中考數(shù)學(xué)試題分項(xiàng)匯編：圖形的相似（共29題）原卷版+解析

專題21圖形的相似（29題）

一、單選題

1.（2023?重慶?統(tǒng)考中考真題）如圖，已知AABCsAfDC,AC:EC=2:3,若AB的長(zhǎng)度為6,則DE的長(zhǎng)

度為（）

9C.12D.13.5

2.（2023.四川遂寧.統(tǒng)考中考真題）在方格圖中,以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形叫做格點(diǎn)三角形.在如圖所示的平

面直角坐標(biāo)系中，格點(diǎn)AABGADEF成位似關(guān)系,則位似中心的坐標(biāo)為（）

A.(-1,0)B.(0,0)C.(0,1)D.(1,0)

3.（2023?浙江嘉興?統(tǒng)考中考真題）如圖，在直角坐標(biāo)系中，AABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A（1,2）,B（2,1）,C（3,2）,

現(xiàn)以原點(diǎn)。為位似中心，在第一象限內(nèi)作與AABC的位似比為2的位似圖形AAB'C',則頂點(diǎn)C'的坐標(biāo)是

（4,2）C.(6,4)D.(5,4)

4.（2023?四川南充?統(tǒng)考中考真題）如圖，數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，為測(cè)量學(xué)校旗桿高度，小菲同學(xué)在腳下水平放置

一平面鏡，然后向后退（保持腳、鏡和旗桿底端在同一直線上），直到她剛好在鏡子中看到旗桿的頂端.已

知小菲的眼睛離地面高度為1.6m,同時(shí)量得小菲與鏡子的水平距離為2m,鏡子與旗桿的水平距離為10m,

則旗桿高度為（）

A.6.4mB.8mC.9.6mD.12.5m

5.（2023?安徽?統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)E在正方形ABC。的對(duì)角線AC上，于點(diǎn)尸，連接QE并

延長(zhǎng)，交邊8C于點(diǎn)交邊A3的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.若AF=2,FB=1,則MG=（）

6.（2023?湖北黃岡?統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形ABCD中，AB=3,BC=4,以點(diǎn)8為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑

畫弧，分別交BC,BD于點(diǎn)E,F,再分別以點(diǎn)E,尸為圓心，大于長(zhǎng)為半徑畫弧交于點(diǎn)P,作射線3尸，

過(guò)點(diǎn)C作JBP的垂線分別交&ZAD于點(diǎn)M,N,則CN的長(zhǎng)為（）

A.VioB.VTTC.2#)D.4

7.（2023?四川內(nèi)江?統(tǒng)考中考真題）如圖，在AABC中，點(diǎn)。、E為邊的三等分點(diǎn)，點(diǎn)RG在邊BC上,

47〃。6〃所，點(diǎn)X為AF與DG的交點(diǎn).若AC=12,則斯的長(zhǎng)為（）

F

ADEB

A.1B-1C.2D.3

8.（2023?湖北鄂州?統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，。為原點(diǎn)，Q4=OB=36，點(diǎn)C為平面

3

內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，BC=-,連接AC,點(diǎn)M是線段AC上的一點(diǎn)，且滿足CM:M4=1:2.當(dāng)線段0M取最大值時(shí),

點(diǎn)M的坐標(biāo)是（

612

7C.D.

M5'二

9.（2023?山東東營(yíng)?統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)￡,尸分別在邊DC,上，且防=CE,

平分NC4D,連接。b，分別交AC于點(diǎn)G,M,P是線段AG上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作?NJ_AC

垂足為N,連接PM,有下列四個(gè)結(jié)論:①AE垂直平分DM;②PM+PN的最小值為3也;@CF2=GE-AE；

④S3=6底?其中正確的是（）

A.①②B.②③④C.①③④D.①③

10.（2023?內(nèi)蒙古赤峰?統(tǒng)考中考真題）如圖，把一個(gè)邊長(zhǎng)為5的菱形ABCD沿著直線DE折疊，使點(diǎn)C與45

延長(zhǎng)線上的點(diǎn)Q重合.OE交BC于點(diǎn)E交A3延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.。。交于點(diǎn)尸，DM工于點(diǎn)M,AM=4,

則下列結(jié)論，①DQ=EQ,②2。=3,③=?BD//FQ.正確的是（）

8

A.①②③B.②④C.①③④D.①②③④

11.（2023?黑龍江?統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)及產(chǎn)分別是上的動(dòng)點(diǎn)，且AFLDE，

垂足為G,將AAB尸沿AF翻折，得到△AMF'A"交DE于點(diǎn)尸，對(duì)角線3D交AF于點(diǎn)連接

HM,CM,DM,BM,下列結(jié)論正確的是：@AF=DE；②BM〃DE;③若◎/_!_所，則四邊形跳是

菱形；④當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到A3的中點(diǎn)，tan/BHF=2立;⑤EP-DH=2AG-BH.（）

D

BFC

A.①②③④⑤B.①②③⑤C.①②③D.①②⑤

二、填空題

12.（2023?湖北鄂州?統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，“1BC與4A瓦G位似，原點(diǎn)。是位似中

13.（2023?吉林長(zhǎng)春?統(tǒng)考中考真題）如圖，AABC和AAB'C是以點(diǎn)。為位似中心的位似圖形，點(diǎn)A在線段

上.若。4：44，=1：2,則“LBC和AAB'C'的周長(zhǎng)之比為.

