專題11空間直線平面的垂直（重難點突破）教師版

專題11空間直線、平面的垂直【重難點知識點網(wǎng)絡】：一、直線與平面垂直的判定1．直線與平面垂直定義如果直線l與平面α內(nèi)的_______________直線都垂直，我們就說直線l與平面α互相垂直記法l⊥α有關概念直線l叫做平面α的_______________，平面α叫做直線l的_______________．直線與平面垂直時，它們唯一的公共點P叫做_______________．圖示畫法畫直線與平面垂直時，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直（1）定義中的“任意一條直線”這一詞語與“所有直線”是同義語，與“無數(shù)條直線”不是同義語．（2）直線與平面垂直是直線與平面相交的一種特殊形式．（3）由直線與平面垂直的定義，得如果一條直線垂直于一個平面，那么這條直線垂直于該平面內(nèi)的任意一條直線．2．直線與平面垂直的判定定理文字語言一條直線與一個平面內(nèi)的兩條_______________直線都垂直，則該直線與此平面垂直圖形語言符號語言l⊥a，l⊥b，a?α，b?α，_______________?l⊥α作用判斷直線與平面_______________（1）直線與平面垂直的判定定理告訴我們：可以通過直線間的垂直來證明直線與平面垂直．通常我們將其記為“線線垂直，則線面垂直”．因此，處理線面垂直轉(zhuǎn)化為處理線線垂直來解決．也就是說，以后證明一條直線和一個平面垂直，只要在這個平面內(nèi)找到兩條相交直線和已知直線垂直即可．（2）在應用該定理判斷一條直線和一個平面垂直時，一定要注意是這條直線和平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，而不是任意的兩條直線．3．直線和平面所成的角（1）定義：一條直線和一個平面_______________，但不和這個平面_______________，這條直線叫做這個平面的斜線，斜線和平面的_______________叫做斜足．過斜線上斜足以外的一點向平面引_______________，過_______________和_______________的直線叫做斜線在這個平面上的射影．平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的_______________，叫做這條直線和這個平面所成的角．（2）規(guī)定：一條直線垂直于平面，我們說它們所成的角等于_______________；一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，我們說它們所成的角等于_______________．因此，直線與平面所成的角α的范圍是_______________．

二、平面與平面垂直的判定1．二面角概念平面內(nèi)的一條直線把平面分成兩部分，這兩部分通常稱為_______________．從一條直線出發(fā)的兩個_______________所組成的圖形叫做二面角．這條直線叫做二面角的_______________，這兩個半平面叫做二面角的_______________圖示二面角的平面角文字在二面角的棱上任取一點，以該點為垂足，在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于_______________的射線，則這兩條射線構成的_______________叫做這個二面角的平面角圖示符號OA?α，OB?β，α∩β＝l，O∈l，OA⊥l，OB⊥l?∠AOB是二面角的平面角范圍[0，π]二面角的大小及記法規(guī)定二面角的大小可以用它的_______________來度量，二面角的平面角是多少度，就說這個二面角是多少度．平面角是_______________的二面角叫做直二面角記法棱為l，面分別為α，β的二面角記為_______________．如圖所示，也可在α，β內(nèi)（棱以外的半平面部分）分別取點P，Q，將這個二面角記作二面角_______________．【溫馨提示】二面角是從空間一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形；平面角可以把角理解為一個旋轉(zhuǎn)量，二面角也可以看作是一個半平面以其棱為軸旋轉(zhuǎn)而成，二面角的大小反映了兩個相交平面的位置關系．知識剖析（1）二面角的平面角的大小是由二面角的兩個面的位置唯一確定的，與選擇棱上的點的位置無關．（2）平面角的兩邊分別在二面角的兩個面內(nèi)，且兩邊都與二面角的棱垂直，這個角所確定的平面與棱垂直．2．平面與平面垂直（1）定義：兩個平面相交，如果它們所成的二面角是_______________，就說這兩個平面互相垂直．平面α與平面β垂直，記作_______________．（2）畫法：兩個互相垂直的平面通常把直立平面的豎邊畫成與水平平面的_______________垂直．如圖所示．3．平面與平面垂直的判定定理文字語言一個平面過另一個平面的_______________，則這兩個平面垂直圖形語言符號語言l⊥α，_______________?