概率（練習(xí)）（原卷版）-2024年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義

第34講概率

目錄

題型過關(guān)練

題型O1

事件的分類

型

題O2

判斷事件發(fā)生可能性的大小

型

題O3

理解概率的意義

型

題Q4

判斷幾個事件概率的大小關(guān)系

型

題05

根據(jù)概率公式計算概率

型

題06

根據(jù)概率作判斷

型

題07

已知概率求數(shù)量

型

題08

幾何概率列舉法求概率

型

題09

列舉法求概率

型

題10

畫樹狀圖法/列表法求概率

型

題11

由頻率估計概率

型

題12

用頻率估計概率的綜合應(yīng)用

型

題13

放回實驗概率計算方法

型

題14

型不放回實驗概率計算方法

題15

型

題16游戲公平性

型

題17概率的應(yīng)用

概率與統(tǒng)計綜合

真題實戰(zhàn)練

題型過關(guān)練

題型01事件的分類

1.（2022.貴州貴陽.統(tǒng)考模擬預(yù)測）下列事件是必然事件的是（）

A.沒有水分，種子發(fā)芽B.如果a、b都是實數(shù)，那么

C.打開電視，正在播廣告D.拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，正面向上

2.（2022?福建福州?統(tǒng)考一模）下列成語所描述的事件屬于不可能事件的是（）

A.守株待兔B.水中撈月C.水滴石穿D.百發(fā)百中

3.（2021?廣東廣州?執(zhí)信中學(xué)?？既＃┫铝猩钪械氖录?屬于不可能事件的是（）

A.3天內(nèi)將下雨B.打開電視,正在播新聞

C.買一張電影票，座位號是偶數(shù)號D.沒有水分,種子發(fā)芽

4.（2019?山東臨沂?校聯(lián)考一模）投擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子,骰子的六個面上分別刻有1到6的點數(shù)，則

下列事件為隨機事件的是（）

A.兩枚骰子向上一面的點數(shù)之和大于1

B.兩枚骰子向上一面的點數(shù)之和等于1

C.兩枚骰子向上一面的點數(shù)之和大于12

D.兩枚骰子向上一面的點數(shù)之和等于12

題型02判斷事件發(fā)生可能性的大小

5.（2023?貴州銅仁?統(tǒng)考一模）在一個不透明的布袋內(nèi)，有紅球5個，黃球4個，白球1個，藍(lán)球3個,

它們除顏色外，大小、質(zhì)地都相同.若隨機從袋中摸取一個球，則摸中哪種球的概率最大（）

A.紅球B.黃球C.白球D.藍(lán)球

6.（2023?遼寧葫蘆島?統(tǒng)考二模）下列事件中，是確定事件的是（）

A.擲一枚硬幣，正面朝上B.三角形的內(nèi)角和是180。

C.明天會下雨D.明天的數(shù)學(xué)測驗，小明會得滿分

7.（2023?江蘇淮安?統(tǒng)考一模）同時拋擲兩枚質(zhì)地均勻的正方體骰子1次，下列事件中是不可能事件的是

A.朝上的點數(shù)之和為12B.朝上的點數(shù)之和為13

C.朝上的點數(shù)之和為2D.朝上的點數(shù)之和小于9

8.（2022?貴州遵義?統(tǒng)考三模）袋中有白球3個，紅球若干個，它們只有顏色上的區(qū)別.從袋中隨機取出

一個球，如果取到白球的可能性更大，那么袋中紅球的個數(shù)是（）

A.2個B.不足3個C.4個D.4個或4個以上

題型03理解概率的意義

9.（2019?江蘇鹽城?校聯(lián)考二模）氣象臺預(yù)報“本市明天降水概率是90%”對此信息，下列說法正確的是

（）

A.本市明天將有90%的時間降水B.本市明天降水的可能性比較大

C.本市明天肯定下雨D.本市明天將有90%的地區(qū)降水

10.（2023?江蘇揚州?校聯(lián)考一模）如圖，某天氣預(yù)報軟件顯示“揚州市邢江區(qū)明天的降水概率為85%”，對

這條信息的下列說法中，正確的是（）

揚州市邛江區(qū)天氣

12-16℃

日出06：43日落17：18

體感溫度降水概率降水量空氣質(zhì)量

14℃85%1.0mm優(yōu)

A.邢江區(qū)明天將有85%的時間下雨B.邢江區(qū)明天將有85%的地區(qū)下雨

C.祁江區(qū)明天下雨的可能性較大D.邛江區(qū)明天下雨的可能性較小

11.（2019?江蘇淮安?統(tǒng)考一模）小亮是一名職業(yè)足球隊員，根據(jù)以往比賽數(shù)據(jù)統(tǒng)計，小亮進(jìn)球率為10%,

他明天將參加一場比賽，下面幾種說法正確的是（）

A.小亮明天的進(jìn)球率為10%

B.小亮明天每射球10次必進(jìn)球1次

C.小亮明天有可能進(jìn)球

D.小亮明天肯定進(jìn)球

題型04判斷幾個事件概率的大小關(guān)系

12.（2023?山東東營?統(tǒng)考二模）下列是任意拋擲一枚質(zhì)地均勻的正六面體骰子所得結(jié)果，其中發(fā)生的可能

性最大的是（）

A.朝上的點數(shù)為2B.朝上的點數(shù)為7

C.朝上的點數(shù)為2的倍數(shù)D.朝上的點數(shù)不大于2

13.（2023?福建泉州?統(tǒng)考一模）一個不透明的盒子中裝有1個紅球和2個白球，它們除顏色不同外其它都相

同.若從中隨機摸出一個球，則下列敘述正確的是（）

A.摸到黑球是不可能事件B.摸到白球是必然事件

C.摸到紅球與摸到白球的可能性相等D.摸到紅球比摸到白球的可能性大

14.（2023?江蘇常州?統(tǒng)考一模）在4個相同的袋子中，裝有除顏色外完全相同的10個球，任意摸出1個球，

摸到紅球可能性最大的是（）

A.1個紅球，9個白球B.2個紅球，8個白球

C.5個紅球，5個白球D.6個紅球，4個白球

題型05根據(jù)概率公式計算概率

15.（2023?福建廈門?廈門市湖里中學(xué)?？寄M預(yù)測）有5張僅有編號不同的卡片，編號分別是1,2,3,

4,5.從中隨機抽取一張，編號是偶數(shù)的概率等于.

