福建省莆田某中學2025屆高三畢業(yè)班高考模擬考試數(shù)學試題（含答案解析）

福建省莆田第十中學2025屆高三畢業(yè)班高考模擬考試數(shù)學試題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.若隨機變量X服從正態(tài)分布N(3,4),P(XW5)=0.55,則P(X<1)=()

A.0.45B.0.55C.0.1D.0.9

2.已知A=<0,若2eA,則相的取值范圍是()

[\mx—\

A.——<m<—B.——<m<—C.m<——或D.m<——或加2—

22222222

3.若拋物線y2=2,nx的準線經(jīng)過雙曲線V一y=2的右焦點，則加的值為()

A.4B.-2C.2D.-4

4.已知四棱錐P—ABCD的各頂點在同一球面上，^AD=2AB=2BC=2CD=4,"AB為

正三角形，且面從6_1_面488,則該球的表面積為()

1352

A.—兀B.16兀C.—兀D.20兀

33

5.已知正項等比數(shù)列｛%｝中，%=1,S”為應的前〃項和，&=5邑一4,則§4=()

A.7B.9C.15D.20

Y-LA1

6.已知函數(shù)/a)=〃ln-,其中〃，人均為正數(shù).若/(86)—/(36)=2,則()

be-

A2袤2D4

e239

7.有一組樣本數(shù)據(jù)：%超，L,4,其平均數(shù)為2,由這組樣本數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)：%,尤2，

L,看,2,那么這兩組樣本數(shù)據(jù)一定有相同的()

A.眾數(shù)B.中位數(shù)

C.方差D.極差

8.若曲線>=竺乎有且僅有一條過坐標原點的切線，則正數(shù)a的值為()

e

A.-B.巫C.-D.B

4433

二、多選題

9.若a=log3().3,8=3°3,c=0.33?則()

A.b<aB.c<bC.a〈cD.a<b

10.古希臘著名數(shù)學家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內到兩個定點45的距離之比為定值4(4wl)

的點的軌跡是圓，此圓被稱為“阿波羅尼斯圓在平面直角坐標系xOy中，已知。(。,0),

4(2,0),點P滿足磊=0,設點尸的軌跡為圓C,下列結論正確的是()

A.圓C的方程是(x+2>+y2=9

B.過點A且斜率為1的直線被圓C截得的弦長為土叵

C.圓C與圓(x-l)2+(y-4)2=8有四條公切線

D.過點A作直線/,若圓C上恰有三個點到直線/距離為④，該直線斜率為土，

11.已知函數(shù)八力的定義域為R,〃x+y)=￡甲+駕，且〃1)=1,則()

e'e

A."0)=0B./(-l)=e2

C.e"(x)為奇函數(shù)D.〃x)在(0，+s)上具有單調性

三、填空題

12.已知復數(shù)z=(夕?R)的實部為o,貝han29=.

13.已知空間中有三點。(0,0,0),B(1,1,0),則點。到直線A3的距離為.

14.已知2爐+/一2孫一2x-l=0.若y>x>l,求V的最大值為；若x>l且

求2x-y的最大值為.

四、解答題

15.某校體育節(jié)組織比賽，需要志愿者參加服務的項目有：60米袋鼠跳、100米、200米、

1500米、3000米、4x100米接力.

⑴志愿者小明同學可以在6個項目中選擇3個項目參加服務，求小明在選擇60米袋鼠跳服

務的條件下，選擇3000米服務的概率；

(2)為了調查志愿者選擇服務項目的情況，從志愿者中抽取了15名同學，其中有9名首選100

試卷第2頁，共4頁

米，6名首選4x100米接力.現(xiàn)從這15名同學中再選3名同學做進一步調查.將其中首選

4x100米接力的人數(shù)記作X,求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望.

16.在如圖所示的幾何體中，PA_L平面ABC。，PA//QD,四邊形ABC。為平行四邊形，

ZABC=60°,ABAC=90°,AB=PA=1,PQ=272.

(1)求證：直線PB〃平面OCQ；

(2)求直線尸3與平面PCQ所成角的正弦值；

(3)求平面PCQ與平面OC。夾角的正弦值.

