2025年高考數學一輪復習學案：函數與基本初等函數（模塊綜合調研卷）

第二章：函數與基本初等函數

（模塊綜合調研卷）

（19題新高考新結構）

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1.答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的

指定位置。

2.選擇題的作答:每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂

黑。寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。

3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內。寫在試卷

草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。

4.考試結束后，請將本試卷和答題卡一并上交。

一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符

合題目要求的）

1.函數/卜）=吐+*2-2的零點所在區(qū)間是（）

【答案】C

【分析】由零點存在性定理可得答案.

【詳解】因為函數〃無）的定義域為（0,+8），又/'（x）=g+2x>0,易知函數在（0,+8）上單調遞增,

X/（l）=-1^0,/（V2）=lnV2=1ln2^0,所以在（1,后）內存在一個零點%,使〃x°）=0.

故選：C.

11-1

2.已知x=ln3j=k>g5《,z=e2,貝|（）

A.x<y<zB.z<x<yC.z<y<xD.y<z<x

【答案】D

【分析】利用指數函數、對數函數的性質，借助媒介數比較大小.

【詳解】依題意，x=ln3>l,y=log5^<logsV5=^,而2=鼠耳=力>（且z<1,

522

所以"z<x.

故選：D

3.已知函數/（%）=手［，則下列說法不正確的是（）

A.函數〃x)單調遞增B.函數〃尤)值域為(0,2)

C.函數〃》)的圖象關于(0』)對稱D.函數的圖象關于(1,1)對稱

【答案】C

【分析】分離常數，再根據復合函數單調性的判斷方法，即可判斷A；根據函數形式的變形，根據指數函數

的值域，求解函數的值域，即可判斷B；根據對稱性的定義，〃2-x)與的關系，即可判斷CD.

2，2x+2-2r2

【詳解】/(x)=-----------=2------------

2X-1+12*12、—+1

2

函數＞=2-7,t=2'-1+1,則”1,

2

又內層函數/=21+1在R上單調遞增，外層函數了=2-7在(1,+s)上單調遞增,

所以根據復合函數單調性的法則可知，函數/(x)單調遞增，故A正確；

22

因為所以0<^^<2,則。<2-k^<2,

2—+12~+1

所以函數/(x)的值域為(0,2),故B正確；

/(2-x)=------=---=——f—，/(2-X)+/(X)=2,

I'2'-%+12+2，2*7+1

所以函數/'(x)關于點(1,1)對稱，故C錯誤，D正確.

故選：C.

1

2s?nr2x+萬的部分圖象大致為(

4.函數〃x)=

e-e

【答案】A

【分析】由/'(x)的定義域排除B；由/(無)是奇函數排除C；由/排除D,從而得出答案.

【詳解】由e，-el。，得XW0,則〃x)的定義域是{X中0},排除B；

21?2

?xH---sinx

町3=e上「'

,曰（一x）2sin^（_x）/sin^x

…e-L-J——（X），

所以函數/（X）是奇函數，排除C；

（兀）21,2兀（71Y

.Mhrrsin4uJ排除口

j\A\~兀兀一”兀排除D.

'e7-e7e-7e7-l

I）

故選：A.

5.若函數/⑴卡―（加―2）x+l|在-上單調,則實數用的取值范圍為（）

A.plU3,1B.；"rQ

2U盯

C.一U3,gD.—日U/

22

【答案】C

【分析】由題意，根據二次函數的圖象與性質建立不等式組，解之即可求解.

19

即實數m得取值范圍為.

故選：C.

4x-44

6.已知函數/（x）=,是R上的單調函數，則實數。的取值范圍是（）

3

loga（4x）-l,x>-

A.（0,1）B.（1,73]D.（1,3）

【答案】B

【分析】根據題意，結合分段函數的單調性的判定方法，結合對數函數的性質，列出關于。的不等式，即可

求解.

3--/、(3

【詳解】根據題意，當時，f(xx__1=4>可得“X)在-。訝上遞增，

4J()-4x-4-x-l1」

'__]_<3

要使得函數〃X)=曲443是R上的單調函數，

log?(4x)-l,x>-

貝U滿足0>1,且l°g；4x￡j-l_4x；_4'解可得1<r6，

X4-

所以實數。的取值范圍為(1,6].