16.（2023?浙江臺州?統(tǒng)考一模）將一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子（六個面的點數(shù)分別為1,2,3,4,5,6）

擲一次，朝上一面點數(shù)是1的概率為.

17.（2023?福建福州?校考一模）端午節(jié)到了，小紅煮好了10個粽子，其中有6個紅棗粽子，4個綠豆粽

子.小紅想從煮好的粽子中隨機撈一個，若每個粽子形狀完全相同，被撈到的機會相等，則她撈到紅棗粽

子的概率是.

18.（2023?河北衡水??？级＃乃?，-1,n,0,3這五個數(shù)中隨機抽取一個數(shù)，恰好是無理數(shù)的概率

是

題型06根據(jù)概率作判斷

19.（2021?山東煙臺.校聯(lián)考模擬預(yù)測）在一個不透明的袋子中裝有3個紅球、3個白球和2個黑球，它們

除顏色外其它均相同，現(xiàn)添加1個同種型號的球，使得從中隨機抽取1個球，這三種顏色的球被抽到的概

率都是右則添加的球是（）

A.紅球B.白球C.黑球D.任意顏色

20.（2015?河北廊坊?統(tǒng)考二模）一只盒子中有紅球根個，白球6個，黑球”個，每個球除顏色外都相同，

從中任取一個球，取得是白球的概率與不是白球的概率相同，那么相與”的關(guān)系是（）

A.m+n=6B.m+n=3C.m=n=3D.m=2,n=4

21.（202。內(nèi)蒙古呼倫貝爾?統(tǒng)考一模）一個密碼箱的密碼，每個位數(shù)上的數(shù)都是從0到9的自然數(shù)，若要

使不知道密碼的一次就撥對密碼的概率小于高，則密碼的位數(shù)至少需要（）位.

A.3位B.2位C.9位D.10位

22.（2020?福建廈門??？寄M預(yù)測）不透明的袋子里裝有紅、黑、白三種顏色的小球，它們質(zhì)地、形狀完

全相同，從袋子中隨機抽取一個小球，記事件2為“抽到紅球”，事件B為“抽到紅球或黑球”，若PQ4）=|,

則P（B）的取值范圍是.

題型07已知概率求數(shù)量

23.（2018?吉林長春?校考一模）一個不透明的盒子里有w個除顏色外其他完全相同的小球，其中有9個黃

球，每次摸球前先將盒子里的球搖勻，任意摸出一個球記下顏色后再放回盒子，通過大量重復(fù)摸球?qū)嶒灪?/p>

發(fā)現(xiàn)，摸到黃球的頻率穩(wěn)定在30%,那么估計盒子中小球的個數(shù)〃為（）

A.20B.24C.28D.30

24.（2023?山東濟南?模擬預(yù)測）不透明的袋子里有50張2022年北京冬奧會宣傳卡片，卡片上印有會徽、

吉祥物冰墩墩、吉祥物雪融融圖案，每張卡片只有一種圖案，除圖案不同外其余均相同，其中印有冰墩墩

的卡片共有〃張.從中隨機摸出1張卡片，若印有冰墩墩圖來的概率是點則”的值是.

25.（2023?云南昆明?一模）在不透明的袋子里裝有2個紅球和1個藍(lán)球，紅球和藍(lán)球除顏色外其余都完全

相同.

（1）從袋子中一次摸出兩個球，請用畫樹狀圖或列表的方法，求摸出的兩個球是一紅一藍(lán)的概率；

（2）若再向袋中放入若干個同樣的藍(lán)球，攪拌均勻后，使從袋中摸出一個藍(lán)球的概率為力求后來放入袋中

藍(lán)球的個數(shù).

26.（2023?江蘇蘇州?統(tǒng)考二模）在一個不透明的盒子里裝有除顏色外完全相同的紅、白、黑三種顏色的

球.其中紅球3個，白球5個，黑球若干個，若從中任意摸出一個白球的概率是彳

（1）求任意摸出一個球是黑球的概率；

（2）能否通過只改變盒子中白球的數(shù)量，使得任意摸出一個球是紅球的概率;若能，請寫出如何調(diào)整白球數(shù)

量；若不能，請說明理由.

題型08幾何概率

27.（2023?廣東廣州?廣州市真光中學(xué)?？级＃┤鐖D，正方形4BCD及其內(nèi)切圓0,隨機地往正方形內(nèi)投一

粒米，落在陰影部分的概率是（）

28.（2019?河南?統(tǒng)考一模）如圖，一個游戲轉(zhuǎn)盤中，紅、黃、藍(lán)三個扇形的圓心角度數(shù)分別為60。，90°,

210°.讓轉(zhuǎn)盤自由轉(zhuǎn)動，指針停止后落在黃色區(qū)域的概率是（）

29.（2021?河南?統(tǒng)考模擬預(yù)測）一個小球在如圖所示的方格地磚上任意滾動，并隨機停留在某塊地磚

上.每塊地磚的大小、質(zhì)地完全相同，那么該小球停留在黑色區(qū)域的概率是.

30.（2022?四川成都?統(tǒng)考二模）如圖，四個全等的直角三角形拼成“趙爽弦圖”，得到正方形4BCD與正方

形連結(jié)BD交4F、于點M、N.若。E平分N20B,現(xiàn)隨機向該圖形內(nèi)擲一枚小針，則針尖落在陰

影區(qū)域的概率為

31.（2022?四川達(dá)州?統(tǒng)考二模）正方形ABC。的邊長為2,分別以AB、BC、CD、D4的中點為圓心，1為

半徑畫弧，得到如圖所示的陰影部分，若隨機向正方形內(nèi)投小石子，則小石子落在陰影部分的概率

為.

