2024-2025學(xué)年高二年級上冊期中模擬考試數(shù)學(xué)試題（上海專用測試范圍：滬教版必修第三冊第十-十一章）（全解全析）

2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中模擬卷

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

4.測試范圍：滬教版2020必修第三冊第十?十一章。

5.難度系數(shù)：0.65o

一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）

1.“點4在直線/上”用符號語言可以表示為.

【答案】Ael

【解析】/在直線/上，即

故答案為：Ael

2.在正方體-44G〃中，/4=2,則直線到平面的距離為.

【答案】2

【解析】根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，AB//CD.

又<Z平面CDDG,CDu平面CDDG,

所以，48//平面CDAG.

所以，點/到平面的距離，即等于直線到平面CDAG的距離.

又，平面CDDG,所以點/到平面CDDG的距離即為=2.

所以，直線到平面CDDG的距離為2.

故答案為：2.

3.已知圓柱的底面半徑為2,高為2,則該圓柱的側(cè)面積是.

【答案】8兀

【解析】圓柱的側(cè)面展開為矩形，其中矩形的一條邊長為圓柱底面周長，即2%x2=4兀，另一邊長為2,故

圓柱的側(cè)面面積為2x47r=87i.

故答案為：871

4.如圖，在正方體/BCD-44GA中，異面直線48與NC所成的角為

【解析】在正方體/BCD-44GA中，連接

正方體/BCD-4月￡4的對角面AxBCDt是矩形，則CDJIAXB,

因此ZACD、是異面直線AtB與AC所成的角或其補角，

而/'=CD】="C=41AB,即A4CR是正三角形，則NNC，=60°,

所以異面直線45與NC所成的角為60。.

故答案為：60°

5.圓錐的母線長為2,母線所在直線與圓錐的軸所成角為30。，則該圓錐的高為.

【答案】V3

【解析】由已知得該圓錐的高為2cos30。=百.

故答案為：V3.

6.一個梯形的直觀圖是一個如圖所示的等腰梯形，且H8'=l,O'C'=3,OW=2,則原梯形的面積

【解析】在xQy坐標(biāo)系中作出直觀圖對應(yīng)的原圖形O4BC,它是直角梯形，如圖.

故原梯形的面積為：S=彳乂(1+3)x4=8,

2

故答案為：8.

7.已知斜線段的長度是斜線段在這個平面內(nèi)射影的長的0倍，則這條斜線和這個平面所成的角的大小

為.

【答案】￡/45。

【解析】設(shè)斜線和平面所成角為.OWaV。貝ijcosa=j==g,，a=f.

77

故答案為：

4

8.已知球的兩個平行截面的面積分別為49兀，400兀且兩個截面之間的距離是9,則球的表面積為.

【答案】2500兀

【解析】由球的截面為圓，設(shè)兩個平行的截面圓的半徑分別為勺2,球的半徑為R,

因為兀巧2=49兀，所以4=7,

又無?々2=400兀，所以々=20,

當(dāng)兩截面在球心的同側(cè)時，A/T?2-72-A/^2-202=9>

解得尺2=625,球的表面積為4成2=2500兀；

當(dāng)兩截面在球心的同側(cè)時，SJR2-72+7^2-202=9>無解；

綜上，所求球的表面積為2500兀.

故答案為：2500K.

9.如圖，在四棱錐尸-48CD中，以，底面/BCD,底面48CD是邊長為1的正方形，以=1,則側(cè)面PCD

與底面ABCD所成的二面角的大小是.

【答案】45°

【解析】因為底面/8C。是邊長為1的正方形，所以4DLCO,

又因為H_L底面N8CD,CDu底面/BCD,所以乃_LCD,

因為""4。=/,在面以。內(nèi)，所以CD_L平面

又因為PDu平面所以CD_LP。，

于是NPD4為側(cè)面PCD與底面ABCD所成的二面角的平面角，

因為以_L底面48cD,4Du底面48cD,PALAD,

又因為融=1,AD=1,所以/P￡U=45。，

于是側(cè)面PCD與底面ABCD所成的二面角的大小為45°.

故答案為：45°.

10.如圖是一個正方體的平面展開圖，在這個正方體中，下列說法中，正確的序號是.

（1）直線/月與直線OE相交；

（2）直線C段與直線DE平行；

（3）直線8G與直線。E是異面直線；

（4）直線與直線5G成60。角.

