第6章冪函數(shù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)單元綜合檢測（重點）（單元培優(yōu)）

第6章冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)單元綜合檢測（重點）一、單選題1．函數(shù)的定義域為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由函數(shù)解析式即得.【解析】要使函數(shù)有意義，則∴，即.故選：C.2．函數(shù)（，且）的圖象必經(jīng)過點（）A． B． C． D．【答案】D【分析】令得到定點的橫坐標(biāo)，再把橫坐標(biāo)代入函數(shù)求出定點的縱坐標(biāo)得解.【解析】令.當(dāng)時，.所以函數(shù)的圖象必經(jīng)過點.故選：D3．函數(shù)y＝ax－(a>0，且a≠1)的圖象可能是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】就、分類討論可得正確的選項.【解析】當(dāng)時，為增函數(shù)，當(dāng)時，且，故A，B不符合.當(dāng)時，為減函數(shù)，當(dāng)時，，故C不符合，D符合.故選：D.4．已知，則“冪函數(shù)在上為增函數(shù)”是“指數(shù)函數(shù)為增函數(shù)”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】利用冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合必要不充分條件的定義即可得到答案.【解析】若冪函數(shù)在上是增函數(shù)，則，，若指數(shù)函數(shù)為增函數(shù)，則，則，因為“”是“”的必要不充分條件，則“冪函數(shù)在上是增函數(shù)”是“指數(shù)函數(shù)為增函數(shù)”的必要不充分條件.故選：B.5．已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，在時，單調(diào)遞減，若（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，為圓周率），則a，b，c的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意得到函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，滿足，求得，結(jié)合和函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.【解析】由函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，可得函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，即函數(shù)為偶函數(shù)，滿足，則，又由，因為時，單調(diào)遞減，可得，所以.故選：D.6．關(guān)于函數(shù)的單調(diào)性的說法正確的是（）A．在R上是增函數(shù) B．在R上是減函數(shù)C．在區(qū)間上是增函數(shù) D．在區(qū)間上是減函數(shù)【答案】D【分析】先求出函數(shù)的定義域，再設(shè)，則，然后利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法進(jìn)行判斷即可【解析】由函數(shù)的解析式知定義域為，設(shè)，在上是增函數(shù)，在(0，＋∞)上是減函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知在上是減函數(shù)，故選：D.7．已知函數(shù)f(x)＝是定義域上的遞減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（）．A．a(chǎn)> B．<a≤ C．a(chǎn)< D．<a<【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)是減函數(shù)，那么每段函數(shù)是減函數(shù)，并且根據(jù)分界點的函數(shù)值，比較大小，列不等式求實數(shù)a的取值范圍.【解析】∵函數(shù)f(x)＝是定義域上的遞減函數(shù)，∴即解得<a≤．故選：B8．已知關(guān)于的不等式在上恒成立（其中、），則（）A．當(dāng)時，存在滿足題意 B．當(dāng)時，不存在滿足題意C．當(dāng)時，存在滿足題意 D．當(dāng)時，不存在滿足題意【答案】D【分析】本題首先可根據(jù)題意得出函數(shù)滿足有一零點為、當(dāng)時、當(dāng)時，然后對四個選項依次進(jìn)行討論，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)即可得出結(jié)果.