14.（2023?四川樂(lè)山?統(tǒng)考中考真題）如圖，在平行四邊形ABCD中，E是線段上一點(diǎn)，連結(jié)AC、DE交

于點(diǎn)E若A蕓F=＜1，則

ED3S/\AEF

15.（2023?江西?統(tǒng)考中考真題）《周髀算經(jīng)》中記載了“偃矩以望高”的方法.“矩”在古代指兩條邊呈直角的

曲尺（即圖中的ABC）.“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可測(cè)量物體的高度如圖，點(diǎn)A,B,。在同

一水平線上，/ABC和NAQP均為直角，AP與BC相交于點(diǎn)。.測(cè)得AB=40cm,BD=20cm,AQ=12m,

則樹(shù)高產(chǎn)。=______m.

16.（2023?四川成都?統(tǒng)考中考真題）如圖，在AABC中，。是邊A3上一點(diǎn)，按以下步驟作圖：①以點(diǎn)A為

圓心，以適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，分別交AB,AC于點(diǎn)N；②以點(diǎn)。為圓心，以AM長(zhǎng)為半徑作弧，交DB

于點(diǎn)；③以點(diǎn)為圓心，以長(zhǎng)為半徑作弧,在NBAC內(nèi)部交前面的弧于點(diǎn)N'：④過(guò)點(diǎn)N'作射線DN'

交BC于點(diǎn)、E.若ABDE與四邊形ACE。的面積比為4:21,則=的值為.

17.（2023?內(nèi)蒙古?統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=3,BC=\,將從L5C繞點(diǎn)A逆

4D

時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90。，得到△AB'C.連接交AC于點(diǎn)。，則—的值為.

18.（2023?河南?統(tǒng)考中考真題）矩形ABCD中，M為對(duì)角線8。的中點(diǎn)，點(diǎn)N在邊AD上，且AN=AB=1.當(dāng)

以點(diǎn)。，M,N為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí)，AD的長(zhǎng)為.

19.（2023?遼寧大連?統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形ABCD中，AB=3,延長(zhǎng)BC至E,使CE=2,連接AE,

CE平分/DCE交AE于尸，連接。尸，則。尸的長(zhǎng)為

20.（2023?廣東?統(tǒng)考中考真題）邊長(zhǎng)分別為10,6,4的三個(gè)正方形拼接在一起，它們的底邊在同一直線上

（如圖），則圖中陰影部分的面積為.

21.（2023?天津?統(tǒng)考中考真題）如圖,在邊長(zhǎng)為3的正方形ABCO的外側(cè),作等腰三角形ADE,EA=ED=^.

（2）若尸為BE的中點(diǎn)，連接AF并延長(zhǎng)，與相交于點(diǎn)G,則AG的長(zhǎng)為.

22.（2023?四川瀘州?統(tǒng)考中考真題）如圖，E,尸是正方形ABCD的邊A3的三等分點(diǎn)，P是對(duì)角線AC上

Ap

的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PE+PF取得最小值時(shí)，—的值是.

23.（2023?山西?統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，ZBCD=9QP,對(duì)角線AC,8。相交于點(diǎn)0.若

AB=AC=5,BC=6,ZADB=2ZCBD,則AD的長(zhǎng)為.

三、解答題

24.（2023?湖南?統(tǒng)考中考真題）在Rt^ABC中，ZBAC=90°,A￡＞是斜邊BC上的高.

(2)若45=6,BC=10,求的長(zhǎng).

25.（2023?湖南?統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)8是線段AD上的一點(diǎn)，且CBLBE.已知

A3=8,AC=6,DE=4.

C

（2）求線段8。的長(zhǎng).

26.（2023?四川眉山?統(tǒng)考中考真題）如圖，YABCD中，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，連接CE并延長(zhǎng)交54的延長(zhǎng)線

于點(diǎn)E

⑴求證：AF=AB；

(2)點(diǎn)G是線段AF上一點(diǎn)，滿足NFCG=/FCD,CG交AD于點(diǎn)H,若AG=2,尸G=6,求G”的長(zhǎng).

27.(2023?四川涼山?統(tǒng)考中考真題)如圖，在YABCD中，對(duì)角線AC與3。相交于點(diǎn)。，ZCAB=ZACB,

過(guò)點(diǎn)8作3E_LAB交AC于點(diǎn)E.

⑵若筋=10,AC=16,求OE的長(zhǎng).

28.(2023?江蘇揚(yáng)州?統(tǒng)考中考真題)如圖，點(diǎn)E、F、G、”分別是YABCD各邊的中點(diǎn)，連接AF、CE相交

于點(diǎn)M,連接AG、S相交于點(diǎn)N.

(1)求證：四邊形AMCN是平行四邊形；

⑵若nAMCN的面積為4,求YABCD的面積.