【答案】⑶（4）/（4）（3）

【解析】解：由正方體的平面展開圖可得正方體/BCD-EFG//,

可得4尸與即為異面直線，故（1）錯誤；

CH與。E為異面直線，故（2）錯誤；

直線3G與直線DE是異面直線，故（3）正確；

連接/H,NC,由正方體的性質(zhì)可得⑷7〃8G,所以乙4HC為異面直線C”與直線BG所成的角，因為A/HC

為等邊三角形，所以4HC=60。，即直線S與直線3G所成角為60。，故（4）正確；

故答案為：（3）（4）.

11.設(shè)和CD都是平面夕的垂線，其垂足分別為瓦。已知/8=5,。=9,3。=3,那么線段

AC=

【答案】5或血旃

【解析】如圖所示，因為和。都是平面。的垂線，其垂足分別為民。,

可得N3//CD,且8D,CD，8。，

如圖（1）所示，當(dāng)點4c在平面的同側(cè)時，

過點A作NELCD,垂足為E,則/E//AD,

又因為78=5,8=9,6。=3,P]^CE=CD-DE=CD-AB=4,

在直角ZUCE中，可得NC=JAE^+CE?=，3?+42=5.

如圖（2）所示，當(dāng)點4c在平面的兩側(cè)時，

過點A作CD的延長線的垂線，設(shè)/尸，CF,垂足為月，AF//BD,

又因為/3=5,。。=9,3。=3,n\^CF=CD+DF=CD+AB=14,

在直角△/CF中，可得NC=，/■?+c尸2=,3?+14?=755?.

故答案為：5或瘋后.

12.如圖，平面。45J_平面a,OAua,OA=AB,ZOAB=120°.平面a內(nèi)一點P滿足尸/_LP8,記直

線OP與平面OAB所成角為e,則tan0的最大值是.

【答案】逅

12

【解析】如圖,

過點B作交CM的延長線于點H,連接？H,OP,

取的中點為￡,連接PE,過點P作尸尸，。4,垂足為尸，

?平面CM81.平面a,且平面CM3Cl平面a=CM,88u平面048,PFua,

：.BH±a,PF_L平面0/8,，OP在平面048上的射影就是直線。4,

故N/OP就是直線。尸與平面0/8所成的角6,即40尸=6,

VAP^a,:.APLBH,

又；PA工PB,PBCBH=B,PB,BHu平面PBH,

二.PN_L平面尸AH',「PHu平面PBH,:.PALPH,

故點P的軌跡就是平面a內(nèi)以線段AH為直徑的圓(/點除外),

VOA=AB,且NCMB=120",ZBAH=60°,

設(shè)。4=a(a>0),則AB=a,從而///=48-cos60°=巴，

2

:.PE=-AH=-,如圖，

24

當(dāng)且僅當(dāng)尸尸，即O尸是圓E的切線時,角0有最大值，tan。有最大值,

PEPE7V6

==

tan。取得最大值為：—=/22=I77-

°PJOE*12

故答案為：逅.

12

二、選擇題（本題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分；每題有且只有一個正

確選項）

13.下列說法錯誤的是（）

A.一個棱柱至少有5個面B.斜棱柱的側(cè)面中沒有矩形

C.圓柱的母線平行于軸D.正棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形

【答案】B

【解析】由棱柱的性質(zhì)可知A正確，B錯誤；由圓柱的性質(zhì)可知C正確；由正棱錐的性質(zhì)可知D正確.

故選：B

14.已知/是直線，生尸是兩個不同平面，下列命題中的真命題是（）

A.若〃/□,〃/￡,則a〃/B.若a_L￡,〃/a,貝

C.若/_L。,〃"，則Cl■/D.若〃/a,a〃/?,則〃//

【答案】C

【解析】若=〃/機,/<zc,/<z￡,則有〃/口,〃//?,故可判斷A錯誤.

若acB=Ba,則〃//或/u〃，故B錯誤.

若/，氏〃%,則月存在直線與/平行，所以故C正確.

若〃/%a〃￡,則〃//或/u/，故D錯誤.

故選：C.

