2024-2025學年新教材高中數(shù)學第十章概率10.1隨機事件與概率10.1.2事件的關系和運算教學用書教案新人教A版必修第二冊

PAGE10.1.2事務的關系和運算素養(yǎng)目標·定方向素養(yǎng)目標學法指導1．理解事務的關系與運算.(邏輯推理)2．理解互斥事務和對立事務的概念.(數(shù)學抽象)本部分內容要類比集合的關系和運算來理解事務的關系和運算.必備學問·探新知學問點1事務的運算定義表示法圖示并事務__事務A與事務B至少有一個發(fā)生__，稱這個事務為事務A與事務B的并事務(或和事務)__A∪B__(或__A＋B__)交事務__事務A與事務B同時發(fā)生__，稱這樣一個事務為事務A與事務B的交事務(或積事務)__A∩B__(或__AB__)學問點2事務的關系定義表示法圖示包含關系若事務A發(fā)生，事務B__肯定發(fā)生__，稱事務B包含事務A(或事務A包含于事務B)__B?A__(或__A?B__)互斥事務假如事務A與事務B__不能同時發(fā)生__，稱事務A與事務B互斥(且互不相容)若__A∩B＝?__，則A與B互斥對立事務假如事務A和事務B在任何一次試驗中__有且僅有一個發(fā)生__，稱事務A與事務B互為對立，事務A的對立事務記為eq\o(A,\s\up6(－))若__A∩B＝?__，且A∪B＝Ω，則A與B對立[學問解讀]1．互斥事務與對立事務的區(qū)分與聯(lián)系(1)區(qū)分：兩個事務A與B是互斥事務，包括如下三種狀況：①若事務A發(fā)生，則事務B就不發(fā)生；②若事務B發(fā)生，則事務A就不發(fā)生；③事務A，B都不發(fā)生.而兩個事務A，B是對立事務，僅有前兩種狀況，因此事務A與B是對立事務，則A∪B是必定事務，但若A與B是互斥事務，則不肯定是必定事務，即事務A的對立事務只有一個，而事務A的互斥事務可以有多個.(2)聯(lián)系：互斥事務和對立事務在一次試驗中都不行能同時發(fā)生，而事務對立是互斥的特別狀況，即對立必互斥，但互斥不肯定對立.2．從集合的角度理解互斥事務與對立事務(1)幾個事務彼此互斥，是指由各個事務所含的結果組成的集合的交集為空集.(2)事務A的對立事務所含的結果組成的集合，是全集中由事務A所含的結果組成的集合的補集.關鍵實力·攻重難題型探究題型一互斥事務、對立事務的判定典例1(1)(2024·河南省南陽市期中)一個人打靶時連續(xù)射擊兩次，事務“至多有一次中靶”的互斥事務是(A)A．兩次都中靶 B．至少有一次中靶C．兩次都不中靶 D．只有一次中靶(2)(2024·湖南省懷化市期末)一個人連續(xù)射擊三次，則事務“至少擊中兩次”的對立事務是(D)A．恰有一次擊中 B．三次都沒擊中C．三次都擊中 D．至多擊中一次[解析](1)事務“至多有一次中靶”包含“只有一次中靶”和“兩次都不中靶”，因此不會與其同時發(fā)生的事務是“兩次都中靶”.(2)依據(jù)題意，一個人連續(xù)射擊三次，事務“至少擊中兩次”包括“擊中兩次”和“擊中三次”兩個事務，其對立事務為“一次都沒有擊中和擊中一次”，即“至多擊中一次”.[歸納提升]推斷事務間關系的方法(1)要考慮試驗的前提條件，無論是包含、相等，還是互斥、對立其發(fā)生的條件都是一樣的.(2)考慮事務間的結果是否有交事務，可考慮利用Venn圖分析，對較難推斷關系的，也可列出全部結果，再進行分析.【對點練習】?有一個嬉戲，其規(guī)則是甲、乙、丙、丁四個人從同一地點隨機地向東、南、西、北四個方向前進，每人一個方向，事務“甲向南”與事務“乙向南”是(A)A．互斥但非對立事務 B．對立事務C．非互斥事務 D．以上都不對[解析]由于每人一個方向，故“甲向南”意味著“乙向南”是不行能的，故是互斥事務，但不是對立事務.題型二事務的運算典例2在擲骰子的試驗中，可以定義很多事務.例如，事務C1＝{出現(xiàn)1點}，事務C2＝{出現(xiàn)2點}，事務C3＝{出現(xiàn)3點}，事務C4＝{出現(xiàn)4點}，事務C5＝{出現(xiàn)5點}，事務C6＝{出現(xiàn)6點}，事務D1＝{出現(xiàn)的點數(shù)不大于1}，事務D2＝{出現(xiàn)的點數(shù)大于3}，事務D3＝{出現(xiàn)的點數(shù)小于5}，事務E＝{出現(xiàn)的點數(shù)小于7}，事務F＝{出現(xiàn)的點數(shù)為偶數(shù)}，事務G＝{出現(xiàn)的點數(shù)為奇數(shù)}，請依據(jù)上述定義的事務，回答下列問題：(1)請舉出符合包含關系、相等關系的事務；(2)利用和事務的定義，推斷上述哪些事務是和事務.[解析](1)因為事務C1，C2，C3，C4發(fā)生，則事務D3必發(fā)生，所以C1?D3，C2?D3，C3?D3，C4?D3．