取完，誰就勝利，小明和小紅來玩這個取珠子的游戲，先名先、小紅后，誰勝？取勝的策略是什么？例題3：在黑板上寫有999個數(shù)：2，3，4，……，1000。甲、乙兩人輪流擦去黑板上的一個數(shù)（甲先擦，乙后擦），如果最后剩下的兩個數(shù)互質(zhì)，則甲勝，否則乙勝。誰必勝？必勝的策略是什么？甲先擦去1000，剩下的998個數(shù)，分為499個數(shù)對：（2，3），（4，5），（6，7），……（998，999）?？梢娒恳粚?shù)中的兩個數(shù)互質(zhì)。如果乙擦去某一對中的一個，甲則接著擦去這對中的另一個，這樣乙、甲輪流去擦，總是一對數(shù)、一對數(shù)地擦，最后剩下的一對數(shù)必互質(zhì)。所以，甲必勝。練習3：1.甲、乙兩人輪流從分別寫有1，2，3，……，99的99張卡片中任意取走一張，先取卡的人能否保證在他取走的第97張卡片時，使剩下的兩張卡片上的數(shù)一個是奇數(shù)，一個是偶數(shù)？2.兩個人進行如下游戲，即兩個人輪流從數(shù)列1，2，3，……，100，101勾去九個數(shù)。經(jīng)過這樣的11次刪除后，還剩下兩個數(shù)。如果這兩個數(shù)的差是55，這時判第一個勾數(shù)的人獲勝。問第一個勾數(shù)的人能否獲勝？獲勝的策略是什么？3.在黑板上寫n—1（n＞3）個數(shù)：2，3，4，……，n。甲、乙兩人輪流在黑板上擦去一個數(shù)。如果最后剩下的兩個數(shù)互質(zhì)，則乙勝，否則甲勝。N分別取什么值時：（1）甲必勝？（2）乙必勝？必勝的策略是什么？例題4：甲、乙兩人輪流在黑板上寫下不超過10的自然數(shù)，規(guī)定禁止在黑板上寫已寫過的數(shù)的約數(shù)，最后不能寫的人為失敗者。如果甲第一個寫，誰一定獲勝？寫出一種獲勝的方法。這里關(guān)鍵是第一次寫什么數(shù)，總共只有10個數(shù)，可通過歸納試驗。甲不能寫1，否則乙寫6，乙可獲勝；甲不能寫3，5，7，否則乙寫8，乙可獲勝；甲不能寫4，9，10，否則乙寫6，乙可獲勝。因此，甲先寫6或8，才有可能獲勝。甲可以獲勝。如甲寫6，去掉6的約數(shù)1，2，3，6，乙只能寫4，5，7，8，9，10這六個數(shù)中的一個，將這六個數(shù)分成（4，5），（7，9），（8，10）三組，當乙寫某組中的一個數(shù)，甲就寫另一個數(shù)，甲就能獲勝。練習4：1.甲、乙兩人輪流在黑板上寫上不超過14的自然數(shù)。書寫規(guī)則是：不允許寫黑板上已寫過的數(shù)的約數(shù)，輪到書寫人無法再寫時就是輸者?，F(xiàn)甲先寫，乙后寫，誰能獲勝？應(yīng)采取什么對策？2.甲、乙兩人輪流從分別寫有3，4，5，……，11的9張卡片中任意取走一張，規(guī)定取卡人不能取已取過的數(shù)的倍數(shù)，輪到誰無法再取時，誰就輸。現(xiàn)甲先取，乙后取，甲能否必然獲勝？應(yīng)采取的對策是什么？3.甲、乙兩人輪流在2004粒棋子中取走1粒，3粒，5?；?粒棋子。甲先取，乙后取，取到最后一粒棋子者為勝者。甲、乙兩人誰能獲勝？例題5：有一個3×3的棋盤以及9張大小為一個方格的卡片如圖37-1所示，9張卡片分別寫有：1，3，4，5，6，7，8，9，10這幾個數(shù)。小兵和小強兩人做游戲，輪流取一張卡片放在9格中的一格，小兵計算上、下兩行6個數(shù)的和；小強計算左、右兩列6個數(shù)的和，和數(shù)大的一方取勝。小兵一定能取勝嗎？如圖37-1所示，由于4個角的數(shù)是兩人共有的，因而和數(shù)的大小只與放在A，B，C，D這4個格中的數(shù)有關(guān)。小兵要獲勝，必須采取如下策略，盡可能把大數(shù)填入A或C格，盡可能將小數(shù)填入B格或D格。