2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第十章概率10.1隨機(jī)事件與概率10.1.2事件的關(guān)系和運(yùn)算教學(xué)用書教案新人教A版必修第二冊(cè)

PAGE10.1.2事務(wù)的關(guān)系和運(yùn)算素養(yǎng)目標(biāo)·定方向素養(yǎng)目標(biāo)學(xué)法指導(dǎo)1．理解事務(wù)的關(guān)系與運(yùn)算.(邏輯推理)2．理解互斥事務(wù)和對(duì)立事務(wù)的概念.(數(shù)學(xué)抽象)本部分內(nèi)容要類比集合的關(guān)系和運(yùn)算來(lái)理解事務(wù)的關(guān)系和運(yùn)算.必備學(xué)問(wèn)·探新知學(xué)問(wèn)點(diǎn)1事務(wù)的運(yùn)算定義表示法圖示并事務(wù)__事務(wù)A與事務(wù)B至少有一個(gè)發(fā)生__，稱這個(gè)事務(wù)為事務(wù)A與事務(wù)B的并事務(wù)(或和事務(wù))__A∪B__(或__A＋B__)交事務(wù)__事務(wù)A與事務(wù)B同時(shí)發(fā)生__，稱這樣一個(gè)事務(wù)為事務(wù)A與事務(wù)B的交事務(wù)(或積事務(wù))__A∩B__(或__AB__)學(xué)問(wèn)點(diǎn)2事務(wù)的關(guān)系定義表示法圖示包含關(guān)系若事務(wù)A發(fā)生，事務(wù)B__肯定發(fā)生__，稱事務(wù)B包含事務(wù)A(或事務(wù)A包含于事務(wù)B)__B?A__(或__A?B__)互斥事務(wù)假如事務(wù)A與事務(wù)B__不能同時(shí)發(fā)生__，稱事務(wù)A與事務(wù)B互斥(且互不相容)若__A∩B＝?__，則A與B互斥對(duì)立事務(wù)假如事務(wù)A和事務(wù)B在任何一次試驗(yàn)中__有且僅有一個(gè)發(fā)生__，稱事務(wù)A與事務(wù)B互為對(duì)立，事務(wù)A的對(duì)立事務(wù)記為eq\o(A,\s\up6(－))若__A∩B＝?__，且A∪B＝Ω，則A與B對(duì)立[學(xué)問(wèn)解讀]1．互斥事務(wù)與對(duì)立事務(wù)的區(qū)分與聯(lián)系(1)區(qū)分：兩個(gè)事務(wù)A與B是互斥事務(wù)，包括如下三種狀況：①若事務(wù)A發(fā)生，則事務(wù)B就不發(fā)生；②若事務(wù)B發(fā)生，則事務(wù)A就不發(fā)生；③事務(wù)A，B都不發(fā)生.而兩個(gè)事務(wù)A，B是對(duì)立事務(wù)，僅有前兩種狀況，因此事務(wù)A與B是對(duì)立事務(wù)，則A∪B是必定事務(wù)，但若A與B是互斥事務(wù)，則不肯定是必定事務(wù)，即事務(wù)A的對(duì)立事務(wù)只有一個(gè)，而事務(wù)A的互斥事務(wù)可以有多個(gè).(2)聯(lián)系：互斥事務(wù)和對(duì)立事務(wù)在一次試驗(yàn)中都不行能同時(shí)發(fā)生，而事務(wù)對(duì)立是互斥的特別狀況，即對(duì)立必互斥，但互斥不肯定對(duì)立.2．從集合的角度理解互斥事務(wù)與對(duì)立事務(wù)(1)幾個(gè)事務(wù)彼此互斥，是指由各個(gè)事務(wù)所含的結(jié)果組成的集合的交集為空集.(2)事務(wù)A的對(duì)立事務(wù)所含的結(jié)果組成的集合，是全集中由事務(wù)A所含的結(jié)果組成的集合的補(bǔ)集.關(guān)鍵實(shí)力·攻重難題型探究題型一互斥事務(wù)、對(duì)立事務(wù)的判定典例1(1)(2024·河南省南陽(yáng)市期中)一個(gè)人打靶時(shí)連續(xù)射擊兩次，事務(wù)“至多有一次中靶”的互斥事務(wù)是(A)A．兩次都中靶 B．至少有一次中靶C．兩次都不中靶 D．只有一次中靶(2)(2024·湖南省懷化市期末)一個(gè)人連續(xù)射擊三次，則事務(wù)“至少擊中兩次”的對(duì)立事務(wù)是(D)A．恰有一次擊中 B．三次都沒(méi)擊中C．三次都擊中 D．至多擊中一次[解析](1)事務(wù)“至多有一次中靶”包含“只有一次中靶”和“兩次都不中靶”，因此不會(huì)與其同時(shí)發(fā)生的事務(wù)是“兩次都中靶”.(2)依據(jù)題意，一個(gè)人連續(xù)射擊三次，事務(wù)“至少擊中兩次”包括“擊中兩次”和“擊中三次”兩個(gè)事務(wù)，其對(duì)立事務(wù)為“一次都沒(méi)有擊中和擊中一次”，即“至多擊中一次”.[歸納提升]推斷事務(wù)間關(guān)系的方法(1)要考慮試驗(yàn)的前提條件，無(wú)論是包含、相等，還是互斥、對(duì)立其發(fā)生的條件都是一樣的.