2025年高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)訓(xùn)練：不等關(guān)系與不等式性質(zhì)【六大題型】原卷版+解析版

專題L3不等關(guān)系與不等式性質(zhì)【六大題型】

【新高考專用】

?熱點(diǎn)題型歸納

【題型1不等式性質(zhì)的應(yīng)用】......................................................................2

【題型2比較數(shù)(式)的大小】....................................................................3

【題型3證明不等式】.............................................................................3

【題型4利用不等式的性質(zhì)求目標(biāo)式的取值范圍】..................................................4

【題型5不等式的綜合問題】......................................................................5

【題型6糖水不等式】.............................................................................6

?考情分析

1、不等關(guān)系與不等式性質(zhì)

考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計(jì)考情分析

高考對不等式的性質(zhì)的考查比較穩(wěn)定，

一般以選擇題、填空題為主，主要考查

不等式的求解；單獨(dú)考查的題目雖然不

(1)等式性質(zhì)

多，但不等式的相關(guān)知識往往可以滲透

(2)比較兩個(gè)數(shù)的大小

2022年II卷：第12題，5分到高考的各個(gè)知識領(lǐng)域，作為解題工具

(3)理解不等式的性質(zhì)，并

與函數(shù)、向量、解析幾何、數(shù)列等知識

能簡單應(yīng)用

相結(jié)合，在知識的交匯處命題，是進(jìn)行

不等式變形、證明以及解不等式的依據(jù)，

是高考考查的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容.

?知識梳理

【知識點(diǎn)1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)】

1.等式的基本性質(zhì)

性質(zhì)1如果a=b,那么b=a；

性質(zhì)2如果a=b,b=c,刃口么a=c

性質(zhì)3如果a=b,那么a±c=6±c；

性質(zhì)4如果a=b,那么etc=be；

zab

性質(zhì)5如果a=b,存0,那么一=一.

cc

2.不等式的性質(zhì)

(1)如果a>b,那么b<a；如果b<a,那么Q>6.即a>b^b<a.

(2)如果a>6,b>c,那么a>c.即a>6,b>c=>a>c.

(3)如果a>b,那么a+c>b+c.

(4)如果a>b,c>0,那么ac>bc；如果a>b,c<0,那么ac<bc.

(5)如果a>b,c>d,那么a-\-c>b-\-d.

(6)如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd.

(7)如果a>6>0,那么a">6"(〃eN,論2).

3.比較大小的基本方法

方法

關(guān)系作差法作商法

與0比較與1比較

a>ba-b>0(>l(q,b>0)或楙<1(6Z,b<0)

a=ba-b=0￡=1(…)

a<ba-b=0q<1(〃，b〉0)或g>1(Q,b<0)

bb

【方法技巧與總結(jié)】

1.應(yīng)用不等式的基本性質(zhì)，不能忽視其性質(zhì)成立的條件，特別提醒的是在解決有關(guān)不等式的判斷題時(shí)，

有時(shí)可用特殊值驗(yàn)證法，以提高解題的效率.

2.比較數(shù)（式）的大小常用的方法有作差法、作商法.、直接應(yīng)用不等式的性質(zhì)、基本不等式、利用函

數(shù)的單調(diào)性，需要靈活運(yùn)用方法求解.

?舉一反三

【題型1不等式性質(zhì)的應(yīng)用】

【例1】（2024?上海楊浦?二模）已知實(shí)數(shù)a,b,c,d滿足：a>b>Q>c>d,則下列不等式一定正確的

是（）

A.a+d>b+cB.ad>bcC.a+c>b+dD.ac>bd

【變式1-1］（2024，全國?模擬預(yù)測）"％<0<丫”是口一丫）2>%2+必，，的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【變式1-2］（2023?上海楊浦?一模）已知實(shí)數(shù)a,b滿足a>6,則下列不等式恒成立的是（）