32.（2022?湖北隨州?統(tǒng)考二模）如圖，AlBC中，點D,E,尸分別為AB,AC,BC的中點，點P,M,3分

別為DE,DF,EF的中點，若隨機向△ABC內(nèi)投一粒米，則米粒落在圖中陰影部分的概率為一.

題型09列舉法求概率

33.（2022?北京朝陽?統(tǒng)考二模）從1,2,3這3個數(shù)中隨機抽取兩個數(shù)相加，和為偶數(shù)的概率是（）

1117

A.-B.-C.-D.-

4323

34.（2023?重慶沙坪壩?重慶八中?？寄M預(yù)測）有背面完全相同，正面分別畫有等腰三角形、矩形、菱

形、正方形的卡片4張，現(xiàn)正面朝下放置在桌面上，將其混合后，一次性從中隨機抽取兩張，則抽中卡片

上正面的圖形都是中心對稱圖形的概率為.

35.（2022?北京?一模）看了《田忌賽馬》故事后，小楊用數(shù)學(xué)模型來分析齊王與田忌的上中下三個等級的

三匹馬記分如表，每匹馬只賽一場，大數(shù)為勝，三場兩勝則贏.已知齊王的三匹馬出場順序為10,8,6

則田忌能贏得比賽的概率為

馬匹

下等馬中等馬上等馬

姓名

齊王6810

田忌579

36.（2019?河南濮陽?統(tǒng)考二模）如圖，隨機閉合開關(guān)S「S2,S3中的兩個，能夠讓燈泡發(fā)亮的概率

題型10畫樹狀圖法/列表法求概率

37.（2023?安徽蕪湖?統(tǒng)考一模）某班級計劃舉辦手抄報展覽，確定了“5G時代”、“北斗衛(wèi)星”、“高鐵速度”

三個主題，若小明和小亮每人隨機選擇其中一個主題，則他們恰好選擇同一個主題的概率是（）

1112

A.3B.-C.-D.-

38.（2022?河南南陽?模擬預(yù)測）在踐行“安全在我心中，你我一起行動”主題手抄報評比活動中，共設(shè)置“交

通安全、消防安全、飲食安全、防疫安全”四個主題內(nèi)容，推薦兩名學(xué)生參加評比，若他們每人從以上四

個主題內(nèi)容中隨機選取一個，則兩人恰好選中同一主題的概率是（）

1121

A.5B,-C.-D.-

39.（2023?安徽滁州?統(tǒng)考三模）班長邀請4,B,C,。四位同學(xué)參加圓桌會議.如圖，班長坐在⑤號座

位，四位同學(xué)隨機坐在①②③④四個座位，則4B兩位同學(xué)座位相鄰的概率是（）

①

f、⑤班長

③

11C12

一---

4B.32D.3

40.（2023?陜西?模擬預(yù)測）一只不透明的袋子中裝有2個白球、1個紅球，這些球除顏色外都相同.

（1）攪勻后從中任意摸出一個球，摸到紅球的概率等于;

（2）攪勻后從中任意摸出一個球，記錄顏色后放回、攪勻，再從中任意摸出一個球.用列表或畫樹狀圖的方

法，求2次都摸到紅球的概率.

題型11由頻率估計概率

41.（2023?廣西南寧?統(tǒng)考二模）在一個不透明的袋子里裝有紅球、黃球共20個，這些球除顏色外都相

同.小明通過多次試驗發(fā)現(xiàn)，摸出紅球的頻率穩(wěn)定在0.6左右，則袋子中紅球的個數(shù)最有可能是（）

A.6B.8C.12D.15

42.（2023?北京東城?統(tǒng)考二模）質(zhì)檢部門對某批產(chǎn)品的質(zhì)量進(jìn)行隨機抽檢，結(jié)果如下表所示：

抽檢產(chǎn)品數(shù)〃1001502002503005001000

合格產(chǎn)品數(shù)加89134179226271451904

合格率二

n0.8900.8930.8950.9040.9030.9020.904

在這批產(chǎn)品中任取一件，恰好是合格產(chǎn)品的概率約是（結(jié)果保留一位小數(shù)）.

44.（2022.貴州貴陽?統(tǒng)考模擬預(yù)測）社團課上，同學(xué)們進(jìn)行了“摸球游戲”：在一個不透明的盒子里裝有幾

十個除顏色不同外其余均相同的黑、白兩種球，將盒子里面的球攪勻后從中隨機摸出一個球記下顏色，再

把它放回盒子中，不斷重復(fù)上述過程.整理數(shù)據(jù)后，制作了“摸出黑球的頻率”與“摸球的總次數(shù)”的關(guān)系圖

象如圖所示，經(jīng)分析可以推斷盒子里個數(shù)比較多的是（填“黑球”或“白球”）.

L。評出黑球的頻率

0.8-

0.6■

0.4-

0.2-----*-----v——------*——?-----?-----?——?-----?——?一

O50100150200250300350400450500摸球的總次數(shù)

題型12用頻率估計概率的綜合應(yīng)用

44.（2022?山東威海.統(tǒng)考一模）一個不透明的箱子里裝有3個紅色小球和若干個白色小球，每個小球除顏

色外其他完全相同，每次把箱子里的小球搖勻后隨機摸出一個小球，記下顏色后再放回箱子里，通過大量

重復(fù)實驗后，發(fā)現(xiàn)摸到紅色小球的頻率穩(wěn)定于0.75左右.

C1）請你估計箱子里白色小球的個數(shù)；

（2）現(xiàn)從該箱子里摸出1個小球，記下顏色后放回箱子里，搖勻后，再摸出1個小球，求兩次摸出的小

球顏色恰好不同的概率（用畫樹狀圖或列表的方法）.