29.（2023?上海?統(tǒng)考中考真題）如圖，在梯形ABCD中點(diǎn)RE分別在線段BC,AC上，且

ZFAC^ZADE,AC=AD

⑴求證：DE=AF

(2)若ZABC=NCDE,求證：AF-=BFCE

專題21圖形的相似（29題）

一、單選題

1.（2023?重慶?統(tǒng)考中考真題）如圖，已知AABCsAfDC,AC:EC=2:3,若AB的長(zhǎng)度為6,則DE的長(zhǎng)

度為（）

【答案】B

【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出.

【詳解】解：；△ABCs△即。，

AC:EC=AB\DE,

VAC:EC=2:3,AB=6,

：.2:3=6:DE,

：.DE=9,

故選：B.

【點(diǎn)睛】此題考查的是相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的邊長(zhǎng)比等于相似比是解決此題的關(guān)鍵.

2.（2023?四川遂寧?統(tǒng)考中考真題）在方格圖中，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形叫做格點(diǎn)三角形.在如圖所示的平

面直角坐標(biāo)系中，格點(diǎn)△ABCsDER成位似關(guān)系，則位似中心的坐標(biāo)為（）

A.(-1,0)B.(0,0)C.(0,1)D.(1,0)

【答案】A

【分析】根據(jù)題意確定直線AD的解析式為：y=x+l,由位似圖形的性質(zhì)得出AZ）所在直線與BE所在直線

x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即為位似中心，即可求解.

【詳解】解:由圖得：A（1,2）,D（3,4）,

設(shè)直線AD的解析式為：y=kx+b,將點(diǎn)代入得：

[2^k+b[k=l

\,>解得：].]，

[4=3k+b[。=1

直線AD的解析式為：y=x+l,

AD所在直線與BE所在直線x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即為位似中心，

?,.當(dāng)>=0時(shí)，x=-l,

位似中心的坐標(biāo)為（-1,0）,

故選：A.

【點(diǎn)睛】題目主要考查位似圖形的性質(zhì)，求一次函數(shù)的解析式，理解題意，掌握位似圖形的特點(diǎn)是解題關(guān)

鍵.

3.（2023?浙江嘉興?統(tǒng)考中考真題）如圖，在直角坐標(biāo)系中，AABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A（1,2）,B（2,1）,C（3,2）,

現(xiàn)以原點(diǎn)。為位似中心，在第一象限內(nèi)作與“3C的位似比為2的位似圖形AAB'C',則頂點(diǎn)C'的坐標(biāo)是

A.（2,4）B.（4,2）C.（6,4）D.（5,4）

【答案】C

【分析】直接根據(jù)位似圖形的性質(zhì)即可得.

【詳解】解：：AABC的位似比為2的位似圖形是AAB'C',且C（3,2）,

.-.^（2x3,2x2）,即C（6,4）,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與位似圖形，熟練掌握位似圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

4.（2023?四川南充?統(tǒng)考中考真題）如圖，數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，為測(cè)量學(xué)校旗桿高度，小菲同學(xué)在腳下水平放置

一平面鏡，然后向后退（保持腳、鏡和旗桿底端在同一直線上），直到她剛好在鏡子中看到旗桿的頂端.已

知小菲的眼睛離地面高度為1.6m,同時(shí)量得小菲與鏡子的水平距離為2m,鏡子與旗桿的水平距離為10m,

則旗桿高度為（）

A.6.4mB.8mC.9.6mD.12.5m

【答案】B

【分析】根據(jù)鏡面反射性質(zhì)，可求出=再利用垂直求△ABCs△石℃,最后根據(jù)三角形相似

的性質(zhì)，即可求出答案.

【詳解】解：如圖所示，

由圖可知，AB上BD,CDLDE,CF1BD

\2ABC?CDE90?.

???根據(jù)鏡面的反射性質(zhì)，

???ZACF=ZECF9

：.90°-ZACF=90°-ZECF,

:.ZACB=ZECD,

:△ABCs^EDC,

.AB_BC

'~DE~~CD'

???小菲的眼睛離地面高度為L(zhǎng)6m,同時(shí)量得小菲與鏡子的水平距離為2m,鏡子與旗桿的水平距離為10m,

AB=1.6m,BC=2m,CD=10m.

.16_2

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握鏡面反射的基本性質(zhì)和相似三角形的性

質(zhì).

5.(2023?安徽?統(tǒng)考中考真題)如圖，點(diǎn)E在正方形ABCD的對(duì)角線AC上，于點(diǎn)尸，連接QE并

延長(zhǎng)，交邊8C于點(diǎn)交邊A3的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.若AF=2,FB=1,則MG=()

C.75+1D.710

【答案】B

【分析】根據(jù)平行線分線段成比例得出黑二普=2,根據(jù)△3必由，得出普一器=2,則

I33

CM=—A。=—,進(jìn)而可得MB=—，根據(jù)3C〃，得出^GMB^AGDA,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出3G=3,

222

進(jìn)而在RtABGM中，勾股定理即可求解.