A.a2>b2B.a3>b3C.|a|>\b\D.a_1>b-r

【變式1-3］（2023?貴州遵義?模擬預(yù)測）已知a,b,x均為實(shí)數(shù)，下列不等式恒成立的是（）

A.若a<6,貝!|42024<。2024

c什20242024

B.若a〈b7,則rIll丁〈丁

C.若a%2。24Vb第2024,則

D.若aVb,則a%2024V、第2024

【題型2比較數(shù)（式）的大小】

【例2】（2023?湖南?模擬預(yù)測）已知正實(shí)數(shù)x,y滿足％Vy,設(shè)a=%a+y,b=yey+x,c=yex+x（其

中e為自然對數(shù)：e、2.71828…），則。，b,c的大小關(guān)系是（）

A.a<c<bB.c<a<bC.c<b<aD.b<c<a

【變式2/】（2023?江西?模擬預(yù)測）已知log5a>log5b,則下列不等式一定成立的是（

A.<VhB.log5(a-h)>0

C.5a-b>1D.ac>be

【變式2?2】（2023?北京東城?一模）已知那么在下列不等式中，不成立的是

r1

A.x-1>0B.xH—X<—2C.sinx—%>0D.cosx+%>0

【變式2?3】（2024?福建泉州?模擬預(yù)測）若c>b〉a>0,貝I（）

A.0bbe>0caB.21nb<Ina+Inc

cc

C.a-->b--D.logac>loghc

【題型3證明不等式】

【例3】（2024高三?全國?專題練習(xí)）已知a力為正實(shí)數(shù).求證：^+^>a+b.

【變式3-1］（22-23高一上?全國?課后作業(yè)）證明下列不等式:

(1)已知a>b,e>f,c>0,求證/-ac<e-bc

(2)已知a>b>0,c<d<0,求證:

【變式3-2]（2023高三?全國?專題練習(xí)）證明命題：“若在△2BC中a、b、c分別為角4、B、C所對的邊長,

則上<士+士，

1+a丁1+b

【變式3-3]（22-23高二下?湖北省直轄縣級單位?期末）若a>b>0,c<d<0,網(wǎng)>|c|

（1）求證：b+c>0；

⑵求證：（a—c）2V（b—d）2；

（3）在（2）中的不等式中，能否找到一個(gè)代數(shù)式，滿足熹V所求式〈谷？若能，請直接寫出該代

數(shù)式；若不能，請說明理由.

【題型4利用不等式的性質(zhì)求目標(biāo)式的取值范圍】

【例4】（2023?江蘇南通?模擬預(yù)測）已知a—be[0,l],a+be[2,4],則4a—26的取值范圍是（）

A.[1,5]B.[2,7]C.[1,6]D.[0,9]

【變式4-1]（23-24高一上?山東荷澤?階段練習(xí)）已知一lWx+yWLl<x-y<3,貝歸x—2y的取值范圍

是（）

A.2<3x—2y<8B.3<3x—2y<8

C.2<3x-2y<7D.5<3x-2y<10

【變式4-2]（23-24高三上?湖北?階段練習(xí)）已知a<6<c且a+26+4c=0,貝哈的取值范圍是（）

a

A.（一8,一？B.C（嗎）D.（|,1）

【變式4-3]（2023?廣西南寧?模擬預(yù)測）已知函數(shù)3（%）=/+b%+c,0<%i<1<%2<2,/（%i）=f（x2）

=0,貝必+2c的取值范圍為（）

A.(-2,-1)B.(—2,1)C.(-1,1)D.(—1,2)

【題型5不等式的綜合問題】

【例5】(23?24高一上?上海浦東新?階段練習(xí))解決下列問題：

(1)已知nviWR,設(shè)a=(根2+i)(九2+4),b=(nm+2下上匕較a與力的大小;

(2)已知a〉b>0,c<d<0,e>0,求證：

nr

【變式5-1](2023高一?上海?專題練習(xí))給定無理數(shù)86(0,1).若正整數(shù)a,b,c,d滿足石<。<了

(1)試比較三數(shù)霹，I，?的大小；

(2)若bc-ad=l,證明下面三個(gè)不等式中至少有一個(gè)不成立

①I。—藍(lán)卜點(diǎn);②,一需|2畫片;③卜，卜六?

【變式5-2](23-24高一上?河北保定?階段練習(xí))(1)當(dāng)),?都為正數(shù)且p+q=1時(shí)，試比較代數(shù)式(px+qy)2

與p%2+qy2的大小.

(2)已知1<%-y<2,3<2%+y<4,求4%-y的取值范圍.

【變式5-3]⑵-24高一上?上海普陀?期中)設(shè)t是不小于1的實(shí)數(shù).若對任意a/e[-1用，總存在c,dG

[一1用，使得(a+c)(b+d)=l,則稱這樣的t滿足“性質(zhì)1”

?2

⑴分別判斷t>2和1<t<萬時(shí)是否滿足“性質(zhì)1”；

1CQ

(2)先證明:若研之右且a+gI，則并由此證明當(dāng)楙WtW2時(shí)，對任意a,6e[—1用，總存在也由e

[T，H，使得(a+ci)(b+di)21.