17.三角學于十七世紀傳入中國，此后徐光啟、薛風祚等數(shù)學家對此深入研究，對三角學的

現(xiàn)代化發(fā)展作出了巨大貢獻，三倍角公式就是三角學中的重要公式之一,類似二倍角的展開,

三倍角可以通過拆寫成二倍角和一倍角的和，再把二倍角拆寫成兩個一倍角的和來化簡.

(1)證明：sin3x=3sinx—4sin3x;

⑵若sin,〃eN*,求〃的值.

18.已知尸為平面上的動點，記其軌跡為「

⑴請從以下兩個條件中選擇一個，求對應的：T的方程.①已知點7(-L0),直線/:x=-4,動

點尸到點T的距離與到直線/的距離之比為g；②設E是圓。：/+/=4上的動點，過E作

直線EG垂直于x軸，垂足為G,且用=@面.

2

(2)在(1)的條件下，設曲線「的左、右兩個頂點分別為AB,若過點K(l,0)的直線加的斜

率存在且不為0,設直線機交曲線「于點M,N,直線〃過點7(-1,0)且與x軸垂直，直線.

交直線〃于點尸，直線M交直線〃于點。，則線段的比值相是否為定值？若是，求出該

定值；若不是，請說明理由.

19.對于數(shù)列｛4｝,數(shù)列｛。用-q｝稱為數(shù)列｛4｝的差數(shù)列或一階差數(shù)列.｛4｝差數(shù)列的差數(shù)列,

稱為｛%｝的二階差數(shù)列.一般地，｛%｝的上階差數(shù)列的差數(shù)列，稱為｛%｝的k+1階差數(shù)列.如

果｛4｝的上階差數(shù)列為常數(shù)列，而Z-1階差數(shù)列不是常數(shù)列，那么｛%｝就稱為左階等差數(shù)列.

⑴己知20,24,26,25,20是一個上階等差數(shù)列｛%｝的前5項.求上的值及必；

（2）證明：二階等差數(shù)列也,｝的通項公式為

b“=々+（"-1）（打一偽）+；（〃一l）（w-2）（4-24+偽）；

（3）證明:若數(shù)列｛g｝是k階等差數(shù)列,則｛%｝的通項公式是〃的七次多項式，即c"=之4"（其

1=0

中4（z?=0,1,…，k）為常實數(shù)）

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

題號12345678910

答案AADCCCDABCDBD

題號11

答案AC

1.A

【分析】由題可知〃=3,所以X45和X21對稱，據(jù)此求解即可.

【詳解】因為隨機變量X服從正態(tài)分布N（3,〃），

所以P（X45）=尸（X21）=0.55；

所以尸（X41）=1-尸（X21）=1-0.55=0.45.

故選：A.

2.A

【分析】將X=2代入％=40,然后轉化為一元二次不等式求解可得.

mx-1

【詳解】因為2￡A,所以"^0,等價于:）,

2m-\[2m-1^0

解得一;＜根＜；.

故選：A

3.D

【分析】根據(jù)題意，求出拋物線的準線方程列式運算求得加的值.

【詳解】雙曲線f—V=2的右焦點為（2,0）,所以拋物線的準線為％=2,

■■--^=2,解得旭=~4.

故選：D.

4.C

【分析】作輔助線，找到球心的位置，證明。到四棱錐所有頂點距離相等；根據(jù)勾股定理,

求出球的半徑，進而求出球的表面積.

【詳解】如圖，取AD的中點E,取的中點G,連接EG、PG,在線段PG上取一點尸，

使FG=gpG,

過點E作平面ABCD的垂線OE,使OE=FG,連接。尸，

答案第1頁，共14頁

易知四邊形A3。是等腰梯形，AABE、ABCE、ACC史均為等邊三角形，

所以AE=BE=CE=DE=2,

因為OE_L平面ABC。，

所以ZOEA=ZOEB=ZOEC=ZOED=90°,

所以OA=OB=OC=OD,

因為ARLB為正三角形，G為48的中點，

所以PG_LAB,

又因為平面R4B_L平面ABC。，平面PABc平面ABCD=AB,尸Gu平面

所以尸G_L平面ABC。，

因為OE_L平面ABCD,

所以PG//OE,即FG〃OE

又因為OE=FG,所以四邊形OEGb為平行四邊形，

所以OfV/EG,

因為A/IBE為正三角形，G為A3的中點，

所以EG_LAB,

又因為平面P4B_L平面ABC。，平面E4J3C平面ABCD=AB,EGu平面ABCD,

所以EG_L平面BIB,所以OP_L平面P4B,

又因為尸是AAB尸的外心，所以以=稗=",

所以OA=OB=OP,

所以。即為四棱錐外接球的球心，

因為OE=FG」PG=SAE=2,

故選：C.

