新高考新結構命題下的解三角形解答題綜合訓練（學生版）-2025年高考數學一輪復習學案（新高考）

第12講新高考新結構命題下的

解三角形解答題綜合訓練

(10類核心考點精講精練)

I傳.考情探究?

在新課標、新教材和新高考的“三新”背景下，高考改革又一次具有深度的向前推進。這不僅僅是一

場考試形式的變革，更是對教育模式和教育理念的全面革新。

當前的高考試題設計，以“三維”減量增質為核心理念，力求在減少題目數量的同時，提升題目的質

量和考查的深度。這具體體現在以下三個方面：

(1)三考

題目設計著重考查學生的知識主干、學習能力和學科素養(yǎng)，確保試題能夠全面、客觀地反映學生的實

際水平。

(2)三重

強調對學生思維深度、創(chuàng)新精神和實際應用能力的考查，鼓勵學生不拘泥于傳統(tǒng)模式，展現個人的獨

特見解和創(chuàng)造力。

(3)三突出

試題特別突出對學生思維過程、思維方法和創(chuàng)新能力的考查，通過精心設計的題目，引導學生深入思

考和探索，培養(yǎng)邏輯思維和創(chuàng)新能力。

面對新高考新結構試卷的5個解答題，每個題目的考查焦點皆充滿變數，無法提前預知。解三角形版

塊作為一個重要的考查領域，其身影可能悄然出現在第15題中，作為一道13分的題目，難度相對較為適

中，易于學生入手。然而，同樣不能忽視的是，解三角形版塊也可能被置于第16、17題這樣的中等大題中，

此時的分值將提升至15分，挑戰(zhàn)學生的解題能力和思維深度，難度自然相應加大。

面對如此多變的命題趨勢，教師在教學備考過程中必須與時俱進。不僅要深入掌握不同題目位置可能

涉及的知識點及其命題方式，更要能夠靈活應對，根據試題的實際情況調整教學策略。本文基于新高考新

結構試卷的特點，結合具體的導數解答題實例，旨在為廣大師生提供一份詳盡的導數解答題綜合訓練指南,

以期在新高考中取得更好的成績。

考點一、面積及最值

1.(2024?河南焦作,模擬預測)記的內角A,B,C的對邊分別為。，b,c,已知點尸為線段/C上

的一點，且/尸=2CF,BF=2,asin/+csinC-6sin3=—asinC.

(1)求cos/48c的值；

(2)求。8C面積的最大值.

2.(2024?貴州銅仁?模擬預測)在AASC中，已知tan/+tan3+l=tan/-tan3,AB=2亞，AC=2A/3.

⑴求角8；

(2)若A48c為銳角三角形，S.GA+GB+GC=0,求△G4B的面積.

3.(2024?全國?模擬預測)在。8C中，AB=2BC.

3

(1)若cos8=—,求tan/；

(2)若NC=2,求“8C面積的最大值.

4.(2024?全國?模擬預測)在。8C中，內角4及。的對邊分別為已知

cos2B-cos2ZBAC-2sinC(sinC-siirB).

⑴求/B/C.

(2)若點。為邊2C的中點，且/。=2,求面積的最大值.

5.(2024?全國,模擬預測)在左18。中，角/,B,C的對邊分別為a,b,c,且a=l.

兀

(1)若C-8=五，c=6bsinC，求6;

(2^(a+bXsi*-sinS)=(c-b)sinC,求"BC的面積S的最大值.

考點二、周長及最值

1.(23-24高三,河北滄州,模擬)”8C的內角A,B,C的對邊分別為叫b,c,^tanAasmB^

1+tanAb

⑴求角A的大??；

(2)若6+c=?,AA8C的面積為氈，求“BC的周長.

3

2.(2024?河南新鄉(xiāng)?二模)已知。3C的內角4瓦。的對邊分別為a,6,c,您￡=詈4.

c4b-a

⑴求sinC的值；

⑵若“8C的面積為避1,且a+b=^c,求“8C的周長.

23

3.(2024?陜西?模擬預測)”8C的內角4模C的對邊分別為0,內c,==..

a-bsinC+sinn

⑴求C;

(2)若a+6=6,求AA8C的周長最小值.

4.(2024?全國?模擬預測)己知函數〃x)=4sin(x+jcosx-l.

