2024-2025學年新教材高中數(shù)學第七章統(tǒng)計案例3獨立性檢驗學案北師大版選擇性必修第一冊

PAGE§3獨立性檢驗必備學問·自主學習導思1.什么是2×2列聯(lián)表？2．什么叫作獨立性檢驗？1.2×2列聯(lián)表設A，B為兩個變量，每一個變量都可以取兩個值，變量A：A1，A2＝A1；變量B：B1，B2＝B1．2×2列聯(lián)表如表：B1B2總計A1aba＋bA2cdc＋d總計a＋cb＋da＋b＋c＋d其中，a表示變量A取A1，且變量B取B1時的數(shù)據(jù)；b表示變量A取A1，且變量B取B2時的數(shù)據(jù)；c表示變量A取A2，且變量B取B1時的數(shù)據(jù)；d表示變量A取A2，且變量B取B2時的數(shù)據(jù)．2．獨立性檢驗(1)定義：利用隨機變量χ2來推斷“兩個分類變量有關系”的方法稱為獨立性檢驗．(2)χ2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，其中n＝a＋b＋c＋d.(3)在統(tǒng)計中，用以下結果對變量的獨立性進行檢驗，①當χ2≤2.706時，沒有充分的證據(jù)推斷變量A，B有關聯(lián)，可以認為變量A，B是沒有關聯(lián)的；②當χ2>2.706時，有90%的把握推斷變量A，B有關聯(lián)；③當χ2>3.841時，有95%的把握推斷變量A，B有關聯(lián)；④當χ2>6.635時，有99%的把握推斷變量A，B有關聯(lián)．有人說：“我們有99%的把握認為吸煙和患肺癌有關，是指每100個吸煙者中就會有99個患肺癌的．”你認為這種觀點正確嗎？為什么？提示：觀點不正確.99%的把握說明的是吸煙與患肺癌有關的程度，不是患肺癌的百分數(shù)．1．辨析記憶(對的打“√”，錯的打“×”)(1)在獨立性檢驗中，若χ2越大，則兩個分類變量有關系的可能性越大．()(2)2×2列聯(lián)表是借助兩個分類變量之間頻率大小差異說明兩個變量之間是否有關聯(lián)關系．()(3)應用獨立性檢驗的基本思想對兩個變量間的關系作出的推斷肯定是正確的．()提示：(1)√(2)√(3)×2．下面2×2列聯(lián)表的χ2的值為________．Beq\x\to(B)總計A8412eq\x\to(A)21618總計102030【解析】χ2＝eq\f(30\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8×16－2×4))2,10×20×12×18)＝10.答案：103．有甲、乙兩個班級進行同一門課程的考試，依據(jù)學生考試成果優(yōu)秀和不優(yōu)秀統(tǒng)計成果后，得到如下的列聯(lián)表．班級與成果列聯(lián)表：優(yōu)秀不優(yōu)秀總計甲班103545乙班73845總計177390由上表供應的數(shù)據(jù)可知，學生的成果與班級之間________．(填“有關系”或“沒有關系”)【解析】由公式得χ2＝eq\f(90×（10×38－7×35）2,17×73×45×45)≈0.653.因為0.653<2.706，所以我們沒有理由說成果與班級有關系．答案：沒有關系關鍵實力·合作學習類型一用2×2列聯(lián)表分析兩變量間的關系(數(shù)學運算)【典例】在對人們飲食習慣的一次調查中，共調查了124人，其中六十歲以上的70人，六十歲以下的54人．六十歲以上的人中有43人的飲食以蔬菜為主，另外27人則以肉類為主；六十歲以下的人中有21人飲食以蔬菜為主，另外33人則以肉類為主．請依據(jù)以上數(shù)據(jù)作出飲食習慣與年齡的列聯(lián)表，并利用eq\f(a,a＋b)與eq\f(c,c＋d)推斷二者是否有關系．【思路導引】結合題干數(shù)據(jù)寫出列聯(lián)表求解eq\f(a,a＋b)和eq\f(c,c＋d).【解析】2×2列聯(lián)表如下：年齡在六十歲以上年齡在六十歲以下總計飲食以蔬菜為主432164飲食以肉類為主273360總計7054124將表中數(shù)據(jù)代入公式得eq\f(a,a＋b)＝eq\f(43,64)＝0.671875.eq\f(c,c＋d)＝eq\f(27,60)＝0.45.