2024-2025學(xué)年云南省昆明市昆明八中高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年云南省昆明八中高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知雙曲線x2m?y2=1的實(shí)軸長是4A.?4 B.4 C.14 D.2.“m=1”是“直線l：x+(m+1)y+1=0與直線l2：(m+1)x?my?1=0垂直”的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.已知橢圓C：16x2+9yA.長軸長為12 B.焦距為56 C.短軸長為14 4.已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1(?5,0)，F(xiàn)2(5,0)A.x27+y22=1 B.5.設(shè)M是橢圓C：x29+y24=1上的上頂點(diǎn)，點(diǎn)PA.955 B.15 C.6.已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2.點(diǎn)A在C上，點(diǎn)A.55 B.355 7.已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，實(shí)軸長為8，漸近線方程為y=±A.10 B.12 C.17?1 8.已知橢圓E：x210+y26=1的左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F2且斜率為3直線交EA.3108 B.3104二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.設(shè)a、b為兩條直線，α、β為兩個(gè)平面，a?α，α∩β=b，下列說法正確的是(

)A.若a//b，則a//β B.若a⊥b，則a⊥β

C.若a//β，則a//b D.若a⊥β，則a⊥b10.在平面直角坐標(biāo)系中，直線l的方程為y=kx+m，圓C的方程為(x?1)2+(y?1)A.若m=0，則直線l與圓C一定相交

B.圓C與圓M：(x?4)2+(y?5)2=16相切

C.若k=m=1，直線l與圓C相交于A、B兩點(diǎn)，則|AB|=2

D.若k=m=?1，過l上一點(diǎn)P作圓C11.已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0.b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F2作斜率為7的直線與雙曲線的右支交于A，B兩點(diǎn)(AA.|AF1|=2|AF2| B.雙曲線C的離心率為2

C.△AF三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知雙曲線C：y2m?x2=1(m>0)13.已知圓C1：(x+1)2+(y?214.設(shè)直線l過點(diǎn)P(0,3)，和橢圓x29+y24=1交于A、B兩點(diǎn)(A在B四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)長軸長為4，且橢圓C的離心率32，其左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2．

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)斜率為?16.(本小題15分)

如圖，四棱錐P?ABCD側(cè)棱均相等，O為AC中點(diǎn)，AB=AD=23，CB=CD=2，AC=4，AP=13．

(1)求證：PO⊥平面ABCD；

(2)求平面PAB與平面17.(本小題15分)

已知圓C：x2+(y?3)2=4，直線m：x+3y+6=0，過A(?1,0)的一條動(dòng)直線l與直線m相交于N，與圓C相交于P、Q兩點(diǎn)，M是PQ中點(diǎn)．

(1)當(dāng)|PQ|=23時(shí)，求直線l的方程；

(2)設(shè)t=18.(本小題17分)

如圖，斜四棱柱ABCD?A1B1C1D1的底面為正方形，A1C⊥平面ABCD，且A1C=AB，P為直線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．

(1)求證：19.(本小題17分)

已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F2，點(diǎn)G(1,83)在C上，且GF2⊥x軸，過點(diǎn)G且與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線與x軸交于點(diǎn)P．

(1)求橢圓C的方程；

(2)點(diǎn)H是橢圓C上異于G的一點(diǎn)，且三角形GPH的面積為24，求直線GH的方程；

(3)過點(diǎn)P的直線交橢圓C于D，E兩點(diǎn)(D在E的左側(cè))，若參考答案1.B

2.A

3.D

4.C

5.A

6.B

7.B

8.A

9.ACD

10.BCD

11.ABD

12.213.2x?3y+1=0

14.[115.解：(1)已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)長軸長為4，且橢圓C的離心率32，