【詳解】解：：四邊形ABCD是正方形，AF=2,FB=l,

：.AD=BC=AB=AF+FG=2+1=3,AD//CB,AD^AB,CB±AB,

,：EF.LAB,

：.AD//EF//BC

：.——二—=2,AADEs△CME,

EMFB

?.,-A-D=DE=2,

CMEM

13

則CM=—AZ)=—,

22

3

：.MB=3-CM=-,

2

■:BC//AD,

:?AGMBS^GDA9

3

ABGMB2_1

AG-DA-7-2

???BG=AB=3,

MG=^MB2+BG2=+32=亭，

在RtZXBGM中,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，平行線分線段成比例，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，熟練掌

握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

6.（2023?湖北黃岡?統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形中，AB=3,BC=4,以點(diǎn)B為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑

畫弧，分別交BC,BD于點(diǎn)E,F,再分別以點(diǎn)E,尸為圓心，大于長(zhǎng)為半徑畫弧交于點(diǎn)P,作射線3P,

過(guò)點(diǎn)C作3P的垂線分別交BOA。于點(diǎn)M,N,則CN的長(zhǎng)為（）

A.VToB.VTTC.2AD.4

【答案】A

【分析】由作圖可知3尸平分NCB。，設(shè)BP與CN交于點(diǎn)O,與交于點(diǎn)R,作RQL3D于點(diǎn)。，根據(jù)角

平分線的性質(zhì)可知RQ=RC,進(jìn)而證明RSBCR絲RS30R,推出BC=80=4,^RQ=RC=x,貝|

4

DR=CD-CR=3-x,解RtADQR求出QR=CR=§.利用三角形面積法求出OC,再證AOCRSAOOV,

根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可求出CN.

【詳解】解：如圖，設(shè)3尸與CN交于點(diǎn)O,與8交于點(diǎn)R,作于點(diǎn)。，

,矩形ABCD中，AB=3,BC=4,

CD=AB=3,

BD=S/BC2+CD2=5-

由作圖過(guò)程可知，BP平分NCBD,

四邊形ABCD是矩形，

???CDLBC,

又RQVBD,

RQ=RC,

在RJBCR和RLBQR中，

[RQ=RC

[BR=BR'

，RGBCR^Rt^BQR(HL),

BC=BQ=4,

，QD=BD-BQ=5-4=1,

設(shè)HQ=HC=％,則OR=GD—CH=3_%,

在中，由勾股定理得。氏2=。。+膻2,

即(3—x)=I2+x2,

4

解得％=§，

4

二.CR=—.

3

BR=VBC2+CR2=-V10.

3

SAORCAR=2-CRBC=2-BROC,

lx4

BR，5

3

?/Z.COR=ZCDN=90°,ZOCR=二NDCN,

QCRsQCN,

.OCCR日J(rèn)加-

..——=——，即53，

DCCN------=^~

3CN

解得CN=

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的作圖方法，矩形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股

定理，相似三角形的判定與性質(zhì)等，涉及知識(shí)點(diǎn)較多，有一定難度，解題的關(guān)鍵是根據(jù)作圖過(guò)程判斷出

平分NCBD,通過(guò)勾股定理解直角三角形求出CR.

7.（2023?四川內(nèi)江?統(tǒng)考中考真題）如圖，在"RC中，點(diǎn)。、E為邊A2的三等分點(diǎn)，點(diǎn)RG在邊3C上，

AC〃DG〃EF,點(diǎn)”為AF與。G的交點(diǎn).若AC=12,則D”的長(zhǎng)為（）

【答案】C

【分析】由三等分點(diǎn)的定義與平行線的性質(zhì)得出==BF=GF=CG,AH=HF,?！笔恰鰽EF的

FFBF1

中位線，易證R4C,得---=---,解得石F=4,貝ijOH=—石尸=2.

ACA.B2

【詳解】解：E為邊的三等分點(diǎn)，EF〃DG〃AC,

BE=DE=AD9BF=GF=CG,AH=HF,

:.AB=3BE,DH是尸的中位線，

:.DH=-EF,

2

?;EF〃AC,

ZBEF=ABAC,ZBFE=ZBCA,

/.△BEF^ABAC,

.EFBERnEFBE

ACAB123BE

解得：EF=4,

:.DH=-EF=-x4=2,

22

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了三等分點(diǎn)的定義、平行線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理等知

識(shí)；熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

8.（2023?湖北鄂州?統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，。為原點(diǎn)，OA=OB=3非,點(diǎn)C為平面

3

內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，BC=~,連接AC,點(diǎn)M是線段AC上的一點(diǎn)，且滿足CM:M4=1:2.當(dāng)線段取最大值時(shí),

2

點(diǎn)的坐標(biāo)是（）

【分析】由題意可得點(diǎn)C在以點(diǎn)8為圓心，;為半徑的08上，在X軸的負(fù)半軸上取點(diǎn)。-孚,0,連接

2I2）

分別過(guò)C、M作ME1OA,垂足為尸、E,先證AQAMSADAC,得嚕=縹=],從而當(dāng)

取得最大值時(shí)，取得最大值，結(jié)合圖形可知當(dāng)O,B,C三點(diǎn)共線，且點(diǎn)B在線段0c上時(shí)，C￡＞取得

最大值，然后分別證△BDOSACDR,AAEMS^AFC,利用相似三角形的性質(zhì)即可求解.

