圓錐曲線與向量交匯問題-高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)重點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)（解析版）

【一輪復(fù)習(xí)講義】2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)（新高考通用）

素養(yǎng)拓展36圓錐曲線與向量交匯問題（精講+精練）

、知識(shí)點(diǎn)梳理

一、向量共線

運(yùn)用向量的共線的相關(guān)知識(shí)，可以較容易地處理涉及三點(diǎn)共線、定比分點(diǎn)、直線等問題。在處理圓錐曲線

中求相關(guān)量的取值范圍、求直線的方程、求待定字母的值、證明過定點(diǎn)等問題時(shí)，如能恰當(dāng)?shù)倪\(yùn)用平面向

量共線的相關(guān)知識(shí)，常常能使問題較快捷的得到解決.

【一般策略】

通過適當(dāng)?shù)脑O(shè)點(diǎn)，將向量關(guān)系代數(shù)化，再根據(jù)圓錐曲線的定義以及一些性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

來解決問題.

二、向量的數(shù)量積

向量的數(shù)量積將一些幾何知識(shí)與代數(shù)知識(shí)充分的聯(lián)系在一起，它可以處理垂直、長(zhǎng)度、三角形面積和三角

函數(shù)等問題。所以在解決圓錐曲線中的一些問題時(shí)，它通?？梢赃\(yùn)用在探索點(diǎn)、線的存在性、求參數(shù)的取

值范圍和求圓錐曲線的方程等方面.

【一般策略】

在圓錐曲線問題中運(yùn)用向量的數(shù)量積，往往題目中出現(xiàn)了向量的數(shù)量積或構(gòu)造向量的數(shù)量積，通過向量的

數(shù)量積的表達(dá)式、意義和運(yùn)算性質(zhì)，從而達(dá)到將問題簡(jiǎn)化.

三、相應(yīng)的知識(shí)儲(chǔ)備

1.共線向量定理

如果苕="（XeR）,則。/區(qū)；反之，如果商〃B且3/0,則一定存在唯一的實(shí)數(shù)力，使々=花.（口訣:

數(shù)乘即得平行，平行必有數(shù)乘）.

2.數(shù)量積的運(yùn)算

（1）已知非零向量。=（4，%），/?=（/，%）,e為向量。、，的夾角.

結(jié)論幾何表示坐標(biāo)表示

模\a\=4a~aIa卜次+y?

數(shù)量積a'b^a\\b\cos3ab=玉%2+M%

cos*「2+產(chǎn)

夾角c°se=a

\a\\b\

aD的充要

ab=0Vz+y^i=o

條件

?！ㄈ氲某湟?/p>

a-九從bw0)尤i乃一尤2yl=°

條件

|a?川與|。|出]|a小區(qū)|a||W(當(dāng)且僅當(dāng)

1玉%+%%W+y；?Jx；+yl

的關(guān)系a//b時(shí)等號(hào)成立)

(2)兩個(gè)向量a,6的夾角為銳角Ci為>0且a,6不共線；兩個(gè)向量a,8的夾角為鈍角2防<0且a,6不共

線

二、題型精講精練

【典例1]已知點(diǎn)4(0,-2),橢圓E，+『l(a”>0)的離心率為冬尸是橢圓E的右焦點(diǎn)，直線AF

的斜率為友，0為坐標(biāo)原點(diǎn).

3

⑴求E的方程；

⑵設(shè)過點(diǎn)A的直線/與E相交于P,。兩點(diǎn)，且APngA。，求△。尸。的面積及直線/的方程.

【解析】(1)設(shè)*GO),因?yàn)橹本€■的斜率為友，A(0,-2),所以2=宜1,解得c=?.

3c3

c-(a=22

又廠號(hào),解得7,，所以橢圓E的方程為土+丁=1.

[/=/一歷=14

(2)設(shè)P(%,yJ、由題意可設(shè)直線/的方程為：y=kx-2,

[d2,

聯(lián)立《4,消去，得(1+43)》2一16日+12=0,

y=kx-2

當(dāng)A=16(442一3)>0,所以/>[,即左<一走或左>3時(shí)，%+9=7%,再飛=」1萬，

4221+4F1+4左2

—.1-,(16%『6973

由AP=：AQ,得無2=2%,代入上解得無2；=J~、=亡赤，即％==>[，

290+4左2)1+4Z204

4,1+左2,4左2—3

又|尸°|=Jl+左、+々)2-4再。2

1+4-2

點(diǎn)。到直線/的距離7r所以?小|PQ|=坐驍=乎，

此時(shí)直線/的方程為：片嚕-2或尸一嚕X。

【典例2】已知雙曲線C的漸近線為4x±3y=0,右焦點(diǎn)為尸（5,0）,右頂點(diǎn)為4

（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

（2）若斜率為1的直線/與雙曲線C交于M,N兩點(diǎn)（與點(diǎn)A不重合），當(dāng)瘋.麗=0時(shí)，求直線/的方程.