(3)求出所有滿足“性質(zhì)1”的實(shí)數(shù)t

【題型6糖水不等式】

【例6】(22-23高一上?貴州六盤水?期末)十六世紀(jì)中葉，英國數(shù)學(xué)家雷科德在《礪智石》一書中首先把

“=，，作為等號使用，后來英國數(shù)學(xué)家哈利奧特首次使用和“〉”符號，并逐漸被數(shù)學(xué)界接受，不等號的

引入對不等式的發(fā)展影響深遠(yuǎn).如糖水在日常生活中經(jīng)常見到，可以說大部分人都喝過糖水.如果a克糖水中

含有b克糖(a>b>0),再添加n克糖(n>0)(假設(shè)全部溶解)，糖水變甜了，將這一事實(shí)表示為不等

式正確的是()

b+nbebb

A-^>aB.—>"

C.^>-D.祟毛

a+nab+nb

【變式6-1](23-24高一上?廣東揭陽?階段練習(xí))已知她糖水中含有ag糖(/?>a>0),若再添加mg糖完

全溶解在其中，則糖水變得更甜了(即糖水中含糖濃度變大).根據(jù)這個(gè)事實(shí)，下列不等式中一定不成立

的有()

aa+m-a+ma+2m

A----------------------------------

*bb+m*b+mb+2m

21

C.(a++m)<(a+m)(b+2m)D.

【變式6-2](22-23高一上?廣東東莞?階段練習(xí))(1)已知b克糖水中含有a克糖(6>a>0),再添加加克糖

(m>0)(假設(shè)全部溶解)，糖水變甜了.請將這一事實(shí)表示為一個(gè)不等式，并證明這個(gè)不等式成立.

(2)東東和華華拿著錢去超市買糖，超市里面提供兩種糖：4種糖每千克pi元，B種糖每千克02元(兩種糖

價(jià)格不相等).東東買了相同質(zhì)量的兩種糖，華華買了相同價(jià)錢的兩種糖.請問兩人買到糖的平均價(jià)格分別是

多少？誰買的糖的平均價(jià)格比較高？請證明你的結(jié)論.(物品的平均價(jià)格=物品的總價(jià)錢+物品的總質(zhì)量)

【變式6-3］（22-23高一上?江蘇蘇州?階段練習(xí)）已知她糖水中有ag糖（b>a>0）,往糖水中加入mg糖

（m>0）,（假設(shè)全部溶解）糖水更甜了.

（1）請將這個(gè)事實(shí)表示為一個(gè)不等式，并證明這個(gè)不等式.

⑵利用（1）的結(jié)論證明命題：“若在△川（：中心6、c分別為角/、B、C所對的邊長，則上<吾+占”

?過關(guān)測試

一、單選題

1.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知x>y,則下列不等式正確的是（）

A.1—x<1-yB.x2>y2C.|~|>1D.xz>yz

2.（2024?北京豐臺?二模）若a,6eR,且a>b,貝i］（）

11

A.<7777B.cfib>ab2

a2+lb2+l

C.a2>ab>b2D.a>>b

3.（2023?湖南岳陽?模擬預(yù)測）己知l<a<3,3<6<6,則2的取值范圍為（）

A.（|,1）B.（2,6）C.（1,6）D.（|,3）

4.（2024?江西?模擬預(yù)測）已知a,b,cER,則下列選項(xiàng)中是“a<6”的一個(gè)充分不必要條件的是（）

A.—>^B.ac2Vbe2

ab

C.a3Vb3D.3a<3h

5.（2023?湖南岳陽?模擬預(yù)測）已知見he為實(shí)數(shù)，則下列命題成立的是（）

A.若aVb,則

B.若貝！Ja—c>b—c

C.^a\c\>b\c\,則

D.若a>b,貝4<-

6.（2023?全國?模擬預(yù)測）已知實(shí)數(shù)ah設(shè)甲：號〉七,乙:蕓貝|（）

A.甲是乙的充分不必要條件B.甲是乙的必要不充分條件

C.甲是乙的充要條件D.甲是乙的既不充分也不必要條件

7.（2023?廣東?二模）若。=8+壺,。=遙-泰,?=魚+親，則（）

A.a>c>bB.a>b>c

C.c>b>aD.b>c>a

8.（2023?陜西?模擬預(yù)測）已知一l<a<5,-3<6<1,則以下錯誤的是（）

A.-15<ab<5B.-4<a+b<6

Sa

C.-2Vu—bV8D.——<g<5

二、多選題

9.（2024?福建龍巖?一模）下列命題正確的是（）

A.若a<b<0,則標(biāo)>ab>爐

B.若aVbVO,則ac2Vbe2

C.若0<a<b<c,則?〉Z

D.若OVa<b,貝!J2a+?>2V^F

10.（2023?河南洛陽?模擬預(yù)測）設(shè)實(shí)數(shù)a1滿足14ab<4,4W9,則（）

A.2<|a|<6B.1<|Z?|<3C.4<a36<144D.1<ab3<4

11.（2024?廣西?二模）已知實(shí)數(shù)a,b,c滿足a〉b>c,且a+b+c=O,則下列結(jié)論中正確的是（）

A.a+h>0B.ac>bc

T（）（力—）

C.—a—Tb>b—~c-D.'a—c八c7<4

三、填空題

12.（2023?北京房山?一模）能夠說明“設(shè)a,6,c是任意實(shí)數(shù)，若a<6<c,則ac<be”是假命題的一組整數(shù)a,瓦c

的值依次為.