【解析】因為關(guān)于的不等式在上恒成立，所以必需要滿足、，即對于函數(shù)，必有一零點為且零點左右函數(shù)值符號不同，即當(dāng)時，；當(dāng)時，，A項：，，令，，，此時，不滿足零點左右函數(shù)值符號不同，A錯誤；B項：，，令，，，此時，存在滿足題意，B錯誤；C項：，，令，，，此時，不滿足零點左右函數(shù)值符號不同，C錯誤；D項：，，令，，，此時，不滿足當(dāng)時且當(dāng)時，，即不存在滿足題意，D正確，故選：D.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查不等式恒成立的相關(guān)問題的求法，主要考查二次函數(shù)性質(zhì)以及對數(shù)函數(shù)性質(zhì)，能否根據(jù)題意將不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)滿足有一零點為、當(dāng)時、當(dāng)時是解決本題的關(guān)鍵，考查推理能力與計算能力，是難題.二、多選題9．若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則函數(shù)具有的性質(zhì)是（）A．在定義域內(nèi)是減函數(shù) B．圖象過點C．是奇函數(shù) D．其定義域是【答案】BC【分析】先由已知條件求出函數(shù)解析式，然后對選項依次分析判斷即可【解析】解：因為冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，所以，解得，所以，由反比例函數(shù)的性質(zhì)可知，在和上遞減，所以A錯誤；當(dāng)時，，所以函數(shù)圖象過點，所以B正確；因為，所以為奇函數(shù)，所以C正確；函數(shù)的定義域為，所以D錯誤，故選：BC10．在同一坐標(biāo)系中，與的圖象如圖，則下列關(guān)系不正確的是（）A．， B．，C．， D．時，【答案】ABC【分析】根據(jù)圖象確定的取值范圍，結(jié)合圖像判斷CD選項的正確性.【解析】由圖象可知，，所以AB選項錯誤.當(dāng)時，，所以C選項錯誤.當(dāng)時，，所以，所以D選項正確.故選：ABC11．已知函數(shù)，，則下列結(jié)論正確的是（）A．函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱B．對任意，且，都有C．對任意，且，都有D．函數(shù)與既無最小值，也無最大值【答案】AB【分析】利用奇偶性定義判斷、，結(jié)合解析式判斷的單調(diào)性，進(jìn)而應(yīng)用基本不等式判斷的最值情況，即可知各選項的正誤.【解析】，故是奇函數(shù)且為增函數(shù)，，故為偶函數(shù)，定義域上不可能單調(diào)性，∴A、B正確，C錯誤.對于，時，，時，，即無最值；對于，僅當(dāng)時等號成立，故其存在最小值.∴D錯誤.故選：AB12．已知冪函數(shù)（m，，m，n互質(zhì)），下列關(guān)于的結(jié)論正確的是（）A．m，n是奇數(shù)時，冪函數(shù)是奇函數(shù)B．m是偶數(shù)，n是奇數(shù)時，冪函數(shù)是偶函數(shù)C．m是奇數(shù)，n是偶數(shù)時，冪函數(shù)是偶函數(shù)D．時，冪函數(shù)在上是減函數(shù)E.m，n是奇數(shù)時，冪函數(shù)的定義域為【答案】ACE【分析】將函數(shù)還原成根式形式：，分別討論m，n是奇數(shù)偶數(shù)的時候辨析函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性.【解析】，當(dāng)m，n是奇數(shù)時，冪函數(shù)是奇函數(shù)，故A中的結(jié)論正確；當(dāng)m是偶數(shù)，n是奇數(shù)，冪函數(shù)/在時無意義，故B中的結(jié)論錯誤當(dāng)m是奇數(shù)，n是偶數(shù)時，冪函數(shù)是偶函數(shù)，故C中的結(jié)論正確；時，冪函數(shù)在上是增函數(shù)，故D中的結(jié)論錯誤；當(dāng)m，n是奇數(shù)時，冪函數(shù)在上恒有意義，故E中的結(jié)論正確.故選：ACE.【點睛】此題考查冪函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的辨析，關(guān)鍵在于準(zhǔn)確掌握冪函數(shù)的指數(shù)變化對第一象限的圖象的影響，利用m，n是奇數(shù)偶數(shù)的變化討論函數(shù)的奇偶性.三、填空題13．設(shè)是定義在上周期為4的偶函數(shù)，且當(dāng)時，，則函數(shù)在上的解析式為__________.【答案】，.【分析】設(shè)，則，則有，由函數(shù)的解析式可得的表達(dá)式，結(jié)合函數(shù)的奇偶性與周期性可得，即可求出結(jié)果.【解析】解：根據(jù)題意，設(shè)，則，則有，當(dāng)時，，則，又為周期為4的偶函數(shù)，所以，，則有，；故答案為：，.14．寫出一個同時具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)___________.①；②；③時，恒成立【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)函數(shù)滿足的三條性質(zhì)可得出一個函數(shù)：，即求.