15.《九章算術(shù)》中所述“羨除”，是指如圖所示五面體43CDE/，其中/3〃7元//￡尸，“羨除”形似“楔體”.“廣”

是指“羨除”的三條平行側(cè)棱之長。、b、c,“深”是指一條側(cè)棱到另兩條側(cè)棱所在平面的距離機、“袤”是指

這兩條側(cè)棱所在平行直線之間的距離〃（如圖）.羨除的體積公式為%="竺也，過線段ND,BC的

6

中點G,H及直線所作該羨除的一個截面￡，已知。剛好將羨除分成體積比為5:4的兩部分.若/2=4、

DC=2,則斯的長為（）

A.2B.3C.4D.6

【答案】B

【解析】因為43=4、DC=2、ABIIDCIIEF,G,H為線段40,8c的中點,

所以GHHABHCD且G"=；（48+C。）=3,

n

（EF+DC+GH）mx-（EF+AB+GH）mx—

所以2，

Vv「ABHGEF

GHCDEF66

n

（EF+5）mx—（￡尸+7）加x；

即

—GHCDEF2，^ABHGEF

66

n

（跖+7）加x—

2

‘ABHGEF56

因為“即r解得斯=3.

^GHCDEF（EF+5）mx；

6

16.如圖，在正方體/8CD-44GA中，點P在線段qc上運動，則以下命題正確的序號為()

①直線即，平面4。。

②平面B.CD與平面BCD的夾角大小為|

③三棱錐尸-4G。的體積為定值

JT7T

④異面直線NP與4。所成角的取值范圍是pj

A.①②B.①③C.①③④D.①④

【答案】B

【解析】如圖，連接與2,正方形中，4G，BR,

正方體的棱1平面4片。2,4GU平面4片?！?，：.BB114G.

?：BBX[\BXDX=B1,u平面534,所以4cli?平面叫2,

又8,u平面陽。，所以4G，8。，同理

???4￡門4。=4，4G，4。U平面4。。，所以BD1平面同￡。，①正確；

因為CD,平面8c4，4Cu平面5c4，所以CD131C,

又平面4czM平面8CD=。，BCLCD,BCu平面BCD,4Cu平面8(7),

則/耳CS是平面81CD與平面BCD的夾角，顯然三角形38c為等腰直角三角形，則該角大小為工，②錯;

4

因為44///3,AiBl=AB,AB!/CD,AB=CD,所以/百//CD,/#=CD,

所以四邊形AB.CD為平行四邊形，因此有AtDHBXC,

又4。<=平面4QD,用c<2平面4。。，所以4。//平面4。。,

PeBg,因此尸到平面4。。的距離為定值，三棱錐尸-4G。的體積為定值，③正確;

由于4。//耳C,因此異面直線AP與4。所成角就是AP與B’c所夾的角,

即圖中//PC或//尸片，設(shè)正方體棱長為1,易知48]=/C=&C=&,

當(dāng)點p為中點時，止匕時/尸，qc,

7T7T

因為A/BC是等邊三角形，尸在線段與C,因此//PC或4尸片中較小的角的范圍是y,-,④錯誤.

三、解答題(本大題共有5題，滿分78分，第17-19題每題14分，第20、21題每題18分.)

17.如圖，已知瓦￡6以分別是正方體/38-4864的棱/反氏^?。[6。的中點，且所與而相交于

點。.

(1)求證：點。在直線DC上；

(2)求異面直線EF與4月所成角的大小.

【解析】(1)平面NBCDn平面CDD￡=DC,

由于0e￡Fu平面N3C。，。eu平面CDD￡，

所以0eDC,也即點0在直線DC上.（6分）

（2）根據(jù)正方體的性質(zhì)可知4月〃。C,

所以異面直線M與44所成角為NDQE,（8分）

由于AB//DC,E,尸分別是AB,3C的中點，

所以ZDQE=NFEB=45°,

所以異面直線防與所成角的大小為45。.（14分）

18.如圖，在四棱錐P-N8C。中，底面48。為平行四邊形，。是4C與8。的交點，ZADC=45°,AD=AC=2,

PO_L平面/BCD,P0=2,M是尸。的中點.

（1）證明：P2//平面/Q0

（2）求直線AM與平面ABCD所成角的大小.

【解析】（1）連接MO,在平行四邊形中,

因為。為NC與8。的交點，

所以。為3D的中點，（2分）

又M為尸。的中點,所以尸3〃MO.

因為尸平面NCA7,M0u平面/CM,

所以尸8//平面/CM.（6分）

（2）取。。中點N,連接MN,/N,

因為M為尸D的中點，所以皿//尸0,且MV=；PO=1,

由PO_L平面48CD,得A?V_L平面48CD,

所以ZMAN是直線與平面ABCD所成的角.（8分）

因為底面N3CO為平行四邊形，且N4DC=45。，AD=AC=2,

所以N/CD=45。，則ADAC=90。，

在RtADAO中,AD=2,NO=1,所以DO—V5，從而AN=-DO=>

22

因為AW_L平面/BCD,NNu平面48CD,MN_LNN,

MN12J5r-1

..tan/MAN=——=—八…n

所CCH以I在中，ANy]55，?；ZMANcA0,—,

~T

所以直線4AZ與平面42CZ）所成角大小為arctan2叵.（14分）

5

19.某種“籠具”由上、下兩層組成，上層和下層分別是一個圓錐和一個圓柱，其中圓柱與圓錐的底面半徑相

等，如圖所示：圓錐無底面，圓柱無上底面有下底面，內(nèi)部鏤空，已知圓錐的母線長為20cm,圓柱高為30cm,

底面的周長為24?tcm.