13.（2024?河北石家莊?二模）若實(shí)數(shù)久,y,z20,且x+y+z=4,2x-y+z=5,則M=4久+3y+5z的取值

范圍是

14.（2024?河南?模擬預(yù)測）以maxM表示數(shù)集M中最大的數(shù).設(shè)0<aVb<c<l,已知bN2G或

a+b<l,則max{b—Q,c—b,l—c}的最小值為.

四、解答題

15.（2024高一?全國?專題練習(xí)）已知-3vq<2,-4<6<-3,試求2〃+36與的取值范圍.

16.（23-24高一?全國?專題練習(xí)）試比較下列組式子的大小:

（1）-%+1—?與正―1,其中％,1；

（2）用=捻+&與'=白+捻，其中a>0,b>0；

17.(2024?全國?模擬預(yù)測)已知a,b,c為三角形的三邊.

⑴求證：y/a2+b2+ab+ylb2+c2+be>2c；

(2)若c2b2a,求證：Va3+b3+Vc3+a3<a+b+c.

18.（23-24高三上?安徽亳州?期中）已知b克糖水中含有a克糖（b>a>0）,再添加根克糖（爪>0）（假設(shè)全

部溶解），糖水變甜了.

（1）請將這一事實(shí)表示為一個(gè)不等式，并證明這個(gè)不等式成立；

（2）在銳角△ABC中，根據(jù)（1）中的結(jié)論，證明：忌+3+￡<2.

19.（2023?吉林長春?模擬預(yù)測）港珠澳大橋通車后，經(jīng)常往來于珠港澳三地的劉先生采用自駕出行.某次出

行，劉先生全程需要加兩次油，由于燃油的價(jià)格有升也有降，現(xiàn)劉先生有兩種加油方案，第一種方案：每

次均加30升的燃油；第二種方案，每次加200元的燃油.

（1）若第一次加油時(shí)燃油的價(jià)格為5元/升，第二次加油時(shí)燃油的價(jià)格為4元/升，請計(jì)算出每種加油方案的平

均價(jià)格（平均價(jià)格=總價(jià)格/總升數(shù)）；

（2）分別用加，〃（小不九）表示劉先生先后兩次加油時(shí)燃油的價(jià)格，請計(jì)算出每種加油方案的平均價(jià)格，選

擇哪種加油方案比較經(jīng)濟(jì)劃算？并給出證明.

專題L3不等關(guān)系與不等式性質(zhì)【六大題型】

【新高考專用】

?熱點(diǎn)題型歸納

【題型1不等式性質(zhì)的應(yīng)用】......................................................................2

【題型2比較數(shù)(式)的大小】....................................................................3

【題型3證明不等式】.............................................................................5

【題型4利用不等式的性質(zhì)求目標(biāo)式的取值范圍】..................................................7

【題型5不等式的綜合問題】......................................................................9

【題型6糖水不等式】............................................................................12

?考情分析

1、不等關(guān)系與不等式性質(zhì)

考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計(jì)考情分析

高考對不等式的性質(zhì)的考查比較穩(wěn)定，

一般以選擇題、填空題為主，主要考查

不等式的求解；單獨(dú)考查的題目雖然不

(1)等式性質(zhì)

多，但不等式的相關(guān)知識往往可以滲透

(2)比較兩個(gè)數(shù)的大小

2022年II卷：第12題，5分到高考的各個(gè)知識領(lǐng)域，作為解題工具

(3)理解不等式的性質(zhì)，并

與函數(shù)、向量、解析幾何、數(shù)列等知識

能簡單應(yīng)用

相結(jié)合，在知識的交匯處命題，是進(jìn)行

不等式變形、證明以及解不等式的依據(jù)，

是高考考查的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容.

?知識梳理

【知識點(diǎn)1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)】

1.等式的基本性質(zhì)

性質(zhì)1如果a=b,那么b=a；

性質(zhì)2如果a=b,b=c,刃口么a=c

性質(zhì)3如果a=b,那么a±c=6±c；

性質(zhì)4如果a=b,那么etc=be；

zab

性質(zhì)5如果a=b,存0,那么一=一.

cc

2.不等式的性質(zhì)

(1)如果a>b,那么b<a；如果b<a,那么Q>6.即a>b^b<a.