答案第2頁，共14頁

p

【分析】根據(jù)等比數(shù)列的求和公式可得結果.

【詳解】設等比數(shù)列伍“｝的公比為4,依題意有4>0,又為=1,

當4=1時，S5=5^5S3-4=11,故舍去,

當時，因為$5=553-4,則亞?=5x也二6-4，

l-q1-q

化簡得d-5/+4=0,即年_4)(/_1)=0且a“>0,"=2,

1-16

=15

1-2

故選：C.

6.C

【分析】求出/(助)-/(36)后可求參數(shù)。的值，再結合對數(shù)的性質可求屋！的值.

_22

【詳解】人助)-"36)=aln9-aln4=2,故〃=In9-ln4=方，

故選：C.

7.D

【分析】根據(jù)眾數(shù)、中位數(shù)、方差以及極差的定義，結合題意，即可判斷和選擇.

【詳解】對A：假設冷聲，L,X&中，有兩個2,兩個3,其它4個數(shù)據(jù)都不相同，且這8

個數(shù)據(jù)平均數(shù)為2,那么眾數(shù)為2和3；

再添加一個2后，有三個2,故眾數(shù)為2,眾數(shù)發(fā)生改變，故A錯誤；

答案第3頁，共14頁

對B：假設占,%，L,%分別為：T，0,0,2,3,3,4,5,滿足平均數(shù)為2,其中位數(shù)為三=2.5；

添加2以后，其中位數(shù)為2,中位數(shù)發(fā)生改變，故B錯誤；

對C：占,％,L,演的平均數(shù)為2,方差<="［（占一2）?+（尤2-21+…+伍一2）1；

添加2以后，其平均數(shù)還是2,方差$2="［（%-2）2+（%-2）2+…+&-2『+（2-2）2卜每，

故方差發(fā)生改變；

對D：若2是4無2,L,%的最大值或最小值，因為其平均數(shù)為2,故這組數(shù)據(jù)都是2,其

極差為0,添加2后，極差也是0；

若2不是王,工2，L,看的最大值，也不是最小值，添加2后，最大值和最小值沒有改變，

極值也不發(fā)生變化，故D正確.

故選：D.

8.A

【分析】設切點（如名圖），利用導數(shù)的幾何意義求得切線方程，將原點坐標代入，整理得

e為

麻+%o+l=O,結合A=0計算即可求解.

【詳解】設y=〃x）=",則廣⑴二本紀1,

ee

設切點為（毛,胃），則/'（%）=升"1，

所以切線方程為y-%=9°

ee

又該切線過原點，所以0-絲圖

ee

整理得遍+%+1=0①，因為曲線>=/（尤）只有一條過原點的切線，

所以方程①只有一個解，故A=l-4a=0,解得a=

4

故選：A

【點睛】關鍵點點睛：本題主要考查導數(shù)的幾何意義，切點未知，設切點坐標，由導數(shù)的幾

何意義求出切線方程，確定方程的解與根的判別式之間的關系是解決本題的關鍵.

9.BCD

【分析】根據(jù)y=log〃x（a>l）為增函數(shù)，判斷。<0；根據(jù)y=/（a>l）為增函數(shù)，判斷6>1；

根據(jù)丁="（0<。<1）為減函數(shù)，判斷0<c<l,進而比較b,c大小.

答案第4頁，共14頁

【詳解】因為y=10gaX(4>l)為增函數(shù)，所以。=1%。.3<1鳴1=0,即"0

因為丁=優(yōu)(">1)為增函數(shù)，所以方=3。3>3。=1,即6>1

因為y=a*(O<a<l)為減函數(shù)，所以0<c=0.33<0.3°=1,即0<c<l

所以4VCVb.