45.（2023?江蘇蘇州?蘇州市振華中學(xué)校?？级＃┮粋€不透明的口袋中放著若干個紅球和黑球，這兩種球

除顏色外沒有其他任何區(qū)別，袋中的球已經(jīng)攪勻，閉眼從口袋中摸出一個球，記下顏色后放回攪勻，經(jīng)過

大量重復(fù)試驗發(fā)現(xiàn)摸到黑球的頻率逐漸穩(wěn)定在0.4附近.

（1）估計摸到紅球的概率是;

（2）如果袋中有黑球12個，求袋中有幾個球；

（3）在（2）的條件下，又放入"個黑球，再經(jīng)過大量重復(fù)試驗發(fā)現(xiàn)摸到黑球的頻率逐漸穩(wěn)定在0.7附近，求

〃的值.

46.（2022?浙江溫州?校考一模）根據(jù)你所學(xué)的概率知識，回答下列問題：

（1）我們知道：拋擲一枚均勻的硬幣，硬幣正面朝上的概率是.若拋兩枚均勻硬幣，硬幣落地

后，求兩枚硬幣都是正面朝上的概率.（用樹狀圖或列表來說明）

（2）小劉同學(xué)想估計一枚紀(jì)念幣正面朝上的概率，通過試驗得到的結(jié)果如下表所示：

拋擲次數(shù)m50010001500250030004000500010000

“正面朝上”的次數(shù)n26551279313061558208325985204

“正面朝上”的頻率-

m0.5300.5120.5290.5220.5190.5210.5200.520

根據(jù)上表，下面有三個推斷：

①當(dāng)拋擲次數(shù)是1000時，“正面朝上”的頻率是0.512,所以“正面朝上”的概率是0.512；

②隨著試驗次數(shù)的增加，“正面朝上”的頻率總是在0.520附近擺動，顯示出一定穩(wěn)定性，可以估計“正面

朝上”的概率是0.520；

③若再做隨機拋鄭該紀(jì)念幣的試驗，則當(dāng)拋擲次數(shù)為3000時，出現(xiàn)“正面朝上”的次數(shù)不一定是1558

次；

其中推斷合理的序號是.

47.（2022?福建廈門?統(tǒng)考模擬預(yù)測）某水果公司以2元/他的成本價新進(jìn)10000飯柑橘.銷售人員先從所有

柑橘中隨機抽取若干柑橘，進(jìn)行“柑橘損壞率”統(tǒng)計，并把獲得的數(shù)據(jù)記錄在表中.

柑橘總質(zhì)量n/kg50100150200250300350400450500

損壞柑橘質(zhì)量m/kg5.5010.5015.1519.4224.2530.9335.3239.2444.5751.54

柑橘損壞的頻率巴

n0.1100.1050.1010.0970.0970.1030.1010.0980.0990.103

（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，估計這100004柑橘中損壞的概率是；（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）

⑵在（1）的條件下，如果公司希望這些柑橘的銷售利潤能超過5000元，那么在出售柑橘（去掉損壞的柑

橘）時，每千克至少定價多少元？（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）

48.（2023?福建福州?福建省福州華僑中學(xué)?？寄M預(yù)測）某果園為了實現(xiàn)自動化管理，計劃安裝不少于2

臺大型自動噴水機，當(dāng)降雨量少時噴水機可以對果樹自動灌溉.統(tǒng)計了過去50年的年均降雨量資料，得

到如下的頻數(shù)分布直方圖，假設(shè)各年的年均降雨量互不影響，以過去50年的年均降雨量為樣本.

（1）估計未來1年中，年均降雨量低于1700的概率.

（2）每年自動噴水機需要運行臺數(shù)受年均降雨量X限制.并有如下關(guān)系:

年均降雨量X900<X<13001300<X<17001700<X<2100

噴水機需要運行臺數(shù)321

若一臺噴水機運行，一年為果園帶來80萬元的利潤；著某臺噴水機未運行，一年也得要投入40萬元的費

用；如果由于缺水，少開一臺噴水機將使果園損失50萬元.欲使果園在噴水機項目上實現(xiàn)年利潤的平均

值達(dá)到最大，需安裝幾臺噴水機？

題型13放回實驗概率計算方法

49.（2021?內(nèi)蒙古包頭.統(tǒng)考二模）一只不透明袋子中裝有1個白球和若干個紅球，這些球除顏色外都相

同，某課外學(xué)習(xí)小組做摸球試驗：將球攪勻后從中任意摸出1個球，記下顏色后放回、攪勻，不斷重復(fù)這

個過程，獲得數(shù)據(jù)如下：

摸球的次數(shù)200300400100016002000

摸到白球的頻數(shù)7293130334532667

摸到白球的頻率0.36000.31000.32500.33400.33250.3335

(1)該學(xué)習(xí)小組發(fā)現(xiàn)，隨著摸球次數(shù)的增多，摸到白球的頻率在一個常數(shù)附近擺動，請直接寫出這個常

數(shù)(精確到0.01),由此估出紅球有幾個？

(2)在這次摸球試驗中，從袋中隨機摸出1個球，記下顏色后放回，再從中隨機摸出1個球，利用畫樹

狀圖或列表的方法表示所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，并求兩次摸到的球恰好1是個白球，1個是紅球的概率.

50.(2023?山西晉城?模擬預(yù)測)在一個不透明的盒子里，裝有三個分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3的小球，它們的

形狀、大小、質(zhì)地等完全相同.小明先從盒子里隨機取出一個小球，記下數(shù)字為心放回盒子搖勻后，再

由小華隨機取出一個小球，記下數(shù)字為y.

⑴用列表法或畫樹狀圖表示出(x,y)的所有可能出現(xiàn)的結(jié)果；

(2)求小明、小華各取一次小球所確定的點(x,y)落在反比例函數(shù)y=5的圖象上的概率.