⑴求的最小正周期與圖象的對稱中心；

⑵在A/BC中，/(/)=1,8C=4,求“8C周長的取值范圍.

5.(2024?陜西漢中?二模)在O8C中，角/,B,C所對的邊分別為a,b,c,請從下列條件中選擇一個條

件作答：(注：如果選擇條件①和條件②分別作答，按第一個解答計分.)

①記"BC的面積為S,S.43AB-AC=2S;②己知asin8=bcos(N-2).

6

⑴求角/的大??；

⑵若。8C為銳角三角形，且口=而，求”BC周長的取值范圍.

考點三、邊長、線段及最值

1.(2024?陜西西安?模擬預測)在平面四邊形N3CZ)中，NCBD=30。，ABAD=60°,BC=4,BD=20.

(1)若40=48,求A/CD的面積.

⑵求NC的最大值.

2.(2024?全國，模擬預測)在銳角中，內角/,B,C所對的邊分別為a,b,c,且

acosB=6(l+cos/).

⑴證明：4=2B；

(2)求色的取值范圍.

a

3.(2024?江蘇揚州?模擬預測)記A/BC的內角4瓦C的對邊分別為凡上c,若(a+6+c)(a+6-c)=3,且

“BC的面積為述.

4

⑴求角C;

(2)若赤=2麗，求|?；氐淖钚≈?

4.(2024?江西鷹潭?二模)”3C的內角4B,C的對邊分別為a,b,c,滿足匕*=誓.

cosAcosB

7T

⑴求證：A+1B=~.

272

(2)求J匕的最小值.

c

5.(2024?全國?一模)已知“BC的內角4B,C的對邊分別為a,b,c,且/。是8C邊上的

高.(sinA-sinB\a+6)=(c_726)sinC.

⑴求角4

(2)若sin(B-C)=^~,a=5,求ZD.

6.(2024?陜西西安?模擬預測)在A/BC中，角48,C的對邊分別為已知

V3

sin/=sinCcosB------sinBsinC,

3

⑴求角C的大??；

⑵若C的角平分線交28于點。，且CD=2,求。+26的最小值，

考點四、三角函數值及最值

1.(2024?上海?三模)已知在“8C中，角48,C所對的邊分別為仇c,6=l,且滿足

2acosB=cosC+ccosB.

(1)若4=生叵，求。3C的面積S;

13

(2)求a+2c的最大值，并求其取得最大值時cosC的值.

2.(2024?全國?模擬預測)設的內角A,B,C的對邊分別為6,c,若

2sin2C=cosC?cos(4-2)+1.

⑴求且4區(qū)的值；

C

(2)若。8C為銳角三角形，求cosC的取值范圍.

3.(2024?廣東廣州?模擬預測)記AABC的內角4,B,C的對邊分別為a,b,c,已知

JI

bsin5+csinC—asinZ=26sin8sinC且Cw—.

2

TT

⑴求證：B=A+2；

(2)求cos/+sin8+sinC的取值范圍.

4.(23-24高三上?重慶?階段練習)在。3C中，內角4屬。所對的邊分別為。，4c,滿足b=a-26cosC

(1)求證：C=2B；

(2)若AABC為銳角三角形，求2sinC+cosB-sinB的最大值.

5.(23-24高三上?重慶?階段練習)在。3c中，內角A、B、C的對邊分別為。、b、c,已知

2acsin7l+礦+c~—b2=0?

7T

(1)若4a=2,求的面積;

6

4sin2C+3sin2^4+2

⑵求的最小值，并求出此時5的大小.

sin25

考點五、內切圓、外接圓半徑問題

1.(22-23高一下?浙江?階段練習)在“BC中，角4瓦。的對邊分別為。力4,在以下條件中選擇一個條件:

①a+c=26sin(c+￡j；②(b+c)(siri8-sinC)=(a-c)sitk4；(3)(2a-c)cosS=bcosC.求解以下問題.(選

擇多個條件的，以所選的第一個計分)

⑴求角B；

(2)若a+c=4g,且而.元=6，求"8C的內切圓半徑.

2.(2024?全國?模擬預測)已知AABC中，角A,B,C的對邊分別是。，b,c,

6b-csin4=macosC■

⑴求角A的大小；

(2)若。=7,"BC外接圓的半徑為R,內切圓半徑為一，求工的最小值.

r

2.3.(2022?湖北?三模)在A/8C中，內角4瓦。所對的邊分別為。，b,c,已知6萬?就=25想度，

b+c=S.