故選：B.

7.已知a=ln3,b=-,=e03,則()

4c

A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.c<a<b

【答案】A

【分析】構造函數/(x)=e，-x-l,由/(x)的單調性和最值可證明。>6,再構造g(x)=hu-1，由g(x)

的單調性和最值可證明。<6,即可得出答案.

【詳解】令〃x)=e=xT,則_T(x)=e=l.

當xe(-雙0)時，r(x)<0,/(力單調遞減,

當xe(O,+e)時，r(x)>0,/(x)單調遞增，

則〃x)"(0)=0,故°=6"3>1+0.3=1.3>：.

令g(x)=lnx_*,貝

exeex

當xe(e,+8)時,g,(x)<0,g(x)單調遞減,

335

則g(3)<g(e)=0,Bpin3<|<^=-.

故〃<b<c.

故選：A.

【點睛】關鍵點睛：本題的關鍵點在于構造函數，通過求出函數的單調性和最值來比較大小.構造函數

〃x)=e-x-l,和g(x)=E-:即可得出答案.

8.已知函數/(x)，g(x)的定義域均為R,/(x+1)是奇函數，且/(l-x)+g(x)=2,/(x)+g(x-3)=2,

貝U()

2020

A./(x)為奇函數B.g(x)為奇函數C.Z〃E)=40D.￡g(>)=40

k=lk=l

【答案】D

【分析】A選項，根據已知條件推出是周期為4的周期函數，故g(x)也是周期為4的周期函數，

/(-x)=/(%),故A錯誤；C選項,推出〃1)=0,/⑶=0,/(2)+/(4)=0,從而求出

20

￡/(后)=5[/⑴+/⑵+/(3)+/(4)]=0；B選項，由/⑴=0得g(o)=2,故B錯誤;D選項,計算出g⑵=2,

k=i

g(l)+g(3)=4,故g(0)+g(l)+g(2)+g(3)=8,結合函數的周期得到答案.

【詳解】A選項，因為〃x)+g(x-3)=2,所以/(x+3)+g(x)=2,

又/(l-x)+g(x)=2,則有〃x+3)=/(l-x),

因為〃X+1)是奇函數，所以+=

可得〃x+3)=_/(x+l),即有/(尤+2)=-/(力與/(x+4)=-/(x+2),

即〃尤+4)=/(切,

所以是周期為4的周期函數，故g(x)也是周期為4的周期函數.

因為-〃-”=〃x+2)且〃x+2)=-〃x).所以〃f)=〃x),

所以/(x)為偶函數.故A錯誤，

C選項，由/(x+1)是奇函數，則"1)=0,

因為/(x+2)=_/(x),所以〃3)=0,

又〃x+=/(x)是周期為4的周期函數，

故〃2)+〃4)=〃2)+〃0)=0,

20

所以?㈤=5[/⑴+/(2)+〃3)+/(4)]=0,所以C錯誤；

i=\

B選項，由〃1)=0得g(O)=2,故g(x)不是奇函數，所以B錯誤；

D選項，因為〃x+3)+g(x)=2,所以g⑵=2-/⑸=2-(⑴=2,

g(l)+g(3)=[2-/(4)]+[2-/(6)]=4-[/(4)+/(2)]=4.

所以g(O)+g⑴+g(2)+g(3)=8,

20

所以2g(左)=5[g(0)+g⑴+g(2)+g(3)]=40,所以D選項正確

k=\

故選：D

【點睛】設函數J=/(x),XGR,a>0,a*b.