(2)如果a>6,b>c,那么a>c.即a>6,b>c=>a>c.

(3)如果a>b,那么a+c>b+c.

(4)如果a>b,c>0,那么ac>bc；如果a>b,c<0,那么ac<bc.

(5)如果a>b,c>d,那么a-\-c>b-\-d.

(6)如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd.

(7)如果a>6>0,那么a">6"(〃eN,論2).

3.比較大小的基本方法

方法

關(guān)系作差法作商法

與0比較與1比較

a>ba-b>0(>l(q,b>0)或楙<1(6Z,b<0)

a=ba-b=0￡=1(…)

a<ba-b=0q<1(〃，b〉0)或g>1(Q,b<0)

bb

【方法技巧與總結(jié)】

1.應(yīng)用不等式的基本性質(zhì)，不能忽視其性質(zhì)成立的條件，特別提醒的是在解決有關(guān)不等式的判斷題時(shí)，

有時(shí)可用特殊值驗(yàn)證法，以提高解題的效率.

2.比較數(shù)（式）的大小常用的方法有作差法、作商法.、直接應(yīng)用不等式的性質(zhì)、基本不等式、利用函

數(shù)的單調(diào)性，需要靈活運(yùn)用方法求解.

?舉一反三

【題型1不等式性質(zhì)的應(yīng)用】

【例1】（2024?上海楊浦?二模）已知實(shí)數(shù)a,b,c,d滿足：a>b>Q>c>d,則下列不等式一定正確的

是（）

A.a+d>b+cB.ad>bcC.a+c>b+dD.ac>bd

【解題思路】舉例說明判斷ABD；利用不等式的性質(zhì)推理判斷C.

【解答過程】對于ABD,取a=2力=l,c=-2,d=-4,滿足a>b>0>c>d,

顯然a+d=-2<=6+c,ad=-8<-2=be,ac=-4=bd,ABD錯誤；

對于C,a>b>0>c>d,貝|a+c>b+d,C正確.

故選：C.

【變式1-1]（2024?全國?模擬預(yù)測）"x<0<y”是“（x—、）2>%2+丫2，，的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【解題思路】由不等式的性質(zhì)結(jié)合充分不必要的條件即可得解.

【解答過程】若（X—父）2=%2+y2—2孫>%2+丫2,則無y<0,所以y<0<久或者尤<0<y,

所以"X<0<y"是“（久-y）2>X2+y2”的充分不必要條件.

故選：A.

【變式1-2］（2023?上海楊浦?一模）已知實(shí)數(shù)a,6滿足。>6,則下列不等式恒成立的是（）

A.a2>b2B.a3>b3C.|a|>\b\D.a_1>b-r

【解題思路】根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.

【解答過程】因?yàn)?（%）=//（%）=因是定義在R上的偶函數(shù)，

所以當(dāng)實(shí)數(shù)a力滿足a>b時(shí)，。2>62,同>網(wǎng)不一定成立，故A,C不符合題意；

因?yàn)榫镁茫?爐是定義在R上單調(diào)遞增的奇函數(shù)，

所以當(dāng)實(shí)數(shù)a力滿足a>b時(shí)，則。3>/，故B符合題意；

因?yàn)?'（x）=在（一8,0）,（0,4-8）上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)實(shí)數(shù)a力滿足a>b時(shí)，aT>bT不一定成立，不符合題意.

故選：B.

【變式1-3］（2023?貴州遵義?模擬預(yù)測）已知a力占均為實(shí)數(shù)，下列不等式恒成立的是（）

A.若a<6,貝1|。2024<。2024

°#,,-,1,20242024

B.若a〈b,則丁（工

C.若a%2024vb%2024,則q<力

D.若aVb,貝!Ja%2024v6工2024

【解題思路】結(jié)合特殊值與不等式的性質(zhì)可求.

【解答過程】A,當(dāng)。=一2力=1時(shí)，（—2）2024>12024,人錯誤;

B,當(dāng)a=0時(shí)，竽沒意義，B錯誤；

C,由a%2024vb%2024,知工2024>。，所以C正確；

D,當(dāng)久=0時(shí)，ax2024<b/024不成立，D錯誤.

故選：C.

【題型2比較數(shù)（式）的大小】

【例2】（2023?湖南?模擬預(yù)測）已知正實(shí)數(shù)x,y滿足久<y,設(shè)a=%e'+y,b=yey+x,c=yex+x（其

中e為自然對數(shù)：e、2.71828…)，則。，b,c的大小關(guān)系是()

A.a<c<bB.c<a<bC.c<b<aD.b<c<a

【解題思路】利用作差比較法，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得答案.