51.(2022?陜西西安??？寄M預(yù)測)一個不透明的口袋中有四個完全相同的小球，把它們分別標(biāo)號為1,

2,3,4,小明隨機從口袋中摸取一個小球，記錄摸到小球的標(biāo)號后放回，再從中摸取一個小球，又放

回.小明摸取了60次，結(jié)果統(tǒng)計如下：

標(biāo)號1234

次數(shù)16142010

(1)上述試驗中，小明摸取到“2”號小球的頻率是；小明下一次在袋中摸取小球，摸到“2”號小球的概

率是;

(2)若小明一次在袋中摸出兩個小球，求小明摸出兩個小球標(biāo)號的和為5的概率.

52.(2023?江蘇鹽城??？级?有4張撲克牌，牌面數(shù)字分別為2、3、4、4,其余都相同.小明隨機從中

摸出一張牌，記錄牌面數(shù)字后放回；洗勻后再從中摸出一張牌，記錄牌面數(shù)字后又放回.小明摸了100

次，結(jié)果統(tǒng)計如下：

牌面數(shù)字2344

次數(shù)26243020

(1)上述試驗中，小明摸出牌面數(shù)字為3的頻率是「小明摸一張牌，摸到牌面數(shù)字為3的概率是「

(2)若小明一次摸出兩張牌，求小明摸出的兩張牌的牌面數(shù)字之和為6的概率.

53.(2023?陜西寶雞??？家荒?一個不透明的袋子中裝有四個小球，這四個小球上各標(biāo)有一個數(shù)字，分別

是1,1,2,3,這些小球除標(biāo)有的數(shù)字外都相同.

(1)從袋中隨機摸出一個小球，則摸出的這個小球上標(biāo)有的數(shù)字是1的概率為;

(2)先從袋中隨機摸出一個小球，記下小球上標(biāo)有的數(shù)字后，放回，搖勻，再從袋中隨機摸出一個小球，記

下小球上標(biāo)有的數(shù)字，請利用畫樹狀圖或列表的方法、求摸出的這兩個小球上標(biāo)有的數(shù)字之積是偶數(shù)的概

率.

54.(2022?安徽?模擬預(yù)測)一個不透明的箱子里裝有藍(lán)、白兩種顏色的球共4個，它們除顏色外，其他都

相同.李明將球攪勻后從箱子中隨機摸出1個球，記下顏色后，再將它放回，不斷重復(fù)實驗.多次實驗結(jié)

(2)從該箱子里隨機摸出1個球，不放回，再摸出1個球.用列舉法求摸到1個藍(lán)球、1個白球的概率.

題型14不放回實驗概率計算方法

55.(2023?廣東清遠(yuǎn)?統(tǒng)考三模)中國城市基礎(chǔ)設(shè)施的現(xiàn)代化程度顯著提高，新技術(shù)、新手段得到廣泛應(yīng)

用，基礎(chǔ)設(shè)施的功能日益增加，承載能力、系統(tǒng)性和效率都有了顯著的提升.城市經(jīng)濟發(fā)展了，居民生活

條件改善了，如5G基礎(chǔ)進(jìn)設(shè)、新能源汽車充電樁、人工智能等，其中，隨著人們對新能源汽車的認(rèn)可，

公共充電樁的需求量逐漸增大.根據(jù)巾商情報網(wǎng)信息：某月“特來電”“星星充電”“國家電網(wǎng)”“云快充”等企

業(yè)投放公共充電樁的數(shù)量及市場份額的統(tǒng)計圖如圖所示：

某月企業(yè)公共充電樁分布圖

二I公共充電樁數(shù)量（單位：萬臺）市場份額（單位:盼

2430?

2025?

1620?

1215?

810?

456

00?/

特

國

依

上中

其

星

深

云

萬云

他

米

家

威

汽國

星

快

圳

杉

馬

電

電充

普

能安

充

智

車

愛

網(wǎng)

天

源悅

慧

電

電

充

請根據(jù)圖中信息，解答下列問題:

（1）①將統(tǒng)計圖中“國家電網(wǎng)”的公共充電樁數(shù)量和市場份額補充完整；

②統(tǒng)計圖中所涉及的十一種企業(yè)投放公共充電樁數(shù)量的中位數(shù)是一萬臺.

（2）小輝收集到下列四個企業(yè)的圖標(biāo)，并將其制成編號分別為A,B,C,。的四張卡片（除編號和內(nèi)容外,

其余部分完全相同），將四張卡片背面朝上洗勻，放在桌面上，從中任意抽取一張，不放回，再抽取一

張.請你用列表或畫樹狀圖的方法，求抽取到的兩張卡片恰好是“A”和"?！钡母怕?

56.（2023?山西大同?大同一中?？寄M預(yù)測）隨著全民健身與全民健康深度融合，戶外運動逐漸成為人民

群眾喜聞樂見的運動方式.為讓青少年以享受運動為前提，獲取參與戶外運動的知識與技能，某校開展了

戶外運動知識競賽活動，并隨機在八、九年級各抽取了20名學(xué)生的成績（百分制），部分過程如下:

收集數(shù)據(jù)：八年級20名學(xué)生的成績?nèi)缦?

80,95,75,75,90,75,80,65,80,85,75,65,70,65,85,70,95,80,75,85

整理數(shù)據(jù)：八年級20名學(xué)生成績頻數(shù)分布表:

等級DCBA

成績X（分）60<%<7070<%<8080<%<9090<%<100

人數(shù)（人）59a2

分析數(shù)據(jù)：八、九年級20名學(xué)生成績的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、優(yōu)秀率如下表:

年級平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)優(yōu)秀率

八年級78.25b7510%

九年級82.7582.58025%

請根據(jù)上述信息，回答下列問題：

（1）填空：a=,b=；

（2）估計該校九年級參加競賽的500人中，成績在90分以上的人數(shù)；

（3）在收集九年級20我學(xué)生成績的過程中，誤將一個數(shù)據(jù)“80”寫成了“85”，小宇認(rèn)為從中位數(shù)角度看，不

會影響該校學(xué)生戶外運動知識一般水平的反映情況，請你判斷小宇的結(jié)論是否正確？并說明理由；

（4）隨著年輕一代消費者逐漸成為消費主力，他們對“走出去”的渴望日益增長，露營、釣魚、騎行、爬山等

戶外運動項目逐漸成為當(dāng)代年輕人的熱門娛樂方式之一、為近一步了解戶外運動的參與群體，小宇和小強

收集了印有這四種戶外運動項目的圖案的卡片（依次記為3D,Q,P,除正面編號和內(nèi)容外，其余完全

相同）.現(xiàn)將這四張卡片背面朝上，洗勻放好，從中隨機抽取一張（不放回），再從中隨機抽取一張，請用

列表或畫樹狀圖的方法求抽到的兩張卡片恰好是Q（騎行）和P（爬山）的概率.