【解析】當(dāng)時，，滿足；若，則函數(shù)為增函數(shù)，顯然由冪函數(shù)的性質(zhì)可知為增函數(shù)，時，，即，滿足.故答案為：（答案不唯一）15．已知定義在上的函數(shù)，若對任意兩個不相等的實數(shù)，都有，則稱函數(shù)為“函數(shù)"：給出以下四個函數(shù)：①；②；③；④其中“函數(shù)”的序號為__________.【答案】②③【分析】由題設(shè)“函數(shù)"的定義，可得在定義域上為減函數(shù)，再根據(jù)各項的函數(shù)解析式判斷函數(shù)單調(diào)性，即可知屬于“函數(shù)”的序號.【解析】在上的函數(shù)，若對任意兩個不相等的實數(shù)，都有，則稱函數(shù)為“函數(shù)"∴，可得，即，∴函數(shù)為定義域上的單調(diào)遞減函數(shù)，①為單調(diào)遞增函數(shù)；②是單調(diào)減函數(shù)；③是單調(diào)減函數(shù)；④是偶函數(shù)，不是減函數(shù)，∴四個函數(shù)中只有②③為“函數(shù)”.故答案為：②③16．某數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組為了鍛煉自主探究學(xué)習(xí)能力，以函數(shù)為基本素材研究其相關(guān)性質(zhì)，得到部分研究結(jié)論如下①函數(shù)在定義域上是奇函數(shù)；②函數(shù)的值域為；③使的的取值范圍為；④對于任意實數(shù)，，都有.其中正確的結(jié)論是________（填上所有正確結(jié)論的序號）.【答案】①②③.【分析】①先分析定義域，再根據(jù)的關(guān)系即可判斷出奇偶性；②將變形為，然后根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性求解出的值域；③先分析的單調(diào)性以及的取值，然后根據(jù)單調(diào)性將問題轉(zhuǎn)化為，由此求解出的取值范圍；④分別計算出分式的分子與分母，然后兩部分相除驗證結(jié)果是否為.【解析】①：定義域為關(guān)于原點對稱，又，所以為奇函數(shù)，故正確；②：，因為，所以，所以，所以的值域為，故正確；③：因為中單調(diào)遞增，所以單調(diào)遞減，所以單調(diào)遞增，且，因為，所以，所以，所以，即，故正確；④：，，所以，而與不恒相等，故錯誤；故答案為：①②③.【點睛】思路點睛：求解形如的函數(shù)的值域的步驟：（1）先采用分離常數(shù)的方法將函數(shù)變形為；（2）根據(jù)已知條件分析出的取值范圍，由此分析出的取值范圍，則的取值范圍可分析出，即的值域可求.四、解答題17．已知冪函數(shù)（）是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增．（1）求函數(shù)的解析式；（2）若，求的取值范圍；【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)冪函數(shù)，偶函數(shù)的定義以及題意可知，，，即可求出，得到函數(shù)的解析式；（2）由偶函數(shù)的性質(zhì)以及函數(shù)的單調(diào)性可得，即，即可解出．【解析】（1）∵，∴，∵，∴，即或2，∵在上單調(diào)遞增，為偶函數(shù)，∴，即．(2)∵∴，，，∴，即的取值范圍為．18．已知函數(shù).（1）求的定義域；（2）判斷在內(nèi)的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；【答案】（1）；（2）在內(nèi)單調(diào)遞減，證明見解析.【分析】（1）本題可根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)以及解分式不等式得出結(jié)果；（2）本題可通過定義法以及對數(shù)的運算法則證出在內(nèi)單調(diào)遞減.【解析】（1）因為，所以，即，解得或，故函數(shù)的定義域為.（2）在內(nèi)單調(diào)遞減，證明：任取、且，則，因為，所以，則，，，在內(nèi)單調(diào)遞減.19．已知函數(shù)定義在上有恒成立，且當(dāng)時，.（1）求的值及函數(shù)的解析式；（2）求函數(shù)的值域.【答案】（1），（2）【分析】（1）利用奇函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行計算．（2）利用換元法結(jié)合一元二次函數(shù)的性質(zhì)求出當(dāng)時的取值范圍，再根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，即可求出函數(shù)的值域．【解析】解：（1）因為函數(shù)定義在上有恒成立所以函數(shù)為奇函數(shù)，又當(dāng)時，所以．當(dāng)時，則．所以，因為是定義在上的奇函數(shù)，所以，即．所以函數(shù)的解析式為．（2）令，當(dāng)時，，則當(dāng)時，可寫為，所以．由是定義在上的奇函數(shù)，所以當(dāng)時．