故選：BCD

10.BD

【分析】對A,設P(x,y),再根據(jù)鬻=0列式化簡可得圓C的方程；對B,根據(jù)垂徑定

理求解即可；對C,根據(jù)圓心間的距離與半徑和差的關系判斷兩圓位置關系，進而可得公切

線條數(shù)；對D,分直線斜率為0與不為0討論，再根據(jù)圓心到直線距離與半徑的關系列式求

解即可.

【詳解】對設尸由需=3可得

A,(x,y),=V2,即(無一2)~+y2-2尤2+2y2,

Jx2+y2

化簡可得(X+2)2+/=8,故A錯誤；

1i,

對B,過點A且斜率為萬的直線方程為y=5(x-2),即x-2y-2=0,貝西(x+2)，=8

|-2-2|_4

的圓心(-2,0)到2=0的距離為,故所求弦長為

Vl2+22~75

故B正確;

對C,圓C圓心到(x-1)?+(,-4)2=8圓心(1,4)的距離為J(l+2/+4?=5,又兩圓的半徑

和為2夜+2忘=40>5，故兩圓相交，有兩條公切線，故C錯誤;

對D,當直線/斜率為。時，圓C上有四個點到直線/距離為&不合題意,設直線/：x="+2,

則由題意C到/的距離等于2a-五=夜，即匚上|=0,解得r=±V7,故斜率直線斜

，1+產(chǎn)

率為1=±五，故D正確；

t7

故選：BD

11.AC

【分析】根據(jù)題意，令x=y=0即可判斷A,令彳=1,>=-1,即可判斷B,令y=r結合

答案第5頁，共14頁

函數(shù)奇偶性的定義即可判斷c,令y=X即可判斷D

【詳解】對A：令x=y=O,則有〃0)=/啰+/!2,即/(0)=0,故A正確;

ee

對B：尤=1,y=-l,則有〃1-1)=粵+勺」1,即〃0)=時?⑴+正1),

eee

由〃。)=。，"1)=1，故0=e+止D,BP/(-l)=-e2,故B錯誤；

e

對C令產(chǎn)T,貝U有"X一尤)=勺+/^1,即f(O)=e"(x)+e-"(T),

即e"(x)=-e-"(-x),又函數(shù)〃x)的定義域為R,則函數(shù)e"(x)的定義域為R,

故函數(shù)e"(x)為奇函數(shù)，故C正確;

對D：令〉=彳，則有+=+即/(2x)=^^,

即有f(2為x)2則當、=時,有/(尢21n2/)=薩2

=7,ln2=1,即〃21n2)="In2),

故/(x)在(0,+“)上不具有單調性，故D錯誤.

故選：AC

4

12.

【分析】利用復數(shù)Z=2c°s：；：m”■eR)的實部為0,求出tan6>=-2,再利用二倍角公式

得出結論.

【詳解】???復數(shù)

2cos0+isin0(2cos6+isin^)(l-i)2cos6+sin6+(sin。一2cos6)i

z=(6eR)的實部為0,

1+i(l+i)(j)2

/.2cos8+sin。=0,tan。=-2.

2tan64

tan26=

1-tan2^3

4

故答案為：—.

口屈

5

【分析】求出麗，麗的坐標，求出cos詼，項，根據(jù)點。到直線A3的距離為|明sin次，通

即可求解.

【詳解】因為。(0,0,0),4(1,—1,1),5(1,1,0),

答案第6頁，共14頁

所以礪=（1,一1,1）,荏=（0,2,-1）,

所以網(wǎng)="網(wǎng)=逐，OA-AS=lxO+（-l）x2+lx（-l）=-3.

OAAB-3V3

所以cosO7TA7,ATB==-7=-7==--『

'"以H網(wǎng)島迷月

所以sin弧4=-⑶=島粵

所以點。到直線AB的距離為囪sin弧通=有義半=等.

故答案為：回.

5

14.33

【分析】設j=左代入化簡得至IJ2y2k2一（2/+2H左+>2-1=。，根據(jù)一元二次方程根的分布

得出不等式求出范圍即可；設2x-y=f得2x-f=y代入化簡得2f-（2r+2）x+/—1=0,根

據(jù)判別式得出1</43,可以取等，即可求解最大值.