3

【詳解】解：；點(diǎn)C為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，BC=1,

3

...點(diǎn)C在以點(diǎn)B為圓心，Q為半徑的08上，

在x軸的負(fù)半軸上取點(diǎn)R-當(dāng)，0,連接網(wǎng)）,分別過(guò)C、M作CFLQ4,MELOA,垂足為八E,

OA=OB=*,

AD=OD+OA=^-

2

OA2

AD3

CM:MA=1:2,

OA2CM

AD3AC

ZOAM=ZDAC,

△OAM^AZMC,

OMOA2

CDAD3

當(dāng)CD取得最大值時(shí)，OM取得最大值，結(jié)合圖形可知當(dāng)。，B,。三點(diǎn)共線，且點(diǎn)3在線段QC上時(shí),

CO取得最大值,

VOA=OB=3y/5,OD=^-

2

\2

3A/5

BD=^OB2+OD2=（375）2+15

2J2

：?CD=BC+BD=9,

??CM=2

CD3

：.OM=6,

???丁軸_11軸，CF1OA,

???NDOB=NDFC=90°,

,:NBDO=NCDF,

:?4BDOs^CDF,

15

得嘿即

CF9

解得w4

同理可得，AAEMS^AFC,

ME2

.MEAM9_______——

=彳即1863,

CFAC3—-

5

解得=

5

(1275Y66

OE=y/OM2-ME2=.62-

(5J5

，當(dāng)線段OM取最大值時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)是警,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理、相似三角形的判定及性質(zhì)、圓的一般概念以及坐標(biāo)與圖形，熟練掌握

相似三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

9.（2023?山東東營(yíng)?統(tǒng)考中考真題）如圖,正方形ABC。的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)E,尸分別在邊DC,BC上，且板=CE,

AE平分/C4D,連接DR,分別交AE,AC于點(diǎn)G,M,尸是線段AG上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作RVLAC

垂足為N,連接,有下列四個(gè)結(jié)論:①AE垂直平分DM;②PM+PN的最小值為3亞;?CF2=GE-AE-,

④$3=6四?其中正確的是（）

A.①②B.②③④C.①③④D.①③

【答案】D

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)和三角形全等即可證明=通過(guò)等量轉(zhuǎn)化即可求證AG利

用角平分線的性質(zhì)和公共邊即可證明A"?G空"IMG（ASA）,從而推出①的結(jié)論；利用①中的部分結(jié)果可證

明推出￡）E2=GE.AE,通過(guò)等量代換可推出③的結(jié)論；利用①中的部分結(jié)果和勾股定理推

出AM和CM長(zhǎng)度，最后通過(guò)面積法即可求證④的結(jié)論不對(duì)；結(jié)合①中的結(jié)論和③的結(jié)論可求出PM+PN的

最小值，從而證明②不對(duì).

【詳解】解：?.?ABCD為正方形，

.-.BC=CD=AD,ZADE=NDCF=90。,

?;BF=CE,

:.DE=FC,

...△ADE冬ADCF(SAS).

:.ZDAE=ZFDC,

-.-ZADE=90P,

:.ZADG+ZFDC=90°,

ZADG+ZDAE=90°,

:.ZAGD=ZAGM=90°.

?.?北平分/以1)，

:.ZDAG=ZMAG.

AG=AG,

.-.△ADG^AAMG(ASA).

:.DG=GM,

ZAGD^ZAGM=90°,

.：AB垂直平分血/,

故①正確.

由①可知，ZADE=ZDGE=90。,NDAE=NGDE,

.'.^ADE,

DEAE

"~GE~~DE'

DE2=GEAE,

由①可知。E=CF,

:.CF2=GEAE.

故③正確.

?.?ABC。為正方形，且邊長(zhǎng)為4,

:.AB^BC^AD=4,

???在RtZXABC中，AC=y/2AB=4y/2.

由①可知，AADG空AAMG(ASA),

：.AM=AD^4,

:.CM=AC-AM=40-4.

由圖可知，△DA/C和等高，設(shè)高為3

一^^ADM-SjDC-SQMC，

4X/Z_4X4（4收一4）?力，

2，

h=2A/2，

.-.SaAflM=1.AM./J=1x4x2V2=4^.

故④不正確.

由①可知，AADGgAAMG（ASA）,

:.DG=GM,

關(guān)于線段AG的對(duì)稱點(diǎn)為D,過(guò)點(diǎn)。作DMLAC,交AC于N',交AE于P,

，巴1+兩最小即為￡加'，如圖所示，

由④可知△AD做的高/z=2&即為圖中的DN',

DN'=272.

故②不正確.

綜上所述，正確的是①③.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查的是正方形的綜合題，涉及到三角形相似，最短路徑，三角形全等，三角形面積法，解

題的關(guān)鍵在于是否能正確找出最短路徑以及運(yùn)用相關(guān)知識(shí)點(diǎn).