【解析】⑴雙曲線C的漸近線4x±3y=0化為"與=0,設(shè)雙曲線C的方程為工-爐=犯>0）,

34916

22

即工-工=1,又雙曲線c的右焦點(diǎn)尸（5,0）,則92+164=5、解得2=1,

92162

22

所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為土-匕=1.

916

（2）由⑴知，A（3,0）,設(shè)直線/的方程為尸犬+“河區(qū)加川5,巴）,顯然

V_/=2L

由忖一記一消去y整理得7尤2—18〃穴一（9"+144）=0,顯然A>0,再+冗2=---------,須入2=--------------------------9

y=x+m

而AM=（玉—3,yj,A7V=（x2—3,%），則-AN=（%—3）（々-3）+（玉+m）（x2+m）

2

=2%IX2+（加一3）（西+x2）+m+9=-2（9加+144）+18"（"-3）?/+9=。，

7

75

化簡(jiǎn)得7m2—54m—225=0,即（7機(jī)—75）（加+3）=0,而根w—3,解得小=亍，

【題型訓(xùn)練-刷模擬】

1.向量共線

一、解答題

1.已知平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)M（x,y）與定點(diǎn)產(chǎn)（1,0）的距離和M到定直線x=4的距離的比是常數(shù)3.

（1）求動(dòng)點(diǎn)/的軌跡方程；

（2）設(shè)動(dòng)點(diǎn)/的軌跡為曲線C,過定點(diǎn)廠（1,0）的直線/和曲線C交于不同兩點(diǎn)A、B滿足衣=2而，求線段

A8的長(zhǎng).

22

【答案】⑴L+匕=1

43

（2）|AB|=y

【分析】（1）根據(jù)距離公式可得出關(guān)于無、，所滿足的等式，化簡(jiǎn)可得點(diǎn)M的軌跡方程；

（2）分析可知直線直線I不與x軸重合，設(shè)直線/的方程為x=沖+1,設(shè)點(diǎn)AQ,%）、3（和％），由衣=2而

可得出乂=-2%，將直線/的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，由％=-2%結(jié)合韋達(dá)定理可求得療的值，然后利

用弦長(zhǎng)公式可求得|旗|的值.

【詳解】（1）解：因?yàn)槊鎯?nèi)動(dòng)點(diǎn)M（x,y）與定點(diǎn)網(wǎng)1,0）的距離和〃到定直線x=4的距離的比是常數(shù)9

則也可=整理可得￡+f=i,

H243

22

因此，點(diǎn)M的軌跡方程為工+匕=1.

43

（2）解：若直線/與1軸重合，則A、5為橢圓C長(zhǎng)軸的頂點(diǎn)，

若點(diǎn)4（2,0）、5（-2,0）,則赤=（-1,0）,麗=（-3,0）,此時(shí)通=：麗，不合乎題意，

若點(diǎn)4（-2,0）、5（2,0）,同理可得通=3而，不合乎題意，

所以，直線/不與x軸重合，設(shè)直線/的方程為x=“y+l,設(shè)點(diǎn)A（HM）、B（x2,y2）,

x=my+1

聯(lián)立可得(3療+4)y?+6啊-9=0,A=36m2+36(31+4)=144"+1)>0,

3x2+*44y2=12

因?yàn)榈?2兩,即（1一和一%）=2G-1,初），所以，f=2%，即％=-2%,

由韋達(dá)定理可得%+=一熹'所以'%=號(hào)'

2

6m

%%=12￡=-2x

3m2+4高解得病4

2

因此，\AB\=Jl+m*2.+必）、-43%=Jl+療?

3m2+4

2

3m+43X4+48

r

221

2.已知橢圓C1r+斗=1（。＞人〉0）的離心率e二;，點(diǎn)耳，工為橢圓C的左、右焦點(diǎn)且經(jīng)過點(diǎn)耳（-。⑼的

ab2

最短弦長(zhǎng)為3.

⑴求橢圓C的方程；

（2）過點(diǎn)可分別作兩條互相垂直的直線乙，〃，且4與橢圓交于不同兩點(diǎn)42,'與直線交于點(diǎn)P，若

麗=彳耶，且點(diǎn)。滿足?=4囪，求|尸@的最小值.