(2)考慮事務(wù)間的結(jié)果是否有交事務(wù)，可考慮利用Venn圖分析，對(duì)較難推斷關(guān)系的，也可列出全部結(jié)果，再進(jìn)行分析.【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?有一個(gè)嬉戲，其規(guī)則是甲、乙、丙、丁四個(gè)人從同一地點(diǎn)隨機(jī)地向東、南、西、北四個(gè)方向前進(jìn)，每人一個(gè)方向，事務(wù)“甲向南”與事務(wù)“乙向南”是(A)A．互斥但非對(duì)立事務(wù) B．對(duì)立事務(wù)C．非互斥事務(wù) D．以上都不對(duì)[解析]由于每人一個(gè)方向，故“甲向南”意味著“乙向南”是不行能的，故是互斥事務(wù)，但不是對(duì)立事務(wù).題型二事務(wù)的運(yùn)算典例2在擲骰子的試驗(yàn)中，可以定義很多事務(wù).例如，事務(wù)C1＝{出現(xiàn)1點(diǎn)}，事務(wù)C2＝{出現(xiàn)2點(diǎn)}，事務(wù)C3＝{出現(xiàn)3點(diǎn)}，事務(wù)C4＝{出現(xiàn)4點(diǎn)}，事務(wù)C5＝{出現(xiàn)5點(diǎn)}，事務(wù)C6＝{出現(xiàn)6點(diǎn)}，事務(wù)D1＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不大于1}，事務(wù)D2＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于3}，事務(wù)D3＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于5}，事務(wù)E＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于7}，事務(wù)F＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)}，事務(wù)G＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)}，請(qǐng)依據(jù)上述定義的事務(wù)，回答下列問(wèn)題：(1)請(qǐng)舉出符合包含關(guān)系、相等關(guān)系的事務(wù)；(2)利用和事務(wù)的定義，推斷上述哪些事務(wù)是和事務(wù).[解析](1)因?yàn)槭聞?wù)C1，C2，C3，C4發(fā)生，則事務(wù)D3必發(fā)生，所以C1?D3，C2?D3，C3?D3，C4?D3．同理可得，事務(wù)E包含事務(wù)C1，C2，C3，C4，C5，C6；事務(wù)D2包含事務(wù)C4，C5，C6；事務(wù)F包含事務(wù)C2，C4，C6；事務(wù)G包含事務(wù)C1，C3，C5．且易知事務(wù)C1與事務(wù)D1相等，即C1＝D1．(2)因?yàn)槭聞?wù)D2＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于3}＝{出現(xiàn)4點(diǎn)或出現(xiàn)5點(diǎn)或出現(xiàn)6點(diǎn)}，所以D2＝C4∪C5∪C6(或D2＝C4＋C5＋C6).同理可得，D3＝C1＋C2＋C3＋C4，E＝C1＋C2＋C3＋C4＋C5＋C6，F(xiàn)＝C2＋C4＋C6，G＝C1＋C3＋C5．[歸納提升]事務(wù)運(yùn)算應(yīng)留意的2個(gè)問(wèn)題(1)進(jìn)行事務(wù)的運(yùn)算時(shí)，一是要緊扣運(yùn)算的定義，二是要全面考查同一條件下的試驗(yàn)可能出現(xiàn)的全部結(jié)果，必要時(shí)可利用Venn圖或列出全部的試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析.(2)在一些比較簡(jiǎn)潔的題目中，須要推斷事務(wù)之間的關(guān)系時(shí)，可以依據(jù)常識(shí)來(lái)推斷.但假如遇到比較困難的題目，就得嚴(yán)格依據(jù)事務(wù)之間關(guān)系的定義來(lái)推理.【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?盒子里有6個(gè)紅球，4個(gè)白球，現(xiàn)從中任取3個(gè)球，設(shè)事務(wù)A＝{3個(gè)球中有1個(gè)紅球2個(gè)白球}，事務(wù)B＝{3個(gè)球中有2個(gè)紅球1個(gè)白球}，事務(wù)C＝{3個(gè)球中至少有1個(gè)紅球}，事務(wù)D＝{3個(gè)球中既有紅球又有白球}.問(wèn)：(1)事務(wù)D與A，B是什么樣的運(yùn)算關(guān)系？(2)事務(wù)C與A的交事務(wù)是什么事務(wù)？(3)設(shè)事務(wù)E＝{3個(gè)紅球}，事務(wù)F＝{3個(gè)球中至少有1個(gè)白球}，那么事務(wù)C與B，E是什么運(yùn)算關(guān)系？