10.（2023.內(nèi)蒙古赤峰.統(tǒng)考中考真題）如圖，把一個(gè)邊長(zhǎng)為5的菱形ABCD沿著直線DE折疊，使點(diǎn)C與A3

延長(zhǎng)線上的點(diǎn)0重合.OE交BC于點(diǎn)憶交A3延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.。。交BC于點(diǎn)P,血/工48于點(diǎn)知,AM=4,

則下列結(jié)論，①DQ=EQ,②BQ=3,③BP=?,@BD//FQ.正確的是（）

8

C.①③④D.①②③④

【答案】A

【分析】由折疊性質(zhì)和平行線的性質(zhì)可得/以＞尸=/a）尸=/。斯，根據(jù)等角對(duì)等邊即可判斷①正確；根據(jù)

等腰三角形三線合一的性質(zhì)求出MQ=AM=4,再求出8。即可判斷②正確；由△COPs^BQP得

CPCD5FPCF

—==求出3P即可判斷③正確；根據(jù)二二之即可判斷④錯(cuò)誤―

DrD{J3DEBE

【詳解】由折疊性質(zhì)可知：ZCDF=ZQDF,CD=DQ=5,

CD//AB,

：.ZCDF=ZQEF.

NQDF=ZQEF.

???DQ=EQ=5.

故①正確;

VDQ=CD=AD=5,DM.LAB,

：.MQ=AM=4.

;MB=AB-AM=5-4=1,

：.BQ=MQ-MB=4-1=3.

故②正確；

?:CD//AB,

：.ACDPs^BQP.

?CP__C__D__5

**BP-BQ_3,

?；CP+BP=BC=5,

315

BP=-BC=—.

88

故③正確；

CD//AB,

△CDFs^BEF.

DF_CD_CD_5_5

EF~BE~8。+。石-3+5-W

?EF_8

**DE-13,

..QE_5

?BE~89

??~F'.

DEBE

：.AEFQ與△ED3不相似.

ZEQF豐ZEBD.

/.3D與BQ不平行.

故④錯(cuò)誤；

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，菱

形的性質(zhì)等知識(shí)，屬于選擇壓軸題，有一定難度，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

11.(2023?黑龍江?統(tǒng)考中考真題)如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)瓦尸分別是ABIC上的動(dòng)點(diǎn)，且AF1DE，

垂足為G,將AAB尸沿AF翻折，得到"MF,AM交DE于點(diǎn)尸，對(duì)角線3D交AF于點(diǎn)連接

HM,CM,DM,BM,下列結(jié)論正確的是：@AF=DE；②BM〃DE；③若。/JL刃/,則四邊形3HMF是

菱形；④當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到AB的中點(diǎn)，tan/BH尸=2應(yīng)；⑤EP-DH=2AG-BH.()

A^-------------

BFC

A.①②③④⑤B.①②③⑤C.①②③D.①②⑤

【答案】B

【分析】利用正方形的性質(zhì)和翻折的性質(zhì)，逐一判斷，即可解答.

【詳解】解：,??四邊形ABCD是正方形，

ZDAE=ZABF=90°,DA=AB,

-.■AF±DE,

:.ZBAF+ZAED=90°,

■.■ZBAF+ZAFB=90P,

:.ZAED=ZBFA,

,△AB尸絲△AED(AAS),

:.AF=DE,故①正確，

將AABF沿AF翻折，得到AAMF,

BM±AF,

AF1DE，

:.BM//DE,故②正確，

當(dāng)時(shí)，ZCMF=90°,

ZAMF=ZABF=90°,

:.ZAMF+ZCMF=180°,即AM,C在同一直線上，

:.ZMCF=45°,

ZMFC=90°-ZMCF=45°,

通過(guò)翻折的性質(zhì)可得==BF=MF,

：.ZHMF=ZMFC,NHBC=/MFC,

:.BC//MH,HB//MF,

.?.四邊形硒WF是平行四邊形，

*;BF=MF,

??.平行四邊形瓦砌F是菱形，故③正確，

當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到A3的中點(diǎn)，如圖，

在RtA4E￡＞中，DE=y/AD2+AE2=j5a=AF^

ZAHD=NFHB,ZADH=ZFBH=45°,

:△AHD^AFHB,

FHBF_a

"AH^AD^2a~2)

,z_2“_2君

..AH——AF-af

33

???ZAGE=ZABF=90°,

:.AAGF^/\ABF，

AEEGAG_a_亞

ABV

?3一非n口一非.一右g_26

5555

4J54J5

/.DG=ED-EG=—L—a,GH=AH—AG=^—a,

515

ZBHF=ZDHA,

在RtADG”中，tan/BE"=tan/￡>HA=2@=3,故④錯(cuò)誤，

GH

??△AHDSAFHB，

BH_1

??一，

DH2

:.BH=-BD=-x2y/2a=^-a,DH=-BD=-x2y/2a=^^a,

333333

???AF_L￡P(guān),

根據(jù)翻折的性質(zhì)可得￡P(guān)=2EG=2*5Q，

5

.他4亞_8A/102

5315

…2452A/2_8M2

2AG,BH—2?-----a-------a--------a,

5315

:.EP-DH=2AGBH=^^-a2,故⑤正確；

15

綜上分析可知，正確的是①②③⑤.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，翻折的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，正切的概念，熟練按照要求

做出圖形，利用尋找相似三角形是解題的關(guān)鍵.

