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琴生不等式的證明綜述目錄TOC\o"1-1"\h\u17222琴生不等式的證明綜述 1176981.1一般形式的證明 1172651.2加權形式的證明 2256751.3積分形式的證明 3307461.4高維形式的證明 31.1一般形式的證明對于證明一般形式，常采用數學歸納法。當時，琴生不等式兩邊都是,顯然成立。假設當n=k時，琴生不等式成立?？紤]當n（3）顯然有又記,A,B和C仍是(a,b)(4)利用歸納法假設，有f(B)f(C)= 將上述兩個式子帶入（1）式，有（5）上式兩端乘以2k,可以得到f(A)琴生不等式當n=k+1當不等式（3）取等號時，上面一切不等式都應取等號，所以依據歸納法假設，有x1=x2=…xk，A=xk+1把開區(qū)間換成[a,b]或或[a1.2加權形式的證明加權形式的琴生不等式常采用泰勒展開進行證明。令m則有：f(f(f……f誠意加權項aaaa……an合并不等式a1≤(a1+a2=f(m)=f(m)+=f(m)即

a11.3積分形式的證明令x0=1b?aabfxdxababφ(fx)dx≥(b-a)φ(x0)即φ（1b?aab1.4高維形式的證明對于高維形式的琴生不等式可采用反向數學歸納法進行證明。首先證明n=2p當n=2時,由(1)及其等式成立的條件知結論成立。

假設n=2k(k∈N,k(6)等式成立的條件是X則對?X(7)等式成立的條件是X又根據n=2時的結論，在（1），可得+即+（8）等式成立的條件是=聯立（6）、（7）、（8）得（9）等式成立的條件是=XX由于φi(x)存在反函數，必一一對應，故由上面方程組可推得不等式（9）成立的條件是X1=X2當n=2p

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