22

【答案】⑴上+工=1

⑵5

【分析】（1）由通徑性質(zhì)、離心率和橢圓參數(shù)關(guān)系列方程求參數(shù)，即可得橢圓方程；

（2）討論直線斜率，設(shè)AQ，x）,8（々,%）,《為尤=加了-1,注意〃?=0情況，聯(lián)立橢圓方程

應(yīng)用韋達(dá)定理求%+%,X%，結(jié)合觀=2用、木二九5坐標(biāo)表示得到九二一叢二土生，進(jìn)而有

%必-y。

%=2詈求。，再求尸坐標(biāo)，應(yīng)用兩點(diǎn)距離公式得到|為2|關(guān)于，"的表達(dá)式求最值，注意取值條件.

M+%

ri，解得*3,所以橢圓的方程為:+。1.

【詳解】（1）由題意，

（2）由（1）得耳（-1,0）,若直線4的斜率為0,則6為x=-l與直線x=l無交點(diǎn)，不滿足條件.

設(shè)直線4：x=my-\,若帆=0,貝!!久=1貝!!不滿足@5=2豆，所以相片0.

設(shè)4（不，%），3（孫丹），。（%，%），

3x2+4y2=12

得：(3m2+4)y2-6my-9=Q,y+y-6m9

由x2o，xy?.=7

x=my-13m2+4-1-23m2+4

福=/l而即1(T-%,-%)=幾(工2+1，%)

因?yàn)樨惒罚?力必，乂一%=4（%-%），

QA=AQB

一。則％=-4,即Q—

所以4解得先=2%當(dāng)

%%一%

直線4：x=--y-l,聯(lián)立x=_/vT,解得P(1,-2M),

m1

/.閘小+[-；+2〃J>5,當(dāng)且僅當(dāng)〃z=乎或m=-乎時(shí)等號(hào)成立

二|「。|的最小值為5.

3.經(jīng)過點(diǎn)4（-2,4）且傾斜角為135。的直線與拋物線丁=20以0>0）交于加，N兩點(diǎn)，且AA/=2AW,

AN=^-MN,A>0.求P和％.

【答案】p=l,九=在」

2

【分析】設(shè)M4,yJ,N（x2,y2）,寫出直線MN方程與拋物線方程聯(lián)立方程組，消元應(yīng)用韋達(dá)定理得

%+%,其%，由向量共線的坐標(biāo)表示得出如%"的關(guān)系，消去4,代入韋達(dá)定理的結(jié)論求得P值，從而可

得M,N的（縱）坐標(biāo)，由此求得2.

【詳解】根據(jù)題意可得MN直線方程為>-4=-（》+2）,即x+y-2=0,

fx+y—2=0

聯(lián)__,可得y+2py—4P=0,?.,夕〉0,「.△=4p2+16p>0,

[y2=2px!

設(shè)N(x29y2)9又A(-2,4),

.pi+%=-2p

..AM=(%]+2,%—4)，AN=(x2+2,%—4),MN=(x2—xlty2—,

5LAM=2,MN,AN=\MN,

7L

乃-4=%(%-%)

??<1,

上一4=二(%一%)

I4

(y-4)(%-4)=(必一%)2,

?二y%-4(y+%)+16=(y+%)2一句%，

-4p+8p+16=4〃2+I6p,

/.p2+3p-4=0,又p>0,

?.P=1,

7.y2+2^-4=0,

.-.y=-l±y/5,又義=±土>0,

%一名

??x=-1+\/59y29

_y-4_-1+A/5—4_yjs—1

%-M-1-正一(-1+正)2

故。=i,八也二L.

2

4.已知雙曲線C：，■多=1(。>0,6>0)的漸近線方程為〉=±*尤，且過點(diǎn)⑹卜

(1)求雙曲線C的方程；

（2）若尸是雙曲線的右焦點(diǎn)，。是雙曲線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)尸，。的直線/與y軸交于點(diǎn)M,且破+2/=6,

求直線/的斜率.

九2

【答案】⑴二-丁=1

3

⑵k=±叵

6

【分析】（1）根據(jù)雙曲線的漸近線方程為y=±gx和雙曲線過點(diǎn)（"』），聯(lián)立求解；

（2）由題意設(shè)直線方程為y=M%-2）,令x=0,得到M的坐標(biāo)，設(shè)Q（x,y）,根據(jù)麗+2麗=0,用k

表示點(diǎn)Q的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)Q在雙曲線上，代入雙曲線方程求解.

