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文檔簡介
第2章三角形專題訓練4【一題多解】構(gòu)造全等三角形常用方法
截長補短法構(gòu)造全等1.
如圖，在△
ABC
中，
AB
＞
AC
，∠1＝∠2，
P
為
AD
上
任意一點.請分別用截長法和補短法說明：
AB
－
AC
＞
PB
－
PC
.
231解法一(截長法)：在
AB
上截取
AN
＝
AC
，連接
PN
.
所以
PN
＝
PC
.
在△
BPN
中，
PB
－
PN
＜
BN
，所以
PB
－
PC
＜
AB
－
AN
，所以
AB
－
AC
＞
PB
－
PC
.
231解法二(補短法)：延長
AC
至點
M
，使
AM
＝
AB
，連接
PM
.
所以△
ABP
≌△
AMP
(SAS)，所以
PB
＝
PM
.
在△
PCM
中，
CM
＞
PM
－
PC
，所以
AM
－
AC
＞
PB
－
PC
，所以
AB
－
AC
＞
PB
－
PC
.
2312.
如圖，△
ABC
為等邊三角形，∠
ADC
＝60°，求證：
AD
＝
BD
＋
CD
.
(請用截長法與補短法兩種方法證明)231證法一(截長法)：在
DA
上截取
DE
＝
CD
，連接
CE
，則△
CDE
為等邊三
角形.∴
CE
＝
CD
，∠
DCE
＝60°.∵△
ABC
是等邊三角形，∴∠
ACB
＝60°＝∠
DCE
，
AC
＝
BC
.
∴∠
ACB
－∠
BCE
＝∠
DCE
－∠
BCE
，∴∠
ACE
＝∠
BCD
.
231
∴△
ACE
≌△
BCD
(SAS).∴
AE
＝
BD
，∴
AD
＝
AE
＋
DE
＝
BD
＋
CD
.
231證法二(補短法)：延長
DC
至點
F
，使
DF
＝
AD
，連接
AF
，則△
ADF
為等邊三角形.∴
AD
＝
AF
，∠
DAF
＝60°.∵△
ABC
是等邊三角形，∴∠
BAC
＝60°＝∠
DAF
，
AB
＝
AC
.
∴∠
DAF
－∠
DAC
＝∠
BAC
－∠
DAC
，∴∠
DAB
＝∠
FAC
.
231
∴△
ACF
≌△
ABD
(SAS).∴
CF
＝
BD
，∴
AD
＝
DF
＝
CF
＋
CD
＝
BD
＋
CD
.
231
倍長中線法或作平行線構(gòu)造全等三角形3.
如圖，
AD
為△
ABC
的中線，點
E
在
AC
上，
BE
交
AD
于
點
F
，
AE
＝
EF
.
求證：
AC
＝
BF
.
231證法一(倍長中線法)：延長
AD
至點
G
，使
DG
＝
AD
，連接
BG
.
∵
AD
為△
ABC
的中線，∴
BD
＝
CD
.
∴△
ADC
≌△
GDB
(SAS)，231∵
AE
＝
EF
，∴∠
CAD
＝∠
EFA
，∴∠
G
＝∠
EFA
.
又∵∠
EFA
＝∠
BFG
，∴∠
G
＝∠
BFG
，∴
BG
＝
BF
，∴
AC
＝
BF
.
∴
AC
＝
BG
，∠
G
＝∠
CAD
.
231證法二(作平行線)：作
BM
∥
AC
交
AD
的延長線于點
M
，則∠
M
＝∠
CAD
.
∵
AD
為△
ABC
的中線，∴
BD
＝
CD
.
∴△
ADC
≌△
MDB
(AAS)，∴
AC
＝
MB
.
231又∵∠
BFM
＝∠
EFA
，∠
M
＝∠
CAD
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