C與F的交事務(wù)是什么？[解析](1)對(duì)于事務(wù)D，可能的結(jié)果為1個(gè)紅球2個(gè)白球或2個(gè)紅球1個(gè)白球，故D＝A∪B.(2)對(duì)于事務(wù)C，可能的結(jié)果為1個(gè)紅球2個(gè)白球或2個(gè)紅球1個(gè)白球或3個(gè)均為紅球，故C∩A＝A.(3)由事務(wù)C包括的可能結(jié)果有1個(gè)紅球2個(gè)白球，2個(gè)紅球1個(gè)白球，3個(gè)紅球三種狀況，故B?C，E?C，而事務(wù)F包括的可能結(jié)果有1個(gè)白球2個(gè)紅球，2個(gè)白球1個(gè)紅球，3個(gè)白球，所以C∩F＝{1個(gè)紅球2個(gè)白球，2個(gè)紅球1個(gè)白球}＝D.題型三用集合運(yùn)算表示隨機(jī)事務(wù)典例3設(shè)A，B，C表示三個(gè)隨機(jī)事務(wù)，試將下列事務(wù)用A，B，C表示出來(lái).(1)三個(gè)事務(wù)都發(fā)生；(2)三個(gè)事務(wù)至少有一個(gè)發(fā)生；(3)A發(fā)生，B，C不發(fā)生；(4)A，B都發(fā)生，C不發(fā)生；(5)A，B至少有一個(gè)發(fā)生，C不發(fā)生；(6)A，B，C中恰好有兩個(gè)發(fā)生.[解析](1)ABC(2)A∪B∪C(3)Aeq\o(B,\s\up6(－))eq\o(C,\s\up6(－))(4)ABeq\o(C,\s\up6(－))(5)(A∪B)eq\o(C,\s\up6(－))(6)ABeq\o(C,\s\up6(－))∪Aeq\o(B,\s\up6(－))C∪eq\o(A,\s\up6(－))BC[歸納提升]利用隨機(jī)事務(wù)的運(yùn)算與集合運(yùn)算的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可以有效地解決此類問(wèn)題.【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?從某高校數(shù)學(xué)系圖書室中任選一本書.設(shè)A表示事務(wù)“任選一本書，這本書為數(shù)學(xué)書”；B表示事務(wù)“任選一本書，這本書為中文版的書”；C表示事務(wù)“任選一本書，這本書為2000年后出版的書”.問(wèn)：(1)ABeq\o(C,\s\up6(－))表示什么事務(wù)？(2)在什么條件下有ABC＝A?(3)eq\o(C,\s\up6(－))?B表示什么意思？[解析](1)ABeq\o(C,\s\up6(－))表示事務(wù)“任選一本書，這本書為2000年或2000年前出版的中文版的數(shù)學(xué)書”.(2)在“圖書室中全部數(shù)學(xué)書都是2000年后出版的且為中文版”的條件下才有ABC＝A.(3)eq\o(C,\s\up6(－))?B表示2000年或2000年前出版的書全是中文版的.易錯(cuò)警示不能正確區(qū)分對(duì)立事務(wù)和互斥事務(wù)致錯(cuò)典例4進(jìn)行拋擲一枚骰子的試驗(yàn)，有下列各組事務(wù)：(1)“出現(xiàn)1點(diǎn)”與“出現(xiàn)2點(diǎn)”；(2)“出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”與“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”；(3)“出現(xiàn)大于3的點(diǎn)”與“出現(xiàn)大于4的點(diǎn)”.其中是對(duì)立事務(wù)的組數(shù)是(B)A．0 B．1C．2 D．3[錯(cuò)解]C[錯(cuò)因分析]錯(cuò)解混淆了互斥事務(wù)與對(duì)立事務(wù)，誤將互斥事務(wù)當(dāng)作了對(duì)立事務(wù).只有(2)“出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”與“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”是對(duì)立事務(wù)，而(1)中“出現(xiàn)1點(diǎn)”與“出現(xiàn)2點(diǎn)”是互斥事務(wù)，但不是對(duì)立事務(wù)，(3)中“出現(xiàn)大于3的點(diǎn)”與“出現(xiàn)大于4的點(diǎn)”不是互斥事務(wù)，所以也不是對(duì)立事務(wù).[正解]B[誤區(qū)警示]對(duì)立事務(wù)肯定是互斥事務(wù)，而互斥事務(wù)卻不肯定是對(duì)立事務(wù).忽視互斥事務(wù)與對(duì)立事務(wù)之間的區(qū)分與聯(lián)系，對(duì)“恰”“至少”“都”等詞語(yǔ)理解不透徹.推斷兩個(gè)事務(wù)是否互斥，就要看它們是