【詳解】（1）解：因?yàn)殡p曲線C?=1（。>0,6>0）的漸近線方程為/=±*邙

所以2=立，

a3

22

又因?yàn)殡p曲線C：十'=15>0,6>0）過點(diǎn)（疝1）,

所以5J=1，解得"=3，〃=1，

所以雙曲線的方程為工-9=1；

3

（2）由（1）知：°2="+片=4,則尸（2,0）,

由題意設(shè)直線方程為>=左（％一2）,令x=0,得y=-2Z,則M（0,-2左），

設(shè)。（尤,y）,貝（J麗=（x,y+2左），詼=（2—x,—y）,

因?yàn)辂?2/=6,

所以（x,y+2與+2（2—x,-y）=。，貝!I_丫+筋=0，

I

=4

解得,因?yàn)辄c(diǎn)Q在雙曲線上，

[y=2左

所以魯止=1,解得.叵,

36

所以直線1的斜率為左=±叵.

6

5.已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，離心率為2,一個(gè)焦點(diǎn)廠（-2,0）

（1）求雙曲線方程；

（2）設(shè)。是雙曲線上一點(diǎn)，且過點(diǎn)F、。的直線/與y軸交于點(diǎn)若|阿卜2|0可，求直線/的方程.

2

【答案】⑴爐-匕=1

3

（2）y=±^^（x+2）或y=±-^-（-^+2）

22

【分析】（1）依題意設(shè)所求的雙曲線方程為，-與=1,則c=2,再根據(jù)離心率求出。，即可求出》，從

而得到雙曲線方程；

（2）依題意可得直線/的斜率存在，設(shè)/:y=Mx+2）,即可得到M的坐標(biāo)，依題意可得汲=2函或

MQ=-2QF,分兩種情況分別求出。的坐標(biāo)，再根據(jù)。的雙曲線上，代入曲線方程，即可求出％,即可得

解

22

【詳解】(1)解：設(shè)所求的雙曲線方程為二-斗=1(?>0,b>0),貝!|e=￡=2,c=2,

aba

2

又/=4+/貝8=指，所求的雙曲線方程為/一匕=1.

3

(2)解：???直線1與y軸相交于M且過焦點(diǎn)廠(-2,0),

.?.I的斜率一定存在，則設(shè)/:產(chǎn)k(x+2).令x=0得M(0,2左),

?.［阿卜斗司且M、Q、F共線于1,.?.血=2爐或血=-2兩

當(dāng)MQ=2Q尸時(shí)，xQ=——,H攵，，

；Q在雙曲線一一二=1上，-=1,.?.左=±叵，

39272

當(dāng)詼=-2斯時(shí)，2(-4,-2^),代入雙曲線可得：

16--=1,.?.左=±3氐

32

綜上所求直線1的方程為：y=土浮(x+2)或y=士半(尤+2).

1*2*2YY

6.已知雙曲線斗=1(。>0/>0)的兩條漸近線分別為4：y=：,/2：y=-g.

(1)求雙曲線E的離心率；

(2)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，過雙曲線上一點(diǎn)尸倒也』)作直線/分別交直線小4于A,3兩點(diǎn)(A,3分別在第一、

第四象限)，且方=2市5,求劍93的面積.

【答案】⑴更

2

瑤

【分析】(1)根據(jù)漸近線方程可得2b=1再通過_離心率公式求得離心率；

a2

(2)根據(jù)雙曲線過點(diǎn)網(wǎng)2忘,1)可得雙曲線方程，由已知可設(shè)點(diǎn)A、,5］，8［再由而=2而，

可得七，X］,進(jìn)而可得|0到設(shè)直線。4的傾斜角為6,則tan。=’,即可得sinNAOB,即可得“108

的面積.

【詳解】(1)因?yàn)殡p曲線E的漸近線分別為小V=：,

所以6，=也五=好，

〃2aa2

所以雙曲線E的離心率為更；

2

b1

（2）由（1）得'=—,

a2

則可設(shè)雙曲線

因?yàn)槭?形,1）在雙曲線上，

所以2=2-1=1,則雙曲線E的方程為三-產(chǎn)=1,

4

又點(diǎn)A,8分別在=與，2：y=-^上，

因?yàn)榍?2而，

所以1%-2應(yīng)，-字-1]=2^2A/2,

則％=3+；應(yīng),%=30—3,

X|OA|=Jx；+㈤2=&=3書記回,同理得依用=1/=35一3下,

2sincos02tan6

設(shè)的傾斜角為，，貝［

Q4Ktan^=-=-,jsin/AOB=sin20=222

a2sin^+cos01+tan<9

訴l、Jc_!lz.Aiiz.pl-/.cn_l3君+3加3回-3下4_9

所以S?AOB=^\OA^OB\smZAOB=-X-x-x-=--

【點(diǎn)睛】求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法是待定系數(shù)法.具體過程是先定形，再定量，即先確定雙曲線標(biāo)