【解答過程】因?yàn)閍=+y,b=yey+x,c=yex+%,所以b-c=丫仁丫一眇)

又y>%>0,e>1,所以e'Ae*,所以b>c；

又c—a=(%—y)+(y—%)ex=(x—y)(l—ex),

又y>%>0,ex>1,所以c>a.

綜上，a<c<b.

故選：A.

【變式2-1](2023?江西?模擬預(yù)測)已知log5Q>log5仇則下列不等式一定成立的是()

A.y[a<VbB.log5(a—h)>0

C.5a~b>1D.ac>be

【解題思路】由log5a>log5b可得Q>b>0,然后對選項(xiàng)一一分析即可得出答案.

【解答過程】由log5a>log5b可知匕>0，所以VH>VF，所以A錯誤；

因?yàn)榈珶o法判定a-b與1的大小，所以B錯誤；

當(dāng)c40時(shí)，ac<be,故D錯誤；

因?yàn)镼—b>0,所以SaiASOul,故C正確.

故選：C.

【變式2-2](2023?北京東城?一模)已知％<-1,那么在下列不等式中，不成立的是

r1

A./-1>0B.%+-<-2C.sin久一久>0D,cos%+%>0

【解題思路】利用作差法可判斷A、B選項(xiàng)的正誤，利用正弦、余弦值的有界性可判斷C、D選項(xiàng)的正誤.

綜合可得出結(jié)論.

【解答過程】:無<一1,則/一l=(x—i)(x+l)>0,x+}+2=/+?+i=fe^<0,

又vsin%、cosxG[—1,1],???sinx—x>0,cos%+%<0.

可得：ABC成立，D不成立.

故選：D.

【變式2-3](2024?福建泉州?模擬預(yù)測)若c>b>a>0,貝!!()

A.0bbe>E心B.21nb<Ina+Inc

cc

c.a-->b—^D.logQc>loghc

【解題思路】利用不等式的基本性質(zhì)，并對選項(xiàng)化簡，轉(zhuǎn)化，判斷對錯即可.

【解答過程】解：選項(xiàng)A中，由于黑=aA%c-b=1,所以a%c>a%b成立；故A正確;

選項(xiàng)B中，2\nb=Inh2,Ina+Inc=Inac,房與ac大小不能確定，故B錯誤；

選項(xiàng)C中，由于。一；一（》一0=+京）<0,故C錯誤；

選項(xiàng)D中，令c=l,則logaC=logbC=0,故。錯誤.

故選：A.

【題型3證明不等式】

【例3】（2024高三?全國?專題練習(xí)）已知a力為正實(shí)數(shù).求證：^+^>a+b.

【解題思路】根據(jù)題意，化簡得到竽+!-（a+b）=色甯地，結(jié)合不等式的性質(zhì)，即可得證.

【解答過程】證明：因?yàn)?+99+。）=入提嗝加=砥=(a-b)2(a+b)

7-ab

又因?yàn)閍>°力>°，所以當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號成立,

所以］+">a+b.

ba

【變式3-1］（22-23高一上?全國?課后作業(yè)）證明下列不等式:

⑴已知a>b,e>f,c>0,求證/—ac<e—be

(2)已知a>b>0,c<d<0,求證：由(生.

【解題思路】(1)(2)利用不等式的基本性質(zhì)即可證明.

【解答過程】(1)證明：-.-a>b,c>0,

???ac>be,???—ac<—be,

又因?yàn)榧?<e,

所以/—ac<e—bc.

(2)證明：vc<d<0,7<-<0,.,?一；>一工>0；

acac

「in

又a>b>0,abab

【變式3-2］（2023高三?全國?專題練習(xí)）證明命題：“若在△28C中a、b、c分別為角力、B、C所對的邊長,

c

則K士+上,

1+a1+b

【解題思路】由作差法證明士<?)=言高=—+哀缶，再由事<士，焉<白證明M<

捻+備

cc+mc(d+m)—d(c+m)m(c—d)

【解答過程】證明:取1+c=

d,a+b—c=m,dd+md(d+m)d(d+m)

因?yàn)閐>c>0,m>0,所以罌々<0，即：<等.

2，,zdQa+m)1ad+m

gr-picc+(a+b-c)_a+b_aa

所11+c<l+c+(a+b—c')~~1+a+b~1+a+b1+a+b

T7甲、/。abb士卜aaab

乂口為1+a+b<l+a^+a+b<1+b9敵1+a+b'1+a+b<1+a+1+b'

所以￡<臺+高

【變式3-3］(22-23高二下?湖北省直轄縣級單位?期末)若a>b>0,c<d<0,網(wǎng)>|c|

(1)求證：b+c>0；

rb+ca+d

⑵求證：(a—c)2<(/>_d)z；

(3)在(2)中的不等式中，能否找到一個(gè)代數(shù)式，滿足占〈所求式〈篇7?若能，請直接寫出該代

數(shù)式；若不能，請說明理由.