明顯二者數(shù)據(jù)具有較為明顯的差距，據(jù)此可以在某種程度上認為飲食習慣與年齡有關系．2×2列聯(lián)表的應用(1)作2×2列聯(lián)表時，關鍵是對涉及的變量分清類別．留意應當是4行4列，計算時要精確無誤．(2)利用2×2列聯(lián)表分析兩變量間的關系時，首先要依據(jù)題中數(shù)據(jù)獲得2×2列聯(lián)表，然后依據(jù)頻率特征，即將eq\f(a,a＋b)與eq\f(c,c＋d)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或\f(b,a＋b)與\f(d,c＋d)))的值相比，直觀地反映出兩個分類變量間是否相互影響，但方法較粗劣．假設有兩個分類變量X與Y，它們的可能取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列聯(lián)表為：y1y2x11018x2m26則當m取下面何值時，X與Y的關系最弱()A．8B．9C．14D．19【解析】選C.由10×26≈18m，解得m≈14.4，所以當m＝14時，X與Y的關系最弱．類型二用χ2進行獨立性檢驗(數(shù)學運算)【典例】隨著生活水平的提高，人們的休閑方式也發(fā)生了改變．某機構隨機調查了n個人，其中男性占調查人數(shù)的eq\f(2,5).已知男性中有一半的人的休閑方式是運動，而女性中只有eq\f(1,3)的人的休閑方式是運動．(1)完成下列2×2列聯(lián)表：運動非運動總計男性女性總計n(2)若有95%的把握認為“性別與休閑方式有關”，那么本次被調查的人數(shù)至少有多少？【思路導引】(1)依據(jù)2×2列聯(lián)表的定義填表；(2)計算χ2，利用臨界值建立不等關系，求n的值．【解析】(1)補全2×2列聯(lián)表如表：運動非運動總計男性eq\f(1,5)neq\f(1,5)neq\f(2,5)n女性eq\f(1,5)neq\f(2,5)neq\f(3,5)n總計eq\f(2,5)neq\f(3,5)nn(2)若有95%的把握認為“性別與休閑方式有關”，則χ2＞3.841.由于χ2＝eq\f(n\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,5)·\f(2n,5)－\f(n,5)·\f(n,5)))\s\up12(2),\f(2n,5)·\f(3n,5)·\f(2n,5)·\f(3n,5))＝eq\f(n,36)，故eq\f(n,36)＞3.841，即n＞138.276.又由eq\f(1,5)n∈Z，故n≥140.故若有95%的把握認為“性別與休閑方式有關”，那么本次被調查的人數(shù)至少有140人．解決一般的獨立性檢驗問題的步驟【變式訓練】近年來，國資委、黨委高度重視扶貧開發(fā)工作，堅決實行中心扶貧工作重大決策部署，在各個貧困縣全力推動定點扶貧各項工作，取得了主動成效，某貧困縣為了響應國家精準扶貧的號召，特地承包了一塊土地，已知土地的運用面積以及相應的管理時間的關系如表所示：并調查了某村300名村民參加管理的意愿，得到的部分數(shù)據(jù)如表所示：情愿參加管理不情愿參加管理男性村民15050女性村民50(1)求出相關系數(shù)r的大小，并推斷管理時間y與土地運用面積x是否線性相關？(2)是否有99.9%的把握認為村民的性別與參加管理的意愿具有相關性？參考公式：土地運用面積x(單位：畝)12345管理時間y(單位：月)810132524r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)（xi－\x\to(x)）（yi－\x\to(y)）,\r(\i\su(i＝1,n,)（xi－\x\to(x)）2\i\su(i＝1,n,)（yi－\x\to(y)）2))，χ2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，其中n＝a＋b＋c＋d.臨界值表：P(χ2≥k0)0.1000.0500.0250.0100.001k02.7063.8415.0246.63510.828參考數(shù)據(jù)：eq\r(635)≈25.2.