【詳解】設：=*（0,1）,則x=Q,

代入2尤2+>2_2孫一2》_1=0得（2二+1）丫2—2分2-2.一1=0,

即2y2左2-（2y2+2y）k+y2-l=0,

令/?（左）=2>2r一（2〉2+2"左+產(chǎn)一1,開口向上，貝|/（。）=/一1>0,

要想〃左）=2丁/_（2y2+2y*+y2-l=0在Ae（O,l）上有解，貝廳⑴<°或<j/〉。，

由/（l）=J-2y-l<0,解得l<y<l+0,

JA>0即］向2+2川-紂仁-1"。/+加143

由

2y-120

綜上，1<”3,故>的最大值為3,止匕時/一4尤+4=0,即久=2.

設2尤_y=心由于％>1且％>人故f=x+（x_y）>l,

^2x-f=y^X2x2+y2-2xy-2x-l=0^2x2+（2x-l）2-2x（2x-t）-2x-l=0,

即2f-⑵+2）x+〃—1=0,要在上有解，

答案第7頁，共14頁

貝i]A=（2r+2）2-8（r2-l）=_4/+8f+12N0

解得-14七3,又/>1,故1</43,

當/=3時，2/一（2/+2）彳+/一1=0,即2f-8x+8=0,解得久=2,止匕時y=1,符合要求，

故2x-y的最大值為3.

故答案為：3；3.

Y

【點睛】關鍵點點睛：解題的關鍵是換元設一=左2元-y4代入化簡即可得出一元二次方程

y

分別根據(jù)根的分步及根的個數(shù)分別列不等式組求解.

15.⑴：；

⑵分布列見詳解，E（X）=|.

【分析】（1）小明選擇60米袋鼠跳服務為事件A,小明選擇3000米服務為事件B,利用組

合知識和古典概型概率公式求出P（A）,P（AB）,然后由條件概率公式可得；

（2）根據(jù)超幾何分布概率公式計算可得分布列，再由期望公式可得數(shù)學期望.

【詳解】（1）記小明選擇60米袋鼠跳服務為事件A,小明選擇3000米服務為事件B,

則P（A）=與=3=4，P（AB）=^-=—,

人」「C：202，I>cl205

1

尸（陰

所以P（B|A）=

P（A）15

2

2

即小明在選擇60米袋鼠跳服務的條件下，選擇3000米服務的概率為:

（2）由題知，X的所有可能取值為0」,2,3,

由超幾何分布概率公式得:

…0）=詈=急MD年216

455

123

P（X=2）=yCC^="13,5P（X=3）=cE°C^20

\'C：5455\'C：5455

得隨機變量X的分布列為:

答案第8頁，共14頁

X0123

8421613520

P

455455455455

bytw\八841216.135，生=5466

以E(X)—Ox-----FIx-------F2x-+--3--

、)4554554554554555

16.(l)證明見解析

n.Vl86

31

⑶同

BJ77^

【分析】（I）建立空間直角坐標系，求出平面。C。的法向量入由7郎=0即可證明;

（2）求出平面尸C。的法向量而，再求出cos沅，而，即可得解;

\fh'fA

（3）設平面產(chǎn)。。與平面。C。夾角為8,由cos6=j1求出cos。,從而求出sin。.

H例

【詳解】（I）因為平面ABC。，ZBAC=90°,如圖建立空間直角坐標系，

因為四邊形ABC。為平行四邊形，ZABC=60°,ABAC=9Q°,AB=2=l,PQ=242,

則AC=A8tan60°=6，BC=+（國=2,（DQ-l）2+22=（2^）",

解得OQ=3（負值已舍去），

則P（0,0,l）,3（1,0,0）,C（0,A/3,0）,D（-1,A/3,0）,0卜1,后3）,

所以6=（—1,0,0）,麗=（0,0,3）,麗=（1,0,-1）,

設平面。CQ的法向量為”=（x,y,z）,貝葉」，取萬=（0,1,0）,

n-DQ=3z=0

所以：??法=0，即一_L而，

又尸3■平面OCQ,所以PB〃平面。CQ.

答案第9頁，共14頁

Q

xc

(2)因為詼=(一1,0,3),定=(0,6,-1卜

設平面PCQ的法向量為m=(a,b,c),

m-CQ=-a+3c=Q

則

m?PC=6b一c=0

V186

所以cos伍,網(wǎng)m-PB6

郵詞>/2XJ92+32+(>/3)231

所以直線總與平面所成角的正弦值為眄.