(1)若〃x+a)=/(x-。)，則函數f(x)的周期為2a；

(2)若/(x+a)=-/(x),則函數/(x)的周期為2a；

(3)若〃x++F則函數“X)的周期為24；

(4)若〃龍+。)則函數/(x)的周期為2a；

(5)若/(x+a)=/(x+b),則函數/(X)的周期為|〃一6|；

(6)若函數〃x)的圖象關于直線x=a與x=b對稱，則函數“X)的周期為2帆-同；

(7)若函數〃x)的圖象既關于點(凡0)對稱，又關于點他,0)對稱，則函數〃》)的周期為2|6-小

(8)若函數/(x)的圖象既關于直線x對稱，又關于點他,0)對稱，則函數/(x)的周期為4|6-

(9)若函數/(X)是偶函數，且其圖象關于直線x=a對稱，則/(x)的周期為2a；

(10)若函數是奇函數，且其圖象關于直線x=”對稱，則〃x)的周期為4a.

二、多選題(本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯得0分)

9.已知2“=5〃=10,則下列關系正確的是()

A.ea-b>1B.a+b<ab

C.a+4b<9D.^-+lj+^|+2j>8

【答案】AD

【分析】利用對數的運算法則化簡，結合作差法和基本不等式比較大小，依次判斷各選項.

【詳解】因為2"=5。=10,

所以4=108210=1+108,5=工,6=108510=1+10852=工，

一lg2-lg5

對A選項，a-b=^--^-lg5-lg2

>0,所以>e°=1,故A正確;

lg2lg5Ig5-lg2

1111Ig5+lg2-lIglO-l

對B選項,a+b-ab==0,

黃質一箴運Ig5-lg2lg5-lg2

所以。+6=a6,故B選項不正確;

對C選項，因為。,6>。，—F—=lg2+lg5=l,

ab

所以.+46=(a+46)4+；竺+卜522產［+5=9,

而QW26,故上述不等式等號不成立，則。+4b〉9,故C不正確；

對D選項，,+Q+2^=(lg2+1)2+(lg5+2)2=(lg2+1)2+(1-lg2+2)2

=2lg22-41g2+10=2(lg2-1)2+8>8,故D正確.

故選：AD

10.已知函數/(x),g(x)的定義域均為R,且滿足知x)-g(2/w)=4,g(x)+/(x-4)=6,

g(3-x)+g(l+x)=0，則()

A./(x)-/(x-2)=-2B.g(x)的圖象關于點(3,0)對稱

60

c.g(2)=oD.￡/(")=-1620

n=l

【答案】AC

【分析】由g(3-x)+g(l+x)=。得出y=g(x)的圖象關于點(2,0)對稱，由g(x)+/(x-4)=6和

/(x)-g(2-x)=4得出/(X)-/(x-2)=-2可判斷A；由g(x+4)+f｛x)=6和/(x)-g(2-x)=4可判斷B；根

據g(x)的定義域均為R和圖象關于點(2,0)對稱可判斷C；記氏=/(2〃-1),2=/(2"),〃eN*,結合選

項A知數列｛%｝和數列物,｝均為等差數列，利用等差數列的求和公式可判斷D.

【詳解】；g(3-O+g(l+x)=0,

>=g(x)的圖象關于點(2,0)對稱，即g(2-x)=-g(x+2),

對于A,,??g(x)+/(x-4)=6,g(x+2)+/(x_2)=6①，

1?,/(*)-g(2-x)=4,/(x)+g(x+2)=4②，

②-①得“X)-/(X-2)=_2,故A正確；

對于B,；g(x)+/(x-4)=6,g(x+4)+/(x)=6③，

???一(x)-g(2-x)=4④，

③一④得g(x+4)+g(2-x)=2,r.g(x)的圖象關于點(3,1)對稱，故B錯誤;

對于C：g(x)的定義域為R且圖象關于點(2,0)對稱，.?.g(2)=0,故C正確；

對于D,???g(x)的定義域為R且圖象關于點(3,1)對稱，「.g⑶=1,

由②知，當x=l時，/(l)+g(3)=4,/(1)=3,

當x=0時，〃0)+g⑵=4,，/10)=4,

???/(x)-/(x-2)=-2,/(2)-/(0)=-2,

記%=/(2〃一1),bn=f(ln),“eN*,

由選項A知，數列｛%｝是以3為首項，以-2為公差的等差數列，

數列抄,｝是以2為首項，以-2為公差的等差數列，

/.an=3+(n-1)(-2)=-2n+5,bn=2+(〃-1)(-2)=-2〃+4,

&翁翁30x(3-55)30x(2-56),,…

⑺=￡瑪+￡4=---------------+----------------=-1590,故D錯誤.