由于1+10＜3+9，即B+D＜A+C，小兵應(yīng)先將1放在B格，如小強把10放進D格，小兵再把9放進A格，這時不論小強怎么做，C格中一定是大于或等于3的數(shù)，因而小兵獲勝。如小強把3放進A格，小兵只需將9放到C格，小兵也一定獲勝。練習5：1.在5×5的棋盤的右上角放一枚棋子，每一步只能向左、想下或向左下對角線走一格。兩人交替走，誰為勝者。必勝的策略是什么？2.甲、乙兩人輪流往一個圓桌面上放同樣大小的硬幣，規(guī)則是每人每次只能放一枚，硬幣不能重疊，誰放完最后一枚硬幣而使對方再無處可放，誰就獲勝。如果甲先放，那么他怎樣才能取勝？3.兩人輪流在3×3的方格中畫“√”和“×”，規(guī)定每人每次至少畫一格，至多畫三格，所有的格畫滿后，誰畫的符號總數(shù)為偶數(shù)，誰就獲勝。誰有獲勝的策略？第三部分：數(shù)學史吳文俊(WentsunWU)，男，1919年5月12日生于上海，1940年畢業(yè)于交通大學，1949年獲法國國家博士學位。世界著名數(shù)學家，中國科學院數(shù)學與系統(tǒng)科學研究院系統(tǒng)科學研究所研究員、名譽所長，中國數(shù)學會名譽理事長。中國數(shù)學機械化研究的創(chuàng)始人之一，現(xiàn)任中國科學院系統(tǒng)科學研究所名譽所長、研究員，中國科學院院士，第三世界科學院院士；曾任中國數(shù)學會理事長（1985-1987），中國科學院數(shù)理學部主任（1992-1994），全國政協(xié)委員、常委（1979-1998）。他在拓撲學、自動推理、機器證明、代數(shù)幾何、中國數(shù)學史、對策論等研究領(lǐng)域均有杰出的貢獻,在國內(nèi)外享有盛譽。他在拓撲學的示性類、示嵌類的研究方面取得一系列重要成果，是拓撲學中的奠基性工作并有許多重要應(yīng)用。他的“吳方法”在國際機器證明領(lǐng)域產(chǎn)生巨大的影響，有廣泛重要的應(yīng)用價值。當前國際流行的主要符號計算軟件都實現(xiàn)了吳文俊教授的算法。曾獲得首屆國家自然科學一等獎(1956)、中國科學院自然科學一等獎(1979)、第三世界科學院數(shù)學獎(1990)、陳嘉庚數(shù)理科學獎(1993)、首屆香港求是科技基金會杰出科學家獎(1994)、Herbrand自動推理杰出成就獎(1997)、首屆國家最高科學技術(shù)獎(2000)、第三屆邵逸夫數(shù)學獎(2006)。吳文俊在數(shù)學上作出了許多重大的貢獻。◆拓撲學方面，在示性類、示嵌類等領(lǐng)域獲得一系列成果，還得到了許多著名的公式，指出了這些理論和方法的廣泛應(yīng)用。他還在拓撲不變量、代數(shù)流形等問題上有創(chuàng)造性工作。1956年吳文俊因在拓撲學中的示性類和示嵌類方面的卓越成就獲中國自然科學獎一等獲?！魯?shù)學機械化或機器證明方面，從初等幾何著手，在計算機上證明了一類高難度的定理，同時也發(fā)現(xiàn)了一些新定理，進一步探討了微分幾何的定理證明。提出了利用機器證明與發(fā)現(xiàn)幾何定理的新方法。這項工作為數(shù)學研究開辟了一個新的領(lǐng)域，將對數(shù)學的革命產(chǎn)生深遠的影響。1978年獲全國科學大會重大科技成果獎?！糁袊鴶?shù)學史方面，吳文俊認為中國古代數(shù)學的特點是：從實際問題出發(fā)，經(jīng)過分析提高，再抽象出一般的原理、原則和方法，最終達到解決一大類問題的目的。他對中國古代數(shù)學在數(shù)論、代數(shù)、幾何等方面的成就也提出了精辟的見解。參考答案：練習1：1、讓甲先拿，乙每次拿的根數(shù)要保持；與甲拿的根數(shù)和為4，即甲拿1，乙則拿3，甲拿2，乙則拿2；甲拿3，乙則拿1，便可取勝。