同理可得，事務E包含事務C1，C2，C3，C4，C5，C6；事務D2包含事務C4，C5，C6；事務F包含事務C2，C4，C6；事務G包含事務C1，C3，C5．且易知事務C1與事務D1相等，即C1＝D1．(2)因為事務D2＝{出現(xiàn)的點數(shù)大于3}＝{出現(xiàn)4點或出現(xiàn)5點或出現(xiàn)6點}，所以D2＝C4∪C5∪C6(或D2＝C4＋C5＋C6).同理可得，D3＝C1＋C2＋C3＋C4，E＝C1＋C2＋C3＋C4＋C5＋C6，F(xiàn)＝C2＋C4＋C6，G＝C1＋C3＋C5．[歸納提升]事務運算應留意的2個問題(1)進行事務的運算時，一是要緊扣運算的定義，二是要全面考查同一條件下的試驗可能出現(xiàn)的全部結果，必要時可利用Venn圖或列出全部的試驗結果進行分析.(2)在一些比較簡潔的題目中，須要推斷事務之間的關系時，可以依據(jù)常識來推斷.但假如遇到比較困難的題目，就得嚴格依據(jù)事務之間關系的定義來推理.【對點練習】?盒子里有6個紅球，4個白球，現(xiàn)從中任取3個球，設事務A＝{3個球中有1個紅球2個白球}，事務B＝{3個球中有2個紅球1個白球}，事務C＝{3個球中至少有1個紅球}，事務D＝{3個球中既有紅球又有白球}.問：(1)事務D與A，B是什么樣的運算關系？(2)事務C與A的交事務是什么事務？(3)設事務E＝{3個紅球}，事務F＝{3個球中至少有1個白球}，那么事務C與B，E是什么運算關系？C與F的交事務是什么？[解析](1)對于事務D，可能的結果為1個紅球2個白球或2個紅球1個白球，故D＝A∪B.(2)對于事務C，可能的結果為1個紅球2個白球或2個紅球1個白球或3個均為紅球，故C∩A＝A.(3)由事務C包括的可能結果有1個紅球2個白球，2個紅球1個白球，3個紅球三種狀況，故B?C，E?C，而事務F包括的可能結果有1個白球2個紅球，2個白球1個紅球，3個白球，所以C∩F＝{1個紅球2個白球，2個紅球1個白球}＝D.題型三用集合運算表示隨機事務典例3設A，B，C表示三個隨機事務，試將下列事務用A，B，C表示出來.(1)三個事務都發(fā)生；(2)三個事務至少有一個發(fā)生；(3)A發(fā)生，B，C不發(fā)生；(4)A，B都發(fā)生，C不發(fā)生；(5)A，B至少有一個發(fā)生，C不發(fā)生；(6)A，B，C中恰好有兩個發(fā)生.[解析](1)ABC(2)A∪B∪C(3)Aeq\o(B,\s\up6(－))eq\o(C,\s\up6(－))(4)ABeq\o(C,\s\up6(－))(5)(A∪B)eq\o(C,\s\up6(－))(6)ABeq\o(C,\s\up6(－))∪Aeq\o(B,\s\up6(－))C∪eq\o(A,\s\up6(－))BC[歸納提升]利用隨機事務的運算與集合運算的對應關系，可以有效地解決此類問題.【對點練習】?從某高校數(shù)學系圖書室中任選一本書.設A表示事務“任選一本書，這本書為數(shù)學書”；B表示事務“任選一本書，這本書為中文版的書”；C表示事務“任選一本書，這本書為2000年后出版的書”.問：(1)ABeq\o(C,\s\up6(－))表示什么事務？(2)在什么條件下有ABC＝A?(3)eq\o(C,\s\up6(－))?B表示什么意思？[解析](1)ABeq\o(C,\s\up6(－))表示事務“任選一本書，這本書為2000年或2000年前出版的中文版的數(shù)學書”.(2)在“圖書室中全部數(shù)學書都是2000年后出版的且為中文版”的條件下才有ABC＝A.(3)eq\o(C,\s\up6(－))?B表示2000年或2000年前出版的書全是中文版的.易錯警示不能正確區(qū)分對立事務和互斥事務致錯典例4進行拋擲一枚骰子的試驗，有下列各組事務：(1)“出現(xiàn)1點”與“出現(xiàn)2點”；(2)“出現(xiàn)奇數(shù)點”與“出現(xiàn)偶數(shù)點”；(3)“出現(xiàn)大于3的點”與“出現(xiàn)大于4的點”.其中是對立事務的組數(shù)是(B)A．0 B．1C．2 D．3[錯解]C[錯因分析]錯解混淆了互斥事務與對立事務，誤將互斥事務當作了對立事務.只有(2)“出現(xiàn)奇數(shù)點”與“出現(xiàn)偶數(shù)點”是對立事務，而(1)中“出現(xiàn)1點”與“出現(xiàn)2點”是互斥事務，但不是對立事務，(3)中“出現(xiàn)大于3的點”與“出現(xiàn)大于4的點”不是互斥事務，所以也不是對立事務.[正解]B[誤區(qū)警示]對立事務肯定是互斥事務，而互斥事務卻不肯定是對立事務.忽視互斥事務與對立事務之間的區(qū)分與聯(lián)系，對“恰”“至少”“都”等詞語理解不透徹.推斷兩個事務是否互斥，就要看它們是