數學-湖北華中師范大學一附中2024高二上數學周測和解析（11月2）

試卷第1頁，共15頁一、單選題1．已知平面α的法向量=(2a,3,-2)，平面β的法向52故a+2b=2-3=-1.故選：A.2．設直線l的方程為xcosθ+y-3=0(θ∈R則直線l的傾斜角α的取值范圍是() A．32B．42-1【詳解】設【詳解】設P(x,y)，222+(y-1)2+(x-1)2+(y+1)2+(x-3)2+(y-3)2=3(x2+y2-2x-2y)+22=70，整理可PA2+PB2+PC則得得(x-1)2+(y-1)2=18，故點故點P的軌跡是以M(1,1)為圓心，半徑r=32的圓，.-2-22-2，故選：故選：C.4．平面內，動點P的坐標(x,y)滿足方程22x-x-322試卷第2頁，共15頁故根據橢圓的定義可知：此點的軌跡為焦點在故根據橢圓的定義可知：此點的軌跡為焦點在x軸上的橢圓，且a=，c=，故故b2=a2-c2=3，故橢圓的標準方程為=1.故選：B5．如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D的棱長為2，M、N分別為線段AA1、BC的中點，若點P為正方體表面上一動點，且滿足NP丄平面MDC，則點P的軌跡長度為() 【詳解】以D為坐標原點，DA,DC,DD1所在直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標系，所以NC1丄DC,NC1丄DM，又CD∩DM=D，CD,DM平面MDC，所以NC1⊥平面MDC，故當點P在線段NC1上時，滿足NP丄平面MDC，+22故選：B6．過點P(-1,-2)的直線l可表示為m(x+1)+n(y+2)=0，若直線l與兩坐標軸圍成三角形的面積為6，則這樣的直要使l與兩坐標軸能圍成三角形，則mn≠0且m+2n≠0，由①令x=0得y=-；令y=0得x=-，解得t解得t=或t=，7．古希臘著名數學家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名，他發(fā)現(xiàn)：平面內到兩個定點A、B的距離之比為定值λ(λ≠1)的點所形成的圖形是圓，后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知在平面直角坐標系xOy中，A(-2,0)，B(4,0).點P滿足=，設點P所構成的曲線為C，下列結論不正確的是()B．在C上存在點D，使得D到點(1,1)的距離為3C．在C上存在點M，使得|MO|=2|MA|D．C上的點到直線3x-4y-13=0的最小距離為1【詳解】對【詳解】對A：設點px,y， +y2 22 22·i26-4,v26+4)，故在C上存在點D，使得D到點(1,1)的距離為9，故B正確；試卷第3頁，共15頁試卷第4頁，共15頁對對C：設點MX,y，2y222y2-r2，則兩圓內含，沒有公共點，∴在∴在C上不存在點M，使得MO=2MA，C不正確；∴C上的點到直線3x-4y-13=0的最小距離為d2-r1=1，故D正確；故選：C.8．已知Q是橢圓M:+=1(0<b<3)上的動點，若動點Q到定點P(2,0)的距離PQ的最小值為1，則橢圓M的離心率的取值范圍是()「2)「2)【詳解】由題意可設：Q(3cosθ,bsinθ)，2=(32=(3cosθ-2)2+b2sin2θ=(3cosθ-2)2+b2(1-cos2θ)則=(9-b2)cos2θ-12cosθ+4+b2，9-b2)t2-12t+4+b2，可知f(t)=(9-b2)t2-12t+4+b2的圖象開口向上，對稱軸為t=>0，2<3時，可知f(t)在[-1,1]內的最小值為f(|(),，整理得b4-6b2+9=0，解得b2=3，不合題意；<9時，可知f(t)在[-1,1]內的最小值為f(1)=1，符合題意；a2a2可得橢圓M的離心率e==99-b29所以橢圓M的離心率的取值范圍是|0,故選：D.二、多選題9．下列說法正確的是()),}下的坐標為|(-2對于B：由于點G為OABC的底面VABC的重心，設點D為BC的中點，故設點D為BC的中點，故，故B正確；故A,B,C,G四點共面，故C正確；試卷第5頁，共15頁}下的坐標為，故D正確；故選：BCD.共同構成，點P(x,y)為曲線E上一點，則下列結論正確的是()A．該曲線的圖象關于y=x對稱B．曲線E圍成的圖形面積大于7D．若E與直線y=x+m有4個公共點，則m的取值范圍是→2同理E的其他部分，分別為圓心為(-1,0)半徑為1的半圓，圓心為0,1半徑為1的半圓，圓心為(0,-1)半徑為1的半圓；作曲線E的圖象如下圖，圖中虛線部分ABCD是邊長為2的正方形，圖象關于y=x對稱，故A正確；對于C，的最大值為點px,y)與點(3,2)連線斜率的最大值，設直線為y=k(x-3)+2，如圖，由圖知當直線與圓心為1,0，半徑為1的半圓相切時，k最大，所以=1，解得k=7，故C錯誤；有2個公共點；試卷第6頁，共15頁試卷第7頁，共15頁當直線當直線y=x+m過點C(1,-1)時，m=-2，此時直線y=x-2與曲線有3個公共點，選：選：ABD2211．已知點P是左、右焦點為F1，F(xiàn)2的橢圓上的動點，則()PF2的面積為4·B．使△F1PF2為直角三角形的點P有6個 C．PF1-2PF2的最大值為6-2·2D．