【解析】依題意：eq\x\to(x)＝eq\f(1＋2＋3＋4＋5,5)＝3，eq\x\to(y)＝eq\f(8＋10＋13＋25＋24,5)＝16，故(xi－eq\x\to(x))(yi－eq\x\to(y))＝(－2)×(－8)＋(－1)×(－6)＋1×9＋2×8＝47，(xi－eq\x\to(x))2＝4＋1＋1＋4＝10，(yi－eq\x\to(y))2＝64＋36＋9＋81＋64＝254，則r＝eq\f(\i\su(i＝1,5,)（xi－\x\to(x)）（yi－\x\to(y)）,\r(\i\su(i＝1,5,)（xi－\x\to(x)）2)\r(\i\su(i＝1,5,)（yi－\x\to(y)）2))＝eq\f(47,\r(10)×\r(254))＝eq\f(47,2\r(635))≈0.933，故管理時間y與土地運用面積x線性相關．(2)依題意，完善表格：情愿參加管理不情愿參加管理總計男性村民15050200女性村民5050100總計200100300計算得χ2＝eq\f(300×（150×50－50×50）2,200×100×200×100)＝eq\f(300×5000×5000,200×100×200×100)＝18.75>10.828，故有99.9%的把握認為村民的性別與參加管理的意愿具有相關性．課堂檢測·素養(yǎng)達標1．在一項中學生近視狀況的調查中，某校男生150名中有80名近視，女生140名中有70名近視，在檢驗這些中學生眼睛近視是否與性別有關時用什么方法最有勸服力()A．平均數(shù)與方差B．回來分析C．獨立性檢驗D．概率【解析】選C.推斷兩個分類變量是否有關的最有效方法是進行獨立性檢驗．2．(教材二次開發(fā)：練習改編)在探討打鼾與患心臟病之間的關系中，通過收集數(shù)據(jù)、整理分析數(shù)據(jù)得到“打鼾與患心臟病有關”的結論，并且在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為這個結論是成立的．下列說法中正確的是()A．100個心臟病患者中至少有99人打鼾B．1個人患心臟病，則這個人有99%的概率打鼾C．100個心臟病患者中肯定有打鼾的人D．100個心臟病患者中可能一個打鼾的人都沒有【解析】選D.這是獨立性檢驗，在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為“打鼾與患心臟病有關”．這只是一個概率，即打鼾與患心臟病有關的可能性為99%.3．已知變量X，Y，由它們的樣本數(shù)據(jù)計算得到χ2的觀測值k≈4.328，χ2的部分臨界值表如表：P(χ2≥k0)0.100.050.0250.0100.005k02.7063.8415.0246.6357.879以下推斷正確的是()A．在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為變量X，Y有關系B．在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為變量X，Y沒有關系C．有97.5%的把握說變量X，Y有關系D．有97.5%的把握說變量X，Y沒有關系【解析】選A.因為觀測值k≈4.328>3.841，而在觀測值表中對應于3.841的是0.05，所以在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為變量X，Y有關系．4．為大力提倡“厲行節(jié)約，反對奢侈”，某市通過隨機詢問100名性別不同的居民是否能做到“光盤”行動，得到如表的列聯(lián)表：做不到“光盤”能做到“光盤”男4510女3015附：P(χ2≥k0)0.100.050.025k02.7063.8415.024χ2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)參照附表，得到的正確結論是()A．在犯錯誤的概率不超過1%的前提下，認為“該市居民能否做到′光盤′與性別有關”B．在犯錯誤的概率不超過1%的前提下，認為“該市居民能否做到′光盤′與性別無關”C．有90%以上的把握認為“該市居民能否做到′光盤′與性別有關”D．有90%以上的把握認為“該市居民能否做到′光盤′與性別無關”【解析】選C.由表計算得χ2＝eq\f(100（45×15－3