（1）求這種“籠具”的體積（結(jié)果精確到（Men?）；

⑵現(xiàn)要使用一種紗網(wǎng)材料制作這樣“籠具”的保護(hù)罩（包括底面）50個，該保護(hù)罩緊貼包裹“籠具”，紗網(wǎng)材

料（按實測面積計算）的造價為等平方舉8不，共需多少元？（結(jié)果精確到0.1元）

【解析】（1）設(shè)圓錐的底面半徑為尸，母線長為/,高為4,圓柱高為〃2,

貝IJ由題意有2a=24兀，得r=12cm,圓錐高4=也。？-12?=16cm，

223

所以“籠具”的體積V=Ttrh2+1Ttr/2!=7iH44x30+|xl44xl6j=5088兀~15984.4cm,（6分）

（2）圓柱的側(cè)面積用=2兀泌2=720兀cm?,圓柱的底面積顯=兀r=144兀,

圓錐的側(cè)面積S3=nrl=240K,

所以“籠具”的側(cè)面積餌則=耳+$2+S3=1104兀cn?.（12分）

故造50個“籠具”的最低息造價為——不----=二一~138.7兀.（14分）

答：這種“籠具”的體積約為15984.4cn?；生產(chǎn)50個籠具需要138.7元.

20.如圖，已知四棱錐尸-4BCD的底面為直角梯形，ADHBC,乙8co=90。，PA=PB,PC=PD.

（1）證明：CO與平面尸4D不垂直;

（2）證明：平面尸平面48cD；

（3）如果00=40+8。，二面角尸-BC-/等于60。，求二面角P-CO-N的大小.

【解析】（1）若CD,平面尸4D,

則CDLPD,

由已知PC=P。，

得NPCD=NPDC<90°,（2分）

這與CD_LPD矛盾，所以CD與平面尸4D不垂直.（4分）

（2）取N3、CD的中點E、F,連接尸￡、PF、EF,

由尸/=PC=PD,得PE工AB,

PF1CD,

.,.E尸為直角梯形的中位線，（6分）

.-.EFLCD,又PFCEF=F,

???CD1平面PEF,（8分）

由PEu平面尸所，得CD_LPE,又且梯形兩腰48、CO必交,

:.PEL^^ABCD,

又PEu平面尸48,

.,.平面尸平面/BCD,（10分）

（3）由（2）及二面角的定義知/母E為二面角尸-CO-N的平面角,

作EGL8C于G,連尸G,

由于尸E_L平面ABCD,BCu平面ABCD，故尸E±BC,

EGLBC,EGcPE=￡,EG,PEu平面PEG，故BC1平面PEG

PGu平面PEG,所以PGLBC

故/尸GE為二面角尸-5C-4的平面角，（12分）

即NPGE=60°,

由已知，得EF=；（4）+BC）=；CD,

又EG=CF=；CD.

：.EF=EG,

RtiPEF=RLPEG.NPEF=NPGE=60P,

故二面角尸-CO-4的大小為60。.（18分）

21.如圖，斜三棱柱ABC-44G中，NC=BC,。為N8的中點，2為4月的中點，平面ABC_L平面ABBXAX.

（1）求證：直線4?！ㄆ矫鍮GA；

（2）設(shè)直線/月與直線82的交點為點￡,若三角形N3C是等邊三角形且邊長為2,側(cè)棱/4=電，且異面

2

直線5。與力4互相垂直，求異面直線4。與BG所成角；

（3）若AB=2,AC=BC=6,tanN&AB=當(dāng)，在三棱柱/BC-481G內(nèi)放置兩個半徑相等的球，使這兩個球

相切，且每個球都與三棱柱的三個側(cè)面及一個底面相切.求三棱柱/8C-44G的高.

【解析】（1）斜三棱柱NBC-43G中，0為的中點，。為的中點,

所以40=且42〃8。，

所以四邊形428。為平行四邊形，

所以4。/力2