〃=1n=ln=l乙乙

故選：AC.

11.著名的德國數學家狄利克雷在19世紀提出了這樣一個“奇怪的"函數：定義在R上的函數

(0X是無理數

D(x)=「曰土用物.后來數學家研究發(fā)現該函數在其定義域上處處不連續(xù)、處處不可導?根據該函數，以

[l,x是有理數

下是真命題的有()

A.D[x+y)<D[x]+D(y)

B.O(x)的圖象關于〉軸對稱

C.2(x)=O(O(x))的圖象關于〉軸對稱

D.存在一個正三角形，其頂點均在。(x)的圖象上

【答案】BCD

【分析】特殊值代入驗證A,D；利用偶函數定義判斷B,C.

【詳解】對于A,當x=0,尸一隹時,D(x+y)=D(O)=l,0(V2)+D(-V2)=0+0=0,

Z>(x+y)>Z>(x)+Z>(j?),故A錯誤；

對于B,因為。(x)的定義域為R,關于原點對稱，

若T是無理數，則x是無理數，所以。(T)=0,D(x)=O..

若-x是有理數，則x是有理數，所以。(—)=1,。(力=1；

所以。(-x)=D(x),

故。(x)是偶函數，圖象關于歹軸對稱，B正確；

對于C,由B可知，￡>(-x)=Z>(x),所以3(-》)=。(。(-工))=。(￡>3)=￡)2(》)，

故3(x)=〃(o(x))是偶函數，圖象關于〉軸對稱，C正確；

對于D,設/-￡，0)，彳告，°)，I。/)，

則M同=MC=忸q,所以“8C是等邊三角形，

又因為。-彳=0,D*=0,。⑼=1,所以18C的頂點均在。(x)的圖象上，D正確.

故選：BCD

三、填空題(本題共3小題，每小題5分，共15分)

12.若〃x)=log3(3"+3，)+(x+a)2是偶函數，則實數。=.

【答案】-1

【分析】因為/(x)=bg3(3"+3，)+(x+a)2是偶函數，所以"1)=/■(-1),據此即可求解，注意檢驗.

【詳解】因為/(x)=log3(33，+3，)+(x+a)2是偶函數，定義域為R,

22

所以/(I)=/(-1),所以(27+3)+(1+a)=log3(—+-)+(-1+a),

所以log3(30x1^)=-4a,所以。=-1,此時〃x)=log3(33，+3*)+(x-l)2,

232

=log3(3-"+3T)+(-x-1)=log3()+(x+1)

=log3甲+3,)+(x-1)。=/(x)滿足題意.

故答案為：-1.

13.已知函數/(x)=lg(Y+辦+1)在區(qū)間(-*-2)上單調遞減，則。的取值范圍為.

【答案】(-吟

【分析】將/(x)=lg(x2+ax+l)可看作由》=但/〃=/+^+1復合而成，根據復合函數的單調性，列出不

等式，即可求得答案.

【詳解】設a=x?+辦+1,則〃x)=lg(x2+ax+l)可看作由y=lga,〃=*+辦+1復合而成，

由于y=1g”在(0,+8)上單調遞增，

故要使得函數/(%)=坨(―+辦+1)在區(qū)間(-叫-2)上單調遞減，

需滿足">0在區(qū)間(-%-2)上恒成立，且〃=/+辦+1在區(qū)間(-8,-2)上單調遞減，

-->-25

故2,解得

(-2)2+(-2)a+l>0

故a的取值范圍為(-℃,,

故答案為：(-°°,-|]

1

14.已知幕函數/(x)=1y,若〃a-l)</(8-2a),則a的取值范圍是.

【答案】(3,4)

【分析】根據題意得到累函數〃無)的定義域和單調性，得到不等式〃的等價不等式組，

即可求解.

可得函數/'(x)的定義域為(0,+8),且是遞減函數,

a—1>8—2a

因為〃"l)</(8_2a),可得，"1>0,解得3<a<4,

8—2a>0

即實數。的取值范圍為(3,4).