準(zhǔn)方程的形式，然后再根據(jù)a,b,c,e及漸近線之間的關(guān)系，求出a,b的值.如果已知雙曲線的漸近線

22

方程，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，可利用有公共漸近線的雙曲線方程為^-左=4（4H0）,再由條件求出入的

值即可.

7.已知圓G：（x+3>+y2=9,6：（尤-3）2+y=1,動(dòng)圓加與圓C―6均外切，記圓心M的軌跡為曲線C.

⑴求曲線C的方程；

（2）直線/過點(diǎn)C?,且與曲線C交于A,3兩點(diǎn)，滿足相=3印，求直線/的方程.

2

【答案】（1"一2=1"川

8

（2）y=土同x-3）

【分析】（1）根據(jù)兩圓的位置關(guān)系結(jié)合雙曲線的定義分析求解；

（2）不妨設(shè)/:x=my+33（七,力），由公［=3Q不可得%=-3%,結(jié)合韋達(dá)定理運(yùn)

\7

算求解.

【詳解】（1）由題意可知：圓G的圓心G（-3,0）,半徑4=3,圓C?的圓心。2（3,0）,半徑弓=3,

由條件可得|MCj-3=|MC2|-1,即\MQ\-\MQ\=2<，

則根據(jù)雙曲線的定義可知，點(diǎn)M是以G，C?為焦點(diǎn)，以2為實(shí)軸長(zhǎng)的雙曲線的右支,

則a=1,c=3,可得從=c?—a?=8,

（2）由（1）可知：雙曲線的漸近線方程為、=±2岳，即工=土也y,

4

由于C?（3,0）且直線Afi的斜率不等于0,

不妨設(shè)/:x=my+3|m|4(%,%),3(%,%)，

4J

則AC?=(3—不，—%),C25=(x2—3,y2),

由AC2=3c2臺(tái)可得％=-3%，

x=my+3

聯(lián)立方程2>2,消去x得(8m2_l)y2+48〃9+64=0

X----=1

8

48m

%+、2=_Q21

8m-1

則A>0,由韋達(dá)定理可得

64

=8Qm2-11

72m

48m%一而-]

由,,必+%=-8〃11,解得,

24m

、%=一3%y2-8m2-l

4、64,24mf72m64

代入％%=可得嬴LfX

8m-18m-1I8m2-18蘇_i'

解得病=—<—>即〃z=±Y1Z,

35835

BPy=±A/35(X-3).

222

8.已知月，居分別為橢圓C:二+當(dāng)=1（。＞6＞0）的左、右焦點(diǎn)，與橢圓C有相同焦點(diǎn)的雙曲線上-尸=]

Q64

在第一象限與橢圓C相交于點(diǎn)P，且|尸鳥|=1.

⑴求橢圓C的方程；

（2）設(shè)直線、=丘+1與橢圓C相交于A,2兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，且兩=機(jī)礪（機(jī)＞0）.若橢圓C上存在點(diǎn)E,

使得四邊形OAE。為平行四邊形，求他的取值范圍.

2

【答案】⑴土f+匕V=1

94

(2)me[1,2)

【分析】（1）結(jié)合雙曲線方程可得『-技0）,6函,0）,結(jié)合雙曲線和橢圓的定義即可得到|「耳|+|尸閶=6,

進(jìn)而求解；

（2）設(shè)8（%,%）,則。（外,《%）,結(jié)合平行四邊形OAED,可得研西+儂2，%+切?），聯(lián)立直

_1Rk_774

線和橢圓方程，利用韋達(dá)定理可得%+々=舄三，%％=看一?進(jìn)而得至!1m=2-從而求解.

9左+49左+49左+4

【詳解】⑴由題意，雙曲線'-y2=i的焦點(diǎn)為￡（一后0）,（75,0）,

???雙曲線匚-V=i與橢圓c有相同焦點(diǎn)且在第一象限交點(diǎn)為p,

4

又|尸圓=1,叫=5,附|+|尸引=6.

,?2a—6fa=3.

/.b2=4.

r2v2

???橢圓c的方程為L(zhǎng)+匕=1.

94

(2)設(shè)3(%,%),則Z)(隱，切2).