則2a=4ca=32，

則a=2c=3，

又b2=a2?c2=1，

則橢圓C的方程為x24+y2=1；

(2)由題意可得：F2(3,0)，

又斜率為?316.解：(1)證明：∵PA=PC，O為AC的中點(diǎn)，

∴PO⊥AC，

∵AC=4，AP=13，

O為AC的中點(diǎn)，

PO=AP2?AO2=13?4=3，

如圖，連接OB，

由題可知BC=2，AB=23，AC=4，

∵BC2+AB2=16=AC2，

∴∠ABC=90°，

OB=12AC=2，∴PO2+OB2=13=PB2，

∴PO⊥OB，∵AC∩OB=O，AC，OB?平面ABCD，

∴PO⊥平面ABCD；

(2)連接BD，交AC于點(diǎn)E，

∵∠ABC=90°，BC=12AC=2，

∴∠ACB=60°，

∴∠BCD=2∠ACB=120°，

∵BC=DC，∴∠CBD=∠CDB=30°，∠CEB=90°，

即AC⊥BD，

以分別以EB，EA所在直線為x軸、y軸，過點(diǎn)E作PO的平行線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則P(0,1,3)，A(0,3,0)，B(3,0,0)，C(0,?1,0)，D(?3,0,0)，

∵PA=(0,2,?3)，PB=(3,?1,?3)，PC=(0,?2,?3)，PD=(?3,?1,?3)，

設(shè)平面PAB的一個(gè)法向量為n1=(x1,y1,z17.解：(1)當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，易知x=?1，

此時(shí)圓心到直線的距離CM=1，圓的半徑r=2，可得弦長為2r2?|CM|2=24?1=23，符合題意；

當(dāng)直線與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=k(x+1)，

由于|PQ|=23，可得23=2r2?|CM|2=24?|CM|2，

可得|CM|=1，而|CM|=|?k+3|k2+1=1，

解得k=43，此時(shí)直線l的方程為y=43(x+1)，即4x?3y+4=0，

故直線l的方程為x=?1或4x?3y+4=0；

(2)當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，易得M(?1,3)，N(?1,?53)，

又A(?1,0)，則AM=(0,3)，AN=(0,?53)，

故AM?AN=?5，即t=?5，

當(dāng)l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l18.解：(1)證明：連接A1B，A1D，

因?yàn)樾彼睦庵鵄BCD?A1B1C1D1的底面為正方形，

所以A1D1/?/BC且A1D1=BC，

所以四邊形A1D1CB為平行四邊形，

所以A1B/?/D1C，

同理可證明A1D/?/B1C，

又因?yàn)锳1D∩A1B=A1且D1C∩B1C=C，

所以平面ADB//平面B1CD1，

因?yàn)镻為直線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

所以A1P?平面A1DB，

所以A1P/?/平面B1CD1．

(2)取BD的中點(diǎn)O，連接CO，A1O，

因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，所以CO⊥BD，

因?yàn)锳1C⊥平面ABCD，且OC?平面ABCD，BD?平面ABCD，

所以A1C⊥CO，A1C⊥BD，

又因?yàn)锳1C∩CO=C，

所以BD⊥平面A1CO，因?yàn)锽D?平面A1DB，

所以平面A1CO⊥平面A1DB，

作CE⊥A1O于點(diǎn)E，連接EP，

因?yàn)槠矫鍭1CO∩平面A1DB=A1O，

所以CE⊥平面A19.解：(1)由題意知點(diǎn)M(1,83)在C上，

因?yàn)镸F⊥x軸，設(shè)橢圓焦距為2c，則c=1，

將x=c代入C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)中，得y=±b2a，

又M在一象限，所以M(c,b2a)，所以b2a=83，

因?yàn)閍2?b2=c2=1，所以a2?1a=83，解得a2=9，b2=8，

所以橢圓C方程為x29+y28=1；

(2)由題意知過點(diǎn)M且與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線的斜率不為0，

故設(shè)l：x=my+n，與橢圓x29+y28=1聯(lián)立，

得(8m2+9)y2+16mny+8n2?72=0，由橢圓與直線只有一個(gè)公共點(diǎn)，

則Δ=(16mn)2