同課異構(gòu)：等邊三角形的性質(zhì)和判定

等邊三角形的性質(zhì)和判定上海市初級中學(xué)名師制作一、復(fù)習(xí)引入三角形按邊分類不等邊三角形等腰三角形等邊三角形是特殊的等腰三角形，因此它具有等腰三角形的一切性質(zhì)．等邊三角形定義：三條邊都相等的三角形是等邊三角形．只有兩條邊相等的等腰三角形等邊三角形{性質(zhì)定義判定{三角形不等邊三角形等腰三角形二、新知講授①等腰三角形的兩條腰相等.（定義）等腰三角形的性質(zhì)②等腰三角形的兩個底角相等.（簡稱“等邊對等角”）③等腰三角形的頂角的平分線，底邊上的中線、底邊上的高相互重合.（簡稱“等腰三角形的三線合一”）④等腰三角形是軸對稱圖形，它的對稱軸是頂角的平分線所在的直線.回顧角對稱性邊特殊線段——等邊三角形的性質(zhì)．等邊三角形是特殊的等腰三角形,具有等腰三角形的一切性質(zhì)．等邊三角形的三邊都相等.（定義）等邊三角形的性質(zhì)：角對稱性邊特殊線段二、新知講授——等邊三角形的性質(zhì)．？解：因為AB=AC（已知）,所以∠B=∠C(等邊對等角）.因為AB=BC(已知）,所以∠C=∠A（等邊對等角）,所以∠A=∠B=∠C（等量代換）.

等邊三角形的三個內(nèi)角都相等又由∠A+∠B+∠C=180°(三角形的內(nèi)角和等于180°）,得∠A=∠B＝∠C=60°.猜想：，都等于60°．已知：如圖，在△ABC中，AB=AC=BC,試說明∠A=∠B=∠C的理由．利用等腰三角形的性質(zhì)，可知等邊三角形的三個內(nèi)角相等．

根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°,可以算出每個角等于60°．二、新知講授——等邊三角形的性質(zhì)．等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的每個內(nèi)角等于60°.因為△ABC是等邊三角形(已知）,所以∠A=∠B=∠C=60°（等邊三角形的每個內(nèi)角等于60°）.符號語言60°60°60°二、新知講授——等邊三角形的性質(zhì)．等邊三角形的三邊都相等．（由定義得）等邊三角形的每個內(nèi)角等于60°．等邊三角形是軸對稱圖形角對稱性邊，它的對稱軸有3條．特殊線段等腰三角形的三線合一二、新知講授——等邊三角形的性質(zhì)．等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形是特殊的等腰三角形,具有等腰三角形的一切性質(zhì)．

，任何一條邊上的中線、高和這條邊所對的角平分線相互重合．有兩條邊相等的三角形是等腰三角形.（定義）如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等，這個三角形是等腰三角形（簡稱“等角對等邊”）.邊角等腰三角形的判定方法：回顧三角形等腰三角形邊角二、新知講授——等邊三角形的判定判定等邊三角形的方法：邊角有三條邊相等的是等邊三角形．三角形三角形等腰三角形邊角等邊三角形邊角二、新知講授——等邊三角形的判定？（定義）？已知：如圖，在△ABC中，∠A=∠B=∠C，試說明△ABC是等邊三角形的理由．解：因為∠A=∠B(已知），所以AC=BC（等角對等邊）．

因為∠B=∠C(已知），

所以AB=AC（等角對等邊），

所以已知：如圖，在△ABC中，∠A=∠B=∠C，試說明△ABC是等邊三角形的理由．猜想：三個內(nèi)角都相等的三角形是等邊三角形．

AB=BC=AC．所以△ABC是等邊三角形（三邊相等的三角形是等邊三角形）．等邊三角形的定義等腰三角形的判定二、新知講授——等邊三角形的判定====三個內(nèi)角都相等的三角形是等邊三角形．判定等邊三角形的方法：因為∠A=∠B=∠C（已知），所以△ABC是等邊三角形（三個內(nèi)角都相等的三角形是等邊三角形）．符號語言二、新知講授——等邊三角形的判定判定等邊三角形的方法：邊角有三條邊相等的是等邊三角形．（定義）三角形三角形等腰三角形邊角等邊三角形邊角三個內(nèi)角都相等的是等邊三角形．三角形？二、新知講授——

等邊三角形的判定

等腰△ABC中，AB=AC，不添任何輔助線，補充一個條件，使△ABC為等邊三角形.從邊來考慮添AB=BC添AC=BC有三條邊相等的三角形AB=AC底邊腰腰與底邊相等的等腰三角形是等邊三角形討論二、新知講授——等邊三角形的判定AB=AC=BC

等腰△ABC中，AB=AC，不添任何輔助線，補充一個條件，使△ABC為等邊三角形.從角來考慮討論三個內(nèi)角都相等∠B=∠CAB=AC二、新知講授——等邊三角形的判定讓等腰三角形的一個內(nèi)角是60°，行嗎？∠A=∠B=∠C添∠A=∠B添∠A=∠C

等腰△ABC中，AB=AC，不添任何輔助線，補充一個條件，使△ABC為等邊三角形.所以∠B=∠C=60°(等邊對等角）.解：因為AB=AC,∠B=60°（已知），又由∠A+∠B+∠C=180°(三角形的內(nèi)角和等于180°），得∠A=180°－∠B－∠C＝180°－60°－60°=60°.所以（等量代換）.60°60°60°∠A=∠B=∠C所以△ABC是等邊三角形（三個內(nèi)角都相等的三角形是等邊三角形）.