若M則iPF1i+iPMi的最大、最小值分別為4i2+和4·i2-222【詳解】A選項：由橢圓方程=1，所以a2=8，b2=4，所以c2=a2-b2=4，BB選項：當PF1丄F1F2或PF2丄F1F2時△F1PF2為直角三角形，這樣的點P有4個，設橢圓的上下頂點分別為設橢圓的上下頂點分別為S，T，則=2,:,同理=90O，所以當P位于橢圓的上、下頂點時△F1PF2也為直角三角形，其他位置不滿足，滿足條件的點其他位置不滿足，滿足條件的點P有6個，故B正確；CC選項：由于PF1-2PF2=2a-PF2-2PF2=4·-3PF2，所以當所以當PF2最小即PF2=a-c=2·-2時，PF1-2PF2取得最大值6-2·,故C正確；DD選項：因為PF1+PM=2a-PF2+PM=4·+PM-PF2，當點當點P位于直線MF2與橢圓的交點時取等號，故D正確.故選：故選：BCD三、填空題.---–n\=2，解得x\與A，B不重合則2PA+PB的最大值為.xx(a+1)y+2a4=0可以轉化為(2y)a+xy4=0，故直線過定點B(6,2)，所以兩條直線互相垂直，可得所以兩條直線互相垂直，可得PA丄PB，PAPB2=AB所以222PAPB2=AB所以設設上PAB=θ為銳角，則PA=5·cosθ,PB=5·sinθ,14．已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，以線段F1F2為直徑的圓與C在第一、第三象限分別交于點A，B，若AF1≤4BF1，則C的離心率的最大值是. 【答案】因為點A在第一象限，所以n>m，試卷第因為AF1BF由圓的性質得由圓的性質得AF2⊥AF1，由勾股定理得m2+n2=4c2，22+2mn=4a2，即mn=2a22c2，由對勾函數性質，由對勾函數性質，y=x+單調遞增，422a22c2425(5」綜上e∈|,|，所以C的離心率的最大值為.(25」5故答案為：故答案為：四、解答題15．如圖，在四棱錐P—ABCD中，平面PDC丄平面ABCD,AD丄DC,AB∥DC，AB=CD=AD=1,M為棱PC的中點. (1)證明：BM//平面PAD；(2)若PC=5,PD=1，（ii）在線段PA上是否存在點Q，使得點Q到平面BDM的距離是？若存在，求出PQ的值；若不存在，說明理由.【詳解】（【詳解】（1）取PD的中點N，連接AN,MN，如圖所示：:M為棱PC的中點，試卷第9頁，共15頁:MN∥CD,MN=:AB∥CD,AB=CD,:AB∥MN,AB=MN，∴四邊形ABMN是平行四邊形，:BMⅡAN，又BM/平面PAD,AN平面PAD,:BM//平面PAD．……..3分 ∵平面PDC丄平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=DC,PD平面PDC，:PD丄平面ABCD，又AD,CD平面ABCD,:PD丄AD，而PD丄CD,AD丄DC，∴以點D為坐標原點，DA,DC,DP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，:M為棱PC的中點，,設平面BDM的一個法向量為=(x,y,z)，:=(1,平面PDM的一個法向量為，:cos （ii）假設在線段PA上存在點Q，使得點Q到平面BDM的距離是，λ1+1+2(1λ)=2λ,試卷第10頁，共15頁試卷第11頁，共15頁∴點Q到平面BDM的距離是||=6=9，:λ=3,:PQ=3．…..13分(1)求直線恒過的定點P的坐標；(2)若直線不經過第二象限，求m的取值范圍；(3)若直線與x、y軸的正半軸分別交于A，B兩點，O為坐標原點，VAOB的面積為6，求直線的方程.)43,2,，當m)43,2,，當m=1，直線斜率不存在時，(4此時直線是x=，顯然滿足題意；3當m≠1時，由直線不經過第二象限，直線與y軸有交點時，m1 10分1313xy（3）設直線方程為xy（3）設直線方程為)4243)4243(xy+43m1m1m1m1 (1)求橢圓C的標準方程；(2)過定點M(1,0)的直線l與橢圓C相交于A、B兩點，已知點N(|(4,),，設直線AN、BN的斜率分別為k1、k2，求證：k12試卷第12頁，共15頁3【詳解】（1）因為橢圓離心率為，且過點P(0,1)，23(3)(3)（2）證明：若AB的斜率不存在，則A|(1,2,，B|(1,—2,，若AB的斜率存在，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，24k242由韋達定理得4k242由韋達定理得x1+x21x2218．已知圓O:x2+y2=16，點A(6,0)，點B為圓O上的動點，線段AB的中點M的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的方程；(2)設點T(2,0)，過點T作與x軸不重合的直線l交曲線C于E，F(xiàn)兩點.(ⅰ)若直線l的斜率為1，且過點T作與直線l垂直的直線l1交曲線C于G，H兩點，求四邊形EGFH的面積；(ⅱ)設曲線C與x軸交于P，Q兩點，直線PE與直線QF相交于點N，試討論點N是否在定直線上，若是，求出該直線的方程；若不是，請說明理由.【詳解】（1）設MX,y，B(x0,y0)，因為點B在圓O上，所以x+y=16①,0y0ly0試卷第13頁，共15頁代入