31

(3)設平面尸c。與平面DCQ夾角為e,

m-n731

2-

則231，

1XJ92+32+

所以sin8=Vl-cos20=1;。

所以平面PCQ與平面OCQ夾角的正弦值為甯.

17.(1)證明見解析

(2)n=5

【分析】(1)利用兩角和的正弦公式及倍角公式證明即可;

21

⑵將smi。。轉為方程常-3x+片。的-個實根，通過函數(shù)的單調性及零點存在性定理即

可求解.

【詳解】(1)因為sin3x=sin(2x+x)=sin2xcosx+cos2xsin尤

=2sinxcosx-cosx+^l—2sin2x)sinx

=2sinx(l—sin2x)+sinx—2sin3x=3sinx—4sirPx；

答案第10頁，共14頁

(2)由(1)可知，sin30°=3sinl0°-4sin310o=-,

2

即sin100是方程4%3—=0的一個實根.

2

令/(%)=4/一3%+；,

f\x)=12x2-3=3(2x+1)(21),

顯然0<sin10°<sin30°=—,

2

當0<冗<；時，ra)〈o,

所以/(x)=4d—3x+；在［o,；)上單調遞減，

22

18.（1）條件選擇見解析，「的方程為土+上=1

43

⑵是定值，且定值為g

【分析】（1）根據(jù)已知條件列方程或利用代入法求得「的方程.

（2）設出直線加的方程并與曲線r的方程聯(lián)立，化簡寫出根與系數(shù)關系，求得P,Q兩點的

縱坐標，由此化簡需來求得正確答案.

2

【詳解】（1）選①，設P（x,y）,由收1〉」

卜+4|2

2222

化簡得L+工=1,即所求軌跡廠的方程為三+二=].

4343

選②，設「（為,%）々%,。），由芽=手無，得后卜弓%],

代入圓O的方程O：/+y2=4,o：x；+[另%]=4,整理得.+*=1,

答案第11頁，共14頁

22

即所求軌跡「的方程為二+乙=1.

43

（2）設屈（石,%）,'（%2，%），

已知直線m的斜率存在且不為0,設過點K的直線m的方程為x=ty+l,

r2v2

與方程L+工=1聯(lián)立得:(3?+4)y2+6Zy-9=0,

43

-9

,,y+%=

3/+4

-9r3

且%=3?^+4=5(%*%)(*)

直線AM的方程為y=T?(x+2),.?.力=—.同理，女=二^

西+2玉+2%2—2

TP%伍-2)_1%(%-2)

TQ3y2a+2)3%(占+2)

其中，X(-—2)%(優(yōu)一1)-X,

八'y2a+2)%(%+3)9M+3%'

將(*)代入可得，

31

今%一X2(%+%)_%25+3%)_I

明%+3%|(%+%)+3%：(%+3%)1

答案第12頁，共14頁

【點睛】求曲線的軌跡方程的方法有很多，可以利用圓錐曲線的定義來求，也可以利用題目

所給的等量關系式來求，還可以利用相關點代入法來求.在求曲線方程的過程中，要注意驗

證方程上的點是否都在曲線上，也要驗證曲線上的點是否都符合方程.

19.(1)左=3,=10

(2)證明見解析

(3)證明見解析

【分析】(1)根據(jù)定義直接進行求解，得到笈=3,并根據(jù)二階差數(shù)列的第4項為-5,求出

一階差數(shù)列的第5項為-10,得到方程，求出小=1。；

(2)令4=bn+l-bn,根據(jù)二階等差數(shù)列的定義得到

_

4=^?-i^?-2=■■■=d2-=b3-2b2+b1,再利用累加法求出

么=g("T)("-2)(4-2%+4)+("T)02-4)+4；

(3)數(shù)學歸納法證明出S(次w)=￡泮為〃的根+1次多項式，利用引理可證出結論.

i=l

【詳解】(1)｛%｝的一階差數(shù)列為4,2,-1,-5；二階差數(shù)列為-2,-3,-4；

三階差數(shù)列為-1,-1,-1為常數(shù)列，故｛?！埃秊槿A