57.（2023?河北滄州?校考模擬預(yù)測）一個不透明的口袋里裝有分別標(biāo)有漢字“魅”“力”“石”“門”的四個小

球，除漢字不同之外，小球沒有任何區(qū)別，每次摸球前先攪拌均勻再摸球.

（1）從中任取一個球，球上的漢字剛好是“石”的概率為；

（2）甲從中任取一球，不放回，再從中任取一球，請用列表或畫樹狀圖的方法，求甲取出的兩個球上的漢字

恰好能組成“魅力”或“石門”的概率B；

（3）乙從中任取一球，記下漢字后放回，然后再從中任取一球，記乙取出的兩個球上的漢字恰好能組成“魅

力”或“石門”的概率為P2，則BP2（填或

58.（2023?吉林長春?統(tǒng)考二模）如圖，有四張不透明且背面相同的卡片4B、C、D,卡片的正面分別印

有凈月潭、長春世界雕塑公園、長影世紀(jì)城、偽滿皇宮博物院（這些卡片除圖案不同外，其余均相

同）.把這四張卡片背面向上洗勻后，任意抽出一張不放回，然后再從余下的卡片中任意抽出一張.請用

樹狀圖或列表法，求抽出兩張卡片的圖案恰好是“凈月潭”和“長影世紀(jì)城”的概率.

ABD

題型15游戲公平性

59.（2022.湖北黃岡?校聯(lián)考模擬預(yù)測）兩個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤4、8都被分成3等份的扇形區(qū)域，并在

每一小區(qū)域內(nèi)標(biāo)上數(shù)字（如圖所示），指針的位置固定.游戲規(guī)則：同時轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止后,

將指針?biāo)竷蓚€區(qū)域內(nèi)的數(shù)字相乘（若指針落在分割線上，則需重新轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤）.

（1）試用列表或畫樹狀圖的方法，求數(shù)字之積為3的倍數(shù)的概率;

（2）小亮和小蕓想用這兩個轉(zhuǎn)盤做游戲，他們規(guī)定：數(shù)字之積為3的倍數(shù)時，小亮得2分；數(shù)字之積為5的

倍數(shù)時，小蕓得3分.你認(rèn)為這個游戲?qū)﹄p方公平嗎？若公平，請說明理由；若不公平，請修改得分規(guī)

定，使游戲?qū)﹄p方公平.

60.（2022?廣東佛山?統(tǒng)考一模）為提高教育質(zhì)量，落實立德樹人的根本任務(wù)，中共中央辦公廳、國務(wù)院辦

公廳頒布了“雙減”政策.為了調(diào)查學(xué)生對“雙減”政策的了解程度，某學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組通過網(wǎng)上調(diào)查的方

式在本校學(xué)生中做了一次抽樣調(diào)查，調(diào)查結(jié)果共分為四個等級：A.非常了解；股比較了解；C.基本了

結(jié)合統(tǒng)計圖，回答下列問題:

（1）若該校有學(xué)生2000人，請根據(jù)調(diào)查結(jié)果估計這些學(xué)生中“比較了解”“雙減”政策的人數(shù)約為多少？

（2）根據(jù)調(diào)查結(jié)果，學(xué)校準(zhǔn)備開展關(guān)于“雙減”政策宣傳工作，要從某班“非常了解”的小明和小剛中選一個人

參加，現(xiàn)設(shè)計了如下游戲來確定，具體規(guī)則是：在一個不透明的袋中裝有2個紅球和2個白球，它們除了

顏色外無其他差別，從中隨機摸出兩個球，若摸出的兩個球顏色相同，則小明去；否則小剛?cè)?請用樹狀

圖或列表法說明這個游戲規(guī)則是否公平.

61.（2022?江蘇鹽城?統(tǒng)考一模）北京冬奧會將在2022年2月4日至20日舉行，北京將成為奧運史上第一

個舉辦過夏季奧運會和冬季奧運會的城市，小亮是個集郵愛好者，他收集了如圖所示的5張紀(jì)念郵票(除

正面內(nèi)容不同外，其余均相同)，現(xiàn)將5張郵票背面朝上，洗勻放好.

1920皿IGper.I通

吉祥物雪容融

(1)小亮從中隨機抽取一張郵票是“吉祥物雪容融”的概率是

(2)小明發(fā)明了一種“郵票棋”比勝負(fù)的游戲，用小亮的三種郵票當(dāng)作5顆棋子，其中冬奧會會徽郵票記作A

棋，吉祥物冰敦敦郵票記作8棋，吉祥物雪容融郵票記作C棋.

游戲規(guī)則：將5顆棋子放入一個不透明的袋子中，然后隨機從5顆棋子中摸出1顆棋子，不放回，再摸出

第2顆棋子，若摸到A棋，則小明勝；若摸到兩顆相同的棋子，則小亮勝；其余情況視為平局，游戲重新

進(jìn)行，請你用列表或畫樹狀圖的方法驗證這個游戲公平嗎？請說明理由.

62.(2023?云南?一模)現(xiàn)有A,8兩個不透明的袋子，A袋的4個小球分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4；8袋的3

個小球分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3.(每個袋中的小球除數(shù)字外，其它完全相同.)