【解題思路】(1)根據(jù)瓦C的符號去絕對值可證不等式成立;

(2)根據(jù)同向不等式相加和同向同正的不等式可相乘的性質(zhì)可證明不等式成立;

(3)在。<五$<不$的兩邊同時(shí)乘以b+c,得小梟<怖梟，在。+￡/>6+。>0的兩邊同時(shí)乘以

1,日a+db+c二匚［、［"cb+ca+d

(b—d)2,得(b—d)2>(b—d)2,所以(a-c)2<(b—d)2<(b-d)2?

【解答過程】(1)因?yàn)榫W(wǎng)>|c|,且力>0,CV0,所以b>-c,所以b+c>0.

(2)因?yàn)閏vd<o,所以一c>-d>0.又因?yàn)閍>b>0,所以由同向不等式的相加性可將以上兩式相加

得a—c>b—d>0.所以(a—c)2>(b—d)2>0.

ii

所以°V(a-c)2<(b—d)2，

因?yàn)閍>bfd>c,所以由同向不等式的相加性可將以上兩式相加得a+d>b+c.

所以a+d>h+c>0,

所以由兩邊都是正數(shù)的同向不等式的相乘可得急〈機(jī)熱.

11

(3)因?yàn)閎+c>°，0<(a.c)2V(b-d)2,

ER”b+cb+c

四以(a-c)2<(b—d/，

1

因?yàn)镺Vb+cVa+d,>仇

g”"ca+d

所以(b—d)2<(b—d)2,

trui、i"c/b+c/a+d

折以(a-c)2<(b—d)2<(b-d)2-

所以在(2)中的不等式中，能找到一個(gè)代數(shù)式彘滿足題意.

【題型4利用不等式的性質(zhì)求目標(biāo)式的取值范圍】

【例4】(2023?江蘇南通?模擬預(yù)測)已知a—be[0,l],a+be[2,4],則4a—2b的取值范圍是()

A.[1,5]B.[2,7]C.[1,6]D.[0,9]

【解題思路】利用方程組以及不等式的性質(zhì)計(jì)算求解.

【解答過程】設(shè)4a—2b=m(a—h)4-n(a+b)=(m+n)a—(m—n)b,

所以4學(xué)二:解得"或,

所以4a-2b=3(a-b)+(a+b),

又a—bG[0,1],a+bE[2,4],

所以3(a—b)e[0,3],4a-2be[2,7],故A,C,D錯誤.

故選：B.

【變式4-1](23-24高一上?山東荷澤?階段練習(xí))已知一lWx+yWl,l<x-y<3,貝歸x—2y的取值范圍

是()

A.2<3x-2y<8B.3<3x-2y<8

C.2<3x-2y<7D.5<3x-2y<10

【解題思路】

設(shè)3x-2y=m(x+y)-n(x-y)=(m-n)x+(m+n)y,利用待定系數(shù)法求得利用不等式的性質(zhì)即可求

3x-2y的取值范圍.

【解答過程】設(shè)3x—2y=m(x+y)—n(x—y)=(m—n)x+(m+n)y,

■_i

所以｛/%建？2,解得1：11M即可得3x-2y=*x+y)+|(x—y),

因?yàn)橐?<%+y<1,1<x-y<3,

所以243x-2y=1(x+y)+|(x-y)<8,

故選：A.

【變式4-2](23-24高三上?湖北?階段練習(xí))已知Vc且a+2b+4c=0,貝心的取值范圍是()

a

A-(―8,—。B.C(味)D.Q，l)

【解題思路】根據(jù)題目條件得到a<0,c>0,由。=一%-,和匕<?得至上>一±由a<b得至值<1,從而得

42a6a

到答案.

【解答過程】因?yàn)閍+2b+4c=0,a<b<c,所以。<0,c>0,

由a+2b+4c=0得到c=—[b,則—17?>0,解得(>一g

由b<c得b<—Ja—Jb,整理得;a<一9，解得g

4242a6

由<1<b得g<1,

綜上，-

故選：B.