1?,四邊形OAED為平行四邊形，

OD^AE,磯西+慢,％+啰).

?.?點(diǎn)A,B,E均在橢圓C上，

?日+尤=1,考+應(yīng)=1,a+吵丫(.+陽2)[[

9494，94一'

,/m>0,

廠.4玉々+9%%+18加=0.

.0.（4+922）%%2+9左（石+%）+9+18M=0.

y=kx+1,

由*V消去y,得（9/+4）尤2+18航-27=0.

194

顯然A=432（3左2+1）>0.

-18k-27

~21x（4+9^2）一一^^x9%+18m+9=0.

9k2+4'）9左2+4

m=2^―,

9F+4

因?yàn)?N0,所以9/+4N4,即0<

9一k，-+4“v]4,

44

所以一14一一—<0,即IV——--<2.

9左2+49k2+4

me[1,2）.

9.已知橢圓八二+工=1(m>0,〃7N&),點(diǎn)48分別是橢圓「與y軸的交點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的上方)，過

nr2''

點(diǎn)r?（o,i）且斜率為k的直線/交橢圓r于E,G兩點(diǎn).

（D若橢圓「焦點(diǎn)在無軸上，且其離心率是比，求實(shí)數(shù)優(yōu)的值;

2

（2）若加=左=1,求△瓦丘的面積；

⑶設(shè)直線AE與直線y=2交于點(diǎn)H,證明：氏G,H三點(diǎn)共線.

【答案】（1）羽=2

⑵2（&+1）

3

（3）證明見解析

【分析】（1）根據(jù)離心率的定義計(jì)算即可；

（2）聯(lián)立直線和橢圓方程，根據(jù)弦長(zhǎng)公式算出|EG|,用點(diǎn)到直線的距離公式算出三角形的高后即可;

（3）聯(lián)立直線和橢圓方程，先表示出//坐標(biāo)，將共線問題轉(zhuǎn)化成證明原G=%BH，結(jié)合韋達(dá)定理進(jìn)行化簡(jiǎn)計(jì)

算.

【詳解】（1）依題意，'==e2=」，解得機(jī)=2（負(fù)數(shù)舍去）.

m-2

（2）左=1的直線經(jīng)過（0,1）,則直線方程為：y=x+l；

2

m=\,則橢圓的方程為：/+匕=1.

2

y=x+l

設(shè)￡（/%）,G（z，%）聯(lián)立直線和橢圓方程：2黃,消去y得到3d+2x-1=0,

I2

解得Ll，z=g,則％=0,%=；故E（TO）,唱,￡|,于是即=Jd+10甯=乎

依題意知，B為橢圓的下頂點(diǎn)，即8（0,-魚），由點(diǎn)到直線的距離，8（0,-應(yīng)）到y(tǒng)=x+l的距離為：與1.

…1401+722+20

故％

y=kx+l

（3）設(shè)E（4M）,G（W，/）聯(lián)立直線和橢圓方程:x21,得到（蘇左2+2）爐+2kmix-m2=0由

_+￡9

,/7122

%"4。,揚(yáng)，得到直線轉(zhuǎn)方程為：尸—令尸2,解得人的'即

’（2-6同

H,2,又G（%,%），石（。，-右），為說明民G,“三點(diǎn)共線，只用證即證:

7

%+2+A/2

%二(2一反，下用作差法說明它們相等：

%+應(yīng)_2+0=%+3_(2+&)(%-0)=%+忘_(3+21)(%-亞)

%(2—X](2—\/2)Xjx?玉，而％=丘]+1,%=近2+1,

X-3

y2+A/2_kx2+1+>/2_1+V2(3+25/5)(另-5/^)_(3+2>/5)(應(yīng)+1-0)_(3+2^^)&+1丁.是

x2x2x2x1xtX]

\

式變?yōu)椋簁+生！Z-G+2母洪+旦旦-(2+2及求.

1+1

xlx2

-2km2

于是二故陋+1)11)

由韋達(dá)定理，，—+——-(2+2?=0,命題得

2

-m占尤2益尤2%x)

x,x=—^―：---2

,12m2V+2

證.

10.已知拋物線6了=。雙。>0）的焦點(diǎn)為耳，拋物線G：V=2"的焦點(diǎn)為F?,且閨用=g.

（1）求P的值;

⑵若直線/與G交于M，N兩點(diǎn)，與C?交于尸，。兩點(diǎn)，M,P在第一象限，MQ在第四象限，且|MP|=2|N@,

求\胃MN的\值.