(1)從A,8兩個袋中各隨機摸出一個小球，則兩個小球上數(shù)字相同的概率是；

(2)甲、乙兩人玩摸球游戲，規(guī)則是：甲從A袋中隨機摸出一個小球，乙從8袋中隨機摸出一個小球，

若甲、乙兩人摸到小球的數(shù)字之和為奇數(shù)時，則甲勝；否則乙勝，用列表或樹狀圖的方法說明這個規(guī)則對

甲、乙兩人是否公平.

題型16概率的應(yīng)用

63.(2023?福建三明?統(tǒng)考一模)某商場舉辦“樂享國慶”購物活動時，為了疫情防控，只開通4B,。三個

人口，參加人員領(lǐng)取入場券后，由電腦隨機安排其有某個入口進(jìn)場.

(1)小明領(lǐng)取入場券后，從A入口進(jìn)場的概率是多少？

(2)某品牌手機商家開展了“頭手機砸金蛋”活動，購買該品牌手機的顧客都有一次砸金蛋機會.小明和小亮同

時購買了該品牌手機，商家提供了4個金蛋，只有1個是一等獎，其余都是二等獎.商家讓小明執(zhí)錘先砸，

小亮認(rèn)為商家這種做法對他不公平.請從兩人獲得一等獎概率的角度說明小亮的質(zhì)疑是否合理.

64.(2021.福建廈門.大同中學(xué)?？级?為響應(yīng)黨中央關(guān)于打好精準(zhǔn)扶貧攻堅戰(zhàn)的號召，東部幫助西部進(jìn)

行扶貧產(chǎn)業(yè)開發(fā)，“食良品”是某市農(nóng)產(chǎn)品商貿(mào)集團有限公司旗下的“消費扶貧”的電商平臺，依托地理、集

團專業(yè)等渠道的優(yōu)勢，基地直采，降低采購成本，全心全意為全市廣大客戶提供優(yōu)質(zhì)的食材，也解決了西

部各地農(nóng)副產(chǎn)品銷售難的問題.目前，該平臺為廣大客戶僅提供300元、500元、800元、1000元四種不

同面額的提貨券.隨機抽查了其中100天的銷售情況，整理統(tǒng)計后得到如下表一和表二：

表一

提貨券每張面額（元）3005008001000

銷售量（張）的百分比30%m%18%12%

表二

日均銷售量（張）300450500650

天數(shù)25303510

（1）隨機抽取一張?zhí)嶝浫?，面額不少于800元的概率是多少？

（2）哪種面額的提貨券應(yīng)多提供些？估計日均銷售該面額的提貨券多少張？

（3）估計月銷售總額是多少元？（月以30天計算）

65.（2023?河北唐山?統(tǒng)考二模）有四個完全相同的小球，分別標(biāo)注-2,-1,1,3這四個數(shù)字.把標(biāo)注后

的小球放入不透明的口袋中，從中隨機拿出兩個小球，所標(biāo)數(shù)字和的絕對值為左的概率記作Pk（如：是

任取兩個數(shù)，其和的絕對值為3的概率）

⑴用到本港求Pi；

（2）張亮認(rèn)為：Pk的所有取值的眾數(shù)大于它們的平均數(shù)，你認(rèn)為張亮的想法正確嗎？請通過計算說明；

（3）能否找到概率6，Pj,Pm（i<j<m）,使外+號+%=0.5.若能找到，請舉例說明；若不能找到，

請說明理由.

66.（2022?福建三明?二模）某商場舉行促銷活動，消費滿一定金額的顧客可以通過參與摸球活動獲得獎

勵.具體方法如下：從一個裝有2個紅球、3個黃球（僅顏色不同）的袋中摸出2個球，根據(jù)摸到的紅球

數(shù)確定獎勵金額，具體金額設(shè)置如下表：現(xiàn)有兩種摸球方案：

摸到的紅球數(shù)012

獎勵（單位：元）51020

方案一：隨機摸出一個球，記下顏色后不放回，再從中隨機摸出一個球;

方案二：隨機摸出一個球，記下顏色后放回，再從中隨機摸出一個球.

（1）求方案一中，兩次都摸到紅球的的概率；

（2）請你從平均收益的角度幫助顧客分析，選擇哪種摸球方案更有利？

67.（2021.江蘇鹽城??？级＃┮咔榉揽仄陂g，任何人進(jìn)入校園都必須測量體溫，體溫正常方可進(jìn)校.現(xiàn)

在學(xué)校需在東門、南門和西門分別增加一人測溫，甲、乙、丙三人被隨機增派到三個校門測溫.小明每天

走東門進(jìn)校，小麗每天走西門進(jìn)校.請用所學(xué)概率知識解決下列問題：

（1）寫出甲、乙、丙被分配到三個校門測溫的所有可能結(jié)果；

（2）小明、小麗兩人中，進(jìn)校時誰遇到甲的可能性大？請說明理由.

題型17概率與統(tǒng)計綜合

68.（2022?安徽?模擬預(yù)測）為加強學(xué)生的疫情防范意識，某校舉行了“預(yù)防新冠，從我做起"疫情防控知識

競賽，競賽試卷共20道單選題，每題5分，滿分100分.為了解競賽成績，從該校七、八年級學(xué)生中各

隨機抽取20名學(xué)生的分?jǐn)?shù)，并對數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、描述和分析.下面給出了部分信息.

①七年級20名學(xué)生的測試成績?yōu)椋?/p>

50,60,75,70,75,80,90,95,95,80,

80,85,80,85,90,75,70,85,95,80.

②八年級20名學(xué)生的測試成績條形統(tǒng)計圖如圖所示.