⑴求角A的大??；

（2）求A48C外接圓半徑的最小值.

4.4.（2024?吉林?二模）已知“8C的三個內角4瓦。的對邊分別為的外接圓半徑為百，且

sin2B+sin2C-sinBsinC=sin2A-

⑴求。；

（2）求。8C的內切圓半徑廠的取值范圍

5.（2023?廣西南寧?一模）在“8C中，角/,B,C的對邊分別為a,b,c,已知a=2,且

sin4+sin5_b-c

sinCb-a

⑴求。BC的外接圓半徑及；

⑵求AABC內切圓半徑r的取值范圍.

6.（2023?山東?一模）如圖，平面四邊形ZBCQ中，AD=5,CD=3,ZADC=120°.的內角

遼ri」八…、.7?_a+bsiivl-sinC

的對邊分別為a,Ac,且滿足----~—?

⑴判斷四邊形23CD是否有外接圓？若有，求其半徑R;若無，說明理由；

⑵求A/BC內切圓半徑廠的取值范圍.

考點六、中線、角平分線、高線問題

1.（2024,四川成都,三模）在AABC中，BC=5,AC=6,cosB=—.

8

⑴求43的長;

⑵求ZC邊上的高.

2.（23-24高三上?河北保定?階段練習）記。8C的內角4瓦。的對邊分別為見仇c,面積為S,且

abc

3----.

4

⑴求AABC的外接圓的半徑；

，7T

（2）若6+c=2,S.A=—,求2C邊上的高.

「cos//c

3.(23-24高三上?黑龍江?期中)在“BC中，角A,B,C所對的邊分別為。，b,c,-----—=0.

acosc2b-c

⑴求角A；

(2)若a=2,求BC邊上高的最大值.

4.(2023?廣東廣州?模擬預測)在銳角“8C中，角45C所對的邊分別為a,6,c,且

2c2=(/+c2-Z?2)(tarU+tan5).

⑴求角A的大?。?/p>

(2)若邊"=亞，邊8C的中點為。，求中線長的取值范圍.

5.2023?浙江?模擬預測)在AABC中，角4民C的對邊分別為c且6cosc+csin3=a,—:十支一=6后,

smA+2sinB

⑴求b；

⑵求NC邊上中線長的取值范圍.

6.(2023?安徽馬鞍山■模擬預測)在①("6)sin(/+C)=(a-c)(siiL4+sinC)；②2atan8=6(tan8+tanC)；

③sin("jcos(c+升;，這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答問題.在O8C中，內

角A,B,C的對邊分別為。，b,c,且滿足.

⑴求C；

(2)若。8C的面積為5』，。為4C的中點，求8。的最小值.

7.(23-24高一下?遼寧?期中)在“8C中，內角/,B,C的對邊分別是a,b,c,且sinC+6cosc=a,

b=A/3.

⑴若a+c=2,求邊/C上的角平分線8。長；

(2)若。8C為銳角三角形，求邊/C上的中線5E的取值范圍.

8.(23-24高一下?四川成都?期中)已知AA8C的內角A,B,C的對邊為a,b,c,且

3(sinA-sinB)3c-2b

?二=i-，

smCa+b

⑴求sinA；

(2)若A/BC的面積為

①已知E為2C的中點，且6+c=8,求zUBC底邊上中線4E的長：

②求內角A的角平分線長的最大值.

考點七、三角形中的證明問題

1.(2024?內蒙古包頭?一模)如圖，在。8C中，ZABC=90°,。是斜邊NC上的一點，AB=^3AD,

BC=46.

B

⑴若ZDBC=60。，求ZADB和DA；

(2)若BD=6.，證明：CD=IDA.

2.(2022?廣東?二模)如圖，已知A42c內有一點P,滿足NPAB=NPBC=NPCA=a.

(1)證明：PBsinABC=ABsina.

(2)若//2C=90。，AB=BC=\,求PC.

3.（22-23高一下?北京?期中）在中，角4,B,C的對邊分別為a,b,c,且土心sirU+siri5

asinC+siiiS

⑴求角。的大小;

⑵CD為A4C8的內角平分線，且CD與直線N8交于點D

(i)求證:絲=江

BDBC

(ii)若。=2,c=V19,求CD的長.