2、先報數(shù)者報7，以后根據(jù)后報數(shù)者決定，再報數(shù)時,如果后報數(shù)者報8,也報8如果后報數(shù)者報1~7,先報數(shù)者報的數(shù)與之和為8，可保證必勝3、1994÷(3+1)=418(組)……2(格)答:先移2格,剩418組,每組4格,后移者移α格,先移者就移(4-x)格,如此推算先移者必勝練習2：1、1993÷(1+3)=1993÷4=498……1所以先拿的人先拿1粒,然后看另一人拿幾粒,先拿的粒數(shù)與后拿的和是4,則先拿的定勝利。答:先取的能獲勝,先拿的人先拿1粒,然后看另一人拿幾粒,先拿的粒數(shù)與后拿的和是4,則先拿的一定勝利。2、甲能獲取勝利,兩人每次取火柴的最少根數(shù)與最多根數(shù)的和是11,而997=11×181+6,甲先取6根,剩下的火柴恰好是11的倍數(shù),接下來不論雙方拿幾根,先取的人只要總是留給雙方的火柴是11的倍數(shù),就確保能拿到最后一根。3、47÷(1+5)=47÷6=7(次)…5(顆)只要小明先取5棵,然后再看小紅每次取幾個,只要每次與小紅所取棋子數(shù)和滿足是6,小明就能取勝。練習3：1、能,99張卡片中有50個奇數(shù),49個偶數(shù),先取卡片的人只要取走一張奇數(shù)卡片,剩下的奇數(shù)卡片與偶數(shù)卡片數(shù)目一樣多。以后當乙取走奇數(shù)卡片時,甲取偶數(shù)卡片;當乙取走偶數(shù)卡片時,甲取走奇數(shù)卡片。2、能。第一個人只需在第一步畫去47,48,49,…,54,55這九個數(shù),剩下的數(shù)分為兩組:(1,56),(2,57),(3,58),(4,59),…,(45,100),(46,101),當?shù)诙€人在剩余的數(shù)中畫去九個數(shù)中任意兩個數(shù)都不對應(yīng);那么第一個人第三次只需刪除這九個數(shù)的對應(yīng)數(shù)(如第二個人畫去的九個數(shù)中如有對應(yīng)的數(shù),第一個人第三次可以畫去其他對應(yīng)的數(shù))。這樣剩下的一定是相對應(yīng)的兩個數(shù)。它們的差就等于55。3、甲要求剩下的數(shù)不互質(zhì),乙要求剩下的數(shù)互質(zhì),容易得到分類方式為奇、偶數(shù)分類。①首先,項n為偶數(shù),則2,3,4,…,n里偶數(shù)比奇數(shù)多1個,若甲每次都取奇數(shù),那么不論乙怎么取,最后剩下的兩個數(shù)肯定全為偶數(shù),不互質(zhì),甲必勝。②若n為奇數(shù):則把2,3,4,…,n分組,相鄰兩個數(shù)為一組:(2,4),(4,5),(6,7),…,(n-1,n),相鄰的兩個數(shù)都互質(zhì),那么無論甲取哪個數(shù),乙就取組內(nèi)的另外一個數(shù),則剩下的數(shù)還是分成組的互質(zhì)數(shù),最后剩下的一定是兩個互質(zhì)數(shù),即乙獲勝答;n為偶數(shù)時甲必勝,n為奇數(shù)時乙必勝。練習4：1、甲不能寫1,否則乙寫6,乙可獲勝;甲不能寫3,5,7,否則乙寫8,乙可獲勝。甲不能寫4,9,10,否則乙寫6,乙可獲勝因此,甲先寫6或8,才有可能獲勝甲可以獲勝如甲寫6,去掉6的約數(shù)1、2、3、6,乙只能寫4、5、7、8、9、10這六個數(shù)中的一個,將這六個數(shù)分成(4,5),(7,9),(8,10)三組,當乙寫某組中的一個數(shù),甲就寫另一個數(shù),甲就能獲勝。2、這些數(shù)中,倍數(shù)關(guān)系有:3的倍數(shù)6、9;4的倍數(shù)8;5的倍數(shù)是10甲要獲勝,每次取后留下的要是奇數(shù)次機會因此甲要先取3,這樣6、9就不可以取如果乙取4,則甲取5,乙取5,則甲取10以后無論怎么取，甲始終能取走最后一個能取的數(shù)。3、甲第一次取1個,之后若乙取1,甲取7;若乙取3,則甲5取;若乙取5,甲取3;若乙取7,甲取1，這樣每次減少8個,250此后還剩2004-1-2000=3個,甲取3個,甲勝。答:甲能獲勝