等邊對等角討論二、新知講授——等邊三角形的判定添∠A=60°添∠C=60°添∠B=60°

等腰△ABC中，AB=AC，不添任何輔助線，補充一個條件，使△ABC為等邊三角形.所以∠A=∠B=∠C（等量代換）.所以△ABC是等邊三角形（三個內(nèi)角都相等的三角形是等邊三角形）.

所以∠B=∠C(等邊對等角）．因為AB=AC（已知）,因為∠A+∠B+∠C=180°(三角形的內(nèi)角和等于180°）,得2∠B=180°－∠A＝180°－60°=120°,又∠A=60°（已添）,所以∠B=∠C=60°,60°60°60°等邊對等角討論二、新知講授——等邊三角形的判定添∠A=60°

等腰△ABC中，AB=AC，不添任何輔助線，補充一個條件，使△ABC為等邊三角形.討論二、新知講授——等邊三角形的判定添∠A=60°添∠C=60°添∠B=60°頂角為60°角．一個內(nèi)角為60°∠A=∠B=∠C底角為60°角．分類討論思想有一個內(nèi)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形．判定等邊三角形的方法：

符號語言因為△ABC是等腰三角形，∠A=60°(已知)，所以△ABC是等邊三角形

（有一個內(nèi)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形）．∠A=60°或∠B=60°或∠C=60°二、新知講授——等邊三角形的判定判定等邊三角形的方法：邊角有三條邊相等的是等邊三角形．（定義）三個內(nèi)角都相等的是等邊三角形．腰與底邊相等的是等邊三角形．有一個內(nèi)角等于60°的是等邊三角形．三角形等腰三角形三角形等腰三角形三角形等腰三角形邊角等邊三角形邊角邊角二、新知講授——等邊三角形的判定三、例題講解分析:BE=AD說明兩條線段相等的方法：①等角對等邊

（在一個三角形中）②全等三角形的性質(zhì)

（在兩個三角形中）△ADC≌△BEC△ABC和△CDE是等邊三角形60°60°例題1如圖，在等邊三角形ABC的BC上任取一點D，以CD為邊向外作等邊三角形CDE，聯(lián)結(jié)AD、BE，（1）試說明BE=AD的理由.∠ACD=∠BCEAC=BC,CD=CE(S.A.S)含AD邊的三角形：△ABD與△ADC含BE邊的三角形：△BDE與△BECEBDCADA三、例題講解例題1如圖，在等邊三角形ABC的BC上任取一點D，以CD為邊向外作等邊三角形CDE，聯(lián)結(jié)AD、BE，（1）試說明BE=AD的理由.解：因為△ABC是等邊三角形（已知）,所以AC=BC,∠ACD=60°（等邊三角形的性質(zhì)）．因為△CDE是等邊三角形（已知），所以CD=CE,∠BCE=60°（等邊三角形的性質(zhì)），所以∠ACD=∠BCE（等量代換).在△ACD與△BCE中，

AC=BC,∠ACD=∠BCE,

CD=CE,所以△ACD≌△BCE（S.A.S),得BE=AD（全等三角形的對應(yīng)邊相等）.等邊三角形的性質(zhì)全等三角形的判定全等三角形的性質(zhì)60°60°BCEAD三、例題講解例題1如圖，在等邊三角形ABC的BC上任取一點D，以CD為邊向外作等邊三角形CDE，聯(lián)結(jié)AD、BE，（1）試說明BE=AD的理由.△ADC≌△BECBE=AD?..∠DAC=∠EBC∠DAC+∠BAD=∠BAC=60°∠EBC+

=

60°∠BED=?∠EDC=三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角和分析:（2）圖中∠BAD與哪一個角相等？說明兩個角相等的方法：①等邊對等角（在一個三角形中）②全等三角形的性質(zhì)

（在兩個三角形中）③通過“內(nèi)角、外角”等性質(zhì)計算得到））∠BAD=

∠ADC=∠BEC∠BAD=∠BED60°四、歸納小結(jié)角邊對稱性特殊線段等邊三角形的性質(zhì)等腰三角形的性質(zhì)等邊三角形的三邊都相等.（定義）①等腰三角形的兩條腰相等.（定義）等邊三角形的每一內(nèi)角等于60°②等腰三角形的兩個底角相等.③等腰三角形的三線合一等腰三角形的三線合一等邊三角形是軸對稱圖形，它的對稱軸有3條．④等腰三角形是軸對