八年級競賽成績條形統(tǒng)計圖

卜人數(shù)

5

4~

3

2

v65707580859095成績/分

③兩個年級抽取的學(xué)生的測試成績的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)如表所示:

年級平均數(shù)眾數(shù)中位數(shù)

七年級79.75b80

八年級a75C

請你根據(jù)上面提供的信息，解答下列問題：

⑴上表中a=，b=，c=

(2)根據(jù)樣本統(tǒng)計數(shù)據(jù)，你認(rèn)為該校七、八年級中哪個年級的學(xué)生掌握疫情防控知識較好？并說明理

由.(寫出兩條理由即可)

(3)從樣本中測試成績?yōu)?5分的七、八年級的學(xué)生中，隨機抽取兩名學(xué)生參加區(qū)里組織的疫情防控知識競

賽，求兩人同為七年級學(xué)生的概率.

69.(2022?安徽宿州??？寄M預(yù)測)某校擬舉辦主題為“學(xué)黨史跟黨走”的知識競賽活動.某年級在一班和

二班進(jìn)行了預(yù)賽，兩個班參加比賽的人數(shù)相同，成績分為A、8、C、。四個等級，其等級對應(yīng)的分值分別

為100分、90分、80分、70分，將這兩個班學(xué)生的最后等級成績分析整理繪制成了如圖的統(tǒng)計圖.

一班預(yù)賽成績統(tǒng)計圖二班預(yù)賽成績統(tǒng)計圖

35%

10%

C>

40"<>15%

(1)這次預(yù)賽中，二班成績在2等及以上的人數(shù)是多少？

(2)分別計算這次預(yù)賽中一班成績的平均數(shù);

(3)已知一班成績A等的4人中有2個男生和2個女生，二班成績A等的都是女生，年級要求從這兩個班A

等的學(xué)生中隨機選2人參加學(xué)校比賽，若每個學(xué)生被抽取的可能性相等，求抽取的2人中至少有1個男生

的概率.

70.(2022?河北滄州??？级?某校七、八年級共有600名學(xué)生，為了解該校七、八年級學(xué)生對詩詞知識

的掌握情況，從七、八年級學(xué)生中各隨機抽取15人進(jìn)行詩詞知識測試，統(tǒng)計這部分學(xué)生的測試成績(成

績均為整數(shù)，滿分10分，8分及以上為優(yōu)秀)，相關(guān)數(shù)據(jù)統(tǒng)計、整理如下：七年級抽取學(xué)生的成績：6,

9,9,10；八年級抽取學(xué)生的測試成績條形統(tǒng)計圖

年級七年級八年級

平均數(shù)88

眾數(shù)8a

中位數(shù)b8

優(yōu)秀率80%60%

(1)填空：a=,b=；

(2)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認(rèn)為該校七、八年級中，哪個年級的學(xué)生詩詞知識掌握得較好？請說明理由(寫出一

條即可)；

(3)請估計七、八年級學(xué)生對詩詞知識掌握能夠達(dá)到優(yōu)秀的總?cè)藬?shù)；

(4)現(xiàn)從七、八年級獲得10分的3名學(xué)生中隨機抽取2人參加市詩詞知識競賽，請用列表或畫樹狀圖法，

求出被選中的2人恰好是七、八年級各1人的概率.

71.(2023?海南三亞?統(tǒng)考二模)某市初中開放性科學(xué)實踐活動是通過網(wǎng)絡(luò)平臺進(jìn)行活動選課，活動項目包

括六個領(lǐng)域，A：自然與環(huán)境，8健康與安全，C：結(jié)構(gòu)與機械，D-.電子與控制，E：數(shù)據(jù)與信息，F(xiàn)：

能源與材料.為了了解某區(qū)學(xué)生自主選課情況，隨機抽取了一部分初三學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果繪制

(1)本次調(diào)查活動采取的調(diào)查方式是_(填寫“普查”或“抽樣調(diào)查”)；

(2)本次調(diào)查抽取的學(xué)生有_人,扇形統(tǒng)計圖中相的值是「

(3)已知選擇"A：自然與環(huán)境”的20名學(xué)生中有12名男生和8名女生，若從這20名學(xué)生中隨機抽取一名,

且每名學(xué)生被抽到的可能性相同，則恰好抽到女生的概率是_；

(4)若該區(qū)初三共有學(xué)生3000人，則該區(qū)初三學(xué)生中選擇。電子與控制的約有一人.

真題實戰(zhàn)練

一、單選題

1.（2023?廣東?統(tǒng)考中考真題）某學(xué)校開設(shè)了勞動教育課程.小明從感興趣的“種植”“烹飪”“陶藝”“木工”4門

課程中隨機選擇一門學(xué)習(xí)，每門課程被選中的可能性相等，小明恰好選中“烹飪”的概率為（）

A.-B.-C.-D.-

8642

2.（2023?江蘇蘇州?統(tǒng)考中考真題）如圖，轉(zhuǎn)盤中四個扇形的面積都相等，任意轉(zhuǎn)動這個轉(zhuǎn)盤1次，當(dāng)轉(zhuǎn)

盤停止轉(zhuǎn)動時，指針落在灰色區(qū)域的概率是（）

3.（2023?江蘇連云港?統(tǒng)考中考真題）如圖是由16個相同的小正方形和4個相同的大正方形組成的圖形,

在這個圖形內(nèi)任取一點P,則點P落在陰影部分的概率為（）

4.（2023?河北?統(tǒng)考中考真題）1有7張撲克牌如圖所示，將其打亂順序后，背面朝上放在桌面上.若從中

隨機抽取一張，則抽到的花色可能性最大的是（）

??十?

A.（黑桃）B.（紅心）C.（梅花）D.（方塊）

5.（2023?山東煙臺?統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形中，陰影部分是以正方形的頂點及其對稱中心為圓

心，以正方形邊長的一半為半徑作弧形成的封閉圖形.將一個小球在該正方形內(nèi)自由滾動，小球隨機地停

在正方形內(nèi)的某一點上.若小球停在陰影部分的概率為匕，停在空白部分的概率為P2,則B與P2的大小關(guān)

A.<P2B.Pr=P2C.>P2D.無法判斷

6.（202