故答案為：(3,4)

四、解答題(本題共5小題，共77分，其中15題13分，16題15分，17題15分，18題17分,

19題17分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

15.環(huán)保部門為了研究某池塘里某種植物生長面積S(單位：m?)與時間小單位：月)之間的關系，通過觀察建

立了函數模型eZ#>0,。>0,且aN1).已知第一個月該植物的生長面積為lm\第三個月該植物

的生長面積為4m2.

(1)求證：若S,)S,)=(S&))2,貝"+4=2公

(2)若該植物的生長面積達到100n?以上，則至少要經過多少個月？

【答案】⑴證明見解析

(2)8個月

【分析】(1)先根據條件求出參數，利用指數的運算可得答案;

(2)根據題意可得2i>100,求解指數不等式即可.

S⑴=ka=1k=-

【詳解】(1)證明:2.

S(3)=kci=4

a=2

...S⑺=；x2,=2?-1.

由S(41S俏)=(S?2))2，得24T-2'3T=22-2,"+%=2/2.

(2)令S(f)=2'T>100,又teZ,5(7)=64<100,5(8)=128>100,

即至少需要經過8個月.

<i

16.已知指數函數/(x)的圖象過點

⑴求“X)的解析式;

(2)若函數g(x)=〃2x)-布'(x7)+l,且在區(qū)間(T+8)上有兩個零點，求加的取值范圍.

【答案】(1)〃尤)=I

⑵1

【分析】(1)設(。＞0,且。21),根據函數過點,代入求出參數。的值，即可得解;

(2)首先求出g(x)的解析式，令，=，，e(O,2),令夕=〃-2皿+1,fe(O,2),則問題轉化為

、=?-2皿+1在fe(O,2)上有兩個零點，根據二次函數根的分布得到不等式組，解得即可.

【詳解】(1)由題意，設/(工)=優(yōu)(。＞0,且"1),

r.

???“X)的圖象過點不，手，

.?./=等=停了，解得a=g,

故函數/(x)的解析式〃x)=

(2)?;g(x)=/(2x)-磯x-l)+l,

令，=(；)，因為xe(T,+°°),所以fe(O,2),

y=t2—2mt+1,te(0,2),

=(1+1在(-1,+8)上有兩個零點，等價于-2皿+1在fe(o,2)上有兩個零點,

函數g(x)

02-2mx0+l>01>0

22-2機x2+l>05

m<—解得1＜心＜;,

則A=(-2m)2-4xlxl>0,艮卜4

m2>\

八-2m.

0<--------<2

20<m<2

故實數加的取值范圍為I01.

17.已知函數/'(x)=lognx+l)+k)g.(x-l),g(x)=x2-ax+6(aeR),

22

⑴求函數/■(》)的定義域.

⑵判斷函數/(X)的奇偶性，并說明理由.

⑶對\/毛?[6,+8),尤2€[1,2],不等式〃xjvg⑷恒成立，求實數。的取值范圍.

【答案】⑴(1,+8)

⑵函數/(X)為非奇非偶函數，理由見解析；

f11

⑶一支

【分析】(l)根據函數g(x)的解析式有意義，得出不等式組，即可求解；

(2)根據函數/(x)的定義域的不關于原點對稱，即可得到結論；

(3)根據題意，轉化為〃X：UWg(x)mm，根據函數/(x)的單調性，求得了(XU=T，得到

Vx€[1,2],-6ZX+7>0,

7711

法一：轉化為Vx￡[l,2],aWx+嚏，令/z(x)=x+『求得人⑴而…,，即可求解；

法二：g”|<1^1<-|<2,結合二次函數的性質，列出不等式，即可求解.

【詳解】(1)解：由函數/(x)=bg!(x+l)+bg2(xT)有意義，則滿足

22[X-1>O

解得x>l,所以函數/(X)的定義域為(1,+8).

(2)解：因為/(X)的定義域為(1,+co),不關于原點對稱，

所以函數/(X)為非奇非偶函數.