【變式4-3](2023?廣西南寧?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(久)=/+6x+c,0<Xt<1<X2<2,f(X1)=/(x2)

=0,貝必+2c的取值范圍為()

A.(—2,—1)B.(—2,1)C.(—1,1)D.(—1,2)

【解題思路】先利用一元二次方程根的分布求得關(guān)于實(shí)數(shù)b,c的不等式組，再利用不等式的性質(zhì)即可求得

b+2c的取值范圍

【解答過程】由函數(shù)f(x)=/+bx+C中，/'(X1)=/(刀2)=0,0<X1<1<X2<2,

可知一元二次方程/+bx+c=0有二相異根，分別位于區(qū)間(0,1)和(1,2)內(nèi)

f/(0)>0(c>0rc>0

則"⑴<0,即1+b+c<0,即｛b+c<-1

1/(2)>0(4+2b+c>0(2b+0-4

由~+c<-1可得[3(b+c)<_3

出l26+c>-4'J^l-(2b+c)<4,

貝l|3(b+c)—(2b+c)<4—3,即6+2c<l

由“北!一釬可得

則(2b+c)+3c>-4,貝必+2c>-2

綜上，b+2c的取值范圍為(—2,1)

故選：B.

【題型5不等式的綜合問題】

【例5】(23-24高一上?上海浦東新?階段練習(xí))解決下列問題：

(1)已知?71,71eR,設(shè)a=(機(jī)2+1)(n2+4),b=(77172+2)2.比較a與6的大??；

(2)已知a〉b>0,c<d<0,e>0,求證：/^<黃]

【解題思路】(1)利用作差法進(jìn)行求解即可；

(2)利用作差法，結(jié)合不等式的性質(zhì)進(jìn)行證明即可

【解答過程】(1)a—b—(m2+l)(n2+4)—(mn+2)2=m2n2+4m2+n2+4—m2n2—4mn—4=4m2+n2

—4mn=(2m—n)2>0=>a—fa>0=>a>b；

eee(b—d)—e(a—c)e(b—d—a+c')e[(b—d)—(a—c)]

⑵=(a-c)(b-d)=(a-c)(fo-d)=(a-c)(b-d)J

因?yàn)镃VdVO,所以一c>-d>0,

因?yàn)閍>b>0,所以a-c>b-d>O=(a-c)-(b-d)>0,

因?yàn)閑>°,所以E一言=氣常若詈<0=三<言?

nr

【變式5-1](2023高一?上海?專題練習(xí))給定無理數(shù)8e(0,1).若正整數(shù)a,b,c,d滿足石<。<了

(1)試比較三數(shù)笥，I，(的大小；

(2)若bc-ad=l,證明下面三個(gè)不等式中至少有一個(gè)不成立

①卜-42點(diǎn);②,一寤R菽訴;③康

【解題思路】(1)作差法比較大小；

(2)利用反證法，因，＜需V5,丸＜3芍,故可分需與?！村髯C明?

【解答過程】(1)由題意可知，宅,所以6c＞ad,

LL—a+cabe—adCa+ca

所以而一了=而而＞°，所以研＞『

+

a+ccad—ber-r(NIACC

而一2=際應(yīng)＜°，所以由

LLt、i。a+cc

所以石〈國〈疝

⑵證明：由⑴衣/＜4又三(。芍

升a+c八c

右由

假設(shè)①。-岸點(diǎn)；②。-需2偵1片;③源2土都成立，

①③之和可得：合*?-/卷+高④，

②③之和可得：及看=?一需N焉+京麗⑤，

④化簡得0>b2+d2-V5bd,⑤化簡得0>(2-V5)d2+(2-通)6d+b2,

2

由④⑤之和可得：022[(3-遮〃2+2(1—同)加+2的=[(而—1)即-4(V5-l)M+(2h)2,

2J7

即02[(遮一l)d-26],則石=近二，

又a,b,c,d為正整數(shù)，所以(是有理數(shù)，故矛盾；假設(shè)不成立

若。(露且be-ad=l,同理可證下列三個(gè)不等式中至少有一個(gè)不成立；

①*2卷;②需-6N篇示③毒

所以三個(gè)不等式中至少有一個(gè)不成立.

【變式5-2](23-24高一上?河北保定?階段練習(xí))⑴當(dāng)p,q都為正數(shù)且p+q=l時(shí)，試比較代數(shù)式(px+qy)2

與p%2+qy2的大小.

(2)已知14%-y<2,3<2]+y<4,求4%-y的取值范圍.

【解題思路】(1)利用作差比較法比較大小即可；

(2)先利用％-y,2%+y表示出4%-y,結(jié)合久一y,2%+y的范圍可得答案.

【解答過程】(1)(p%+qy)2-(px2+qy2)=p(p-l)x2+q(q-l)/+2pq%y.

因?yàn)閜+q=l,所以p-l=-q,q-1=-p,

2

所以(p%+qy)2-(p%2+qy2)=_pq(12+y2_2xy)=-pq