α⊥β作用判斷兩平面_______________【溫馨提示】平面與平面垂直的判定定理告訴我們，可以通過直線與平面垂直來證明平面與平面垂直．通常我們將其記為：線面垂直，則面面垂直．因此處理面面垂直問題（即空間問題）轉(zhuǎn)化為處理線面垂直問題，進一步轉(zhuǎn)化為處理線線垂直問題（即平面問題）來解決．三、直線與平面垂直的性質(zhì)定理文字語言垂直于同一個平面的兩條直線_______________符號語言?_______________圖形語言作用（1）證明兩直線_______________；（2）構造平行線【溫馨提示】直線與平面垂直的性質(zhì)定理給出了判斷兩條直線平行的另一種方法，即“線面垂直，則線線平行”，它揭示了“平行”與“垂直”的內(nèi)在聯(lián)系．直線與平面垂直的性質(zhì)（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．四、平面與平面垂直的性質(zhì)定理文字語言兩個平面垂直，則_______________垂直于_______________的直線與另一個平面_______________符號語言圖形語言作用證明直線與平面_______________【溫馨提示】平面與平面垂直的性質(zhì)定理給出了判斷直線與平面垂直的另一種方法，即“面面垂直，則線面垂直”，揭示了線面垂直與面面垂直的內(nèi)在聯(lián)系．垂直關系之間的相互轉(zhuǎn)化【重難點題型突破】：一、證明或判斷直線與平面垂直方法一：用線線垂直實現(xiàn)。方法二：用面面垂直實現(xiàn)。例1．（線線垂直的條件判斷）在直三棱柱中，.以下能使的是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為直三棱柱所以，又因為，所以因為，平面，所以平面，所以，那么，要證，故只需要證明平面，即證，因為直三棱柱的側(cè)面都是長方形，當增加條件時，則可以得到，因為，，平面，所以平面，所以.故選B.例2．（翻折問題中的線面垂直）如圖，在邊長為的菱形中，，與交于點，將沿直線折起到的位置（點不與，兩點重合）.（1）求證：不論折起到何位置，都有平面；（2）當平面時，點是線段上的一個動點，若與平面所成的角為，求的值.【答案】（1）詳見解析；（2）或.【解析】（1）證明：因為四邊形是菱形，所以.因為，點是的中點，所以.又因為平面，平面，，所以平面.（2）解：以，，的方向分別為，，軸正方向建立空間直角坐標系如下圖所示.易知，，，則點，，，所以，.設，則.所以.設平面的一個法向量為，則由得解得令，得平面的一個法向量為，所以，解得.故所求的值為或.【變式訓練1】如圖，長方體ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點E在棱AA1上，BE⊥EC1．（1）證明：BE⊥平面EB1C1；（2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）由已知得，平面，平面，故．又，所以平面．（2）由（1）知．由題設知≌，所以，故，．以為坐標原點，的方向為x軸正方向，為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標系D–xyz，則C（0，1，0），B（1，1，0），（0，1，2），E（1，0，1），，，．設平面EBC的法向量為n=（x，y，x），則即所以可取n=.設平面的法向量為m=（x，y，z），則即所以可取m=（1，1，0）．于是．所以，二面角的正弦值為．【名師點睛】本題考查了利用線面垂直的性質(zhì)定理證明線線垂直以及線面垂直的判定，考查了利用空間向量求二角角的余弦值，以及同角的三角函數(shù)關系，考查了數(shù)學運算能力.【變式訓練2】如圖，在四棱錐P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E為PD的中點，點F在PC上，且．（1）求證：CD⊥平面PAD；（2）求二面角F–AE–P的余弦值；（3）設點G在PB上，且．判斷直線AG是否在平面AEF內(nèi)，說明理由．【答案】（1）見解析；（2）；（3）見解析.【解析】（1）因為PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD．又因為AD⊥CD，所以CD⊥平面PAD．（2）過A作AD的垂線交BC于點M．因為PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AM，PA⊥AD．如圖建立空間直角坐標系A?xyz，則A（0，0，0），B（2，1，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2）．因為E為PD的中點，所以E（0，1，1）．所以．所以.設平面AEF的法向量為n=（x，y，z），則即令z=1，則．于是．又因為平面PAD的法向量為p=（1，0，0），所以.由題知，二面角F?AE?P為銳角，所以其余弦值為．（3）直線AG在平面AEF內(nèi)．因為點G在PB上，且，所以.由（2）知，平面AEF的法向量.所以.所以直線AG在平面AEF內(nèi).