4.（2024?全國,模擬預測）在。3c中，點。，E都是邊2C上且與8,C不重合的點，且點。在2,E之間,

AEACBD=ADABCE.

⑴求證：sin/BAD=sinZCAE.

AD2AE22

(2)^ABIAC,求證:---------1--------------------------------

BD2CE21-sinZDAE

5.（2022?湖北?模擬預測）已知。BC的外心為。，”,N為線段/8,/C上的兩點，且O恰為跖V中點.

⑴證明：\AM\-\MB^\AN\-\NC\

（2）若12。|=6，\OM\=1,求青”的最大值.

'△ABC

6.（22-23高一下?山東棗莊?期中）AABC中，內角/,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知

4asinA=bsinCcosA+csinAcosB.

siih4

⑴求的值;

sinC

(2)若BD是//8C的角平分線.

(i)證明：BD2=BABC-DADC;

(ii)若。=1,求5D2C的最大值.

考點八、圖形類綜合

1.(23-24高三上?河南?階段練習)已知平面四邊形/8DC中，對角線C8為鈍角//CD的平分線，CB馬

AD相交于點。，AC=5,AD=7,cosZACD=-^.

(2)若BC=BD,求的面積.

2.(21-22高三上?廣東珠海?期末)在。BC中，角/,B,C所對的邊分別為a,b,c,且

a=6（百sinC+cosC

⑴求3;

(2)已知8c=2g,。為邊42上的一點，若AD=1,N/CZ?=；,求/C的長.

3.(23-24高三上?江蘇揚州?階段練習)如圖，在AA8C中，角N,B,C所對的邊分別為。，b,c,且

bsin4+a=6acosB.

⑴求3;

(2)已知3。=26，。為邊48上的一點，若BD=l,ZACD=—,求4C的長.

4.如圖，在“BC中，ZABC=90°,AB=C,BC=1,P為內一點，ZBPC=90°.

c

（1）^PC=—,求PN;

2

（2）若N/PB=120。，求的面積S.

5.（2023?河南信陽?模擬預測）在AASC中，NR4c=60。，”8C的面積為106，。為2C的中點,

DE_LAC于點、E,DFL4B于點、F.

(1)求血/的面積；

(2)若AD=,求sinZABC+sinZACB的值.

2

考點九、參數類問題

1.（2024?全國?模擬預測）在銳角三角形N8C中，角4瓦。所對的邊分別為J且

QsinC=c（2sin5—cos/tanC）.

⑴求C;

⑵若方=4而（4>0）,且N5CD=；,求實數4的取值范圍.

2.（2023?全國模擬預測）已知在中,角4民。所對的邊分別為。也。，且

bcos（電+4]+sin（兀+5）J-------=0.

（2）17V1-COS2C

⑴求csiib4的值；

（2）若2（bsinC-atanC）=ctanC,且葭加上文，求實數％的取值范圍.

3.（2023?湖北咸寧?模擬預測）在“BC中,角4瓦C所對的邊分別為見6,。，滿足6cosc+c=26,a=3.

⑴證明：08c外接圓的半徑為百；

（2）若2%謝+26?+1Ie?）恒成立，求實數f的取值范圍.

4.(2024?江蘇蘇州?三模)在AABC中,內角4,B,C的對邊分別為a,b,c,且a*6,c=l.

(1)若|而+而H方1,2sin/=sinC,求及4BC的面積；

a—h

(2)若358-005/=;一，求使得a>a+6恒成立時，實數加的最小值.

考點十、解三角形與其他知識點雜糅問題

1.(2022?陜西寶雞?模擬預測)已知力=(cosx,cosx),彼=(氐iiw,-cosx),f(x)=a-b,

⑴求/(x)的單調遞增區(qū)間；

(2)設O8C的內角48,C所對的邊分別為a,6,c,若/(/)=；,且.=退，求〃+02的取值范圍.

2.(2022?山東淄博?模擬預測)記A/3C的內角N,B,C的對邊分別為a,b,c,滿足

(tan^—sinC)(tanB-sinC)=sin2C.

⑴求證：c-=ab-,

(2)若a+6=3,求石.赤的最小值.

3.(2022?江蘇南通?模擬預測)已知圓的內接四邊形ABC。中，AB=AD=2?，BC=2,CD=2