即函數(shù)的值域為．20．已知函數(shù)（，且）．（1）求函數(shù)的定義域和值域；（2）若函數(shù)有最小值為，求a的值．【答案】（1），時，或時，；（2）.【分析】(1)由給定函數(shù)列出不等式組解之即得，變形函數(shù)式，求出真數(shù)取值范圍即可作答；(2)利用(1)的結(jié)論列式即可得解.【解析】（1）由得，所以函數(shù)的定義域，，設(shè)，則，又，則，于是有當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以時，的值域為，時，的值域為；（2）由題意及（1）知：當(dāng)時，函數(shù)有最小值，所以，解得：.21．給出下列三個條件：①周期為1的函數(shù)：②奇函數(shù)；③偶函數(shù)．請逐一判斷并篩選出符合題意的一個條件（均需說明理由），補充在下面的問題中，并求解．已知函數(shù)是______．（1）求的值；（2）求不等式的解集．【答案】（1）；（2）【分析】（1）若選①：利用周期性，可得，求解即可；若選②：利用奇函數(shù)的性質(zhì)，可得，求解即可；若選③：利用偶函數(shù)的定義，可得在定義域上恒成立，求解即可．（2）利用（1）中的結(jié)論，得到不等式，然后分兩種情況求解即可．【解析】解：（1）函數(shù)，的定義域為，若選①：是周期為1的函數(shù)，則，即，無解，不合題意；若選②：為奇函數(shù)，則，即，方程無解，不合題意；若選③：為偶函數(shù)，則在定義域上恒成立，即，整理可得，解得，此時為偶函數(shù)；所以（2）由，可得，①，即，解得；②，即，此時無解．綜上所述，不等式的解集為．22．定義在上的奇函數(shù)，已知當(dāng)時，＝．（1）求在上的解析式；（2）當(dāng)時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）結(jié)合奇函數(shù)在原點有意義時，有，即可求出的值，然后根據(jù)奇函數(shù)的定義即可求出結(jié)果；（2）參變分離后構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求出最大值，從而可以求出結(jié)果.【解析】（1）因為是定義在上的奇函數(shù)，時，，所以，解得，所以時，，當(dāng)時，，所以，又，所以，，即在上的解析式為.（2）因為時，，所以可化為，整理得，令，根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可得，與都是減函數(shù)，所以也是減函數(shù)，，所以，故數(shù)的取值范圍是.23．已知定義域為的函數(shù).（1）試判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并用函數(shù)單調(diào)性的定義證明；（2）若對于任意，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）函數(shù)在上單調(diào)遞減，證明見解析；（2）.【分析】（1）由單調(diào)性的定義證明（可根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷）；（2）再確定函數(shù)的奇函數(shù)，然后由奇函數(shù)性質(zhì)變形不等式，由單調(diào)性化簡轉(zhuǎn)化為一元二次不等式恒成立，從而易得參數(shù)范圍．【解析】（1）函數(shù)在上單調(diào)遞減.證明如下：任取，且，，因為，所以，，，即，故函數(shù)在上單調(diào)遞減.（2）因為，故為奇函數(shù)，所以，由（1）知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，即對于任意恒成立，所以，令，則，因為，所以，所以，即實數(shù)的取值范圍是.24．已知函數(shù)=logax，=loga(2x+m2)，其中x∈[1,3]，a>0且a≠1，m∈R.（1）若m=6且函數(shù)F=+的最大值為2，求實數(shù)a的值.（2）當(dāng)a>1時，不等式<2在x∈[1,3]時有解，求實數(shù)m的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由題設(shè)可得，討論、，結(jié)合已知最大值求參數(shù)a，注意判斷a值是否符合題設(shè).（2）由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得，再由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求不等式右邊的最小值，即可得m的取值范圍.【解析】（1），，則，.當(dāng)時，，所以；當(dāng)時，，所以，不合題意.綜上，.（2）要使在上有意義，則，解得.由，即，又，∴，即，得.令，，記，對稱軸，∴，故.綜上，.25．已知函數(shù)，．（1）若關(guān)于的方程有兩個不等實根，，求的值；（2）是否存在實數(shù)，使對任意，關(guān)于的方程在區(qū)間上總有3個不等實根，，，若存在；求出實數(shù)的取值范圍；若不存在，說明理由．【答案】（1）；（2）.【分析