⑶解：由"對\/看6[后+=0),”[-2,4],不等式/(xJVgH)恒成立"，

可得/'(x)1mx4g(琦曲，

當時，/(x)=logjx+l)+logi(x-l)=logi(無2T

222

由〃x)在[省,+可上單調遞減，/(x)max=/(V3)=-l,

根據題意得，對Vxe[1,2],/一辦+720

7

法一：可轉化為Vxe[l,2],a4x+(,

7711

令〃(X)=X+二由"x)在［1,2］上單調遞減得，可得人(x)mm="2)=2+5=5,

實數。的取值范圍為[應^

法二：設函數g(x)=x2-辦+7,

①當羨22,即時，g(x)在[L2]上單調遞減，

可得g(x)min=g(2)=10-2°N-l,解得日，則

②當■|W1,即aV2時，g(x)在[L2]上單調遞增，

可得g(x)1nin=g(l)=7-aN-l,解得a48,貝Ua42；

③當即2<"4時，g(x)在［1,2］先減后增，

可得g(x)mm=(y+解得一4行4044后，所以2<"4,

綜上，實數。的取值范圍為卜鞏￡.

18.已知函數/(無)對于任意實數尤/eR恒有"x+y)=〃x)+〃y),且當x>0時，/(x)>0,又

/⑴=L

(1)判斷/(x)的奇偶性并證明；

(2)求在區(qū)間［-4,4］的最小值；

⑶解關于x的不等式：/(ax2)-2/(x)>/(ax)-2.

【答案】⑴為奇函數，證明見解析

(2)-4

⑶答案見解析

【分析】(1)令》=了=0,得〃0)=0,再令y=-x,結合奇偶性定義可證；

⑵先證明單調性，利用單調性求解即可；

⑶先化為了("2+2)>/(2x+ax),再利用單調性轉化為如2一(a+2)x+2>0,最后根據含參二次不等式的

分類討論求解即可.

【詳解】(1)〃x)為奇函數，理由如下：

函數/(x)的定義域為R,關于原點對稱，

令x=y=0得/(0)=2〃0),解得〃0)=0,

令)=-x得/■")+/(-*)=〃0)=0所以〃-工)=-〃月對任意工€1<恒成立，所以/(x)為奇函數，

(2)任取再"2e(-co,+8),且再<工2，則％-再>°.因為當x>0時，/(x)>0,所以/(X2-王)>0.

/(x2)-/(x1)=/(x2)+/(-x1)=/(x2-x1)>0,即/(王)</。2),所以/(x)在R上單調遞增，

所以〃x)在區(qū)間［-4,4］的最小值為/(-4),

因為/■⑴=1,令工=>=1得〃2)=/(1)+/'⑴=2,

令x=2,y=2得/(4)=/(2+2)=/(2)+/(2)=2+2=4,

/(x)在區(qū)間［-4,4］的最小值為/?in=/(-4)=-/(4)=-4,

(3)由/(ax?)-2〃x)>/(ox)-2,

得/'(ax?)+2>2/(x)+/(")=/(x)+/(x)+/(ax)=/(2x+ax),

由〃2)=2得/(a/)+/(2)=/(ax?+2)>/(2x+ax),

由〃龍)在R上單調遞增得ax2+2>2x+ax整理得ax2-(a+2)x+2>0,即(ax-2)(x-1)>0,

當a=0時，一2x+2>0,解得x<l；當awO時，](x—1)>0,

當a<0時，(x———<0,解集為1―,1],

當a>0時，(x——1)>0,

當a=2時，(x-1)2>0,解集為

當0<a<2時，|>1,解集為(-8,1川匕,+<?1,

當a>2時，0<-<1,解集為1-oo,2]U。，+°°)，

a<a)

綜上所述：當。=0時，解集為(一*1)；當"0時，解集為[：』)

當。=2時，解集為｛x|xwl｝；當0<a<2時，解集為(-81)U]1,+[；

當a>2時，解集為『s,lJuG+s).

【點睛】關鍵點睛：這道題的關鍵之處為第(3)問，需要對含參的二次函數進行分類討論，難點