二、填空題

12.（2023?湖北鄂州?統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，AABC與4A瓦G位似，原點(diǎn)。是位似中

A3

心，且”=3.若A（9,3）,則4點(diǎn)的坐標(biāo)是

【答案】（3,1）

【分析】直接利用位似圖形的性質(zhì)得出相似比進(jìn)而得出對(duì)應(yīng)線段的長(zhǎng).

【詳解】解:設(shè)4（北〃）

AB0

,/AABC與△AAG位似,原點(diǎn)。是位似中心,且----二3若4(9,3),

A冉

???位似比為:3,

???2-—2―，——

mini

角軍得加=3,n=l,

???4(3,1)

故答案為:（3,1）.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了位似變換，正確得出相似比是解題關(guān)鍵.

13.（2023?吉林長(zhǎng)春?統(tǒng)考中考真題）如圖，AABC和AAaC'是以點(diǎn)。為位似中心的位似圖形，點(diǎn)A在線段0A

上.若。A：4V=1：2,則AABC和AA'B'C'的周長(zhǎng)之比為.

【答案】1：3

【分析】根據(jù)位似圖形的性質(zhì)即可求出答案.

【詳解】解：???Q4：A4'=1：2,

r.OA:OA'=l:3,

設(shè)AABC周長(zhǎng)為《，設(shè)AABC'周長(zhǎng)為4,

???AABC和△AEC是以點(diǎn)。為位似中心的位似圖形,

.）—OA—1

,,丁市―§?

../]:I?=1:3.

/.△ABC和的周長(zhǎng)之比為1:3.

故答案為：1:3.

【點(diǎn)睛】本題考查了位似圖形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握位似圖形性質(zhì).

14.（2023?四川樂(lè)山?統(tǒng)考中考真題）如圖，在平行四邊形ABCD中，E是線段上一點(diǎn)，連結(jié)AC、DE交

于點(diǎn)?若皆十則溫

【分析】四邊形至。是平行四邊形，^CD?,可證明aRSB,得至塔嘿垸,

由A蕓p=:0進(jìn)一步即可得到答案―

EB3

【詳解】解：：四邊形ABCE?是平行四邊形,

：.AB=CD,AB\\CD,

：.ZAEF=/CDF,ZEAF=ZDCF,

JAEAFS八DCF,

.DFCDAB

??即一瓦一記

..A￡_2

?——,

EB3

.AB_5

??=-9

AE2

.SAADF_DFAB_5

"S^AEFEFAE2-

故答案為：—

【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，證明AE4ESAOCF是解題的關(guān)

鍵.

15.（2023?江西?統(tǒng)考中考真題）《周髀算經(jīng)》中記載了“偃矩以望高”的方法.“矩”在古代指兩條邊呈直角的

曲尺（即圖中的ABC）.“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可測(cè)量物體的高度如圖，點(diǎn)A,B,。在同

一水平線上，/ABC和NAQP均為直角，A尸與BC相交于點(diǎn)D.測(cè)得A3=40cm,BE>=20cm,AQ=12m,

則樹(shù)高PQ=_____m.

【答案】6

【分析】根據(jù)題意可得AABDSAAQP,然后相似三角形的性質(zhì)，即可求解.

【詳解】解：和NAQP均為直角

BD//PQ,

AABD^AAQP,

?_B_D___A_B_

?,拓—而

AB=40cm,BD=20cm,AQ=12m,

,八八AQxBD12x20，

：.PQ=—^--=----=6m,

AB40

故答案為：6.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

16.（2023?四川成都?統(tǒng)考中考真題）如圖，在JRC中，。是邊A3上一點(diǎn)，按以下步驟作圖：①以點(diǎn)A為

圓心，以適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，分別交AB,AC于點(diǎn)〃，N；②以點(diǎn)。為圓心，以40長(zhǎng)為半徑作弧，交DB

于點(diǎn)M'；③以點(diǎn)M'為圓心，以長(zhǎng)為半徑作弧,在/BAC內(nèi)部交前面的弧于點(diǎn)N'：④過(guò)點(diǎn)N'作射線DN'

BF

交BC于點(diǎn)、E.若ABDE與四邊形ACED的面積比為4:21,則=的值為.

7

【答案】j

【分析】根據(jù)作圖可得NBDE=NA，然后得出。E〃AC,可證明△BDEsawc,進(jìn)而根據(jù)相似三角形

的性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：根據(jù)作圖可得ZBDE=ZA,

DE//AC,

：.公BDEs八BAC,

ABDE與四邊形ACED的面積比為4:21,

.S?c4/%

S.BAC21+4IBCJ

.BE2

"BC-5

,BE_2

，,~CE~3,

故答案為：g.