二、證明或判斷平面與平面垂直方法一：用線面垂直實現(xiàn)。例3．（翻折問題中的面面垂直）在中，，分別為，的中點，，如圖1.以為折痕將折起，使點到達點的位置，如圖2.如圖1如圖2（1）證明：平面平面；（2）若平面平面，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)見解析；（2）直線與平面所成角的正弦值為.【解析】（1）證明：在題圖1中，因為，且為的中點.由平面幾何知識，得.又因為為的中點，所以在題圖2中，，，且，所以平面，所以平面.又因為平面，所以平面平面.（2）解：因為平面平面，平面平面，平面，.所以平面.又因為平面，所以.以為坐標原點，分別以，，的方向為軸、軸、軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系在題圖1中，設，則，，，.則，，，.所以，，.設為平面的法向量，則，即令，則.所以.設與平面所成的角為，則.所以直線與平面所成角的正弦值為.【變式訓練1】.（2019北京文18）如圖，在四棱錐中，平面ABCD，底部ABCD為菱形，E為CD的中點．（Ⅰ）求證：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若∠ABC=60°，求證：平面PAB⊥平面PAE；（Ⅲ）棱PB上是否存在點F，使得CF∥平面PAE？說明理由．【解析】（Ⅰ）因為平面ABCD，且平面，所以．又因為底面ABCD為菱形，所以．又平面，平面，，所以平面PAC．（Ⅱ）因為PA⊥平面ABCD，平面ABCD，所以PA⊥AE．因為底面ABCD為菱形，∠ABC=60°，且E為CD的中點，所以AE⊥CD．又，所以AB⊥AE．又平面，平面，，所以AE⊥平面PAB．又平面，所以平面PAB⊥平面．（Ⅲ）棱PB上存在點F，且為的中點，使得CF∥平面PAE．取F為PB的中點，取G為PA的中點，連結(jié)CF，F(xiàn)G，EG．因為，分別為，的中點，則FG∥AB，且FG=AB．因為底面ABCD為菱形，且E為CD的中點，所以CE∥AB，且CE=AB．所以FG∥CE，且FG=CE．所以四邊形CEGF為平行四邊形，所以CF∥EG．因為CF平面PAE，EG平面PAE，所以CF∥平面PAE．三、線面垂直、面面垂直的綜合應用例4．已知l，m是平面外的兩條不同直線．給出下列三個論斷：①l⊥m； ②m∥； ③l⊥．以其中的兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結(jié)論，寫出一個正確的命題：__________．【答案】如果l⊥α，m∥α，則l⊥m.【解析】將所給論斷，分別作為條件、結(jié)論，得到如下三個命題：（1）如果l⊥α，m∥α，則l⊥m，正確；（2）如果l⊥α，l⊥m，則m∥α，不正確，有可能m在平面α內(nèi)；（3）如果l⊥m，m∥α，則l⊥α，不正確，有可能l與α斜交、l∥α.故答案為：如果l⊥α，m∥α，則l⊥m.【名師點睛】本題主要考查空間線面的位置關系、命題、邏輯推理能力及空間想象能力.將所給論斷，分別作為條件、結(jié)論加以分析即可.【變式訓練1】.已知直線平面，直線平面，若，則下列結(jié)論正確的是A．或 B．C． D．【答案】A【解析】對于A，直線平面，，則或，A正確；對于B，直線平面，直線平面，且，則或與相交或與異面，∴B錯誤；對于C，直線平面，且，則或與相交或或，∴C錯誤；對于D，直線平面，直線平面，且，則或與相交或與異面，∴D錯誤．故選A．四、線面垂直、面面垂直的性質(zhì)綜合應用例5．已知直線平面，直線平面，若，則下列結(jié)論正確的是A．或 B．C． D．【答案】A【解析】對于A，直線平面，，則或，A正確；對于B，直線平面，直線平面，且，則或與相交或與異面，∴B錯誤；對于C，直線平面，且，則或與相交或或，∴C錯誤；對于D，直線平面，直線平面，且，則或與相交或與異面，∴D錯誤．故選A．【變式訓練1】如圖，邊長為2的正方形中，分別是的中點，現(xiàn)在沿及把這個正方形折成一個四面體，使三點重合，重合后的點記為，則四面體的高為A． B．C． D．1【答案】B【解析】如圖，由題意可知兩兩垂直，∴平面，∴，設P到平面的距離為h，又，∴，∴，故，故選B.【名師點睛】本題考查了平面幾何的折疊問題，空間幾何體的體積計算，屬于中檔題．折疊后，利用即可求得P到平面的距離．【變式訓練2】．如圖，在四棱柱中，側(cè)棱，，，，點為線段上的點，且．（1）