【答案】（1）2

嗚

【分析】（1）根據(jù)拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)公式，結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式進(jìn)行求解即可;

（2）將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合平面向量共線性質(zhì)進(jìn)行求解即

可.

【詳解】（1）由拋物線6：/=川5>0）的方程可知焦點(diǎn)4的坐標(biāo)為］/,0卜

由拋物線G:「=2/的方程可知焦點(diǎn)F2的坐標(biāo)為《,01,

因?yàn)殚|閭=（，

所以勺/=gnp=2；

（2）由（1）可知兩個(gè)拋物線的方程分別為y=2尤,>2=以，

設(shè)直線/：x=〃9+f,"（4'。'（孫％），75（，%）,。?，”），

根據(jù)題意結(jié)合圖形可知：m^O,且%>%>。>%>為，

、，、[x=my+t,

聯(lián)乂<2c^>y9--2my-2t=Q,貝!]%+%=2m，

[y=2無

.、fx=my+19,

同理聯(lián)立<2.=>>2-4〃9-4/=0,則為+%=4%，

[y=4x

由|MP|=2|NQ|=>礪=2而n（%3-為,%-％）=2（X2-匕，為—”），

所以為-%=2（%-%），

即^n-y4-y1=2（2加一%一%）=%=—乂，

22

又因?yàn)椴?24q=4尤”所以匕="=五=五，

442

2

fx=4M%

聯(lián)立《，Jn%=8〃2,所以％=-6%%=-8利,%=12相，

〔X=2芭

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是由恢陽=2|NQ|n存=2而

22

11.已知雙曲線C：3=l（a>0,6>0）,直線/在X軸上方與X軸平行，交雙曲線C于A,B兩點(diǎn)，直

線/交y軸于點(diǎn)。當(dāng)/經(jīng)過C的焦點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（6,4）.

⑴求C的方程；

（2）設(shè)0D的中點(diǎn)為M,是否存在定直線I,使得經(jīng)過M的直線與C交于尸,Q,與線段42交于點(diǎn)MPM=XPN，

麗均成立；若存在，求出/的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】⑴片-t=1

412

⑵存在，y=2?

【分析】（1）由點(diǎn)A的坐標(biāo)求得c,結(jié)合雙曲線的定義求得“，進(jìn)一步計(jì)算得出雙曲線的方程即可;

（2）設(shè)直線PQ的方程為y=Ax+加優(yōu)#0）,與雙曲線聯(lián)立得出韋達(dá)定理，結(jié)合兩個(gè)向量共線的坐標(biāo)表示求

得加，得到直線1的方程.

22

【詳解】（1）由已知C：與一,=1（。>0,6>0）,點(diǎn)A的坐標(biāo)為（6,4）,得c=4,

ab

焦點(diǎn)耳（0,4）,6（0,-4）,2a=|A周-囪=娘苕-6=4.

22

所以a=2,b2=c2-a2=n,故C：=1.

412

（2）設(shè)1的方程為y=27〃（m>l）,則￡）（0,2%），故Af（0,m）,

由已知直線PQ斜率存在，設(shè)直線PQ的方程為廣質(zhì)+加（b0）,故乂盛21

與雙曲線方程聯(lián)立得：（3A:2-l）x2+6fonx+3m2-12=0,

由已知得詼j1,A>0,設(shè)尸（藥,%）,。（%,女）,

6km3m2-12

則玉+%2=-xx

342—1{23k2-1

由兩=4而，麗=4函得:玉=丸［再一二

消去X得：*21%—工）=再1%

即2X1X2-+%)=0②

K

由①②得：%（加2-2）=0,由已知機(jī)=&,

故存在定直線1：y=2?■滿足條件.

12.橢圓C:J+，=l(a>6>0)的離心率為乎，過橢圓焦點(diǎn)并且垂直于長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)度為1.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)若直線，與橢圓C相交于A,3兩點(diǎn)，與y軸相交于/(0,m)點(diǎn)，若存在實(shí)數(shù)加，使得麗+3礪=4宿,

求用的取值范圍.

【答案】⑴蘭+丁=1

4

⑵朋咱，一￡|

【分析】(1)根據(jù)橢圓離心率公式，結(jié)合橢圓垂直于長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)公式進(jìn)行求解即可；

(2)根據(jù)直線/是否存在斜率，結(jié)合平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算公式、一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系分類討論進(jìn)行

求解即可.