【點(diǎn)睛】本題考查了作一個(gè)角等于己知角，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握基本作圖與相似三角形的

性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

17.（2023?內(nèi)蒙古?統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=3,BC=1,將AABC繞點(diǎn)A逆

時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90。，得到△AB'C.連接8?,交AC于點(diǎn)。，則—的值為.

【答案】5

【分析】過(guò)點(diǎn)。作。尸，AB于點(diǎn)尸，利用勾股定理求得根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可證AAB3'、ADFB是

等腰直角三角形，可得DF=BF,再由SAADB=gx8CxAO=gxDFxAB,得AD=?DF,證明

AAFD~AACB,可得竺=竺，即AF=3￡>尸，再由=尸，求得。尸=典，從而求得A￡>=』，

BCAC42

CD=；,即可求解.

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)。作。FLAB于點(diǎn)片

VZACB=90°,AC=3,BC=1,

AB=732+I2=7IO，

將AABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90。得到AAB'C,

/.AB=AB'=y/10,ABAB'=9Q°,

：.△ABE是等腰直角三角形，

/.NAB?=45°,

又：DFYAB,

：.ZFDB=45°,

△￡>FB是等腰直角三角形，

DF=BF,

'/=^xBCxAD=DFxAB,即AD=5DF,

?/ZC=ZAFD^90°,ZCAB^ZFAD,

:?小AFD~^ACB,

.DFAF

即AF=3O歹，

*BC-AC

又：AF=y/10-DF,

.“回

??DF=---,

4

.）八_[77：A/10_5m-&5—1

??AO—y/10x------—9CD—3一~,

4222

5

AD_2_.

五一L，

2

故答案為：5.

【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形的面積，熟

練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

18.（2023?河南?統(tǒng)考中考真題）矩形ABCD中，M為對(duì)角線8。的中點(diǎn)，點(diǎn)N在邊AO上，S.AN=AB=1.當(dāng)

以點(diǎn)。，M,N為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí)，AD的長(zhǎng)為.

【答案】2或五+1

【分析】分兩種情況：當(dāng)NMND=90。時(shí)和當(dāng)/MWE>=90。時(shí)，分別進(jìn)行討論求解即可.

【詳解】解：當(dāng)/MND=90。時(shí)，

:四邊形ABCD矩形，

ZA=90°,則AfiV〃AB,

由平行線分線段成比例可得：黑=黑,

NDMD

又M為對(duì)角線BD的中點(diǎn)，

***BM=MD,

.ANBM

"ND~MD~'

即：ND=AN=\,

：.AD=AN+ND=2,

當(dāng)NMWE>=90。時(shí)，

???〃為對(duì)角線3。的中點(diǎn)，/NMD=90。

???MN為BD的垂直平分線，

:.BN=ND,

???四邊形ABC。矩形，AN=AB=1

.?.ZA=90。，則BN=4^二B

BN=ND=^/2

AD=AN+ND=42+1>

綜上，AD的長(zhǎng)為2或0+1,

故答案為：2或a+1.

【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，平行線分線段成比例，垂直平分線的判定及性質(zhì)等，畫出草圖進(jìn)行分類討

論是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

19.（2023?遼寧大連?統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形A8CD中，AB=3,延長(zhǎng)8C至E,使CE=2,連接AE,

CF平分/DCE交AE于F,連接。尸，則的長(zhǎng)為

4

【分析】如圖，過(guò)歹作戶于M,FNLCD于N,由CF平分/DCE,可知NFCW=/尸CV=45。，

可得四邊形CMFN是正方形，F(xiàn)M//AB,設(shè)FM=CM=NF=CN=a,則ME=2—a,證明AERHS的",

則空■=￥§，即;=涔，解得.==，DN=CD-CN=?,由勾股定理得上=而4/，計(jì)算求解

ABBE33+244

即可.

【詳解】解：如圖，過(guò)尸作于FN1CD于N,則四邊形CMF/V是矩形，F(xiàn)M//AB,

???。/平分/。?！?

JNFCM=NFCN=45。，

：.CM=FM,

???四邊形CMFN是正方形，

設(shè)FM=CM=NF=CN=a,則ME=2—a,

FM//AB,

；?△EFMS^EAB,

.FMMEa2-a3

??二,目）=解得”“

ABBE33+2

9

DN4-

由勾股定理得DF=[DM+NF?=e叵

4

故答案為：平

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的判定與性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)

的熟練掌握與靈活運(yùn)用.

20.（2023?廣東?統(tǒng)考中考真題）邊長(zhǎng)分別為10,6,4的三個(gè)正方形拼接在一起,它們的底邊在同一直線上

（如圖），則圖中陰影部分的面積為

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)可進(jìn)行求解.

【詳解】解：如圖,

GF=6,ACEF=ZEFG=90°,GH=4,

???CH=10=ADf

ZD=ZDCH=90°,ZAJD=ZHJC,

???△AZ>J^AHC7（AAS）,

：.CJ=DJ=5,

GI//CJ,

:.AHGIS^HCJ,

,G1_GH_2

**G7-CH-5'

???G/=2,

FI=4,

???5梯形￡〃=3陽(yáng)+肛)名尸