【詳解】(1)因?yàn)樵摍E圓的離心率為遮，所以有￡=3=￡=2=>七匯=3=>[=工(1),

2a2a24a24a24V7

在方程,+方=1中，令x=±c,解得-夕，

因?yàn)檫^橢圓焦點(diǎn)并且垂直于長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)度為1,

22

所以有1A(b^\/、由/⑴、，,⑵、可得：156Z=二21，

丫2

所以橢圓的方程為二+9=1;

4

(2)當(dāng)直線/不存在斜率時(shí)，由題意可知直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，與縱軸也有兩個(gè)交點(diǎn)不符合題意;

當(dāng)直線/存在斜率時(shí)，設(shè)為％,所以直線/的方程設(shè)為丫=米+加,

￡2

于是有n(l+4左2)無2+8乃-4=0,

y=kx+m

因?yàn)樵撝本€與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，所以一定有△=64廿歷_4(1+4/)(4相-4)>0,

化簡(jiǎn)，得軟2一蘇+1>0,

設(shè)4(不乂)，3(孫％)，于是有%+々再尤2=，二?,

1十4/C1十4K

因?yàn)橹?3OB=4麗，

所以(%,％)+3(兀2，%)=4(0,祇)=>玉+3/=。=>%=一3%2,

八、、8km,o8km4km

代入玉+馬二-才/中，得_3%+%=_]+如2=12

1+4〃

4m2—4_4km4m2—4

于是有(-3X)-X1+4/0

221+4〃-l+4k2

化簡(jiǎn)，得公="A］代入4H>。中，得

4-16m

4--^——^-m2+l>0=>—<m2<1nzn￡(工，11

4-16m24(2r<2

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是由向量等式西+3OB=40得到玉=-3々.

22

13.已知橢圓C:'+￡=l(a>6>0)的離心率為點(diǎn)F?為C的左、右焦點(diǎn)，經(jīng)過耳且垂直于橢圓長(zhǎng)

軸的弦長(zhǎng)為3.

(1)求橢圓C的方程;

(2)過點(diǎn)可分別作兩條互相垂直的直線4，4,且《與橢圓交于4B兩點(diǎn)，4與直線彳=1交于點(diǎn)P，若

麗=九而，且點(diǎn)Q滿足砒=29，求線段尸。的最小值.

22

【答案】⑴，匕=1

43

(2)5

【分析】(1)由通徑性質(zhì)、離心率和橢圓參數(shù)關(guān)系列方程求參數(shù)，即可得橢圓方程；

(2)討論直線斜率，設(shè)A(XQJ,3(%,%),。(%,%),ll^jx=my-l,注意切=0情況，聯(lián)立橢圓方程

應(yīng)用韋達(dá)定理求％+%，X%，結(jié)合亞=4用、@?=彳a坐標(biāo)表示得至1]4=-*=21二迎，進(jìn)而有

%=拿。求。，再求尸坐標(biāo)，應(yīng)用兩點(diǎn)距離公式得到|尸。|關(guān)于機(jī)的表達(dá)式求最值，注意取值條件.

22「222

【詳解】⑴對(duì)于方程5r+4v=1,令X=C,則=+5=1,解得y=±h匕，

ababa

K=3

a

c1

由題意可得｛—=%，解得4=4,b2=39

a2

a2-b2=c2

22

所以橢圓的方程為'+匕=1.

43

(2)由(1)得爪T。)，若直線4的斜率為0,則4為x=-1與直線*=1無交點(diǎn)，不滿足條件.

設(shè)直線4：x=my-l,若租=0,貝!1%=1,則不滿足a=29，所以加片0.

設(shè)4(%,%),設(shè)務(wù)皿),。(毛,%),

3'+4']I?得：（3>+4）/—6切—9=0,A=36W+36（3療+4）>0,

由

6m9

所以%+為=

3m2+423m2+4

AF,=AEB玉，-%)=4(%2+1，%)、

因?yàn)椤辜碭"v貝1一%二4%，Xf=4(%-%)，

QA=AQB曲，口一%)二丸(%2一％，％一%)

3

所以』解得獷——，貝!1%o=—4,即。|-4,---

mm

11

直線。X=-工丫-1，聯(lián)立＜x=V—1X=]

rn,解得k-2/即W

m

x-\

?.?閘十+(一：+2小M+.+13N5,

當(dāng)且僅當(dāng)機(jī)=逅或=-逅時(shí)，等號(hào)成立，

22

???|PQ|的最小值為5.

14.如圖，正六邊形ABCD跖的邊長(zhǎng)為2.已知雙曲線T的焦點(diǎn)為A,D,兩條漸近線分別為直線臺(tái)及叱.

(D建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求r的方程；

(2)過A的直線/與「交于M,